Bài giảng Xác suất thống kê_Chương 3: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất

Giáo trình xác suất thống kê, bài tập xác suất thống kê, xác suất thống kê và ứng dụng thực tế. Những dạng bài tập cơ bản trong xác suất thống kê, xác suất thống kê, những bài toán hay xác suất thống kê Chương 3: biến ngâu nhiên và phân phối xác suất, ứng dụng trong các bài toán thực tế

CHƯƠNG 3:

BIẾN NGẪU NHIÊN

&

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

BIẾN NGẪU NHIÊN

ƒ Biến ngẫu nhiên ế gẫu ê

Một biến ngẫu nhiên là một mô tả bằng số của

kết quả của thí nghiệm

Ví dụ:

Xét biến ngẫu nhiên X có giá trị là tổng số 2 mặt

khi thảy 2 con xúc sắc ⇒ Biến X có thể nhận

các giá trị từ 2 đến 12

Phân loại biến ngẫu nhiên

ƒ Biến ngẫu nhiên rời rạc ế gẫu ê ờ ạc

Một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể nhận một số

đếm được của các giá trị trong một khoảng

ƒ Biến ngẫu nhiên liên tục

Một biến ngẫu nhiên liên tục là một giá trị ngẫu

Một biến ngẫu nhiên liên tục là một giá trị ngẫu

nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một

khoảng hay tập hợp các khoảng

Phân phối xác suất rời rạc

ƒ Phân phối xác suất đối với một biến ngẫu p ộ g

nhiên sẽ mô tả làm thế nào các xác suất được

phân phối theo các giá trị của biến ngẫu nhiên

ƒ Một phân phối xác suất đối với một biến

ngẫu nhiên rời rạc X là một danh sách các giá g ạ ộ g

trị có thể có của biến X và các xác suất tương

ứng

Phân phối xác suất rời rạc

Một phân phối xác suất có thể được trình bày ộ p p ợ y

dưới dạng:

• Bảng

• Đồ thị (Đồ thị tần số)

• Công thức (Hàm số)

1 2 3 4 5 6

1/6

Phân phối xác suất rời rạc

ƒ Hàm xác suất rời rạc f(x) là một hàm xác định Hàm xác suất rời rạc f(x) là một hàm xác định

xác suất đối với mỗi giá trị của biến X

f(x) = Prob (X=x)

ƒ Các điều kiện yêu cầu đối với hàm xác suất rờiCác điều kiện yêu cầu đối với hàm xác suất rời

rạc

• 0 ≤ f(x) ≤ 1

• Σ f(x) = 1

Phân phối xác suất rời rạc

Hàm phân phối xác suất rời rạc đều p p ạ

f(x) = 1/n

n = số các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên rời

rạc

Phân phối xác suất tích lũy

F(b) = P (X ≤ b)

Là xác suất để biến ngẫu nhiên X có giá trị ≤ b

Tính chất:

1 F(b) là một hàm không giảm của b: b1 < b2 thì F(b1) <

F(b2)

2 0 ≤ F(b) ≤ 1 ( )

3 P(a < X ≤ b) = F(b) – F(a) Lưu ý “a < X” không phải “a ≤

X”

⇒ F(a) = P(X ≤ a) = ∑p(x ) với ∀x ≤ a

Giá trị trị Kỳ Kỳ vọng vọng và và Phương Phương sai sai của của Biến Biến

ngẫu

ngẫu nhiên nhiên rời rời rạc rạc

ƒ Giá trị kỳ vọng ị ỳ ọ g

E (x) = μ = Σ x * f(x)

Var (x) = σ2= Σ (x - μ)2 * f(x)

or

σ2= Σ x2 * f(x) - μ2

2

σ

= σ

Ví

Ví dụ dụ::

Gọi X là số lỗi có trong một trang sách Hàm xác suất

của biến ngẫu nhiên X được cho bởi:

p(0) = 0,81; p(1) = 0,17; p(2) = 0,02

Tìm số lỗi trung bình trong một trang sách

Số lỗi trung bình trong 1 trang sách:

a μ = E[X] = ∑xp(x) = 0×0,81 + 1×0,17 + 2×0,02 = 0,21 lỗi

a Phương sai của X:

