LUẬN văn TOÁN THỐNG kê đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN và PHÂN PHỐI xác SUẤT của đại LƯỢNG NGẪU NHIÊN câu hỏi TRẮC NGHIỆM vận DỤNG

Dựa trên những cơ sở lý thuyết về đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, để tạo ra các câu hỏi trắc nghiệm về xác suất, mà ta có thể dùng để kiểm tra sự ghi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA KHOA H ỌC TỰ NHIÊN

B Ộ MÔN TOÁN

- -

LU ẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI

C ẦN THƠ - 05/2010

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

Ths DƯƠNG THỊ TUYỀN

(B Ộ MÔN TOÁN – KHOA KHTN)

SINH VIÊN TH ỰC HIỆN NGUY ỄN THANH THỦY NGÀNH: TOÁN TH ỐNG KÊ KHÓA: 32

M ỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC

SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 5

1.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 5

1.1.1 Khái niệm: 5

1.1.2 Phân loại đại lượng ngẫu nhiên 5

1.2 Phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên 5

1.2.1 Bảng phân phối xác suất: 6

1.2.2 Hàm mật độ xác suất: 7

1.2.3.Hàm phân phối xác suất: 9

1.3 Các tham số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên 11

1.3.1 Kỳ vọng: 11

1.3.2 Phương sai: 15

1.3.3 Độ lệch tiêu chuẩn: 19

1.3.4 Mode: 19

1.4 Một số phân phối xác suất thông dụng 20

1.4.1 Phân phối nhị thức: 20

1.4.2 Phân phối poisson: 23

1.4.3 Phân phối siêu bội: 25

1.4.4 Phân phối chuẩn: 27

Chương 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 29

Chương 3: GIỚI THIỆU PHẦN MỀM TRẮC NGHIỆM 54

KẾT LUẬN 75

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

L ỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên Dựa vào

những thành tựu của lý thuyết xác suất, thống kê toán là khoa học ra quyết định trên cơ

sở những thông tin thu thập từ thực tế Ra đời từ thế kỷ 17, cho đến nay nội dung và các phương pháp xác suất và thống kê toán rất phong phhú, được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau Cho nên, môn xác suất thống kê đã trở thành một môn

học rất cần thiết cho học sinh, sinh viên học tập và nghiên cứu

Phần lớn sách giáo khoa và các công trình nghiên cứu về trắc nghiệm ở nước ngoài

rất phong phú, nhưng riêng ở nước ta sách giáo khoa và công trình nghiên cứu bằng

tiếng việt hầu như chưa có (vào các năm 1969 và 1970) Cho nên sinh viên không có

những tài liệu chuyên môn để tham khảo cho các bài giảng ở lớp học, đặc biệt là cho môn xác suất thống kê nói riêng và các môn học khác nói chung

Hiện nay, hầu hết môn xác suất thống kê đều được các giáo viên giảng dạy ở các

bậc học như phổ thông, Cao Đẳng, Đại Học… Với kiến thức nội dung thật rộng lớn, thông qua đó giúp chúng ta giải quyết được các bài toán thống kê cơ bản trong nghiên

cứu khoa học và trong đời sống sản xuất Tuy nhiên để đánh giá được kiến thức ghi

nhớ và tầm bao phủ nội dung rộng của học sinh, sing viên, với độ tin cậy của kết quả cao cho môn học Các giáo viên đã đưa ra hình thức thi trắc nghiệm cho môn h ọc này

Bởi lẽ, trắc nghiệm là một loại dụng cụ đo lường khả năng của người học, ở bất cứ cấp

học nào, bất cứ môn học nào, trong lĩnh vực khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội cho nên mọi thầy giáo từ tiểu học đến đại học, dạy các môn khoa học tự nhiên hay khoa học xã hội, đều cần phải biết và phải sử dụng nó Vì vậy nội dung của đề tài em nghiên cứu cũng hướng đến câu hỏi trắc nghiệm Dựa trên những cơ sở lý thuyết về đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên, để tạo ra các câu hỏi trắc nghiệm về xác suất, mà ta có thể dùng để kiểm tra sự ghi nhớ kiến thức sâu sắc của học sinh, sinh viên Cách nhạy bén trong tính toán, phát hiện những sai

lầm học sinh, sinh viên mắc phải Đồng thời sử dụng phần mềm trắc nghiệm để tạo đề thi, trộn đề thi, làm đáp án,…Giáo viên có thể cho thi, kiểm tra ở mọi bậc học…Đó chính là toàn bộ nội dung mà em sẽ nghiên cứu trong đề tài này

