Bài giảng Xác suất thống kê_Chương 3: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Giáo trình xác suất thống kê, bài tập xác suất thống kê, xác suất thống kê và ứng dụng thực tế. Những dạng bài tập cơ bản trong xác suất thống kê, xác suất thống kê, những bài toán hay xác suất thống kê Chương 3: biến ngâu nhiên và phân phối xác suất, ứng dụng trong các bài toán thực tế

27/02/2009 CHƯƠNG 3: BIẾN NGẪU NHIÊN & PHÂN PHỐI XÁC SUẤT BIẾN NGẪU NHIÊN ƒ Biến ế ngẫu gẫu nhiên ê Một biến ngẫu nhiên mô tả số kết thí nghiệm Ví dụ: Xét biến ngẫu nhiên X có giá trị tổng số mặt thảy xúc sắc ắ ⇒ Biến ế X ể nhận giá trị từ đến 12 27/02/2009 Phân loại biến ngẫu nhiên ƒ Biến ế ngẫu gẫu nhiên ê rời rạc ạc Một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận số đếm giá trị khoảng ƒ Biến ngẫu nhiên liên tục Một biến ngẫu nhiên liên tục giá trị ngẫu nhiên nhận giá trị khoảng hay tập hợp khoảng Phân phối xác suất rời rạc ƒ Phân p phối xác suất ộ biến ngẫu g nhiên mô tả làm xác suất phân phối theo giá trị biến ngẫu nhiên ƒ Một phân phối xác suất biến ngẫu g nhiên rời rạc X ộ danh sách giá g trị có biến X xác suất tương ứng 27/02/2009 Phân phối xác suất rời rạc x P (x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Xác suất Một ộ phân p phối p xác suất ợ trình bày y dạng: • Bảng • Đồ thị (Đồ thị tần số) • Cơng thức (Hàm số) 1/6 Phân phối xác suất rời rạc ƒ Hàm xác suất rời rạc f(x) hàm xác định xác suất giá trị biến X f(x) = Prob (X=x) ƒ Các điều kiện yêu cầu hàm xác suất rời rạc • ≤ f(x) ≤ • Σ f(x) = 27/02/2009 Phân phối xác suất rời rạc Hàm p phân phối p xác suất rời rạc f(x) = 1/n n = số giá trị có biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất tích lũy F(b) = P (X ≤ b) Là xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị ≤ b Tính chất: F(b) hàm khơng giảm b: b1 < b2 F(b1) < F(b2) ≤ F(b) ( )≤1 P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a) Lưu ý “a < X” “a ≤ X” ⇒ F(a) = P(X ≤ a) = ∑p(xi) với ∀xi ≤ a 27/02/2009 Giá trị Kỳ vọng Phương sai Biến ngẫu nhiên rời rạc ƒ ƒ Giá trịị kỳ ỳ vọng ọ g E (x) = μ = Σ x * f(x) Phương sai Var (x) = σ2 = Σ (x - μ)2 * f(x) or σ2 = Σ x2 * f(x) - μ2 ƒ Độ lệch chuẩn σ = σ2 Ví dụ: dụ: Gọi X số lỗi có trang sách Hàm xác suất ủ biến biế ngẫu ẫ nhiên hiê X đ cho h bởi: p(0) = 0,81; p(1) = 0,17; p(2) = 0,02 Tìm số lỗi trung bình trang sách Số lỗi trung bình trang sách: a μ = E[X] = ∑xp(x) = 0×0,81 + 1×0,17 + 2×0,02 = 0,21 lỗi a Phương sai X: σ2 = ∑x2 p(x) - μ2 = 02 ×0,81 + 12×0,17 + 22×0,02 – (0,21)2 = 0,2059 δ2 a Độ lệch chuẩn X: σ= = 0,4538 27/02/2009 Biến ngẫu nhiên Bernoulli Định ị nghĩa: g Xét biến ngẫu g nhiên X có g giá trịị xác định dựa kết thí nghiệm sau: aX = thí nghiệm “thành cơng” aX = thí nghiệm “thất bại” Biến ngẫu nhiên gọi biến ngẫu nhiên Bernoulli (tuân theo phân bố Bernoulli) Phân bố Bernoulli p( ) = P(X p(0) ( = 0)) = – p p(1) = P(X = 1) = p Trong p xác suất để thí nghiệm “thành cơng” E[X] = p aKỳ vọng: aPhương sai: Var(X) = pq Trong q = – p 27/02/2009 Phân phối xác suất nhị thức ƒ Một thí nghiệm nhị thức Một thí nghiệm nhị thức có tính chất: • Thí nghiệm gồm có chuỗi n lần thử tương tự • Hai kết có cho lần thử: thành cơng thất bại • Xác suất thành công p, không thay đổi lần thử sang lần thử khác Vì vậy, xác suất thất bại, 1-p, không thay đổi lần thử sang lần thử khác • Các lần thử độc lập với Phân phối xác suất nhị thức ƒ Hàm xác suất nhị thức P ( x) = Cnx p x (1 − p ) (n− x ) i tổ hợp chập i từ n phần tử Trong C n Cni = n! i!(n − i )! 27/02/2009 Phân phối xác suất nhị thức ƒ Giá trị kỳ vọng phương sai phân phối xác suất nhị thức • Giá trị kỳ vọng: E(x) = μ = np • Phương sai: σ2 = np (1-p) Ví dụ Một ộ loại động ộ g máy y bay y có xác suất bịị trục ụ trặc bay (1-p) Giả sử chuyến bay thành cơng 50% số động hoạt động bình thường suốt chuyến bay Xác định p để máy bay loại động ưa chuộng nhiều máy bay loại động (lắp ắ loại động cơ) 27/02/2009 Một số lưu ý Khi n lớn, tính P(i) ()g gặp p trở ngại g a Công thức Moixre – Lapalace: p(i) = P(X= i) = ϕ (x) T Trong x = (i (i-np)) / npq − x2 ϕ (x) = e 2π np(1 - p) ; (hàm Gauss) Một số lưu ý Khi n lớn, tính P(i) ()g gặp p trở ngại g b Xấp xỉ Poisson: Khi n lớn p nhỏ ⇒ np = λ = const e − λ λi p(i) (i) = P(X = i) = i! 27/02/2009 Phân phối xác suất POISSON ƒ Các tính chất Thí nghiệm Poisson • Xác suất kiện giống cho khoảng có độ dài • Việc xảy hay khơng xảy khoảng độc lập với việc xảy hay không xảy khoảng khác Phân phối xác suất POISSON ƒ Hàm xác suất Poisson P( x) = μ xe−μ x! ƒ μ = Giá trị kỳ vọng hay số trung bình kiện khoảng ƒ Giá trị kỳ vọng phương sai phân phối xác suất Poisson ƒ Giá ttrịị kỳ vọng: E( E(x)) = μ ƒ Phương sai: Var(x) = μ 10 27/02/2009 Biến ngẫu nhiên liên tục ƒ Một ột b biến ế ngẫu gẫu nhiên ê liên ê tục ột g giá ttrịị ngẫu gẫu nhiên nhận giá trị khoảng hay tập hợp khoảng ƒ Một Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục đặc trưng Hàm mật độ xác suất ất (Probability (P b bilit D Density it F Function ti – PDF) Phân phối xác suất ƒ Các diện tích đường cong mật độ xác suất xác suất ất Density f(x) S x b a b P(a < X < b) = S = ∫ f ( x )dx a 11 27/02/2009 Phân phối xác suất tích lũy Định ị nghĩa: g F(a) ( ) = P(X ( ≤ a)) Tính chất: aF(a) = P(X≤ a) = ⇒ F(-∞) = 0; F(∞) = aP(a≤ X ≤b) = = F(b) – F(a) Giá trị Kỳ vọng Phương sai Biến ngẫu nhiên liên tục ƒ Giá trịị kỳ ỳ vọng ọ g ∞ E (x) = μ = ƒ ∫ xf ( x)dx −∞ Phương sai