σ2 = ∑x 2 p(x) - μ 2 = 0 2 ×0,81 + 1 2 ×0,17 + 2 2 ×0,02 –

(0,21) 2

= 0,2059

a Độ lệch chuẩn của X: σ = = 0,4538

2

δ

Biến ngẫu nhiên Bernoulli

Định nghĩa: Xét 1 biến ngẫu nhiên X có giá trịị g g g ị

được xác định dựa trên kết quả của 1 thí

nghiệm như sau:

aX = 1 nếu thí nghiệm là “thành công”

aX = 0 nếu thí nghiệm là “thất bại”

Biến ngẫu nhiên như vậy gọi là biến ngẫu nhiên

Bernoulli (tuân theo phân bố Bernoulli)

Phân bố Bernoulli

p(0) = P(X = 0) = 1 – p

p(1) = P(X = 1) = p

Trong đó p là xác suất để thí nghiệm “thành công”

aKỳ vọng: E[X] = p

aPhương sai: Var(X) = pq

Trong đó q = 1 – p

Phân phối xác suất nhị thức

ƒ Một thí nghiệm nhị thức

Một thí nghiệm nhị thức có 4 tính chất:

• Thí nghiệm gồm có một chuỗi n lần thử tương tự

• Hai kết quả có thể có cho mỗi lần thử: thành công và

thất bại

• Xác suất của thành công p, không thay đổi ở lần thử Xác suất của thành công p, không thay đổi ở lần thử

này sang lần thử khác Vì vậy, xác suất của thất bại,

1-p, không thay đổi ở lần thử này sang lần thử khác

• Các lần thử độc lập với nhau

Phân phối xác suất nhị thức

ƒ Hàm xác suất nhị thức

Trong đó là tổ hợp chập i từ n phần tử

( )(n x)

x x

C x

P ( ) = 1 − −

i n C

)!

(

!

i n i

n

Cn i

−

=

Phân phối xác suất nhị thức

ƒ Giá trị kỳ vọng và phương sai của phân phốiGiá trị kỳ vọng và phương sai của phân phối

xác suất nhị thức

• Giá trị kỳ vọng: E(x) = μ = np

• Phương sai: σ2= np (1-p)

Ví dụ

Một loại động cơ máy bay có xác suất bị trụcộ ạ ộ g y y ị ụ

trặc khi đang bay là (1-p) Giả sử rằng một

chuyến bay sẽ thành công nếu ít nhất 50% số

động cơ của nó hoạt động bình thường trong

suốt chuyến bay Xác định p để một máy bay

loại 4 động cơ được ưa chuộng nhiều hơn một

ắ máy bay loại 2 động cơ (lắp cùng 1 loại động

cơ)

Một số lưu ý

Khi n lớn, tính P(i) gặp trở ngại( ) g p g

a Công thức Moixre – Lapalace:

p(i) = P(X= i) =

p) -np(1

(x)

ϕ

Trong đó x = (i-np) / ;

(hàm Gauss)

npq

2

2

2

1 (x)= e−x

π ϕ

Một số lưu ý

Khi n lớn, tính P(i) gặp trở ngại( ) g p g

b Xấp xỉ Poisson:

Khi n lớn và p khá nhỏ ⇒ np = λ = const

(i) P(X i) e− λλi

p(i) = P(X = i) =

!

i

Phân phối xác suất POISSON

ƒ Các tính chất của Thí nghiệm Poisson

ƒ Các tính chất của Thí nghiệm Poisson

• Xác suất của một sự kiện sẽ giống nhau cho bất kỳ

2 khoảng có cùng độ dài

• Việc xảy ra hay không xảy ra trong 1 khoảng bất kỳ

sẽ độc lập với việc xảy ra hay không xảy ra trong 1

khoảng bất kỳ khác

Phân phối xác suất POISSON

ƒ Hàm xác suất Poisson P ( x ) e

μ −

=

ƒ Hàm xác suất Poisson

ƒ μ = Giá trị kỳ vọng hay số trung bình của sự kiện trong

một khoảng.

