các ứng dụng của nguyên lý dirichlet trong các bài toán tổ hợp, số học và hình học

Trong nhiều trường hợp sử dụngnguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thể mà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toánchỉ

Nội dung đề tài

2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet 07

Chương 3 Ứng dụng nguyên lí trong giải toán 09

3.1 Ứng dụng nguyên lí trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp 09

Giới thiệu

Giới thiệu về đề tài

Nguyên lý Dirichlet còn goị là nguyên lý chim bồ câu (The PigeonholePrinciple) hay nguyên lý những cái lồng nhốt thỏ hay nguyên lý xếp đồ vật vàongăn kéo (The Drawer Principle)- đưa ra nguyên tắc về sự phân chia, sắp xếp cácphần tử vào các lớp

Nguyên lý Dirichlet được phát biểu vào năm 1834, do nhà toán học ngườiĐức - Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13/2/1805 - 1859) đề xuất

Nguyên lý Dirichlet là công cụ hiệu quả để chứng minh nhiều kết quả sâu sắctrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học Trong nhiều trường hợp sử dụngnguyên lý này người ta chứng minh được sự tồn tại một cách dễ dàng và cụ thể

mà không đưa ra được phương pháp tìm một vật cụ thể, đối với những bài toánchỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi

Nội dung của nguyên lý này rất đơn giản, dễ hiểu nhưng có tác dụng rất lớn,

có nhiều ứng dụng trong lập luận giải toán

Nguyên lý Dirichlet có ứng dụng trong rất nhiều dạng bài tập của nhiều lĩnhvực khác nhau trong toán học, tuy nhiên trong phạm vi đề tài chúng em chỉ chútrọng khai thác “Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong các bài toán tổ hợp,

số học và hình học”

Ngoài phần giới thiệu, tiểu luận gồm ba chương và danh mục tài liệu thamkhảo

Chương 1 Giới thiệu đại cương về bộ môn lý thuyết tổ hợp

Chương 2 Các kiến thức cơ bản về nguyên lý Dirichlet dung để giải toántrong các chương sau

Chương 3 Trình bày các ứng dụng của nguyện lý Dirichlet trong việc giải bàitập

Nội dung đề tài

Chương 1 Đại cương về tổ hợp.

Tổ hợp là một lĩnh vực của toán học rời rạc, là ngành khoa học xuất hiện khásớm vào đầu thế kỷ 17 Hiện nay, lý thuyết tổ hợp được áp dụng rộng rãi trongnhiều lĩnh vực khác nhau như lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê,khoa học máy tính, hóa học…Tổ hợp đụng chạm đến nhiều vấn đề khác nhau củatoán học nên khó có thể định nghĩa một cách tổng quan

Nội dung của lý thuyết tổ hợp gắn liền với việc nghiên cứu, phân bố các phần

tử vào các tập hợp Các phần tử này thường hữu hạn và việc phân bố phải thỏamãn những điều kiện nhất định nào đó

Trong nhiều trường hợp, việc xác định sự tồn tại một cấu hình thỏa mãn tínhchất nào đó có ý nghĩa quan trọng về mặc lý thuyết cũng như thực tế Vì vậy mộtbài toán tổ hợp là một bài toán: “Xét sự tồn tại các cấu hình tổ hợp thỏa mãn tínhchất cho trước”

Bài toán tồn tại nghiên cứu từ rất lâu và góp phần đáng kể thúc đẩy sự pháttriển của lý thuyết tổ hợp cũng như nhiều ngành toán học khác, các bài toan dướiđây phần nào cho ta thấy rõ hơn điều đó

Chương II

Bài toán nguyên lý Dirichlet

2.1 Nguyên lý Dirichlet

2.1.1 Nguyên lý Dirichlet 1 (Nguyên lý chuồng và thỏ)

Nguyên lý Dirichlet khẳng định một sự kiên “hiển nhiên” rằng n+1 con thỏkhông thể xếp vào n chuồng sao cho mỗi con thỏ ở riêng một chuồng Một cáchtổng quát, nguyên lý này khẳng đinh rằng:

Nếu có m đối tượng xếp vào n hộp và m n thì tồn tại hộp chứa ít nhất 2 đốitượng

Chứng minh:

Nguyên lý này rất dễ kiểm tra:

Nếu không có hộp nào chứa ít nhất 2 đối tượng, thì số đối tượng không lớn hợn

n, mâu thuẫn với giả thuyết số đối tượng m lớn hơn số hộp n.

