Trong chương trình cao học toán ứng dụng môn xác suất thống kê có nhiều dạng bài tập hay và khó , tài liệu này cung cấp cho các bạn bài giải chi tiết các bài tập điển hình của môn lý thuyết xác suất thống kê trong chương trình cao học toán ứng dụng.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUYÊN ——————–o0o——————– BÀI KIỂM TRA GIỮA KÌ Môn: Xác suất thống kê Giảng viên : TS Nguyễn Thị Thu Thủy Học viên: Lê Thị Mai Lớp: K7Y HƯNG YÊN, 12/2014 Câu Câu 1.1 Một người có chỗ ưa thích để câu cá Xác suất để câu cá chỗ tương ứng 0,7 ; 0,6 ; 0,8 Đến chỗ người thả câu lần Tính xác suất để người câu cá Lời giải: Gọi A biến cố " người câu cá" A1 biến cố "câu cá chỗ I " A2 biến cố "câu cá chỗ II" A3 biến cố "câu cá chỗ III" A4 biến cố "câu cá:1 chỗ I chỗ II" A5 biến cố "câu cá:1 chỗ I chỗ III" A6 biến cố "câu cá:1 chỗ II chỗ III" Khi A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 hệ đầy đủ p(A) = p(A1 ).p(A/A1 ) + p(A2 ).p(A/A2 ) + p(A3 ).p(A/A3 ) + p(A4 ).p(A/A4 ) + p(A5 ).p(A/A5 ) + p(A6 ).p(A/A6 ) 1 1 1 = p(A/A1 ) + p(A/A2 ) + p(A/A3 ) + p(A/A4 ) + p(A/A5 ) + p(A/A6 ) 6 6 6 Ta có: p(A/A1 ) = P3 (2) = C32 (0, 7)2 (0, 3) = 0, 441 p(A/A2 ) = P3 (2) = C32 (0, 6)2 (0, 4) = 0, 432 p(A/A3 ) = P3 (2) = C32 (0, 8)2 (0, 2) = 0, 384 p(A/A4 ) = P3 (1).P3 (1) = C31 (0, 7).(0, 3)2 C31 (0, 6).(0, 4)2 = 0, 054432 p(A/A5 ) = P3 (1).P3 (1) = C31 (0, 7).(0, 3)2 C31 (0, 8).(0, 2)2 = 0, 018144 p(A/A6 ) = P3 (1).P3 (1) = C31 (0, 6).(0, 4)2 C31 (0, 8).(0, 2)2 ) = 0, 027648 Khi p(A) = 1 1 0, 441 + 0, 432 + 0, 384 + 0, 054432 + 0, 018144 + 6 6 0, 027648 = 0, 226204 Vậy xác suất để câu cá 0,226204 Câu 1.2 Có hai chuồng thỏ: Chuồng I có thỏ trắng, thỏ đen; chuồng II có thỏ trắng, thỏ đen Bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng I sang chuồng II, sau từ chuồng II bắt ngẫu nhiên thỏ thỏ trắng Tính xác suất để thỏ trắng bắt sau chuồng II Lời giải: Gọi B biến cố: "2 bắt sau thỏ trắng" Bi biến cố: "2 bắt từ chuồng I chuyển sang chuồng II i thỏ trắng"(i = 0, 2) A biến cố: "2 bắt sau thuộc chuồng II" Khi B0 , B1 , B2 hệ đầy đủ p(B) = p(B0 ).p(B/B0 ) + p(B1 ).p(B/B1 ) + p(B2 ).p(B/B2 ) = C32 C82 C71 C31 C92 C72 C10 + + C2 2 C2 C10 C10 C12 C10 12 12 14 14 + + 495 55 22 119 = 198 = C2 C10 C2 C12 p(A).p(B/A) 12 10 Ta có P (A/B) = = = 119 p(B) 17 198 Vậy xác suất để thỏ trắng bắt sau thuộc chuồng II 12 17 Câu 1.3 Có hai lô sản phẩm: lô có phẩm, phế phẩm; lô có phẩm, phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lô, từ lấy ngẫu nhiên sản phẩm phẩm, trả sản phẩm lại lô vừa lấy Sau lại lấy ngẫu nhiên sản phẩm (từ lô chọn) Tính xác suất để sản phẩm