ƒ Giá trị kỳ vọng và phương sai của phân phối xác

suất Poisson

Giá t ị kỳ E( )

! )

(

x x

ƒ Giá trị kỳ vọng: E(x) = μ

ƒ Phương sai: Var(x) = μ

Biến ngẫu nhiên liên tục

ƒ Một biến ngẫu nhiên liên tục là một giá trị ngẫu ột b ế gẫu ê ê tục à ột g á t ị gẫu

nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào trong một

khoảng hay tập hợp các khoảng

ƒ Một Phân phối xác suất đối với một biến ngẫu

nhiên liên tục được đặc trưng bởi một Hàm mật

độ á ất (P b bilit D it F ti

độ xác suất (Probability Density Function –

PDF)

Phân phối xác suất

ƒ Các diện tích dưới đường cong mật độ xác suất

là các xác suất

f(x)

S

x

∫

=

=

<

<

b

a

dx ) x ( f S ) b X

a

(

P

Phân phối xác suất tích lũy

Định nghĩa: F(a) = P(X ≤ a)ị g ( ) ( )

Tính chất:

aF(a) = P(X≤ a) = ⇒ F(-∞) = 0; F(∞) = 1

aP(a≤ X ≤b) = = F(b) – F(a)

Giá trị Kỳ vọng và Phương sai của Biến

ngẫu nhiên liên tục

ƒ Giá trị kỳ vọng ị ỳ ọ g

E (x) = μ =

σ2= Var (x) = E[(x – μ)2] =

hoặc

∫

∞

∞

−

dx x

xf( )

∫

∞

∞

−

− f x dx

( μ 2

σ2= E[X2] – μ2= - μ2

∞

−

dx x f

x2 ( )

Giới thiệu phân phối xác suất

ƒ Một số các phân phối xác suất phổ biến đối với

ƒ Một số các phân phối xác suất phổ biến đối với

biến liên tục:

• Phân phối đều (Uniform Distribution)

• Phân phối chuẩn (Normal Distribution)

Phân phối xác suất đều

ƒ Hàm mật độ xác suất của phân phối đềuậ ộ p p

⎪⎩

⎪

⎨

−

=

khác noi

Khi a b x f

0

b x a

1 )

(

f(x)

h

x

h

Phân phối xác suất đều

ƒ Giá trị kỳ vọng và phương sai của phân phối đềuị ỳ ọ g p g p p

2

b a dx ) x ( f.

x )

x

(

E

2 b

b

a

+

=

= μ

12

a b dx ) x ( f x

) x

(

Var

2 b

a

2

σ

Phân phối xác suất chuẩn

ƒ Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩnậ ộ p p

Với

μ = Trung bình

σ = Độ lệch chuẩn

2 2

2

x

e 2

1 )

x (

μ

−

σ π

=

σ = Độ lệch chuẩn

π = 3.14159

e = 2.71828

X ∼ N (μ, σ 2 )

Phân phối xác suất chuẩn

ƒ Đường cong chuẩng g

• Dạng của f(x) đối xứng, giống dạng hình chuông

• Đường cong chuẩn có 2 tham số, μ và σ Chúng

xác định vị trí và dạng của phân phối

Phân phối xác suất chuẩn

μ1< μ2< μ3

Phân phối xác suất chuẩn

σ1

σ2

X

σ1 < σ2

Phân phối xác suất chuẩn

f(x)

x

S

P( a < X < b) = S

P (μ - σ < X < μ + σ) = 68.26%

P (μ - 2σ < X < μ + 2σ) = 95.44%

P (μ - 3σ < X < μ + 3σ) = 99.72%

Phân phối xác suất chuẩn

ƒ Phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóap

• Phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóa là một phân

phối chuẩn có trung bình bằng 0 và phương sai bằng

1

• Một biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa Z là một biến

tuân theo phân phối xác suất chuẩn chuẩn hóa

Z ∼ N (0,1 2 )

Phân phối xác suất chuẩn

ƒ Một biến chuẩn chuẩn hóa ộ

Nếu X ∼ N (μ, σ2) thì biến chuẩn chuẩn hóa Z có

trung bình bằng 0, phương sai bằng 1 và Z ∼ N

(0, 12)

σ

μ

−

= X

x

S

μ - 3σ μ - 2σ μ-σ μ μ+σ μ+2σ μ+3σ

Phân phối xác suất chuẩn

f(x)

S

Z -3 -2 -1 Za 0 1 Zb 2 3

Phân phối xác suất chuẩn

μ

−

= X Z

ƒ X ∼ N(μ, σ2) Z ∼ N (0, 12)

ƒ P (a < X < b) = P (AZA < Z < Zb) = S

σ

= Z

μ

−

= a

Z σ

=

Za

σ

=

Zb

Phân phối xác suất chuẩn

ƒ Sử dụng bảng diện tích của đường cong chuẩn

để tì iá t ị ủ S

để tìm giá trị của S

f(x)

S

z

-3 -2 -1 0 1 2 3