Bài tập giữa kỳ môn Xác suất thống kê.

Trong chương trình cao học toán ứng dụng môn xác suất thống kê có nhiều dạng bài tập hay và khó , tài liệu này cung cấp cho các bạn bài giải chi tiết các bài tập điển hình của môn lý thuyết xác suất thống kê trong chương trình cao học toán ứng dụng.

BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ

Môn: Xác suất thống kê

Giảng viên : TS Nguyễn Thị Thu Thủy Học viên: Lê Thị Mai

Lớp: K7Y

HƯNG YÊN, 12/2014

Câu 1

Câu 1.1 Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá Xác suất để câu

được cá ở những chỗ tương ứng là 0,7 ; 0,6 ; 0,8 Đến một chỗ người đó

thả câu 3 lần Tính xác suất để người đó câu được 2 con cá

Lời giải:

Gọi A là biến cố " người đó câu được 2 con cá"

A 1 là biến cố "câu được 2 con cá ở chỗ I "

A2 là biến cố "câu được 2 con cá ở chỗ II"

A3 là biến cố "câu được 2 con cá ở chỗ III"

A 4 là biến cố "câu được 2 con cá:1 con ở chỗ I và 1 con ở chỗ II"

A5 là biến cố "câu được 2 con cá:1 con ở chỗ I và 1 con ở chỗ III"

A6 là biến cố "câu được 2 con cá:1 con ở chỗ II và 1 con ở chỗ III"

Khi đó A1, A2, A3, A4, A5, A6 là hệ đầy đủ

p(A) = p(A1).p(A/A1) + p(A2).p(A/A2) + p(A3).p(A/A3) + p(A4).p(A/A4) +

p(A5).p(A/A5) + p(A6).p(A/A6)

= 1

6.p(A/A1) +

1

6.p(A/A2) +

1

6.p(A/A3) +

1

6.p(A/A4) +

1

6.p(A/A5) +

1

6.p(A/A6)

Ta có:

p(A/A1) = P3(2) = C32.(0, 7)2.(0, 3) = 0, 441

p(A/A2) = P3(2) = C32.(0, 6)2.(0, 4) = 0, 432

p(A/A3) = P3(2) = C32.(0, 8)2.(0, 2) = 0, 384

p(A/A 4 ) = P 3 (1).P 3 (1) = C31.(0, 7).(0, 3)2.C31.(0, 6).(0, 4)2 = 0, 054432

p(A/A5) = P3(1).P3(1) = C31.(0, 7).(0, 3)2.C31.(0, 8).(0, 2)2 = 0, 018144

p(A/A6) = P3(1).P3(1) = C31.(0, 6).(0, 4)2.C31.(0, 8).(0, 2)2) = 0, 027648

Khi đó p(A) = 1

6.0, 441 +

1

6.0, 432 +

1

6.0, 384 +

1

6.0, 054432 +

1

6.0, 018144 + 1

6.0, 027648 = 0, 226204

Vậy xác suất để câu được 2 con cá là 0,226204

Câu 1.2 Có hai chuồng thỏ: Chuồng I có 7 con thỏ trắng, 3 thỏ đen; chuồng

II có 8 con thỏ trắng, 2 con thỏ đen Bắt ngẫu nhiên 2 con thỏ từ chuồng

I sang chuồng II, sau đó từ chuồng II bắt ngẫu nhiên ra 2 con thỏ được 2

con thỏ trắng Tính xác suất để 2 con thỏ trắng bắt ra sau cùng ở chuồng

II

Lời giải:

Gọi B là biến cố: "2 con bắt ra sau cùng là thỏ trắng"

B i là biến cố: "2 con bắt ra từ chuồng I chuyển sang chuồng II là i con thỏ

trắng"(i = 0, 2)

A là biến cố: "2 con bắt ra sau cùng thuộc chuồng II"

Khi đó B 0 , B 1 , B 2 là hệ đầy đủ

p(B) = p(B0).p(B/B0) + p(B1).p(B/B1) + p(B2).p(B/B2)

= C

2

3

C102 .

C82

C122 +

C71.C31

C102 .

C92

C122 +

C72

C102 .

C102

C122

= 14

495 +

14

55+

7 22

= 119

198

Ta có P (A/B) = p(A).p(B/A)

p(B) =

C102

C122 .