lấy sau phế phẩm Lời giải: Gọi A biến cố: "Sản phẩm lấy sau phế phẩm" Ai biến cố: "Sản phẩm lấy thuộc lô thứ i "(i = 1, 2) Khi A1 , A2 lập thành hệ đầy đủ 3 p(A) = p(A1 ).p(A/A1 ) + p(A2 ).p(A/A2 ) C C 1 C C = 12 21 + 13 31 C10 C10 C10 C10 1 1 3 = + 5 10 10 = 0, 065 Vậy xác suất để sản phẩm lấy sau phế phẩm 0,065 Câu 1.4 Trong học kì I, học viên phải thi học phần Xác suất để học viên thi đạt học phần lần thi 0,8, thi không đạt học phần phải thi lại học phần Tính xác suất để học viên thi đạt học phần học phần thi lần Lời giải: Gọi A biến cố: "Thi đạt môn" Ai biến cố: " Thi đạt i môn lần "(i = 0, 4) Khi A0 , A1 , A2 , A3 , A4 lập thành hệ đầy đủ p(A) = p(A1 ).p(A/A1 ) + p(A2 ).p(A/A2 ) + p(A3 ).p(A/A3 ) + p(A4 ).p(A/A4 ) = 256 16 64 96 16 256 256 + + + + 625 625 625 125 625 25 625 625 = 0, 849347 Câu Câu 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất là: −π π 0 , x∈ / , f (x) = 2 acos2 x , x ∈ −π , π 2 1) Tìm số a 2) Tìm hàm phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên Y = 2X + Lời giải: 1) Vì f (x) hàm mật độ đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nên ta có tính chất sau: *)f (x) ≥ Với f (x) ≥ ⇔ acos2 x ≥ ⇔ a ≥ *) +∞ f (x)dx −∞ =1 − +∞ f (x)dx = ⇔ π −∞ −∞ π +∞ f (x)dx + π f (x)dx + π f (x)dx = − 2 π 2 ⇔ π (a cos xdx) = − π a ⇔ π (1 + cos 2x) dx = − a ⇔ π = 2 ⇔a= π Vậy a = π b)Ta có FY (x) = P (Y < x) = P (2X + < x) = P (X < x−5 = P (−∞ < X < x−5 ) x−5 ) − FX (−∞) x−5 = FX ( ) = FX ( Ta có FX (x) = 1 + sin 2x (x + ) π π , x ∈ (−∞; − ) π , x ∈ ( ; +∞) π π , x ∈ (− ; ) 2 π x−5 < − ⇒ x < −π + FY (x) = 2 x−5 π Nếu > ⇒ x > π + FY (x) = 2 π x−5 π 1 Nếu − < < ⇒ −π+5 < x < π+5 FY (x) = + 2 2 π Nếu Vậy FY (x) = x − sin(x − 5) + 2 , x ∈ (−∞; −π + 5) , x ∈ (π + 5; +∞) 1 x − sin(x − 5) + + , x ∈ (−π + 5; π + 5) π 2 Câu 2.2 Cho X đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất F (x) = a + barctgx (−∞ < x < +∞) 1) Tìm a b? 2) Tìm giá trị m cho P (X > m) = Lời giải: 1) Vì F (x) hàm phân phối đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nên ta có: F (+∞) = ⇔ F (+∞) = a + b.arctg(+∞) ⇔ a + b F (−∞) = ⇔ a − b π =0 Từ (1) (2) ta có: a + b π = a= a − b.( π ) = ⇔ b= π π =1 (1) (2) 2) Ta có P (X > m) = P (m < X < +∞) ⇔ FX (+∞) − FX (m) = 4 1 ⇔ − − arctgm = π 1 ⇔ arctgm = π π ⇔ arctgm = ⇔ − [a + b.arctgm] = ⇔m=1 Vậy m = Câu 2.3 Có hai chuồng thỏ: chuồng I có thỏ trắng, thỏ đen; chuồng II có thỏ trắng, thỏ đen Bắt ngẫu nhiên thỏ từ chuồng I sang chuồng II, sau từ chuồng II bắt ngẫu nhiên thỏ Lập bảng phân phối xác suất, tính kì vọng số thỏ trắng bắt từ chuồng II Lời giải: Gọi B biến cố:" số thỏ trắng bắt từ chuồng II" Ai biến cố:" ba thỏ bắt từ chuồng I sang chuồng II có i thỏ trắng"(i = 1, 3) Khi ta có C81 C22 = 15 C10 C C p(A2 = 2) = = 15 C10 C C p(A3 = 3) = = 15 C10 p(A1 = 1) = Ai p(Ai ) 15 15 15 Gọi Bj biến cố:" hai thỏ bắt từ chuồng II có j thỏ trắng"(i = 0, 2) Với j = ta có: C80 C42 = 11 C12 C C p(B0 /A2 ) = = 22 C12 C C p(B0 /A3 ) = 10 2 = 66 C12 p(B0 /A1 ) = Khi A1 , A2 , A3 lập thành hệ đầy đủ p(B0 ) = p(A1 ).p(B0 /A1 ) + p(A2 ).p(B0 /A2 ) + p(A3 ).p(B0 /A3 ) 1 7 + + 15 11 15 22 15 66 17 = 495 = Tương tự ta có: C81 C41 16 = 33 C12 1 C C p(B1 /A2 ) = = 22 C12 1 C C 10 p(B1 /A3 ) = 10 2 = 33 C12 p(B1 /A1 ) = p(B1 ) = p(A1 ).p(B1 /A1 ) + p(A2 ).p(B1 /A2 ) + p(A3 ).p(B1 /A3 ) 10 16 + + 15 33 15 22 15 33 361 = 990 = p(B2 ) = − p(B0 ) − p(B1 ) = 119 Ta có bảng phân phối số thỏ trắng bắt 198 từ chuồng II là: Bi p(Bi ) 17 495 361 990 119 198 *) Kỳ vọng số thỏ trắng bắt từ chuồng II E(B) = Câu i=0 Bi p(Bi ) = 47 30 Câu 3.1 Sản phẩm xí nghiệp đúc cho phép số khuyết tật trung bình sản phẩm Sau đổi thiết bị, kiểm tra ngẫu nhiên 36 sản phẩm kết thu được: Số khuyết tật sản phẩm Số sản phẩm 4 1)Với độ tin cậy 95% ước lượng số khuyết tật trung bình sản phẩm sau đổi thiết bị 2) Nếu đòi hỏi sản phẩm loại A không khuyết tật việc sản xuất phải đạt 40% loại A sau đổi thiết bị yêu cầu có đạt không? Hãy kết luận với mức ý nghĩa 5% Lời giải: Bài toán ước lượng khoảng kỳ vọng, trường hợp chưa biết phương sai, n = 36 > 30 Bảng tính toán xi ni xi 0 4 4 16 18 54 32 128 30 150 6 36 ni = 30 Ta có: x= n ni x2i ni n i xi = 98 = 2, 7222 36 ni xi =98 ni x2i =388 ni x2i − (x2 ) = 3, 3674 n n 2 sˆ = s = 3, 4636 ⇔ sˆ = 1, 861 n−1 s2 = 1)Ước lượng số khuyết tật trung bình sản phẩm sau đổi thiết bị Sˆ Sˆ x − tα √ < a < x + tα √ n n 2, 1143 < a < 3, 3301 2) Đây toán kiểm định giả thiết tỷ lệ, chưa biết xác suất p tổng thể với n = 36 > 30 Giả thiết : H : p = 0, H : p = 0, Khi ta có: U= √ 15 36 f = = 0, 4167 36 (0, 4).(1 − 0, 4) f − 0, Miền bác bỏ: Wα = {U : |U | > 1, 96} uqs = ⇔ uqs 0, 4167 − 0, (0, 4).(1 − 0, 4) = 0, 2045 ∈ / Wα √ 36 ⇒ Chấp nhận H Vậy sau đổi thiết bị đạt yêu cầu Câu 3.2 Định mức thời gian hoàn thành sản phẩm 14 phút 1)Có cần thay đổi định mức không, theo dõi thời gian hoàn thành sản phẩm 25 công nhân ta thu bảng số liệu sau: Thời gian để SX sản phẩm(phút) Số công nhân tương ứng 10-12 12-14 14-16 16-18 10 18-20 10 Hãy kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 05, biết thời gian hoàn thành sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2) Hãy ước lượng thời gian trung bình để sản xuất sản phẩm khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 