σ2 = Var (x) = E[(x – μ)2] = σ2 = E[X2] – μ2 = ƒ Độ lệch chuẩn ∞ ∫x ∞ ∫ ( x − μ ) f ( x)dx −∞ f ( x)dx - μ2 −∞ σ = σ2 12 27/02/2009 Giới thiệu phân phối xác suất ƒ Một số phân phối xác suất phổ biến biến liên tục: • Phân phối (Uniform Distribution) • Phân phối chuẩn (Normal Distribution) Phân phối xác suất ƒ Hàm mật ậ độ ộ xác suất p phân p phối f(x) ⎧ ⎪ f ( x) = ⎨ b − a ⎪⎩ Khi a ≤ x ≤ b noi khác Density h x a b 13 27/02/2009 Phân phối xác suất ƒ Giá trịị kỳ ỳ vọng ọ g p phương g sai phân p p phối b E( x ) = μ = ∫ x.f ( x )dx = a ( b − a) = ∫ (x − μ ) f ( x )dx = b Var ( x ) = σ a+b 2 12 a Phân phối xác suất chuẩn ƒ Hàm mật ậ độ ộ xác suất p phân p phối chuẩn f (x) = Với e πσ − ( x − μ )2 2σ2 μ = Trung bình σ = Độ lệch chuẩn π = 3.14159 e = 2.71828 X ∼ N (μ, σ2) 14 27/02/2009 Phân phối xác suất chuẩn ƒ Đường g cong g chuẩn • Dạng f(x) đối xứng, giống dạng hình chng • Đường cong chuẩn có tham số, μ σ Chúng xác định vị trí dạng phân phối Phân phối xác suất chuẩn μ1 < μ2 < μ3 μ1 μ2 μ3 15 27/02/2009 Phân phối xác suất chuẩn σ1 σ2 X σ1 < σ2 Phân phối xác suất chuẩn f(x) S a b x P( a < X < b) = S P (μ - σ < X < μ + σ) = 68.26% P (μ - 2σ < X < μ + 2σ) = 95.44% P (μ - 3σ < X < μ + 3σ) = 99.72% 16 27/02/2009 Phân phối xác suất chuẩn ƒ Phân p phối xác suất chuẩn chuẩn hóa • Phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóa phân phối chuẩn có trung bình phương sai • Một biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa Z biến tuân theo phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóa Z ∼ N (0,12) Phân phối xác suất chuẩn ƒ Một ộ biến chuẩn chuẩn hóa Nếu X ∼ N (μ, σ2) biến chuẩn chuẩn hóa Z có trung bình 0, phương sai Z ∼ N (0, 12) X − μ Z= σ f(x) S a μ - 3σ μ - 2σ μ-σ b μ μ+σ μ+2σ μ+3σ x 17 27/02/2009 Phân phối xác suất chuẩn f(x) S Z -3 -2 -1 Za Zb Phân phối xác suất chuẩn Z= ƒ X ∼ N(μ, σ2) X −μ σ Z ∼ N (0, 12) ƒ P (a < X < b) = P (AZA < Z < Zb) = S Za = a −μ σ Zb = b−μ σ 18 27/02/2009 Phân phối xác suất chuẩn ƒ Sử dụng bảng diện tích đường cong chuẩn để tìm tì giá iá trị t ị ủ S f(x) S -3 Bảng Z tra -2 -1 S S z Bảng tra Z 19 ... tập hợp khoảng Phân phối xác suất rời rạc ƒ Phân p phối xác suất ộ biến ngẫu g nhiên mô tả làm xác suất phân phối theo giá trị biến ngẫu nhiên ƒ Một phân phối xác suất biến ngẫu g nhiên rời rạc... thiệu phân phối xác suất ƒ Một số phân phối xác suất phổ biến biến liên tục: • Phân phối (Uniform Distribution) • Phân phối chuẩn (Normal Distribution) Phân phối xác suất ƒ Hàm mật ậ độ ộ xác suất. .. Phân phối xác suất rời rạc Hàm p phân phối p xác suất rời rạc f(x) = 1/n n = số giá trị có biến ngẫu nhiên rời rạc Phân phối xác suất tích lũy F(b) = P (X ≤ b) Là xác suất để biến ngẫu nhiên