Chương 3: biến ngẫu nhiên và phương pháp xác suất pps

Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công là p.. X tuân theo phân phối nhị thức

CHƯƠNG 3 BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

(Random Variables and Probability Distributons)

3.1 ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN

• Các biến ngẫu nhiên được ký hiệu bằng các chữ lớn X, Y, Z,… còn các giá trị của chúng được ký hiệu bằng các chữ nhỏ x, y, z

3.1.2 Phân loại

Biến ngẫu nhiên được chia làm hai loại biến ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục

3.1.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable)

Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lập thành dãy rời rạc các số x1, x2, …, xn

(dãy hữu hạn hay vô hạn) thì X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc

3.1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable)

Nếu giá trị của biến ngẫu nhiên X có thể lấp đầy toàn bộ khoảng hữu hạn hay vô hạn (a,b) của trục số 0x thì biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên liên tục

Thí dụ

• Lượng khách hàng đến cửa hàng trong ngày là biến ngẫu nhiên rời rạc

• Nhiệt độ trong ngày ở Sài Gòn là biến ngẫu nhiên liên tục

3.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC

(Probability Distribution for Discrete Variable)

3.2.1 Hàm xác suất (Probability Function)

Hàm xác suất Px(x) của biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất để cho biến ngẫu nhiên X đạt giá trị x PX(x) là hàm của giá trị x

PX(x) = P(X=x)

Thí dụ

Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, ta có

P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6

Ỵ Hàm xác suất là

PX(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 6

3.2.2 Phân phối xác suất (Probability Distribution)

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X thể hiện sự tương quan giữa các giá trị xi

của X và các xác suất của xi, sự tương quan có thể trình bày bằng bảng đồ thị hoặc bằng biểu thức

Thí dụ

Trong thí nghiệm thảy 1 con xúc sắc, phân phối xác suất là:

Trình bày bằng bảng:

Trình bày bằng đồ thị :

3.2.3 Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function)

PX(x)

1/6

0 1 2 3 4 5 6 x

≤

<

61

5211

6

10

0 0 0

xnếu

), ,,j(jx jnếu

j

xnếu

3.2.4.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

• Kỳ vọng, E(X), của biến ngẫu nhiên rời rạc X được định nghĩa như sau:

E(X) = ∑

)x(P.x

1 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6

FX(xo)

0 1 2 3 4 5 6 x

• ∑

x :Tổng tất cả các giá trị có thể có của x

• Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên được gọi là số trung bình (mean) và được ký hiệu là µx

*x

= 0 * 0.81 + 1 * 0.17 + 2 * 0.02

= 0.21 lỗi /1 trang

3.2.4.2 Kỳ vọng của hàm số của biến ngẫu nhiên

Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất PX(x)

g(X) là một hàm số của biến ngẫu nhiên X

Kỳ vọng của hàm số g(X) được định nghĩa như sau :

)x(P)x(g

3.2.5 Phương sai (Variance)

Gọi X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Gọi µX là số trung bình của biến ngẫu nhiên

• Phương sai của biến ngẫu nhiên X chính là kỳ vọng của (X - µx)² và được ký hiệu 2

)x(P.x)

x(P

∑

3.2.6 Độ lệch chuẩn σ x (Standard Deviation)

Độ lệch chuẩn được ký hiệu σx

Trong thí dụ trước ta có µX = 0.21

• Kỳ vọng của X²

MOMEN Momen goác caáp k (Momen of Order k)

3.2.7 Phân phối xác suất nhị thức (Binomial Probability Distubutions)

3.2.7.1 Hàm xác suất của phân phối nhị thức (Probability Function of Binomial Distribution)

Tiến hành n phép thử độc lập

Gọi p là xác suất thành công trong mỗi phép thử độc lập => q = (1-p) là xác suất

thất bại trong mỗi phép thử độc lập

Xác suất để có số lần phần thử thành công là x trong những phép thử độc lập được cho bởi hàm xác suất như sau :

Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[px(1 - p)n-x

] với x = 0,1,2,…, n hay

Px(x) = x

n

C pxqn-x với q = 1 - p

Ghi chú

• Phân phối của số lần phép thử thành công là x được gọi là phân phối nhị thức

• Hàm xác suất PX(x) là hàm xác suất của phân phối nhị thức

3.2.7.2 Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối nhị thức

Gọi X là số lần thành công trong n phép thử, mỗi phép thử có xác suất thành công là p X tuân theo phân phối nhị thức với số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn được tính theo các công thức sau:

a) Tìm phân phối xác suất của số lần bán được hàng

b) Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của số lần bán được hàng

c) Tìm xác suất của số lần bán được hàng trong khoảng 2 đến 4 lần

(trong 5 lần bán được cả 5)

b Số trung bình của số lần bán được hàng µx = np = 5 * 0.4 = 2

3.2.8 Phân phối xác suất Poisson

3.2.8.1 Phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X được gọi tuân theo phân phối Poisson nếu hàm xác suất của X có dạng

PX(x) =

!x

e λλx

với λ > 0, ∀λ

x = 0,1,2,…

3.2.8.2 Số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của phân phối Poisson

• Số trung bình của phân phối Poisson

3.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC

(Probability Distributions For Continuous Random Variables)

Phân phối của biến ngẫu nhiên liên tục được xác định bởi hàm mật độ xác suất

3.3.1 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function)

Gọi X là biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x là giá trị bất kỳ nằm trong miền các giá trị có thể có của X

Hàm mật độ xác suất fX(x) của biến ngẫu nhiên liên tục là hàm có những tính chất sau :

• fX(x) ≥ 0 , ∀x

• Xác suất P(a<X<b) để giá trị của biến ngẫu nhiên X rơi vào khoảng (a,b) được

xác định bởi đẳng thức

P(a<X<b) = ∫a Xbf (x)dx

Ghi chú

• Đồ thị của hàm mật độ xác suất fX(x) được gọi là đường cong mật độ xác suất (probability density curve) hay đường cong tần số (frequency curve) hay cũng còn được gọi đường cong phân phối xác suất đối với biến ngẫu nhiên liên tục

Tung độ của mỗi điểm trên đường cong gọi là mật độ xác suất

• Về mặt hình học xác suất để biến ngẫu nhiên rơi vào khỏang (a,b) bằng diện tích hình thang cong giới hạn bởi đường cong phân phối xác suất, trục 0x, x = a,

x = b

FX(x)

2

P(a<X<b) = S

∫−∞∞fx( x ) dx = 1 ==> Toàn bộ diện tích của hình thang cong là 1

* fX(x) là hàm mật độ phân phối cần thỏa mãn 2 điều kiện

1x0nếu 2x

0xnếu 0

Tìm xác suất để X rơi vào khoảng (0.5, 0.75)

Giải

5 2 75

0

5

75 0

5

2 ..

.

.

xxdxdx

)x( = ∫ =

0.5 0.75 1 x Kiểm tra điều kiện của hàm mật độ phân phối

dxdx

<

≤+

<

1xnếu 0

1x0nếu aax-

0x1

- nếu aax

-1xnếu 0

fX

b Tìm xác suất

2 1

1 2 1

22

3.3.2 Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function)

Hàm phân phối tích lũy còn được gọi là hàm phân tích hay hàm phân phối xác suất

3.3.2.1 Định nghĩa

Hàm phân phối tích lũy, FX(x) của biến ngẫu nhiên liên tục X thể hiện xác suất để

X không vượt quá giá trị x FX(x) là hàm của x

Nếu x <1 Nếu 1 ≤ x ≤ 3 Nếu x >1

Tính xác suất để biến ngẫu nhiên X nằm trong khoảng (1.5, 2.5) và khoảng (2.5, 3.5)

Giải

P(1.5 < X < 2.5) = F(2.5) - F(1.5)

= (2.5 - 1)/2 - (1.5 -1)/2

= 0.5 P(2.5 < X < 3.5) = F(3.5) - F(2,5)