98% Lời giải: 1) Đây toán kiểm định giả thiết kỳ vọng trường hợp chưa biết phương sai với n = 25 < 30 Bảng tính toán ni xi ni xi ni x2i 11 33 363 13 78 1014 10 15 150 2250 17 68 1156 21 42 88 ni = 25 ni xi =371 ni x2i =5665 Ta có: 371 n i xi = = 14, 84 n 25 s2 = ni x2i − (x2 ) = 6, 3744 n n 2 sˆ = s = 6, 64 ⇔ sˆ = 2, 5768 n−1 x= Giả thiết : H : a = 14 H : p = 14 Khi ta có: U= x − 14 √ (n−1) 25 Miền bác bỏ: Wα = U : |U | > tα sˆ ⇔ Wα = {U : |U | > 2, 064} 14, 84 − 14 √ uqs = 25 (6, 64) 11 ⇔ uqs = 1, 6299 ∈ / Wα ⇒ Chấp nhận H Vậy không cần thay đổi định mức thời gian hoàn thành công việc 2)Ước lượng thời gian trung bình để sản xuất sản phẩm khoảng tin cậy đối xứng: (n−1) x − tα ˆ Sˆ (n−1) S √ < a < x + tα √ n n Câu Câu 4.1 Cho bảng tương quan thực nghiệm hai chiều: 1) Tính hệ số tương quan mẫu, cho nhận xét 2) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X Lời giải: 1) Tính hệ số tương quan mẫu: Ta có: n y= n xy = n 7240 = 144, 50 1855 mj yj = = 37, 50 270900 nij xi yj = = 661 50 1058000 s2 (x) = ni x2i − (x)2 = − (144, 8)2 = 192, 96 n 50 69925 s2 (y) = mj yj2 − (y)2 = − (37, 1)2 = 22, 09 n 50 x= ni xi = Hệ số tương quan mẫu: r= xy − x.y 5418 − 144, 8.37, = √ = 0, 70335 s(x).s(y) 192, 96.22, 09 12 Nhận xét:X, Y có liên quan thuận liên quan chặt chẽ 2) Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm Y theo X: s(y) y − y = r s(x) (x − x) ⇒ y = 37, + 0, 238 (x − 144, 8) ⇒ y = 0, 238x + 2, 6376 Câu 4.2 Cho bảng tương quan thực nghiệm hai chiều: 1) Tính hệ số tương quan mẫu, cho nhận xét 2) Viết phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm X theo Y Lời giải: 1) Tính hệ số tương quan mẫu: Ta có: 4650 = 155 30 3390 mj yj = = 113 30 512000 nij xi yj = = 17066, 667 30 847500 ni x2i − (x)2 = − (155)2 = 4225 s2 (x) = n 30 386300 mj yj2 − (y)2 = s2 (y) = − (113)2 = 107, 667 n 30 n y= n xy = n x= ni xi = Hệ số tương quan mẫu: r= xy − x.y 17066, 667 − 155.113 √ = = −0, 6647 s(x).s(y) 4225.107, 667 Nhận xét:X, Y có liên quan nghịch liên quan tuyến tính 2) Phương trình hồi quy tuyến tính thực nghiệm X theo Y: s(x) x − x = r s(y) (y − y) ⇒ x = 155 − 4, 1639 (y − 113) ⇒ x = −4, 1639y + 625, 5207 [...]... một sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn 2) Hãy ước lượng thời gian trung bình để sản xuất một sản phẩm bằng khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 98% Lời giải: 1) Đây là bài toán kiểm định giả thiết của kỳ vọng trong trường hợp chưa biết phương sai với n = 25 < 30 Bảng tính toán ni xi ni xi ni x2i 3 11 33 363 6 13 78 1014 10 15 150 2250 4 17 68 1156 2 21 42 88 ni = 25 ni xi =371 ni x2i