Các dạng phương trình bậc ba giải bằng công thức Các Đa Nô tương đối phức tạp và khó nhớ tiểu luận này trình bài cách giải các dạng phương trình bậc ba bằng phương pháp nội suy dễ nhớ hơn và có nhiều ứng dụng trong toán học, nâng cao tư duy toán học cho học sinh khá ,giỏi.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUYÊN KHOA SAU ĐẠI HỌC ——————–o0o——————– BÀI GIỮA KÌ MÔN LÝ THUYẾT NỘI SUY Giáo viên giảng dạy: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Học viên: Cù Thị Ngọc Mai Lớp: K7Y HƯNG YÊN 06 - 2015 Mở đầu Trong chương trình toán học phổ thông đa số học sinh biết cách giải biện luận phương trình bậc thấp phương trình bậc hai phương trình bậc Khi gặp phương trình bậc ba phương trình dạng đặc biệt hay nhẩm nghiệm em lúng túng Đây lí em chọn viết tiểu luận "Giải phương trình bậc ba phương pháp nội suy" dựa kiến thức thầy Nguyễn Văn Mậu giảng dạy Em muốn có nhiều thầy cô biết phương pháp để dạy cho em học sinh giải tất phương trình bậc ba mà không cần dùng số phức Chương Nội dung 1.1 Lý thuyết Ta có bất đẳng thức sau: cos 3α = cos3 α − cos α Nếu x ∈ (−1, 1) ta đặt x = cos α (1) a Nếu x < −1 x > ta đặt x = (a + ) 1 (a + ) a = (a + ) a 4x3 − 3x = Như 1 − (a + ) a 1 (a + ) = (a + ) a a 1 − (a + ) a (2) 1 (a − ) = (a − ) a a 1 + (a − ) a (3) Bài toán 1.1.1 Giải phương trình 4x3 − 3x = m,|m| < Lời giải α m = cos α = cos(3 ) Khi phương trình có nghiệm là: α α ± 2π x1 = cos , x2,3 = cos( ) 3 Bài toán 1.1.2 Giải phương trình 4x3 − 3x = m,|m| > Lời giải 1 m = (a3 + ) suy a = a 1 Khi x1 = (a + = a √ m2 − √ m + m2 − + m± 3 m− √ m2 − nghiệm phương trình cho Ta chứng minh nghiệm nhất.Thật vậy, x1 > 4x31 − 3x1 = m Khi phương trình: 4(x3 − x31 ) − 3(x − x1 ) = ⇔ (x − x1 )(4x2 + 4x1 x + 4x21 − 3) = Phương trình 4x2 + 4x1 x + 4x21 − = có ∆ = 4x21 − 4(4x21 − 3) = 12(1 − x21 ) < Vậy x = x1 nghiệm phương trình cho Bài toán 1.1.3 Giải phương trình 4x3 − 3x = Lời giải 4x3 − 3x = ⇔ (x − 1)(2x + 1)2 = Do phương trình cho có nghiệm đơn x = nghiệm kép x=− Bài toán 1.1.4 Giải phương trình 4x3 − 3x = −1 Lời giải 4x3 − 3x = −1 ⇔ (x + 1)(2x − 1)2 = Do phương trình cho có nghiệm đơn x = −1 nghiệm kép x= Bài toán 1.1.5 Giải phương trình 4x3 − 3x = m, m ∈ R Lời giải Phương trình có nghiệm với m • Phương trình bậc ba có nghiệm • Vế trái hàm đồng biến, vế phải hàm √ ) suy a = m ± m2 + a3 √ √ 1 3 Khi x1 = (a − = m + m2 + + m − m2 + nghiệm a 2 Đặt m = (a3 − phương trình cho Bài toán 1.1.6 Giải biện luận phương trình: at3 + bt2 + ct + d = 0, a = 0, a, b, c, d ∈ R Lời giải Đặt t = − b + y ta phương trình y + py + q = 3a • Nếu