Tuy rằng với nguyên lý này người ta chỉ chứng minh được sự tồn tại màkhông đưa ra phương pháp tìm được vật cụ thể,nhưng trong thực tế nhiều bàitoán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại là đủ rồi Ngày nay chúng ta đã có những tổngquát hóa rất mạnh của nguyên lý này trong các ứng dụng không tầm thường nhưcác định lý kiểu Ramsey, phương pháp xác suất…

Mặc dù nguyên lý Dirichlet được phát biểu rất đơn giản nhưng cái khó của nó

là phải xác định được xem thỏ là gì, chuồng là gì

Giả sử tập hữu hạn S có các tập con A1, ,A k

a.Nếu mỗi phần tử của S chứa trong ít nhất r tập con A , thì i

2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu.

2.2.1 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu hữu hạn phần tử.

Cho tập hữu hạn S và S S1, , ,2 S n là các tập con của S sao cho

1 + 2 + + n

S S S  k S Khi đó, tồn tại một phần tử x S sao cho x là phần tử

chung của k+1 tập S i (i = 1,2,…, n).

2.2.2 Nguyên lý Dirichlet đối ngẫu vô hạn phần tử.

a Tập phần tử là một khoảng trên đường thẳng

Kí hiệu d(I) là độ dài của khoảng I  

Định lý 1: Cho A là một khoảng giới nội, A A1, 2, ,A là các khoảng sao cho n i

b Tập phần tử là miền phẳng giới hạn bởi đường cong phẳng khép kín

Kí hiệu S(A) là diện tích bề mặt A

Chứng minh: Chứng minh tương tự định lý 1

2.3 Những lưu ý khi giải bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet

Các bài toán áp dụng nguyên lý Dirichlet thường là bài toán chứng minh sự tồntại của sự vật, sự việc mà không cần phải chỉ ra một cách tường minh sự vật, sự việcđó

Bài toán cơ thể xuất hiện sau khi biến đổi qua một số bược trung gian hay saukhi thành lập các dãy số mới

Kết hợp với các phương pháp chứng minh phản chứng để giải toán

Phải biến đổi để xuất hiện khái niệm “thỏ và lồng” trong bài toán và kháiniệm nhốt thỏ vào lồng

Trong một bài toán có thể phải sử dụng nguyên lý Dirichlet 2 hay 3 lần mớigiải được

Phải sử dụng ngôn ngữ thông thường để diễn đạt cho dễ hiểu

Chương 3

Ứng dụng của nguyên lý Dirichlet

trong giải toán

3.1 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực lý thuyết tổ hợp Bài toán 1.1 Để kỷ niệm 20 năm ngày giải phóng Miền Nam,tại một thành

phố người ta tổ chức buổi lễ gặp mặt những người 20 tuổi.Ngày 30 tháng 4 năm

đó có 400 thanh niên đến dự lễ Chứng minh rằng có ít nhất hai người trong sốngười tới dự cùng chung một ngày sinh

Lời giải:

Năm 1995 có 365 ngày.Chúng ta coi mỗi ngày như là một chuồng thỏ vàđánh số từ 1 đến 365(Chuồng thỏ cuối cùng là ngày 31 tháng 12 năm 1995), sốthanh niên tới dự là thỏ.Chúng ta đặt những thanh niên có cùng ngày sinh vàocùng một chuồng có số đúng bằng ngày sinh.Vì số thỏ lớn hơn số chuồng nêntheo nguyên lý đirichlê có ít nhất hai con thỏ được đặt vào cùng mộtchuồng.Điều đó có nghĩa là họ sinh cùng một ngày

Bài toán 1.2 Ba mươi học sinh làm bài viết chính tả.Một trong số học sinh đó

bị 14 lỗi,còn các học sinh khác mắc số lỗi ít hơn.Chứng minh rằng có ít nhất bangười mắc số lỗi bằng nhau

Lời giải:

Chúng ta xét 15 chuồng thỏ được đánh số từ 0 đến 14.Chúng ta đặt mỗi conthỏ (học sinh) vào một chuồng mang số đúng bằng số lỗi mà học sinh đómắc.Nếu không có ba học sinh nào có số lỗi bằng nhau thì trong mỗi chuồngmang số từ 0,…,13 sẽ có nhiều nhất hai học sinh.Khi đó số lượng của những họcsinh này nhiều nhất là 28 cộng với học sinh mắc 14 lỗi trong chuồng số 14 chúng

ta sẽ nhận được nhiều nhất là 29 học sinh viết chính tả,điều này dẫn đến sự mâuthuẫn với giả thiết có 30 học sinh của bài toán

