bài giảng lý thuyết môn xác suất thống kê

bài giảng lý thuyết môn xác suất thống kê

NCT-FIT-HNUE 1 BÀI GIẢNG GIÁO DỤC THỐNG KÊ Nguyễn Chí Trung Khoa CNTT - ĐHSPHN NCT-FIT-HNUE 2 §1. XÁC SUẤT 1. Hiệntượng ngẫu nhiên và phép thử  Hiệntượng ngẫu nhiên: gieo mộtcon xúcxắc  Phép thử (ngẫu nhiên): thựchiện thí nghiệmmộthiệntượng nào đó ngẫu nhiên  Biếncố ngẫunhiên: là sự kiện nào đó(xảy ra hay không xảyra) trong một phép thử.  Biếncố ∅ (không bao giờ xảy ra) và biếncố Ω (chắcchắn)  Ví dụ: Phép thử gieo mộtcon xúcxắc, có thể có các biếncố: •X k : “xuấthiệnmặtk chấm” (k = 1, 2, ., 6) •X c : “xuấthiệnmặtcósố chấmchẵn” •X l : “xuấthiệnmặtcósố chấmlẻ” •K c :“xuấthiệnmặtcósố chấm không chẵn” •K l : “xuấthiệnmặtcósố chấm không lẻ” NCT-FIT-HNUE 3 §1. XÁC SUẤT 2. Quan hệ giữa các biếncố  Cho A và B là 2 biếncố của cùng một phép thử  A thuậnlợi (kéo theo) đốivớiB, kíhiệu A ⊂ B nếuA xuấthiệnthìB cũng xuấthiện trong cùng một phép thử.  A đồng nhất B, kí hiệu A = B, nếu A và B là thuậnlợi đốivới nhau trong cùng một phép thử.  A đốilập B, kí hiệu A =!B, nếuA xuấthiện khi và chỉ khi B không xuấ t hiện. (!B nghĩalàkhông(xảyra) B).  A đồng khả năng vớiB, nếu trong cùng một phép thử khôngcóbiếncố nào được ưutiênhơnbiếncố B.  Ví dụ •X 1 , X 3 , X 5 ⊂ X l •X 2 , X 4 , X 6 ⊂ X c •X i = !X j vớii ≠ j (i, j = 1, 2, ., 6) •K c = X l , K l = X c , X c = !X l , X l = !X c •X i và X j là các biếncốđồng khả năng, (i, j = 1, 2, ., 6) NCT-FIT-HNUE 4 §1. XÁC SUẤT 2. Quan hệ giữa các biếncố (tiếp) Ví dụ  Trong phép thử tung đồng tiền  S = “xuấthiệnmặtsấp”  N = “xuấthiệnmặtngửa”  Ta có  S = !N  N = !S  ∅ thuậnlợi đốivớimọibiếncố  Mọibiếncốđềuthuậnlợi đốivớibiếncố chắcchắn NCT-FIT-HNUE 5 §1. XÁC SUẤT 3. Các phép toán trên các biếncố Cho A và B là 2 biếncố của cùng một phép thử  Hợp C = A ∪ B Ù ít nhấtmột trong hai A hoặc B xuát hiện  Nếu A = !B thì ta viếtC = A ∪ B thành C = A + B (gọilàTổng 2 biếncố)  Giao (hay tích) C = A ∩ B Ù đồng thờihaibiếncố A và B cùng xảyraA Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc xắc  X c = X 2 + X 4 + X 6  Trong mọi phép thử bất kì ta luôn có  A ∩ !A = ∅; A + !A = Ω; Ví dụ A 1 + !A 1 = Ω  A và B xung khắc Ù A ∩ B = ∅ NCT-FIT-HNUE 6 §1. XÁC SUẤT 3. Các phép toán trên các biếncố (tiếp)  Định nghĩa: A là biếncố sơ cấp (hay cơ bản) nếuA = B ∪ C thì hoặcA = B hoặcA = C  Định nghĩa: Cho A 1 , A 2 , ., A n là các biếncố củamột phép thử. Ta nói rằng chúng lập thành một hệđầy đủ , kí hiệulàH, nếu: • (i) Chúng đôi một xung khắcA i ∩ A j = ∅ •(ii) Tổng của chúng là cả không gian: A 1 + A 2 + . + A n = Ω  Nếu các biếncố A k (k=1, 2, ., n) là các biếncố sơ cấpthìhọ n biếncốđógọilàkhông gian các biếncố sơ cấp. Ví dụ: Trong phép thử gieo xúc xắc  Họ {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 } tạo thành không gian các biếncố sơ cấp  H = {X c , X l ) tạo thành mộthệđầy đủ các biếncố NCT-FIT-HNUE 7 §1. XÁC SUẤT 4. Định nghĩa xác xuấtcổđiển  Xác xuấtcủamộtbiếncố chỉ khả năng xuấthiệnmộtbiếncố nào đó  Định nghĩa: B 1 , B 2 , ., B n là mộthệđầy đủ các biếncốđồng khả năng trong một phép thử và A là mộtbiếncố trong phép thửđó. Giả sử trong hệđócók biếnthuậnlợi đốivớiA, tứclà:  A = B n1 + B n2 + .+ B nk , vớin i ∈[1 n]  Ta gọitỉ số P(A) = k/n là xác xuấtcủabiếncố A  Hệ quả: P( ∅) = 0; P(Ω)=1, 0 ≤ P(A) ≤ 1. Ví dụ 1: Trong phép thử tung đồng tiền  Hệđầy đủ là H = {S, N}  P(S) = 1/2 = 0.5 và P(N) = 1/2 = 0.5 NCT-FIT-HNUE 8 §1. XÁC SUẤT 4. Định nghĩa xác xuấtcổđiển(tiếp1)  P(A) = số khả năng thuậnlợichoA / tổng số khả năng Ví dụ 2: Trong phép thử tung 2 đồng tiền, tìm xác suất để  a) Cả 2 đồng tiền đềuxuấthiệnmặtsấp  b) Có ít nhấtmột đồng xuấthiệnmặtsấp Giải  Hệđầy đủ là {(S, N), (S, S), (N, S), (N, N)}  GọiX = “cảđồng đềusấp” Æ X = (S, S)  GọiY = “cóítnhấtmột đồng sấp” Æ Y = {(S, N), (N, S), (S, S)}  Vậy P(X) = 1/4 = 0.25; P(Y) = 3/4 = 0.75 NCT-FIT-HNUE 9 §1. XÁC SUẤT 4. Định nghĩa xác xuấtcổđiển(tiếp2)  P(A) = số khả năng thuậnlợichoA / tổng số khả năng Ví dụ 3: Trong phép thử gieo xúc xắc, tìm xác suất để xuấthiệnmặt sáu chấm; xác xuấtxuấthiệnmặtcósố chấmlẻ Giải  H = {X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6 }  GọiA = “xuấthiệnmặt6 chấm” Æ A = X 6  GọiB = “xuấthiệnmặtcósố chấmlẻ” Æ B = {X 1 , X 3 , X 5 }  P(A) = 1/6 ≈ 0.17; P(B) = 3/6 = 0.5  Tương tự ta cũng có P(X k ) ≈ 0.17 NCT-FIT-HNUE 10 §1. XÁC SUẤT 4. Định nghĩa xác xuấtcổđiển (tiếp3)  P(A) = số khả năng thuậnlợichoA / tổng số khả năng Ví dụ 4:  Đậu hoa vàng có cặpgientrội AA; Đậu hoa trắng có cặpgienlặn aa.  Khi đem lai hai cây đậu hoa vàng và hoa trắng để sinh ra thế hệ F1, rồi lai hai cây đậu ở thế hệ F1 với nhau để sinh ra thế hệ F2. Tính xác xuất để cây đậu ở thế hệ F2 có hoa vàng? Gi ải  - Lai cây đậu hoa vàng vớicâyđậu hoa trắng ta được các cây đậu ở thế hệ F1 mang cặpgienkiểuhoavàngAa.  - Đem lai hai cây đậu ở thể hệ F1 thì ở thế hệ F2 ta được các cây đậucó 4 kiểu gien: AA, Aa, aA, aa (gien đầucủabố, gien sau củamẹ)  -GọiX = “kiểuhìnhhoavàngở thế hệ F2” ta có  -X = {AA, Aa, aA}, do đó P(X) = 3/4.