C82

C102 119 198

= 12 17

Vậy xác suất để 2 con thỏ trắng bắt ra sau cùng thuộc chuồng II là 12

17 Câu 1.3 Có hai lô sản phẩm: lô 1 có 8 chính phẩm, 2 phế phẩm; lô 2 có 7

chính phẩm, 3 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 1 lô, rồi từ đó lấy ngẫu nhiên 1

sản phẩm thì được chính phẩm, rồi trả sản phẩm này lại lô vừa lấy Sau đó

lại lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm (từ lô đã chọn) Tính xác suất để sản phẩm

lấy ra sau cùng là phế phẩm

Lời giải:

Gọi A là biến cố: "Sản phẩm lấy ra sau cùng là phế phẩm"

A i là biến cố: "Sản phẩm lấy ra thuộc lô thứ i "(i = 1, 2)

Khi đó A1, A2 lập thành hệ đầy đủ

p(A) = p(A 1 ).p(A/A 1 ) + p(A 2 ).p(A/A 2 )

= 1

2.

C21.C21

C101 .C101 +

1

2.

C31.C31

C101 .C101

= 1

2.

1

5.

1

5 +

1

2.

3

10.

3 10

= 0, 065

Vậy xác suất để sản phẩm lấy ra sau cùng là phế phẩm là 0,065

Câu 1.4 Trong học kì I, học viên phải thi 4 học phần Xác suất để học viên

thi đạt một học phần trong mỗi lần thi đều là 0,8, nếu thi không đạt học

phần nào phải thi lại học phần đó Tính xác suất để 1 học viên thi đạt cả

4 học phần trong đó không có học phần nào thi quá 2 lần

Lời giải:

Gọi A là biến cố: "Thi đạt cả 4 môn"

Ai là biến cố: " Thi đạt i môn ở lần 1 "(i = 0, 4)

Khi đó A0, A1, A2, A3, A4 lập thành hệ đầy đủ

p(A) = p(A1).p(A/A1) + p(A2).p(A/A2) + p(A3).p(A/A3) + p(A4).p(A/A4)

= 1

625.

256

625 +

16

625.

64

125 +

96

625.

16

25 +

256

625.

4

5+

256 625

= 0, 849347

Câu 2

Câu 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là:

f (x) =







0 , x / ∈h−π

2 ,

π 2

i

acos2x , x ∈

h−π

2 ,

π 2

i 1) Tìm hằng số a

2) Tìm hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Y = 2X + 5

Lời giải:

1) Vì f (x) là hàm mật độ của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nên ta có

các tính chất sau:

*)f (x) ≥ 0

Với f (x) ≥ 0 ⇔ acos2x ≥ 0 ⇔ a ≥ 0

*)R−∞+∞f (x)dx = 1

Z +∞

−∞

f (x)dx = 1 ⇔

Z − π 2

−∞

f (x)dx +

Z

π 2

− π 2

f (x)dx +

Z +∞

π 2

f (x)dx = 1

⇔

Z

π 2

− π 2 (a cos2xdx) = 1

⇔

Z

π 2

− π 2

(1 + cos 2x).a

2dx = 1

⇔ a

2.π = 1

⇔ a = 2

π

Vậy a = 2

π

b)Ta có

FY(x) = P (Y < x) = P (2X + 5 < x)

= P (X < x − 5

2

= P (−∞ < X < x − 5

2 )

= FX(x − 5

2 ) − FX(−∞)

= FX(x − 5

2 )

Ta có FX(x) =



















0 , x ∈ (−∞; −π

2)

1 , x ∈ (π

2; +∞) 1

2 +

1

π.(x +

sin 2x

2 ) , x ∈ (−

π

2; π

2)

Nếu x − 5

2 < −

π

2 ⇒ x < −π + 5 thì FY(x) = 0

Nếu x − 5

2 >

π

2 ⇒ x > π + 5 thì FY(x) = 1

Nếu−π

2 <

x − 5

2 <

π

2 ⇒ −π+5 < x < π+5thìFY(x) = 1

2+

1

π.



x − 5

2 +

sin(x − 5) 2



Vậy FY(x) =



















0 , x ∈ (−∞; −π + 5)

1 , x ∈ (π + 5; +∞) 1

2+

1

π.



x − 5

2 +

sin(x − 5) 2



, x ∈ (−π + 5; π + 5)

Câu 2.2 Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác

suất là

F (x) = a + barctgx (−∞ < x < +∞)

1) Tìm a và b?

