Bien ngau nhien va phan phoi xac suat

X = “Số điểm mặt trên con xúc sắc” Lập bảng phân phối xác suất cho X.. Viết hàm phân phối...[r]

Bài 2

Biến ngẫu nhiên

Biểu diễn định lượng kết thí

nghiệm ngẫu nhiên

X biến ngẫu nhiên

( :

)

X

X

 

  



B

Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Có miền giá trị tập hữu hạn vô hạn đếm

được

 Ví dụ

 Tung xúc sắc lần

Đặt X số lần mặt điểm xuất X nhận giá trị 0, 1,

 Tung đồng xu lần

Biến ngẫu nhiên rời rạc

 Ví dụ

Tung xúc sắc cân đối đồng chất

Đặt X = Số lần tung mặt điểm xuất

Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị

x1, x2, …, xn

 Hàm xác suất X:

 Để đơn giản, ký hiệu pi=f(xi)=P(X=xi)  ĐK

 

( )i ( i)

f x P X x

( ) 0i

f x 

1

( )

n i i f x   

x1 x2 Xn-1 xn

f(x1)

f(x2)

f(xn-1) f(xn)

Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

Thí nghiệm: Tung đồng xu.Đặt X: số lần xuất mặt hình

S S

S S

H H

4 khả xảy ra

Phân phối xác suất

x P(x) 1/4 = 25

2/4 = 50 1/4 = 25

.50

u

ất

Biến ngẫu nhiên liên tục

 Có miền giá trị R tập R

 Ví dụ

- Chiều cao, cân nặng

Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục

 Hàm mật độ xác suất

f(x) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục X

) ( ) 0

) ( ) 1

x ii f x dx

i f x



 

 



Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục

Tìm P(a<X<b)?

f(x) P (a ≤ x ≤ b)

P (a < x < b)

=

( ) ( )

b

a

P a X  b f x dx

Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên liên tục

 Lưu ý:

 Do

( ) ( )

c

c

P X c f x dx 

( ( )

( ) ( )

) X

P b

P a X b P a X b

a X b P a  

     

Hàm phân phối xác suất

 Xét biến ngẫu nhiên X, hàm phân phối xác

suất X, ký hiệu F(x), định nghĩa sau

 Xác suất X thuộc (a,b]

 

( ) x

F x P X 

)

Hàm phân phối xác suất

 Tính chất

1)

2) F(x) hàm khơng giảm: a<b F(a) 

F(b) 3)

0 F x( ) 1 ) lim (

(

( )

) lim ( )

x x F F F x F x             

Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận n giá trị x1,

x2, …, xn (x1<x2< …< xn) với xác suất

tương ứng p1, p2, …, pn

Với pi = P(X=xi)

 Bảng phân phối xác suất X

X x1 x2 … xn-1 xn

Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

 Hàm phân phối xác suất X điểm x0

 Cụ thể

) x P(X

)

F(x0   0

0

0

x x

F(x )

i

i

p



Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

1 2 1

2 1

0 , , , ) ( ) ( , , 1

n n n n

p

p p F x P

x x

x x x

x x x x

p p p x x x

Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung xúc sắc cân đối đồng chất. Đặt

Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung đồng xu cân đối. Đặt

X = Số lần tung xuất mặt hình.

Hàm phân phối xác suất biên ngẫu nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm

mật độ xác suất f(x), hàm phân phối xác suất X

 

( ) ( )

x

F x P X x f u du

 



Hàm phân phối xác suất biên ngẫu nhiên liên tục

 Ví dụ

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

 Tìm hàm phân phối F(x)  Tính P(1<X<3/2)

2 ,0 2

3

( 8

, )

0

x

f x  x 

 

Kỳ vọng biến ngẫu nhiên

Là giá trị trung bình theo xác suất tất

cả giá trị có biến ngẫu nhiên.

Kỳ vọng phản ánh giá trị trung tâm

Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc

 Xét biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân

phối xác suất

Với pi = P(X=xi)

X x1 x2 … xn-1 xn

P p1 p2 … pn-1 pn

1

1

n

i i

p





Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc

Kỳ vọng X

Kỳ vọng thường ký hiệu . Tổng quát

1

n

i i i

EX x p





( )

Kỳ vọng biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ

Tung xúc sắc Đặt

X = Số điểm mặt xúc sắc Tính EX

EX = 1x1/6 + 2x1/6 + … + 6x1/6 = 7/2 X

Kỳ vọng biến ngẫu nhiên liên tục

Xét biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm

mật độ xác suất f(x).

Kỳ vọng X

( )

EX xf x dx



  

 

Ví dụ. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ

2 ,0 ( ) x x

Tính chất kỳ vọng

1) EC = C, C: số 2) E(CX) = C.EX

3) E(X + Y)=EX + EY

4) E(XY) = EX.EY X Y độc lập 5) Cho hàm số h(x),

X rời rạc X liên tục

1

( ) n ( )i i

i

Eh x h x p





( ) ( ) ( )

Eh x h x f x dx



 

Tính chất kỳ vọng

 Ví dụ

Cho h(x) = x2, h(X)=X2

X rời rạc X liên tục

1 2

i n

i i

EX x p





2 ( )

EX x f x dx

  

Phương sai biến ngẫu nhiên

 Biểu thị độ phân tán giá trị biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình Nếu phương sai bé giá trị X tập trung gần trung bình

 Xét biến ngẫu nhiên X có kỳ vọng EX, phương sai X

 Phương sai thường ký hiệu 2

2

2

( )

( )

=

VarX E X EX EX EX

 

Phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc  Xét X biến ngẫu nhiên rời rạc

 Ký hiệu  = EX

hoặc

 2

2

1

( ) n i i

i

VarX E X EX x  p



   

 2

2 2 n i i

VarX EX EX x p 



Phương sai biến ngẫu nhiên rời rạc

 Ví dụ

Tung đồng xu Đặt

X = Số lần xuất mặt hình Tính VarX



Bảng phân phối xác suất

X P 0.25 0.5 0.25

EX=0x0.25 + 1x0.5 + 2x0.25=1

VarX = EX2 – (EX)2 =

Phương sai biến ngẫu nhiên liên tục

 Xét X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật

độ xác suất f(x)

 Ký hiệu  = EX

hoặc

 2

2

( ) ( )

VarX E X EX x  f x dx

  

    

 2

2 ( )

VarX EX EX x f x dx 



Phương sai biến ngẫu nhiên liên tục

 Ví dụ

Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

Tính EX, VarX

2 ,0 2

3

( 8

, )

0

x

f x  x 

 

Độ lệch tiêu chuẩn

Độ lệch tiêu chuẩn biến ngẫu

nhiên, bậc hai phương sai. Ký hiệu: .

2 VarX



Tính chất phương sai

1) Var(c)=0, c:hằng số

2) Var(cX)=c2VarX

Var(X+c)=VarX

3) Var(X + Y) = VarX + VarY X Y độc