Bài toán 1.3 Chứng minh rằng trong mỗi nhóm bạn 5 người có ít nhất hai

người có cùng số lượng người quen giữa những người trong nhóm đó

Lời giải:

Chúng ta xét năm chuồng được đánh số từ 0 đến 4, mỗi người trong nhómđược đặt vào một chuồng mang số trùng với số người trong nhóm mà người đóquen.Ta xét hai trường hợp sau:

a Nếu có một người không quen ai trong số những người còn lại thì chuồng

số 4 trống (vì ngược lại thì cả ngăn 0 và 4 đều không trống,dẫn đến vô lí).Nhưvậy,mỗi người trong số 5 người được đặt vào các chuồng mang số 0,1,2,3 với sốlượng 4 chuồng.Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ít nhất có hai người ở cùng mộtchuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen

b Nếu mọi người ai cũng có người quen,mỗi người sẽ được đặt vào cácchuồng mang số 1,2,3,4 với số lượng 4 chuồng Từ nguyên lý Đirichlê suy ra ítnhất có hai người ở cùng một chuồng.Hay là họ có chung số lượng người quen

Bài toán 1.4 Trong một khu tập thể sống 123 người Tổng số tuổi của họ là

3813 chứng minh rằng có thể chọn 100 người sống ở khu tập thể này mà tổng sốtuổi của họ không nhỏ hơn 3100

Lời giải:

Chúng ta hãy chọn 100 người nhiều tuổi nhất và giả sử tổng số tuổi của họnhỏ hơn 3100.Khi đó người trẻ nhất trong số người được chọn là 3100:100=31tuổi.Mặt khác người này không trẻ hơn 23 người còn lại theo cách chọn.Khi đótổng số tuổi của 23 người này không lớn hơn 23.31=713.Suy ra tổng số tuổi củatất cả mọi người sống trong khu tập thể nhỏ hơn 3100+713=3813 dẫn đến vô lí

Bài toán 1.5 Năm cặp vợ chồng tổ chức một buổi gặp mặt Khi gặp nhau họ

bắt tay nhau, nhưng không ai tự bắt tay người trong gia đình và người mà vợhoặc chồng mình đã bắt tay rồi Cũng không ai bắt tay cùng một người nhiều hơnmột lần Sau cuộc gặp chúc mừng ban đầu,một người đàn ông tên Hùng hỏi tất

cả những người có mặt,kể cả vợ mình, là họ đã bắt tay được bao nhiêu lần Họnhận thấy rằng 9 người được hỏi đều trả lời những con số khác nhau.Như vậy vợcủa Hùng đã bắt tay bao nhiêu lần?

Lời giải:

Mỗi một người khách bắt tay không quá 8 lần.Vì câu trả lời của 9 người là 9

số khác nhau nên các số đó phải là 0,1,2,3,4,5,6,7 và 8 Người bắt tay 8 lần phải

là vợ hoặc chồng của người không bắt tay lần nào(Vì nếu ngược lại thì người đóchỉ bắt tay nhiều nhất là 7 lần mà thôi) Tương tự như vậy người bắt tay 7 lần có

vợ hoặc chồng bắt tay 1 lần, người bắt tay 6 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 2 lần,người bắt tay 5 lần có vợ hoặc chồng bắt tay 3 lần.Chỉ còn lại một người bắt tay

4 lần, đó chính là vợ của Hùng

Bài toán 1.6 Một lớp học có 40 học sinh Chứng minh rằng có ít nhất 4 học

sinh có tháng sinh giống nhau

Lời giải:

Một năm có 12 tháng (chuồng)

Chia 40 học sinh (con thỏ) vào 12 tháng Nếu mỗi tháng không quá 3 học sinhđược sinh ra thì số học sinh trong lớp không vượt quá 3.12 = 36 học sinh

Mà 36 < 40 vô lý.Vậy tồn tại tháng có ít nhất 4 học sinh được sinh ra

Bài toán 7 Một rừng thông có 800000 cây, mỗi cây có không quá 500000 lá.

Chứng minh rằng tồn tại 2 cây có số lá bằng nhau

3.2 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực số học.