p = y = √ −q suy t = − • Nếu p > Đặt y = • Nếu p < Đặt y = √ b + −q 3a p x ta 4x3 + 3x = m (Bài toán (1.1.5)) −p x ta 4x3 − 3x = m (Bài toán (1.1.1), (1.1.2), (1.1.3) (1.1.4)) Kết luận: Theo cách phương trình bậc ba không giải 1.2 Một vài ví dụ áp dụng Bài toán 1.2.1 Giải phương trình x3 − 12x + 16 = Lời giải Đặt x = 4y ta phương trình 64y − 48y + 16 = ⇔4y − 3y = −1 (∗) Theo (1.1.4) phương trình (*)có hai nghiệm y1 = −1, y2 = x1 = −4, x2 = Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = −4, x2 = Bài toán 1.2.2 Giải phương trình 2x3 − 3x2 + 6x + = Lời giải Đặt x = y + ta phương trình 1 2(y + )3 − 3(y + )2 + 6(y + ) + = 2 3 1 ⇔2(y + y + y + ) − 3(y + y + ) + 6y + + = 3 ⇔2y + 3y + y + − 3y − 3y − + 6y + = 4 13 =0 ⇔2y + y + 2 13 ⇔y + y + =0 4 Đặt y = √ 3t ta phương trình Suy √ 9√ 13 3t3 + 3t + =0 4 13 ⇔t3 + t + √ = 12 13 ⇔4t3 + 3t = − √ 3 (∗) Theo (1.1.5) phương trình (*) có nghiệm t= 13 − √ + 3 √ + 3 √ 1 √ − = = −√ = 3 169 +1+ 27 13 − √ − 3 169 +1 27 27 − √ 3 Suy y = −1.Do x = − Vậy phương trình có nghiệm x = − Bài toán 1.2.3 Giải phương trình 2x3 + 3x2 − x − = Lời giải Đặt x = y − ta phương trình 1 2(y − )3 + 3(y − )2 − (y − ) − = 2 3 1 ⇔2(y − y + y − ) + 3(y − y + ) − y + − = 3 ⇔2y − 3y + y − + 3y − 3y + − y − = 4 ⇔2y − y = ⇔y(2y − ) = √ √ 5 Do phương trình ẩn y có ba nghiệm y1 = 0, y2 = , y3 = − 2 √ √ 5−1 5+1 Suy x1 = − , x2 = , x3 = − 2 √ √ 5−1 5+1 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x1 = − , x2 = , x3 = − 2 Bài toán 1.2.4 Giải phương trình x3 − 6x2 + 9x − 10 = Lời giải Đặt x = y + ta phương trình (y + 2)3 − 6(y + 2)2 + 9(y + 2) − 10 = ⇔y + 6y + 12y + − 6(y + 4y + 4) + 9y + 18 − 10 = ⇔y + 6y + 12y + − 6y − 24y − 24 + 9y + = ⇔y − 3y = Đặt y = 2t ta phương trình 8t3 − 6t = ⇔4t3 − 3t = (∗) Theo (1.1.2) phương trình (*) có nghiệm = t= Suy y = 3 4+ 4+ Suy x = + 3 42 − + 4+ √ 15 + √ 15 + 4+ 3 4− 4− √ 15 + 4− 42 − √ 15 √ 15 4− √ 15 Bài toán 1.2.5 Giải phương trình x3 − 3x − = Lời giải Đặt x = 2t ta phương trình 8t3 − 6t − = ⇔ 4t3 − 3t = π π = cos = cos(3 ) 3 (∗) Theo (1.1.1) ta có phương trình (*) có ba nghiệm π 5π 7π t1 = cos ; t2 = cos ; t3 = cos 9 π 5π 7π Suy x1 = cos ; x2 = cos ; x3 = cos 9 π Vậy phương trình cho có ba nghiệm x1 = cos ; x2 = cos 5π 7π ; x3 = cos 9 Bài toán 1.2.6 Giải phương trình x3 + 12x2 + 40x + 16 = Lời giải Đặt x = y − ta phương trình (y − 4)3 + 12(y − 4)2 + 40(y − 4) + 16 = ⇔y − 12y + 48y − 64 + 12(y − 8y + 16) + 40y − 160 + 16 = ⇔y − 12y + 48y − 64 + 12y − 96y + 192 + 40y − 144 = ⇔y − 8y = 16 √ t ta phương trình Đặt y = √ √ 384 32 t − t = 16 27 √3 ⇔4t3 − 3t = (∗) Theo (1.1.2) phương trình (*) có nghiệm √ √ √ √ 3 6 6 + ( ) −1+ − ( ) −1 4 4 √ √ √ √ 3 3 + 15 + 3 − 15 = √ 2 √ √ √ √ Suy y = √ 3 + 15 + 3 − 15 √ √ √ √ 3 + 15 + 3 − 15 − Suy x = √ t= Vậy phương trình cho có nghiệm x= √ 3 √ √ 3 + 15 + √ √ 3 − 15 − Bài toán 1.2.7 Giải phương trình 2x3 − 5x2 − 4x + = Lời giải Đặt x = y + ta phương trình 5 2(y + )3 − 5(y + )2 − 4(y + ) + = 6 75 125 25 125 10 ⇔2y + 5y + y + − 5y − y − − 4y − +3=0 18 108 36 49 143 ⇔2y − y − =0 54 49 143 ⇔y − y − =0 12 108 Đặt y = t ta phương trình 343 343 143 t − t= 27 36 108 143 ⇔4t3 − 3t = 343 143 α 13 = cos α Suy cos = 343 14 α + 2π 11 cos =− 14 α − 2π cos =− 10 (∗) Theo (1.1.1) phương trình (*) có ba nghiệm α 13 = 14 α + 2π 11 t2 = cos =− 14 α − 2π t3 = cos =− 13 Suy y1 = 11 y2 = − y3 = − t1 = cos Do x1 = x2 = −1 x3 = − Vậy phương trình cho có ba nghiệm x1 = 3; x2 = −1; x3 = − 11 Kết luận Tiểu luận “Giải phương trình bậc ba phương pháp nội suy” giải vấn đề sau: Tiểu luận trình bày phương pháp giải phương trình bậc ba Tiểu luận trình bày ứng dụng phương pháp vài toán đại số Kết Tiểu luận góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trường phổ thông giai đoạn 12 Tài liệu tham khảo Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục Nguyễn Văn Mậu, 1994, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục 13 [...]... 10 (∗) Theo bài (1.1.1) thì phương trình (*) có ba nghiệm α 13 = 3 14 α + 2π 11 t2 = cos =− 3 14 α − 2π 1 t3 = cos =− 3 7 13 Suy ra y1 = 6 11 y2 = − 6 1 y3 = − 3 t1 = cos Do vậy x1 = 3 x2 = −1 x3 = − 1 2 Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 1 x1 = 3; x2 = −1; x3 = − 2 11 Kết luận Tiểu luận “Giải phương trình bậc ba bằng phương pháp nội suy đã giải quyết được những vấn đề sau: 1 Tiểu luận đã trình... vấn đề sau: 1 Tiểu luận đã trình bày phương pháp giải phương trình bậc ba 2 Tiểu luận trình bày ứng dụng của phương pháp trong một vài bài toán đại số Kết quả của Tiểu luận góp phần nâng cao chất lượng dạy và học Toán ở trường phổ thông trong giai đoạn hiện nay 12 Tài liệu tham khảo 1 Nguyễn Văn Mậu, 2007, Các bài toán nội suy và áp dụng, NXB Giáo Dục 2 Nguyễn Văn Mậu, 1994, Phương pháp giải phương... − 15 − 4 Bài toán 1.2.7 Giải phương trình 2x3 − 5x2 − 4x + 3 = 0 Lời giải Đặt x = y + 5 ta được phương trình 6 5 5 5 2(y + )3 − 5(y + )2 − 4(y + ) + 3 = 0 6 6 6 75 125 25 125 10 ⇔2y 3 + 5y 2 + y + − 5y 2 − y − − 4y − +3=0 18 108 3 36 3 49 143 ⇔2y 3 − y − =0 6 54 49 143 ⇔y 3 − y − =0 12 108 7 3 Đặt y = t ta được phương trình 343 3 343 143 t − t= 27 36 108 143 ⇔4t3 − 3t = 343 143 α 13 = cos α Suy ra cos