Nội dung của đề tài gồm 3 chương:

- Chương 1: Đại lượng ngẫu nhiên và phân phối xác suất của đại luợng ngẫu nhiên

- Chương 2: Câu hỏi trắc nghiệm vận dụng

- Chương 3: Giới thiệu phần mềm trắc nghiệm

Lần đầu tiên làm đề tài, mặc dù em rất cố gắng, song cũng khó tránh khỏi những sai sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quí Thầy Cô để nội dung của

đề tài được hoàn thiện hơn Em xin chân thành cảm ơn

C hương 1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SU ẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1 ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.1.1 Khái ni ệm:

Đại lượng ngẫu nhiên là đại lượng biến đổi biểu thị giá trị kết quả của một phép

thử ngẫu nhiên Các đại lượng ngẫu nhiên thường được kí hiệu là: X,Y,Z,…

Ví d ụ 1: Chọn ngẫu nhiên 3 đứa trẻ từ một nhóm gồm 6 bé trai và 4 bé gái Gọi X là

số bé gái trong nhóm Khi đó X nhận các giá trị: 0,1,2,3 Khi đó, X được gọi là đại lượng ngẫu nhiên

Ví d ụ 2: Gọi Y là “số người đến một cửa hàng để mua hàng trong một ngày Khi đó, Y

có thể nhận một trong các giá trị có thể có là:0,1,2,…,n và Y được gọi là đại lượng

ngẫu nhiên

Ví d ụ 3: Gọi T là nhiệt độ của người bệnh Giả sử T∈ (30°; 42°) Khi đó T được gọi

là đại lượng ngẫu nhiên

Ví d ụ 4: Gọi Z là thời gian hoạt động bình thường của một bóng đèn điện tử Giả sử

Z∈ (0 ;+∞), khi đó Z được gọi là đại lượng ngẫu nhiên

1.1.2 Phân lo ại đại lượng ngẫu nhiên

Có hai loại đại lượng ngẫu nhiên:

a Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc: Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là rời rạc nếu

các giá trị có thể có của nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được

Ví d ụ 5: X trong ví dụ 1 và Y trong ví dụ 2 là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

b Đại lượng ngẫu nhiên liên tục: Đại lượng ngẫu nhiên được gọi là liên tục nếu

các giá trị có thể có của nó lấp đầy một khoảng nào đó trên trục số

Ví d ụ 6: T trong ví dụ 3 và Z trong ví dụ 4 là đại lượng ngẫu nhiên liên tục

1.2 PHÂN PH ỐI XÁC SUẤT CỦA ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN

1.2.1 B ảng phân phối xác suất:

Bảng phân phối xác suất dùng để thiết lập qui luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X

1

1

=

Ví d ụ 7: Trong hộp có 10 sản phẩm (trong đó có 6 chính phẩm) lấy ngẫu nhiên từ hộp

ra 2 sản phẩm Tìm bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra

2

4 =

C C

1 4 1

6 =

C

C C

2

6 =

C C

Vậy qui luật phân phối xác suất của X có dạng:

Ví d ụ 8: Một xí nghiệp có hai ô tô hoạt động Xác suất trong khoảng thời gian T các ô

tô bị hỏng tương ứng là 0,1 và 0,2 Lập bảng phân phối xác suất của số ô tô bị hỏng trong khoảng thời gian T

15

8

15 5

P

26,08,0.1,02,0.9,0)1

P

02,02,0.1,0)2

Dùng để thiết lập luật phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục

Định nghĩa1.1: Hàm mật đ ộ xác suất của đại lượng ngẫu nhiên liên tục X, kí hiệu:

f(x), là một hàm không âm, xác định trên toàn trục số sao cho:

f Đặc biệt, nếu X chỉ nhận giá trị trong đoạn [ βα, ] thì:

β α

1 ) (x dx f

• ≤ < =∫

b

a

dx x f b X a

 Ý ngh ĩa: Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm X cho biết

mức độ tập trung xác suất tại mỗi điểm đó

Ví d ụ 9: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) như sau:

) 3 2

(

3 3

P

Hình 1f(x)

1 1

)

1 ( 1

1 1

1 ) (

C dx

x C dx

x C

dx x f

) (

x C

x x

f

Ví d ụ 10: Cho X là đại lượng ngẫu nhiên có hàm mật độ f(x) như sau:

2 1

)(x dx

−

−++

0

2 1

1 0

)1()