Bài toán 2.1 Chứng minh rằng trong n+1 số thuộc {1,2,…,2n} luôn chọn

được 2 số mà số này là bội của số kia

k k1, , ,2 k n+1 là số nguyên không âm

Mà 1bi2n (i= 1,2,…n+1) và trong đoạn [1,2n] chỉ có n số lẻ nên tồn tạihai số b =i b j

Khi đó, trong 2 số a v a i à j có một số là bội của số kia

Bài toán 2.2 Biết rằng 3 số a, a + k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3.

Chứngminh rằng khi đó k chia hết cho 6

Lời giải:

Do a, a+k, a+2k đều là các số nguyên tố lớn hơn 3, nên chúng đều là các số lẻ

và không chia hết cho 3

Do a và a + k cùng lẻ nên k = (a + k) − a sẽ chia hết cho 2 (1)

Do a, a + k, a + 2k đều không chia hết cho 3, nên khi chia cho 3 ít nhất hai số

có cùng số dư (theo nguyên Dirichlet) Xảy ra các khả năng sau:

a Nếu a + k  a(mod3) thì (a + k) − a  0(mod3), suy ra k  3

b Nếu a + 2k a + k(mod3) thì (a + 2k) − (a + k)  0(mod3), suy ra k  3

c Nếu a + 2k  a(mod3) thì (a + 2k) − a  0(mod3), suy ra 2k  3

Tương tự ta xét 4 số a a a a2, , ,3 4 5 lại có hai số có hiệu chia hết cho 3, như vậytrong P có ít nhất hai hiệu khác nhau cùng  3

Tóm lại trong mọi trường hợp ta luôn có P  25.(2)

Từ (1) và (2) ta suy ra P  288

Bài toán 2.4 Chứng minh rằng trong 12 số nguyên tố phân biệt luôn luôn

chọn ra được 6 số, gọi là a a a a a a1, , , , ,2 3 4 5 6 sao cho ( - )( - )( + )a a a a a a1 2 3 4 5 6 1800

Lời giải:

Vì ba số nguyên tố đầu tiên là 2, 3, 5, do đó trong 12 số nguyên tố phân biệt

đã cho luôn có ít nhất 9 số lớn hơn 5 Vì là số nguyên tố lớn hơn 5 nên:

a Chín số trên khi chia cho 3 có dư 1 hoặc 2 Theo nguyên lí Dirichlet phảitồn tại ít nhất 5 số đồng dư với nhau theo mod 3 Năm số này lại không chia hếtcho 5 Vì thế trong năm số ấy lại có ít nhất hai số mà ta có thể giả sử là a a1, 2 saocho a1 a2( mod 5) Ngoài ra ta có a1 a2( mod 3) Từ đó ta có a1 a2  15

ii Nếu 4 số này khi chia cho 5 các số dư khác nhau là {1, 2, 3, 4}

Giả sử a5  1(mod5), a6  4(mod5) thì ta có:

Bài toán 2.5 Tập hợp các số 1, 2, 3, , , 100 được chia thành 7 tập hợp con.

Chứng minh rằng ít nhất ở một trong các tập con ấy tìm được 4 số a, b, c, d saocho a + b = c + d hoặc ba số e, f, g sao cho e + f = 2g

Lời giải:

Theo nguyên lí Dirichlet suy ra có ít nhất một tập hợp con chứa không ít hơn

15 phần tử (vì nếu trái lại tất cả các tập con chứa không nhiều hơn 7.14 = 98phần tử Do 98 < 100 nên sẽ dẫn đến mâu thuẫn)

Xét một cặp số (a, b) trong đó a > b của tập hợp này

Ứng với mỗi cặp (a, b) này ta xét hiệu a − b (rõ ràng a − b > 0) Vì tập này cókhông ít hơn 15 phần tử, nên ta nhận được không ít hơn 2

15

C hiệu, (tức là không íthơn 105 hiệu)

Do các số của tập con đều thuộc tập hợp {1, 2, , 100} nên các hiệu nóitrên thuộc tập hợp {1, 2, , 99} Vì thế lại theo nguyên lí Dirichlet suy ra cáchiệu trên phải có ít nhất hai hiệu bằng nhau Giả sử hai hiệu đó tương ứng với haicặp (a, b), (c, d), (a # c, b # d), sao cho b − a = d − c Từ đó ta có: a + d = b + c Nếu a = d (hoặc b = c; chú ý những sự bằng nhau khác không thể xảy ra do a # c,

b # d), thì b + c = 2a hoặc d + a = 2b

Bài toán 2.6 Chứng minh rằng từ 52 số nguyên bất kì luôn có thể chọn ra

được hai số mà tổng hoặc hiệu của chúng chia hết cho 100

Bài toán 2.7 Chứng minh rằng từ tập hợp tùy ý gồm n số tự nhiên luôn tách

ra được một tập hợp con (khác rỗng) chứa các số mà tổng của chúng chia hết chon

Lời giải:

