Giáo trình: Chương I: Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
CHƯƠNG BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT (Random Variables and Probability Distributons) ĐỊNH NGHĨA BIẾN NGẪU NHIÊN (Random Variable) 5.1.1 Định nghĩa • Biến ngẫu nhiên biến mà giá trị xác định cách ngẫu nhiên • Về mặt tốn học, biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω đặt tương ứng với đại lượng xác định X = X(A) X gọi biến cố ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên X xem hàm biến cố A với miền xác định ω • Các biến ngẫu nhiên ký hiệu chữ lớn X, Y, Z,… giá trị chúng ký hiệu chữ nhỏ x, y, z 5.1.2 Phân loại Biến ngẫu nhiên chia làm hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục a) Biến ngẫu nhiên rời rạc (Discrete Random Variable) Nếu giá trị biến ngẫu nhiên X lập thành dãy rời rạc số x1, x2, …, xn (dãy hữu hạn hay vơ hạn) X gọi biến ngẫu nhiên rời rạc b) 3.1.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục (Continuous Random Variable) Nếu giá trị biến ngẫu nhiên X lấp đầy tồn khoảng hữu hạn hay vô hạn (a,b) trục số 0x biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục Thí dụ • Lượng khách hàng đến cửa hàng ngày biến ngẫu nhiên rời rạc • Nhiệt độ ngày Sài Gịn biến ngẫu nhiên liên tục 5.2 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC (Probability Distribution for Discrete Variable) 5.2.1 Hàm xác suất (Probability Function) Hàm xác suất Px(x) biến ngẫu nhiên rời rạc X dùng diễn tả xác suất biến ngẫu nhiên X đạt giá trị x PX(x) hàm giá trị x PX(x) = P(X=x) Cao Hào Thi 43 Thí dụ Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, ta có P(X=1) = P(X=2) = … = P(X=6) = 1/6 → Hàm xác suất : PX(x) = P(X=x) = 1/6 với x =1, 2, 3, 4, 5, 5.2.2 Phân phối xác suất (Probability Distribution) Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X thể tương quan giá trị xi X xác suất xi, tương quan trình bày bảng đồ thị biểu thức Thí dụ Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, phân phối xác suất là: Trình bày bảng: X 1/6 PX(x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Trình bày đồ thị : PX(x) 1/6 x 5.2.3 Hàm xác suất tích lũy (Cumulative Probalility Function) a) Định nghĩa Hàm xác suất tích lũy FX(xo) biến ngẫu nhiên rời rạc x thể xác suất để X không vượt giới hạn xo FX(xo) hàm xo FX(xo) = P (X≤xo) Cao Hào Thi 44 b) Tính chất Ta có tính chất sau: a FX(xo) = ∑ PX ( x ) x ≤xo ∑ PX (x) : tổng tất giá trị có x với điều kiện x≤xo x ≤xo ≤ FX(xo) ≤ b c ∀xo Nếu x1 < x2 FX(x1) ≤ FX(x2) Thí dụ Trong thí nghiệm thảy xúc sắc, ta có hàm xác suất tích lũy sau ⎧0 neáu x < ⎪ ⎪j FX(xo) = ⎨ neáu j ≤ x < j + ( j = 1,2, ,5) ⎪6 ⎪ ⎩1 neáu x ≥ FX(xo) 5/6 4/6 3/6 2/6 1/6 x FX(x≤ 2.5) = PX(1) + PX(2) = 1/6 + 1/6 = 1/3 • Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc hàm xác suất tích lũy ln có dạng bậc thang tận Cao Hào Thi 45 5.2.4 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc (Expected Value of Discrete Random Variable) a) • Kỳ vọng biến ngẫu nhiên Kỳ vọng, E(X), biến ngẫu nhiên rời rạc X định nghĩa sau: E(X) = ∑ x.Px (x) x • ∑ : Tổng tất giá trị có x x • Kỳ vọng biến ngẫu nhiên gọi số trung bình (mean) ký hiệu µx E(X) = µx Thí dụ Gọi X số lỗi có trang sách Hàm xác suất biến ngẫu nhiên X cho bởi: PX(0) = 0,81, PX(1) = 0,17, PX(2) = 0,02 Tìm số lỗi trung bình có trang sách ? Giải µx = E(X) = ∑ x * PX ( x ) = * 0,81 + * 0,17 + * 0,02 x = 0,21 lỗi /1 trang PX(x) 0,8 0,4 µx = 0,21 b) x Kỳ vọng hàm số biến ngẫu nhiên Gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất PX(x) g(X) hàm số biến ngẫu nhiên X Kỳ vọng hàm số g(X) định nghĩa sau : E[g(x)] = ∑ g(x)PX (x) x Cao Hào Thi 46 5.2.5 Phương sai (Variance) Gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc Gọi µX số trung bình biến ngẫu nhiên • Phương sai biến ngẫu nhiên X kỳ vọng (X - µx)² ký hiệu σ2 X σ = E[(X - àX)] = X ã (x − µ X ) x * PX ( x ) Phuơng sai σ tính theo cơng thức : X σ = E(X²) - µ = X X ∑ x PX (x) − µ X x Chứng minh σ2 = X σ2 = X ∑ (x −µ X ) PX (x) = ∑ x x x 2 PX ( x) − µ X ∑ x.PX ( x) + µ X ∑ PX ( x) x x ∑ x PX (x) − µ X x 5.2.6 Độ lệch chuẩn σx (Standard Deviation) Độ lệch chuẩn ký hiệu σx σX = σ2 X Thí dụ Cho hàm xác suất số lỗi X có trang sách PX(0) = 0,81, PX(1) = 0,17, PX(2) = 0,02 Tìm độ lệch chuẩn số lỗi có trang sách ? Giải Trong thí dụ trước ta có µX = 0,21 • Kỳ vọng X² E(X²) = ∑ x PX (x) = 0² * 0,81 + 1² * 0,17 + 2² * 0,02 x E(X²) • = 0,25 Phương sai σ = E(X²) - µ = 0,25 - (0,21)² = 0,2059 X X • Độ lệch chuẩn Cao Hào Thi 47 σx = σ X = 0,2059 = 0,4538 5.2.7 Momen a) Momen gốc cấp k (Momen of Order k) mk = E [Xk] = • • b) k = 1: k = 2: m1 = E[X] = ∑ x k PX ( x ) x ∑ xPX (x) = µ X x m2 = E[X²] Momen trung tâm cấp k (Central Momen of Order k) Mk = E[(X-µX)k] = ∑ (x −µ X ) k PX (x) σ = E[(X - µX)²] = m2 - m X • k = 2: ã M1 = E [(X - à)] = M2 = E [(X - µ)² ] = σ² (Variance) M3 = E [(X - µ)³] = γ (Skewness : độ lệch) M4 = E [(X - µ)4] = KM2² = Kσ4 K : hệ số Kurtorsis 5.2.8 Phân phối xác suất nhị thức (Binomial Probability Distubutions) a) Hàm xác suất phân phối nhị thức (Probability Function of Binomial Distribution) Tiến hành n phép thử độc lập Gọi p xác suất thành công phép thử độc lập => q = (1-p) xác suất thất bại phép thử độc lập Xác suất để có số lần thử thành công x phép thử độc lập cho hàm xác suất sau : Px(x) = [n!/ (x!(n - x)!)].[px(1 - p)n-x ] với x = 0,1,2,…, n hay Px(x) = C x pxqn-x n với q = - p Ghi • Phân phối số lần phép thử thành công x gọi phân phối nhị thức Cao Hào Thi 48 • Hàm xác suất PX(x) hàm xác suất phân phối nhị thức b) Số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn phân phối nhị thức Gọi X số lần thành công n phép thử, phép thử có xác suất thành công p X tuân theo phân phối nhị thức với số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn tính theo cơng thức sau: Số trung bình µX = E(X) = np Phương sai σ = E[(X - µx)²] = np(1-p) X Hay σ = npq X với q = 1-p Độ lệch chuẩn σx = npq Thí dụ Một người bán hàng tiếp xúc để chào hàng với khách hàng Xác suất để bán hàng lần chào hàng 0,4 a) Tìm phân phối xác suất số lần bán hàng b) Tìm số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn số lần bán hàng c) Tìm xác suất số lần bán hàng khoảng đến lần Giải a Xác suất số lần bán hàng tuân theo phân phối nhị thức : x PX(x) = C x Px qn-x = C * (0,4)x * (0,6)5-x n 5! * (0,4)x * (0,6)5-x x! (5 − x)! PX(x) x = => PX(0) = 0,078 PX(x) = (không bán được) 0,4 x = => PX(1) = 0,259 x = => PX(2) = 0,346 x = => PX(3) = 0,230 0,2 x = => PX(4) = 0,077 x = => PX(5) = 0,010 (trong lần bán 5) Cao Hào Thi 0 X số lần thành cơng 49 b Số trung bình số lần bán hàng µx = np = * 0,4 = Phương sai σ = np(1-p) = * 0,4 * 0,6 = 1,2 X Độ lệch chuẩn σx = 12 = 1,10 c P(2 < X < 4) = PX(2) + PX(3) + PX(4) = 0,653 5.2.9 Phân phối xác suất Poisson a) Phân phối Poisson Biến ngẫu nhiên X gọi tuân theo phân phối Poisson hàm xác suất X có dạng PX(x) = e − λ λx x! với λ > 0, ∀λ x = 0,1,2,… b) • Số trung bình, phương sai độ lệch chuẩn phân phối Poisson Số trung bình phân phối Poisson µx = E(x) = λ • Phương sai σ²x = E[(x-µx)²] = λ • Độ lệch chuẩn σx = λ Thí dụ Một trạm điện thoại tự động nhận trung bình 300 lần gọi Hỏi xác suất để trạm nhận lần gọi phút cho trước Giải Số lần nhận trung bình phút 300/60 = lần/1phút => λ = Xác suất để nhận lần phút PX(2) = (5² * e-5)/2! = 25/2e5 ≈ 0,09 Cao Hào Thi 50 5.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỐI VỚI BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC (Probability Distributions For Continuous Random Variables) Phân phối biến ngẫu nhiên liên tục xác định hàm mật độ xác suất 5.3.1 Hàm mật độ xác suất (Probability Density Function) Gọi X biến ngẫu nhiên liên tục, gọi x giá trị nằm miền giá trị có X Hàm mật độ xác suất fX(x) biến ngẫu nhiên liên tục hàm có tính chất sau : • fX(x) ≥ , ∀x • Xác suất P(a [(18 -µ)/σ] = P(Z> [(18 - 15)/4] = P(Z> 0,75) = - P(Z18) = 0,2266 Thí du Nếu X biến ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn có số trung bình độ lệch chuẩn Tìm P(4