1

8 7

1.2.3.Hàm phân ph ối xác suất:

Dùng để thiết lập luật phân phối xác suất cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục và

cả đại lượng ngẫu nhiên rời rạc

Định nghĩa 1.2: Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu: F (x),

là hàm xác định với mọi số thực x theo công thức sau:

p x

X P x

F( ) ( )

)()(x P X x

=

1 0

1 0

1

0 1

1 ) (

x

x x

x x

x f

k

x x

x x x p

p p

x x x p

p

x x x p

x x

x F

1 1

2 1

3 2

2 1

2 1

1

1

• Khi X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục:

(4)

• F (x)là một hàm không giảm, tức là nếu x1 < x2 thì F(x1)≤F(x2)

• F′(x)= f(x)

• P(a≤ X ≤b)=F(b)−F(a)

 Ý ngh ĩa:

Hàm phân phối xác suất F(x) phản ánh mức độ tập trung xác suất về bên trái

của điểm X Giá trị của hàm F(x) cho biết có bao nhiêu phần của một đơn vị xác suất phân phối trong khoảng (-∞ ;x)

Ví d ụ 11: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ sau:

6

10

56

00

)(

x

x x

x x

f

F( ) ( ) 0

3 5

6 )

( ) (x f t dt t dt x F

3 1

4 1

0 1

215

25

35

65

6)

()

()

()

(

x t

dt t dt

t dt t f dt t f dt t f x

F

x x

=+

1.3 Các tham s ố đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

Từ luật phân phối của đại lượng ngẫu nhiên người ta thường rút ra một vài con số đặc trưng cho mặt này mặt khác của đại lượng ngẫu nhiên và đôi khi giúp ta so sánh

giữa nhiều đại lượng với nhau Các con số rút gọn đó được gọi là các đặc trưng số, ở đây ta chỉ nêu ra một vài tham số quan trọng như: kỳ vọng, phương sai, độ lệch tiêu chuẩn, mode,…

i p x X

E

1

) (

21

10

53

00

)(

3

2

x x

x x

x x

F

Định nghĩa 1.4: Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất là

f(x) Khi đó, kỳ vọng của X, kí hiệu E(X) được xác định bởi công thức sau:

(6)

Ví d ụ 12: Tìm kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X cho bởi dãy phân phối:

Gi ải

Ta có: ( ) 2.0,3 3.0,1 5.0,6 3,9

3 1

=+

i p x X

E

Ví d ụ 13: Một hộp đựng 6 sản phẩm tốt, 4 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3

sản phẩm để kiểm tra Gọi X là số sản phẩm xấu trong 3 sản phẩm lấy ra Tìm bảng phân phối xác suất của X và E(X)

120

60)

1

10

2 6 1

P

120

36)

2

10

1 6 2

120

4)

∞

−

= x f x dx X

E( ) ( )

Và

5

630

1.310

3.22

1.16

1.0)

(

4 1

=+

++

=

=∑

=

i i

i p x X

136

19

1

.0

9

0.)

()

(

4 3

0 4 3

0 3

3

0 2

dx x dx

x x dx x dx x f x X E

Ví d ụ 15: Cho đại lượng ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ:

)(

4 1 1

0

=+

x f

7

2 1

3 2

1 1 2

. 14

1 0

2

=

⇒

= +

⇔

= +

nếu

nếu

[ ] [ ]

3

; 0 9

) (

2

x

x x

x f

4 1

1 0

)

x kx

x f

b) Tìm E(X):

21

477

1521

27

37

27

27

2)

()

(

4 1

2 1 0

3 1

0

4 1

 Ý ngh ĩa:

Giả sử đối với đại lượng ngẫu nhiên X, tiến hành n phép thử Trong đó có n1

lần X nhận giá trị x1 , n2lần X nhận giá trị x2…, n klần X nhận giá trị x k ( )

1

n n k

n

x n x

n x n

n x n

n x

k

.