Giả sử với một tập hợp nào đó chứa các số a a1, , ,2 a n mà không thoả mãn bàitoán.Khi đó không có số nào trong các số :S a S a a1= , = + , , = + + +1 2 1 2 S a a n 1 2 a n chia

hết cho n Vì số các số dư khác không trong phép chia cho n là n−1, nên theonguyên lí Dirichlet ta tìm được hai số Si và Sj(1  i  j  j  n) có cùng số dư. j Suy ra hiệu S S a i- =j i-1+ +a j chia hết cho n Điều này mâu thuẫn với giả sửnói trên Vậy bài toán được chứng minh.

Bài toán 2.8 Cho a a1, , ,2 a nlà những số nguyên khác nhau trong [100, 200],

mà chúng thoả mãn: a a1+ + +2 a n 11100 Chứng minh rằng giữa các số này có

ít nhất một số, mà viết nó ở dạng thập phân có ít nhất hai chữ số giống nhau

    và những số dư khi chia dãy số trên cho n

Vì dãy số đã cho gồm n phần tử, nên số dư dương khác nhau khi chia chúng cho

n có n−1 phần tử Có thể giả thiết không có một số nào trong dãy trên chia hếtcho n vì nếu ngược lại thì bài toán đã được giải Khi đó sẽ có hai số trong chúng,

Nếu trong dãy trên không có số nào chia hết cho p, thì ta cho tương ứng mỗi

số với số dư của phép chia Tập hợp các số dư chỉ có 1, 2, 3, , p − 1 gồm p −

1 phần tử (vì số 0 không thể có trong tập này)

Nhưng vì chúng ta có p số ở dạng trên, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai

3.3 Các ứng dụng của nguyên lý Dirichlet trong lĩnh vực hình học.

Bài toán 3.1 Trong mặt phẳng cho sáu điểm, trong đó không có ba điểm nào

thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặc xanh.Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là bađỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được bôi cùng một màu

Có hai khả năng xảy ra:

a Nếu ít nhất một trong ba đoạn B B B B B B1 2, 2 3, 3 1 màu xanh thì tồn tại một

tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp

này

b Nếu không phải như vậy, tức là B B B B B B1 2, 2 3, 3 1 màu đỏ, thì ba điểm phảitìm là B B B1, 2, 3và B B B1, 2, 3 là tam giác với ba cạnh đỏ

Bài toán 3.2 Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh Tất cả các cạnh bên và

27 đường chéo của đa giác đáy được bôi bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh.Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chóp sao cho chúng là những đỉnh củahình tam giác với các cạnh được bôi cùng màu

Lời giải:

Xét chín cạnh bên Vì 9 cạnh này chỉ được bôi bằng hai màu đỏ hoặc xanh,nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại năm cạnh bên được bôi cùng màu Khônggiảm tính tổng quát có thể cho đó là các cạnh bên SA SA SA SA SA1, 2, 3, 4, 5được bôicùng màu đỏ, các điểm A A A A A1, 2, ,3 4, 5 xếp ngược chiều kim đồng hồ

Xét đa giácA A A A A1, 2, ,3 4, 5 Có hai khả năng xảy ra:

a NếuA A1 2là đường chéo của đáy, khi đó dĩ nhiên A A A A2 4, 4 1 cũng là các

đường chéo của đáy

Khi đó hai khả năng xảy ra:

i Nếu cả ba đoạn A A A A A A1 2, 2 4, 4 1 cùng bôi màu xanh Khi đó A A A1, 2, 4

là ba đỉnh cần tìm, vì tam giácA A A1 2 4 là tam giác với ba cạnh xanh

ii Nếu một trong các đoạn A A A A A A1 2, 2 4, 4 1 là đỏ Giả sử A A2 4 đỏ, thì

2 4

SA A là tam giác với ba cạnh đỏ Lúc này S A A, 2, 4là ba đỉnh cần tìm