ỨNG DỤNG của NGUYÊN lý DIRICHLET TRONG bài TOÁN CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC

ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Vũ Sỹ Dũng-THPT Nguyễn Trung Ngạn -Hưng Yên Nguyên lý Dirichlet: "Nếu nhốt nhiều n thỏ vào n truồng truồng nhiều thỏ." Từ nguyên lý Drichlet suy mệnh đề : "Cho số thực ,bao ta lấy số cho tích chúng không âm " Vận dụng vào toán chứng minh bất đẳng thức: Giả sử cần chứng minh bđt f(a,b,c, ) ≥ Bước 1: Thử để tìm a=b=c= =k bất đẳng thức xảy dấu Bước 2: Áp dụng mệnh đề : Trong số a-k,b-k,c-k, có cặp có tích không âm Giả sử (a-k)(b-k) ≥ Bước 3: Khai thác (a-k)(b-k) ≥ để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh : a + b + c + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca ) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dáu a=b=c=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (a-1),(b-1),(c-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ 2c(a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ 2abc ≥ 2bc + 2ac − 2c Do ta cần chứng minh a + b + c − 2c + ≥ 2ab ⇔ (a − b) + (c − 1) ≥ Bất đẳng thức Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh : a + b + c + 2abc + ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dấu a=b=c=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (a-1),(b-1),(c-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ 2c(a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ 2abc ≥ 2bc + 2ac − 2c suy a + b + c + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca ) (Ví dụ 1) BĐT cho tương đương với 2(a + b + c ) + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) Do ta cần chứng minh a + b + c + ≥ 2(a + b + c) ⇔ (a − 1) + (b − 1) + (c − 1) ≥ Bất đẳng thức Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh : 1 1 (a + − 1)(b + − 1) + (b + − 1)(c + − 1) + (c + − 1) ≥ b c c a a Bài giải: Bất đẳng thức xảy dáu a=b=c=1 1 , y = b + , z = c + BĐT cho viết laị thành b c a ( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1)( z − 1) + ( z − 1)( x − 1) ≥ ⇔ 2( x + y + z ) ≤ xy + yz + zx Đặt x = a + Theo nguyên lý Dirichlet số (x-2),(y-2),(z-2) có cặp tích không âm Gỉa sử ( x − ) ( y − ) ≥ ⇔ xy + ≥ 2x + y ⇔ 2( x + y + z ) ≤ 2z + xy + (1) Mặt khác ta lại có xyz = abc + + x + y + z ≥ + x + y + z ≥ + xy + z abc Suy z ( xy − 1) ≥ 2( xy + 1) ⇒ z ( xy − 1) ≥ ⇒ 2z + ≤ 2z xy ≤ yz + zx (2) Từ (1) (2) ta suy ⇔ 2( x + y + z ) ≤ xy + yz + zx Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy x=y=z=2 hay a=b=c=1 Ví dụ 4:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn xyz=1 Chứng minh : x + y + z + x + y + z ≥ 2( xy + yz + zx) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dấu x=y=z=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (x-1),(y-1),(z-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( x − 1) ( y − 1) ≥ ⇒ xy − x − y + ≥ ⇒ xyz ≥ xy + yz − z (*) Mặt khác ta có x + y + z ≥ 3 xyz = (theo BĐT Cauchy ) Do BĐT cho chứng minh ta chứng minh được: x + y + z + ≥ 2( xy + yz + zx) Ta có x + y + z + = x + y + z + 2xyz + ≥ x + y + z + 2( xy + yz − z ) + (*) ⇔ x + y + z + ≥ ( x + y ) + ( z + 1) + 2( xz+yz)-2z ⇔ x + y + z + ≥ xy + 2z + 2( xz + yz ) − 2z=2(xy+yz+zx) (đpcm) Ví dụ 5:Cho số thực dương x,y,z Chứng minh : ( x + 2)( y + 2)( z + 2) ≥ 9( xy + yz + zx) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dấu x=y=z=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (xy-1),(yz-1),(zx-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( x − 1) ( xy − 1) ( yz − 1) ≥ ⇒ xy z + ≥ xy + yz (*) Kết hợp BĐT cauchy ta có x y z + y + ≥ 2( xy z + 1) ≥ 2( xy + yz ) BĐT cho viết lại : x y z + 2( x y + y z + z x ) + 4( x + y + z ) + ≥ 9( xy + yz + zx) Ta có x y z + y + ≥ 2( xy + yz ) (1) 3( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) (2) Lại áp dụng BĐT Cauchy có x y + ≥ xy làm tương tự y z + z x + Ta suy 2( x y + y z + z x ) + ≥ 4( xy + yz + zx) (3) Ta có : x + z ≥ 2xz (4) Cộng vế với vế BĐT (1),(2),(3),(4) ta có đpcm Ví dụ 6: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh : a b c + + ≤ a + b + c + 10 1 Theo nguyên lý Dirichlet số a − , b − , c − có cặp tích không âm 3 1    Gỉa sử  a − ÷ b − ÷ ≥  3  Bài giải: Bất đẳng thức xảy dáu a = b = c = 1 1 1 + (a + b − ) − 2(a − )(b − ) ≤ + (a + b − ) 3 1 hay a + b ≤ + (a + b − )2 = + ( − c) 9 ⇒ BĐT cho tương đương với c a b ≤ ( − )+( − )− c +1 a +1 b + 10 2 (a − 1) (b − 1) 2c ⇔ + ≥ + a +1 b +1 c +1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có: (a − 1) (b − 1) (a + b − c) (c + 1) 9(c + 1) + ≥ ≥ = a2 + b + a + b + + ( − c) + 9c − 23c + 12 Do ta cần chứng minh 9(c + 1) c + 10c + ≥ 9c − 23c + 12 5(c + 1) Bằng cách quy đồng phân tích nhân tử ,ta có BĐT cho tương đương với (3c − 1) (2c + 2c + 1) ≥ BĐT hiển nhiên ta có đpcm Ví dụ 7: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : (2a + b + c) (2b + c + a ) (2c + a + b) + + ≤8 2a + (b + c ) 2b + (c + a) 2c + ( a + b) Bài giải: Do BĐT cho nhất,không tính tổng quát giả sử a+b+c =1 Bất đẳng thức xảy dáu a = b = c = 3 Theo nguyên lý Dirichlet số a − , b − , c − có cặp tích không âm  1  Gỉa sử  a − ÷ b − ÷ ≥   3 1 1 1 ⇒ + (a + b − ) − 2(a − )(b − ) ≤ + (a + b − ) 3 1 hay a + b ≤ + (a + b − )2 = + ( − c) 9 BĐT cho tương đương với (a + 1) (b + 1) (c + 1) + + ≤8 3a − 2a + 3b2 − 2b + 3c − 2c + (a + 1) (b + 1) (c + 1) ⇔ (3 − ) + (3 − ) + (2 − )≥0 3a − 2a + 3b − 2b + 3c − 2c + Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có: 2(2a − 1) 2(2b − 1) 8( a + b − 1) (c + 1) + ≥ ≥ ≥ 3a − 2a + 3b − 3b + 3(a + b ) − 2(a + b) + + ( − c) + 2 8c 24c ≥ = 2 + ( − c) − 2(1 − c) + 9c − 6c + 3 Do ta cần chứng minh 24c 5c − 6c + + ≥0 9c − 6c + 3c − 2c + Bằng cách quy đồng phân tích nhân tử ,ta có BĐT cho tương đương với (3c − 1) (13c − 62c + 5) ≥ BĐT hiển nhiên ta có đpcm Bài tập: 1)Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c + abc = Chứng minh ab + bc + ca ≤ abc + 2)Cho số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 5a − 4a + 11 5b − 4b + 11 5c − 4c + 11 3)Cho số thực a,b,c.Chứng minh a + b + c + a 2b 2c + ≥ 2(ab + bc + ca )