= 0.25

3.3.3 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên liên tục

3.3.3.1 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng E(X) của biến ngẫu nhiên liên tục X được định nghĩa như sau :

3.3.6 Hàm phân phối chuẩn (The Normal Distribution)

3.3.6.1 Hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn

Nếu hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X có dạng

2

2 2

2

1 − σµ

σΠ

) x (

e

Với

- ∝ < µ < +∝

0 < σ² < +∝

Thì biến ngẫu nhiên X được gọi là tuân theo luật phân phối chuẩn

3.3.6.2 Tính chất của phân phối chuẩn

Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn với các tham số µ và σ²

Ta có các tính chất sau

a Số trung bình của biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối chuẩn là µ

µ

fX(x)

• Phân phối chuẩn có phương sai giống nhau nhưng số trung bình khác nhau

• Phân phối chuẩn có số trung bình giống nhau nhưng phương sai khác nhau

d Ký hiệu: Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình là

µ và phương sai là σ², ta ký hiệu

2 2

21

• Biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa được gọi là biến ngẫu

nhiên chẩn hóa (standard normal variable) và được ký hiệu là Z

• Đường cong của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn chuẩn hóa gọi là

đường cong chuẩn chuẩn hóa (standard normal variable)

Gv Cao Hào Thi 18

2

1 − σµ

πσ

) x (

e

Với µ = 0 , σ = 1 và x = z

• Giá trị của hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn chuẩn hóa (cũng bằng diện tích nằm dưới đường cong chuẩn) được lập thành bảng và được cho sẵn trong các phụ lục của sách thống kê Các bảng này cho giá trị của

Một số bảng lập sẵn, chỉ cho ta diện tích nằm dưới đường cong chuẩn từ 0 đến z

2 02

1 e−zπσ

FZ(z)

FZ(z)

FZ(z)

0 z z

Gv Cao Hào Thi 19

Dựa vào bảng này ta có thể tính được xác suất để cho biến ngẫu nhiên Z nằm trong khoảng nào đó Cụ thể

P[Z < a]

P[a ≤ Z ≤ b]

P[Z > b]

3.3.7.2 Chuẩn hóa biến ngẫu nhiên (Standardization of Variable)

Nếu biến ngẫu nhiên X có số trung bình là µ và phương sai là σ², thì biến ngẫu

nhiên Z = (X-µ)/σ sẽ có số trung trung bình là 0 và phương sai là 1

Z được gọi là biến ngẫu nhiên được chuẩn hóa (standardized)

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn thì Z tuân theo phân phối chuẩn chuẩn hóa và Z được gọi là biến ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa (Standard normal variable) Khi đó :

µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ X

3.3.8 Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối nhị thức

(Normal Approximaton to the Binomial Distribution)

Px(x)

Z =

)p

npbZ)p(np

npa

np.bZ)p(np

np.a

−

−+

5

• P(X=a) = P(a-0.5 ≤ X ≤ a+0.5) ≈ (

)p(np

np.aZ)p(np

np.a

−

−+

50

3.3.9 Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với phân phối Poisson

Gọi X là biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối Poisson có số trung bình là λ

Nếu λ lớn thì ta có thể dùng phân phối chuẩn để tính toán gần đúng cho phân phối Poisson

Biến ngẫu nhiên X được chuẩn hóa theo công thức

Z =

λ

λ

−X

λ

λ

−+

≤

≤λ

P(45 ≤ X ≤ 50) = P[

24

405024

Ghi chú :

Lời giải chính xác

P(X = 20 ) = C

80 20

P20 q80-20 = 0.122

3.3.10 Sự gần đúng của phân phối chuẩn đối với tỉ số của số lần thành công của

biến ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối nhị thức

Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số lần thành công trong n phép thử

Gọi f = X/n là tỉ số của số lần thành công

Gọi p là xác suất thành công của 1 lần thử

• Kỳ vọng của f

E(f) = p

• Phương sai của f

2 f

pf

−

−1