ỨNG DỤNG CỦA NGUYÊN LÝ DIRICHLET TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Vũ Sỹ Dũng-THPT Nguyễn Trung Ngạn -Hưng Yên Nguyên lý Dirichlet: "Nếu nhốt nhiều n thỏ vào n truồng truồng nhiều thỏ." Từ nguyên lý Drichlet suy mệnh đề : "Cho số thực ,bao ta lấy số cho tích chúng không âm " Vận dụng vào toán chứng minh bất đẳng thức: Giả sử cần chứng minh bđt f(a,b,c, ) ≥ Bước 1: Thử để tìm a=b=c= =k bất đẳng thức xảy dấu Bước 2: Áp dụng mệnh đề : Trong số a-k,b-k,c-k, có cặp có tích không âm Giả sử (a-k)(b-k) ≥ Bước 3: Khai thác (a-k)(b-k) ≥ để chứng minh bất đẳng thức cần chứng minh Ví dụ 1: Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh : a + b + c + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca ) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dáu a=b=c=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (a-1),(b-1),(c-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ 2c(a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ 2abc ≥ 2bc + 2ac − 2c Do ta cần chứng minh a + b + c − 2c + ≥ 2ab ⇔ (a − b) + (c − 1) ≥ Bất đẳng thức Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 2:Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh : a + b + c + 2abc + ≥ (a + 1)(b + 1)(c + 1) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dấu a=b=c=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (a-1),(b-1),(c-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( a − 1) ( b − 1) ≥ ⇔ 2c(a − 1)(b − 1) ≥ ⇔ 2abc ≥ 2bc + 2ac − 2c suy a + b + c + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca ) (Ví dụ 1) BĐT cho tương đương với 2(a + b + c ) + 2abc + ≥ 2(ab + bc + ca) + 2(a + b + c) Do ta cần chứng minh a + b + c + ≥ 2(a + b + c) ⇔ (a − 1) + (b − 1) + (c − 1) ≥ Bất đẳng thức Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 3: Cho số thực dương a,b,c.Chứng minh : 1 1 (a + − 1)(b + − 1) + (b + − 1)(c + − 1) + (c + − 1) ≥ b c c a a Bài giải: Bất đẳng thức xảy dáu a=b=c=1 1 , y = b + , z = c + BĐT cho viết laị thành b c a ( x − 1) ( y − 1) + ( y − 1)( z − 1) + ( z − 1)( x − 1) ≥ ⇔ 2( x + y + z ) ≤ xy + yz + zx Đặt x = a + Theo nguyên lý Dirichlet số (x-2),(y-2),(z-2) có cặp tích không âm Gỉa sử ( x − ) ( y − ) ≥ ⇔ xy + ≥ 2x + y ⇔ 2( x + y + z ) ≤ 2z + xy + (1) Mặt khác ta lại có xyz = abc + + x + y + z ≥ + x + y + z ≥ + xy + z abc Suy z ( xy − 1) ≥ 2( xy + 1) ⇒ z ( xy − 1) ≥ ⇒ 2z + ≤ 2z xy ≤ yz + zx (2) Từ (1) (2) ta suy ⇔ 2( x + y + z ) ≤ xy + yz + zx Vậy ta có điều phải chứng minh.Đẳng thức xảy x=y=z=2 hay a=b=c=1 Ví dụ 4:Cho số thực dương x,y,z thoả mãn xyz=1 Chứng minh : x + y + z + x + y + z ≥ 2( xy + yz + zx) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dấu x=y=z=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (x-1),(y-1),(z-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( x − 1) ( y − 1) ≥ ⇒ xy − x − y + ≥ ⇒ xyz ≥ xy + yz − z (*) Mặt khác ta có x + y + z ≥ 3 xyz = (theo BĐT Cauchy ) Do BĐT cho chứng minh ta chứng minh được: x + y + z + ≥ 