2) Tìm giá trị của m sao cho P (X > m) = 1

4 Lời giải:

1) Vì F (x) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nên ta

có:

F (+∞) = 1 ⇔ F (+∞) = a + b.arctg(+∞) ⇔ a + b.π

2 = 1 (1)

F (−∞) = 0 ⇔ a − b.π

Từ (1) và (2) ta có:







a + b.π

2 = 1

a − b.(π

2) = 0

⇔







a = 1 2

b = 1 π

2) Ta có

P (X > m) = P (m < X < +∞) ⇔ FX(+∞) − FX(m) = 1

4

⇔ 1 − [a + b.arctgm] = 1

4

⇔ 1 −1

2 − 1

πarctgm =

1 4

⇔ 1

π.arctgm =

1 4

⇔ arctgm = π

4

⇔ m = 1

Vậy m = 1

Câu 2.3 Có hai chuồng thỏ: chuồng I có 8 con thỏ trắng, 2 con thỏ đen;

chuồng II có 7 con thỏ trắng, 3 con thỏ đen Bắt ngẫu nhiên 3 con thỏ từ

chuồng I sang chuồng II, sau đó từ chuồng II bắt ngẫu nhiên ra 2 con thỏ

Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng của số thỏ trắng được bắt ra từ

chuồng II

Lời giải:

Gọi B là biến cố:" số thỏ trắng được bắt ra từ chuồng II"

A i là biến cố:" ba con thỏ bắt ra từ chuồng I sang chuồng II có i con thỏ

trắng"(i = 1, 3)

Khi đó ta có

p(A 1 = 1) = C

1

8 C22

C103 =

1 15 p(A2= 2) = C

2

8 C21

C103 =

7 15 p(A3= 3) = C

3

8 C20

C103 =

7 15

Ai 1 2 3 p(Ai) 1

15

7 15

7 15

Gọi Bj là biến cố:" hai con thỏ bắt ra từ chuồng II có j con thỏ trắng"(i =

0, 2)

Với j = 0 ta có:

p(B0/A1) = C

0

8 C42

C122 =

1 11 p(B 0 /A 2 ) = C

0

9 C32

C122 =

1 22 p(B 0 /A 3 ) = C

0

10 C22

C122 =

1 66

Khi đó A1, A2, A3 lập thành hệ đầy đủ

p(B0) = p(A1).p(B0/A1) + p(A2).p(B0/A2) + p(A3).p(B0/A3)

= 1

15.

1

11 +

7

15.

1

22 +

7

15.

1 66

= 17 495

Tương tự ta có:

p(B1/A1) = C

1

8 C41

C122 =

16 33 p(B1/A2) = C

1

9 C31

C122 =

9 22 p(B 1 /A 3 ) = C

1

10 C21

C122 =

10 33 p(B1) = p(A1).p(B1/A1) + p(A2).p(B1/A2) + p(A3).p(B1/A3)

= 1

15.

16

33 +

7

15.

9

22+

7

15.

10 33

= 361

990

p(B2) = 1 − p(B0) − p(B1) = 119

198 Ta có bảng phân phối của số thỏ trắng bắt

ra từ chuồng II là:

Bi 0 1 2 p(Bi) 17

495

361 990

119 198

*) Kỳ vọng của số thỏ trắng bắt ra từ chuồng II

E(B) =P2

i=0 Bi.p(Bi) = 47

30.

Câu 3

Câu 3.1 Sản phẩm của một xí nghiệp đúc cho phép số khuyết tật trung

bình của một sản phẩm là 3 Sau khi đổi mới thiết bị, kiểm tra ngẫu nhiên

36 sản phẩm kết quả thu được:

1)Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng số khuyết tật trung bình của mỗi sản

phẩm sau khi đổi mới thiết bị

2) Nếu đòi hỏi sản phẩm loại A là không quá 2 khuyết tật và việc sản

xuất phải đạt 40% là loại A thì sau khi đổi mới thiết bị yêu cầu đó có đạt

không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 5%

Lời giải:

Bài toán ước lượng của khoảng kỳ vọng, trường hợp chưa biết phương sai,

n = 36 > 30 Bảng tính toán

ni xi nixi nix2i

P

ni= 30 P

nixi =98 P

nix2i =388

Ta có:

x = 1

n.

P

nixi= 98

36 = 2, 7222

s2 = 1

n.

P

nix2i − (x 2 ) = 3, 3674

ˆ

s2 = n

n − 1s

2 = 3, 4636 ⇔ ˆ s = 1, 861

1)Ước lượng số khuyết tật trung bình của mỗi sản phẩm sau khi đổi mới

thiết bị

x − t α

ˆ S

√

n < a < x + tα.

