Bài giảng Xác suất thống kê_Chương 5+6: Phân phối mẫu và ước lượng tham số thống kê

Giáo trình xác suất thống kê, bài tập xác suất thống kê, xác suất thống kê và ứng dụng thực tế. Những dạng bài tập cơ bản trong xác suất thống kê, xác suất thống kê, những bài toán hay xác suất thống kê

Trường ĐHBK Tp HCM Chương & CHƯƠNG 5& PHÂN PHỐI MẪU ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ NỘI DUNG CHÍNH ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ Giới thiệu vấn đề lấy mẫu Lấy mẫu ngẫu nhiên đơn giản Ước lượng điểm Giới thiệu phân phối mẫu Phân phối mẫu trung bình mẫu Phân phối mẫu tỉ lệ mẫu Các tính chất ước lượng điểm Các phương pháp lấy mẫu khác Trường ĐHBK Tp HCM Chương & GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ LẤY MẪU ƒ Một Tổng thể tập hợp tất phần tử cần quan tâm nghiên cứu ƒ Một Mẫu tập hợp tổng thể ƒ Mục đích thống kê suy diễn thu thập thông tin tổng thể từ thơng tin có mẫu GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ LẤY MẪU Lấy mẫu ngẫu nhiên Tổng thể N (Cỡ) μ (Trung bình) σ (Độ lệch chuẩn) p (Tỉ lệ) •Ước lượng •Kiểm định Giả thuyết Mẫu n x s p Trường ĐHBK Tp HCM Chương & GIỚI THIỆU VẤN ĐỀ LẤY MẪU ƒ Các trị thống kê mẫu: ƒ Trung bình mẫu x, ƒ Độ lệch chuẩn mẫu s, ƒ tỉ lệ mẫu p ƒ Giá trị trị thống kê mẫu dùng để ước lượng giá trị tham số tổng thể LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN ƒ Định nghĩa mẫu ngẫu nhiên đơn giản trình lựa chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản tùy thưộc vào tổng thể hữu hạn hay vô hạn ƒ Tổng thể hữu hạn thường định nghĩa danh sách ƒ Tổng thể vô hạn thường định nghĩa trình diễn Các phần tử tổng thể vơ hạn khơng liệt kê Trường ĐHBK Tp HCM Chương & LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN ƒ Lấy mẫu từ tổng thể hữu hạn • Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ mẫu n từ tổng thể hữu hạn cỡ N mẫu chọn cho mẫu với cỡ mẫu n có xác suất chọn • Số mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ mẫu n khác từ tổng thể hữu hạn cỡ N là: N! n!( N − n )! LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN ƒ Lấy mẫu từ tổng thể hữu hạn • Lấy mẫu khơng thay thế: Khi phần tử chọn vào mẫu lấy khỏi tổng thể khơng thể chọn lần thứ hai • Lấy mẫu có thay : Khi phần tử chọn vào mẫu bỏ trở lại tổng thể Một phần tử lựa chọn lần trước lựa chọn lần phần tử xuất mẫu lần Trường ĐHBK Tp HCM Chương & LẤY MẪU NGẪU NHIÊN ĐƠN GIẢN ƒ Lấy mẫu từ tổng thể vô hạn Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản từ tổng thể vô hạn một chọn phải thỏa mãn điều kiện sau: • Mỗi phần tử chọn phải đến từ tổng thể • Mỗi phần tử chọn cách độc lập ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM ƒ Trong Ước lượng điểm sử dụng liệu từ mẫu để tính giá trị trị thống kê mẫu dựa vào cung cấp ước lượng tham số tổng thể ƒ Ước lượng điểm trị thống kê mẫu, x , s hay p cung cấp ước lượng điểm tham số tổng thể, μ, σ p 10 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & GIỚI THIỆU PHÂN PHỐI MẪU ƒ Phân phối xác suất trị thống kê mẫu cụ thể gọi phân phối mẫu trị thống kê ƒ Phân phối xác suất x gọi phân phối mẫu x Kiến thức phân phối mẫu tính chất cho phép phát biểu xác suất trung bình mẫu x gần với trung bình