2( xy + yz + zx) Ta có x + y + z + = x + y + z + 2xyz + ≥ x + y + z + 2( xy + yz − z ) + (*) ⇔ x + y + z + ≥ ( x + y ) + ( z + 1) + 2( xz+yz)-2z ⇔ x + y + z + ≥ xy + 2z + 2( xz + yz ) − 2z=2(xy+yz+zx) (đpcm) Ví dụ 5:Cho số thực dương x,y,z Chứng minh : ( x + 2)( y + 2)( z + 2) ≥ 9( xy + yz + zx) Bài giải: Bất đẳng thức xảy dấu x=y=z=1 Theo nguyên lý Dirichlet số (xy-1),(yz-1),(zx-1) có cặp tích không âm Gỉa sử ( x − 1) ( xy − 1) ( yz − 1) ≥ ⇒ xy z + ≥ xy + yz (*) Kết hợp BĐT cauchy ta có x y z + y + ≥ 2( xy z + 1) ≥ 2( xy + yz ) BĐT cho viết lại : x y z + 2( x y + y z + z x ) + 4( x + y + z ) + ≥ 9( xy + yz + zx) Ta có x y z + y + ≥ 2( xy + yz ) (1) 3( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) (2) Lại áp dụng BĐT Cauchy có x y + ≥ xy làm tương tự y z + z x + Ta suy 2( x y + y z + z x ) + ≥ 4( xy + yz + zx) (3) Ta có : x + z ≥ 2xz (4) Cộng vế với vế BĐT (1),(2),(3),(4) ta có đpcm Ví dụ 6: Cho số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh : a b c + + ≤ a + b + c + 10 1 Theo nguyên lý Dirichlet số a − , b − , c − có cặp tích không âm 3 1 Gỉa sử a − ÷ b − ÷ ≥ 3 Bài giải: Bất đẳng thức xảy dáu a = b = c = 1 1 1 + (a + b − ) − 2(a − )(b − ) ≤ + (a + b − ) 3 1 hay a + b ≤ + (a + b − )2 = + ( − c) 9 ⇒ BĐT cho tương đương với c a b ≤ ( − )+( − )− c +1 a +1 b + 10 2 (a − 1) (b − 1) 2c ⇔ + ≥ + a +1 b +1 c +1 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có: (a − 1) (b − 1) (a + b − c) (c + 1) 9(c + 1) + ≥ ≥ = a2 + b + a + b + + ( − c) + 9c − 23c + 12 Do ta cần chứng minh 9(c + 1) c + 10c + ≥ 9c − 23c + 12 5(c + 1) Bằng cách quy đồng phân tích nhân tử ,ta có BĐT cho tương đương với (3c − 1) (2c + 2c + 1) ≥ BĐT hiển nhiên ta có đpcm Ví dụ 7: Cho số thực dương a,b,c Chứng minh : (2a + b + c) (2b + c + a ) (2c + a + b) + + ≤8 2a + (b + c ) 2b + (c + a) 2c + ( a + b) Bài giải: Do BĐT cho nhất,không tính tổng quát giả sử a+b+c =1 Bất đẳng thức xảy dáu a = b = c = 3 Theo nguyên lý Dirichlet số a − , b − , c − có cặp tích không âm 1 Gỉa sử a − ÷ b − ÷ ≥ 3 1 1 1 ⇒ + (a + b − ) − 2(a − )(b − ) ≤ + (a + b − ) 3 1 hay a + b ≤ + (a + b − )2 = + ( − c) 9 BĐT cho tương đương với (a + 1) (b + 1) (c + 1) + + ≤8 3a − 2a + 3b2 − 2b + 3c − 2c + (a + 1) (b + 1) (c + 1) ⇔ (3 − ) + (3 − ) + (2 − )≥0 3a − 2a + 3b − 2b + 3c − 2c + Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có: 2(2a − 1) 2(2b − 1) 8( a + b − 1) (c + 1) + ≥ ≥ ≥ 3a − 2a + 3b − 3b + 3(a + b ) − 2(a + b) + + ( − c) + 2 8c 24c ≥ = 2 + ( − c) − 2(1 − c) + 9c − 6c + 3 Do ta cần chứng minh 24c 5c − 6c + + ≥0 9c − 6c + 3c − 2c + Bằng cách quy đồng phân tích nhân tử ,ta có BĐT cho tương đương với (3c − 1) (13c − 62c + 5) ≥ BĐT hiển nhiên ta có đpcm Bài tập: 1)Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c + abc = Chứng minh ab + bc + ca ≤ abc + 2)Cho số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng: 1 1 + + ≤ 5a − 4a + 11 5b − 4b + 11 5c − 4c + 11 3)Cho số thực a,b,c.Chứng minh a + b + c + a 2b 2c + ≥ 2(ab + bc + ca )