ˆ S

√ n

2, 1143 < a < 3, 3301

2) Đây là bài toán kiểm định giả thiết của tỷ lệ, chưa biết xác suất p của

tổng thể với n = 36 > 30

Giả thiết :

H : p = 0, 4

H : p 6= 0, 4

Khi đó ta có:

U = p f − 0, 4

(0, 4).(1 − 0, 4).

√

36 trong đó f = 15

36 = 0, 4167

Miền bác bỏ: Wα= {U : |U | > 1, 96}

u qs = p0, 4167 − 0, 4

(0, 4).(1 − 0, 4).

√ 36

⇔ uqs = 0, 2045 / ∈ Wα

⇒ Chấp nhận H

Vậy sau khi đổi mới thì thiết bị đó đạt yêu cầu

Câu 3.2 Định mức thời gian hoàn thành một sản phẩm là 14 phút

1)Có cần thay đổi định mức không, nếu theo dõi thời gian hoàn thành

một sản phẩm ở 25 công nhân ta thu được bảng số liệu sau:

Thời gian để SX 1 sản phẩm(phút) 10-12 12-14 14-16 16-18 18-20

Hãy kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 05, biết rằng thời gian hoàn thành một

sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

2) Hãy ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng

khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 98%

Lời giải:

1) Đây là bài toán kiểm định giả thiết của kỳ vọng trong trường hợp chưa

biết phương sai với n = 25 < 30

Bảng tính toán

ni xi nixi nix2i

P

ni = 25 Pnixi =371 P

nix2i =5665

Ta có:

x = 1

n.

P

nixi= 371

25 = 14, 84

s2 = 1

n.

P

nix2i − (x2) = 6, 3744

ˆ

s2 = n

n − 1s

2 = 6, 64 ⇔ ˆ s = 2, 5768

Giả thiết :

H : a = 14

H : p 6= 14

Khi đó ta có:

U = x − 14

ˆ

s .

√

25 Miền bác bỏ: Wα=nU : |U | > t(n−1)α o

⇔ W α = {U : |U | > 2, 064}

uqs = 14, 84 − 14p

(6, 64) .

√ 25

⇔ u qs = 1, 6299 / ∈ W α

⇒ Chấp nhận H

Vậy không cần thay đổi định mức thời gian hoàn thành một công việc

2)Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng khoảng

tin cậy đối xứng:

x − t(n−1)α

ˆ S

√

n < a < x + t

(n−1)

α

ˆ S

√ n

Câu 4

Câu 4.1 Cho bảng tương quan thực nghiệm hai chiều:

1) Tính hệ số tương quan mẫu, cho nhận xét

2) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của Y theo X

Lời giải:

1) Tính hệ số tương quan mẫu:

Ta có:

x = 1

n

P

nixi= 7240

50 = 144, 8

y = 1

n

P

mjyj = 1855

50 = 37, 1

xy = 1

n

P P

nijxiyj = 270900

50 = 661

s2(x) = 1

n

P

nix2i − (x) 2 = 1058000

50 − (144, 8) 2 = 192, 96

s2(y) = 1

n

P

m j yj2− (y)2 = 69925

50 − (37, 1)2 = 22, 09

Hệ số tương quan mẫu:

r = xy − x.y s(x).s(y) =

5418 − 144, 8.37, 1

√

192, 96.22, 09 = 0, 70335

Nhận xét:X, Y có liên quan thuận và liên quan chặt chẽ.

2) Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của Y theo X:

y − y = rs(y)s(x)(x − x)

⇒ y = 37, 1 + 0, 238 (x − 144, 8)

⇒ y = 0, 238x + 2, 6376.

Câu 4.2 Cho bảng tương quan thực nghiệm hai chiều:

1) Tính hệ số tương quan mẫu, cho nhận xét

2) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của X theo Y

Lời giải:

1) Tính hệ số tương quan mẫu:

Ta có:

x = 1

n

P

nixi= 4650

30 = 155

y = 1

n

P

mjyj = 3390

30 = 113

xy = 1

n

P P

nijxiyj = 512000

30 = 17066, 667

s2(x) = 1

n

P

nix2i − (x)2= 847500

30 − (155)2 = 4225

s2(y) = 1

n

P

mjyj2− (y) 2 = 386300

30 − (113) 2 = 107, 667

Hệ số tương quan mẫu:

r = xy − x.y s(x).s(y) =

17066, 667 − 155.113

√ 4225.107, 667 = −0, 6647

Nhận xét:X, Y có liên quan nghịch và liên quan tuyến tính

2) Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm của X theo Y:

x − x = rs(x)s(y)(y − y)

⇒ x = 155 − 4, 1639 (y − 113)

⇒ x = −4, 1639y + 625, 5207.