tổng thể μ ƒ Trong thực tế, chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản từ tổng thể 11 PHÂN PHỐI MẪU CỦA ƒ Phân phối mẫu x x Phân phối mẫu x phân phối xác suất tất giá trị trung bình mẫu x ƒ Giá trị kỳ vọng x E(x ) = μ 12 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & Ví dụ: a Một tổng thể gồm nhân viên, mức lương nhân viên sau: Tên nhân viên A N B X ∑ i C μ = i=1 = D N 70+ 70+80+ 80+ 70+ 80+ 90 E μ= F μ = 77,1429 G Mức lương ngày 70 70 80 80 70 80 90 13 Nếu mẫu n=2 chọn từ tổng thể Mẫu Nhân viên Mức lương TB Mẫu Mẫu Nhân viên Mức lương TB Mẫu A,B 70, 70 70 12 C,D 80, 80 80 A,C 70, 80 75 13 C,E 80, 70 75 A,D 70, 80 75 14 C,F 80, 80 80 A,E 70, 70 70 15 C,G 80, 90 85 A,F 70, 80 75 16 D,E 80, 70 75 A,G 70, 90 80 17 D,F 80, 80 80 B,C 70, 80 75 18 D,G 80, 90 85 B,D 70, 80 75 19 E,F 70, 80 75 B,E 70, 70 70 20 E,G 70, 90 80 10 B,F 70, 80 75 21 F,G 80, 90 85 11 B,G 70, 90 80 14 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & PHÂN PHỐI MẪU CỦA x Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản với n phần tử chọn từ tổng thể Tổng thể với trung bình μ = ? Giá trị X dùng để suy diễn giá trị µ Tổng kết liệu mẫu cung cấp giá trị trung bình mẫu X 15 PHÂN PHỐI MẪU CỦA ƒ Độ lệch chuẩn x x ƒ Tổng thể vô hạn hay N ƒ Tổng thể hữu hạn hay biết N ƒ Với σx = σX = σ n σ n N−n N −1 N−n nhân tố điều chỉnh tổng thể hữu hạn N −1 16 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & PHÂN PHỐI MẪU CỦA x ƒ Độ lệch chuẩn • Bỏ qua nhân tố điều chỉnh tổng thể hữu hạn n/N ≤ 0.05 • Sai số chuẩn độ lệch chuẩn ước lượng điểm • σ xem sai số chuẩn trung bình x 17 PHÂN PHỐI MẪU CỦA ƒ Phân phối x x • Câu hỏi: Phân phối xác suất x gì? ƒ Định lý giới hạn trung tâm • Phân phối tổng thể biết phân phối chuẩn X ∼ N (μ, σ2) ∼ N (μ, σ2/n) x 18 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & PHÂN PHỐI MẪU CỦA x ƒ Định lý giới hạn trung tâm • Trong việc chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giản cỡ mẫu n từ tổng thể, phân phối mẫu trung bình mẫu x gần tuân theo phân phối chuẩn cỡ mẫu đủ lớn • X ~ Bất kỳ phân phối • Khơng biết phân phối X ∼ N (μ, σ2/n) xác suất tổng thể • Cỡ mẫu lớn (N>30) 19 PHÂN PHỐI MẪU CỦA ƒ X ∼ N (μ, σ2/n) x Z ∼ N (0,12) với σx = x −μ σ/ n 20 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & kết luận từ định lý giới hạn trung tâm ƒ Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn trung bình mẫu x có phân phối chuẩn, bất chấp cỡ mẫu ƒ Với kích thước mẫu đủ lớn (n ≥ 30) phân phối trung bình mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn bất chấp hình dáng phân phối tổng thể ƒ Nếu phân phối tổng thể đối xứng, phân phối trung bình mẫu xấp xỉ phân phối chuẩn kích thước mẫu 15 21 PHÂN PHỐI MẪU CỦA p ƒ Phân phối mẫu p Phân phối mẫu p phân phối xác suất tất giá trị tỉ lệ mẫu p ƒ Giá trị kỳ vọng lệch p có thuộc tính khơng E( p ) = p 22 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & PHÂN PHỐI MẪU CỦA Tổng thể với tỉ lệ p =? Giá trị p dùng để suy diễn giá trị p p Một mẫu ngẫu nhiên đơn giản với n phần tử chọn từ tổng thể Tổng kết liệu mẫu cung cấp giá trị trung bình mẫu p 23 PHÂN PHỐI MẪU CỦA p ƒ Độ lệch chuẩn p p(1 − p) • Tổng thể vơ hạn: σ p = n • Tổng thể hữu hạn: σ p = p(1 − p) N − n n N −1 ƒ Bỏ qua nhân tố điều chỉnh tổng thể hữu hạn N−n N −1 n/N < 0.05 24 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & PHÂN PHỐI MẪU CỦA ƒ Dạng phân phối mẫu p p Phân phối mẫu p gần tuân theo phân phối xác suất chuẩn cỡ mẫu lớn • np ≥ • n(1 – p) ≥ 25 Ví dụ: ƒ 30% hộ gia đình địa bàn có hệ thống điện khơng an tồn Mẫu ngẫu nhiên 250 hộ chọn từ địa bàn dân cư Tính xác suất để tỉ lệ hộ có hệ thống điện khơng an tồn khoảng từ 25% đến 35% 26 Trường ĐHBK Tp HCM = P( Chương & 0,25 − P δP < P−P δP < 0,35 − P δP ) 0,25 − 0,30 0,35 − 0,30 Zα/2) = α/2 P( Z < -Zα/2) = α/2 P( -Zα/2 < Z < Zα/2) = 1-α Zα/2: giá trị biến phân phối chuẩn chuẩn hóa tương ứng với diện tích α/2 phía phân phối 34 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ ⎛ P⎜ − Z α < ⎝ ⎛ P⎜ x − Z α ⎝ x −μ ⎞ < Zα ⎟ = − α σ/ n ⎠ σ σ ⎞ < μ < x + Zα ⎟ = 1− α n n⎠ 35 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ ƒ Tính ước lượng khoảng: biết σ Với: x ± Zα σ n • (1-α) độ tin cậy • x ước lượng điểm μ • ± Zα σ biên sai số n • Cỡ mẫu lớn (n ≥ 30) Ỉ dùng cơng thức 36 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ CÁC GIÁ TRỊ CỦA Zα/2 ĐỐI VỚI CÁC MỨC TIN CẬY ĐƯỢC SỬ DỤNG PHỔ BIẾN NHẤT Mức tin cậy 90% 95% 99% α 10 05 01 α/2 050 0.25 005 Zα/2 1.645 1.960 2.576 37 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: BIẾT σ ƒ Tính ước lượng khoảng: biết σ ƒ Biên sai số giá trị cộng trừ vào ước lượng điểm để tạo khoảng tin cậy • Khoảng tin cậy: Một khoảng tin cậy 100(1 - α)% trung bình phân phối chuẩn μ ⎡ ⎛ σ ⎞ ⎛ σ ⎞⎤ − x Z , x Z + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎥ α α ⎢ 2 n n ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ 38 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: KHƠNG BIẾT σ ƒ Nếu khơng biết σ, độ lệch chuẩn mẫu s dùng để ước lượng độ lệch chuẩn tổng thể σ khoảng tin cậy thích hợp dựa phân phối xác suất gọi phân phối t ƒ Trị thống kê t: t= x−μ s/ n 39 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: KHƠNG BIẾT σ ƒ Trị thống kê t tuân theo Phân phối Student’s t, với độ tự df df = n - ƒ Phân phối t thường được dùng với phân phối cỡ mẫu nhỏ x ƒ Nếu n Ỉ N t # Z 40 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: KHƠNG BIẾT σ Phân phối chuẩn chuẩn hóa Z Đường cong t với bậc tự 20 Đường cong t với bậc tự 10 t Phân phối t 41 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ: KHƠNG BIẾT σ ƒ Ước lượng khoảng trung bình tổng thể: khơng biết σ x ± tα2 s n ƒ Cỡ mẫu nhỏ (n < 30) tổng thể tuân theo phân phối chuẩn gần chuẩn Ỉ dùng cơng thức 42 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & TỔNG KẾ KẾT CÁ CÁC THỦ THỦ TỤC ƯỚ ƯỚC LƯỢ LƯỢNG KHOẢ KHOẢNG ĐỐ ĐỐI VỚ VỚI TRUNG BÌNH TỔ TỔNG THỂ THỂ Có thể giả sử độ lệch chuẩn tổng thể σ biết? Có Khơng Dùng độ lệch chuẩn mẫu s để ước lượng σ Dùng x ± zα /2 Dùng σ x ± tα / n Trường hợp biết σ s n Trường hợp σ 43 KHOẢNG TIN CẬY CỦA TỈ LỆ ƒ Khoảng ước lượng tỷ lệ p tập hợp với độ tin cậy 100(1– α)%, Cỡ mẫu n lớn → chuẩn hóa: P − Zα / P(1 − P) P(1 − P) < P < P + Zα / n n 44 Trường ĐHBK Tp HCM Chương & KHOẢNG TIN CẬY CỦA PHƯƠNG SAI a Mẫu n quan sát chọn ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn (n − 1) S χ n2−1,α / a Với