2 1

n n

(

2 2 1

1p x p x p E X x

X≈ + + + k k=

Vậy kỳ vọng của đại lượng ngẫu nhiên gần bằng trung bình số học của các giá

trị quan sát của đại lượng ngẫu nhiên Nó phản ánh giá trị trung tâm của phân phối xác

suất Chính vì thế, trong lĩnh vực kinh doanh và sản xuất nếu ta cần chọn chọn phương

án cho năng suất cao ( hay lợi nhuận cao) ta nên chọn phương án cho năng suất trung bình cao ( hay lợi nhuận trung bình cao)

Ví d ụ 16: Thống kê tại tất cả 52 cửa hàng bán sản phẩm của công ty trên toàn quốc thu

được các số liệu sau:

a) Xây dựng bảng phân phối xác suất

b) Tìm số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng

Gi ải

a) Gọi X là số nhân viên bán hàng ở cửa hàng

Ta có bảng phân phối xác suất:

b) Số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng chính là E(X)

465,352

14.552

16.452

12.352

10.2)

(

4 1

≈

=++

i p x X

E

Vậy E(X)=4 Nghĩa là số nhân viên trung bình ở mỗi cửa hàng là 4 nhân viên

 Tính ch ất:

• E(C) = C, với C là hằng số

• E(CX) = C E(X), với C là hằng số

• E(X±Y) = E(X) ± E(Y)

• Nếu X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì E(XY) = E(X).E(Y)

1.3.2 Phương sai:

Định nghĩa 1.5: Phương sai của đại lượng ngẫu nhiên X , kí hiệu : D(X), được xác

định bởi công thức:

(7)

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ f(x) thì phương sai của

X được xác định bởi công thức:

(8)

) ( )

(X E X E X

D = −

∫+∞

∞

−

−

= x E X f x dx X

D( ) ( ( ))2 ( )

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất:

thì phương sai của X được xác định bởi công thức:

2 2

2 2

2

)]

([)(

)]

([)()(2)(

})]

([)(2{

})]

({[

)(

X E X E

X E X E X E X

E

X E X E X X E

X E X E X D

• Nếu X là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì:

i

i E X p x

X

1

))(()

=

2 2

)]

( [ ) ( ) (X E X E X

D = −

i n

i

i p x X

)(

∫+∞

∞

−

= x f x dx X

E( 2) 2 ( )

96,1)8,3(4,16)(

4,162,0.65,0.43,0.2)

(

8,32,0.65,0.43,0.2)

(

2

2 2

2 3

1

2 2

3 1

=

−

=

=+

+

=

=

=++

p x X

E

p x X

E

i i

i

i i i

Vậy D(X)=1,96

Ví d ụ 18: Trở lại ví dụ 16, hãy tìm phương sai của X

Gi ải

2 2

)]

([)()

3459

.0

9

0.)

()

(

5 3 0

5 3

0 4

3 2 2

0 3 2 0

2 2

dx x dx

x x dx x dx x f x X

E

Vậy: 5 , 4 (2 , 25) 0 , 3375

36

81 45

243 )

 Ý ngh ĩa: Từ định nghĩa của phương sai ta thấy phương sai chính là trung bình

số học của bình phương các sai lệch giữa các giá trị có thể có của đại lượng ngẫu nhiên

so với giá trị trung bình của nó Do đó nó phản ánh mức độ phân tán các giá trị của đại lượng ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó Vậy khi phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ tức mức độ tập trung lớn, ngược lại khi phương sai lớn thì độ phân tán

lớn tức mức độ tập tung nhỏ

Trong lĩnh vực kinh doanh và quản lý nếu kỳ vọng toán được coi là một tiêu chuẩn ra quyết định trong tình huống cần lựa chọn giữa nhiều chiến lược khác nhau (tiêu chuẩn dưới dạng lợi nhuận trung bình) thì phương sai đặc trưng cho mức độ rủi

ro của các quyết định

Ví d ụ 19: Lãi suất thu được trong một năm (tính theo %) khi đầu tư vào công ty A,

công ty B tương ứng là các biến ngẫu nhiên X và Y (X,Y độc lập) có phân phối xác

a) Nên đầu tư vào công ty nào để lãi suất cao hơn?

b) Đầu tư vào công ty nào có mức độ rủi ro ít hơn? Vì sao?

• Nếu X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì:D(X ±Y)=D(X)+D(Y)

• D(X +C)=D(X)

1.3.3 Độ lệch tiêu chuẩn:

Định nghĩa 1.6: Độ lệch tiêu chuẩn của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu:σ( X), và

được xác định bởi công thức:

2) f(x) đạt cực đại nếu X liên tục và f(x) là hàm mật độ xác suất của X

Ví d ụ 20: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

)()(X = D X

3 ( 9 2

3

; 0 0

) (

x x

x

x x

f

Ta có: ( 3 2 )

9

2 )

) ( = ⇒ =

• Trong mỗi phép thử chỉ có thể xảy ra một trong hai trường hợp: biến cố A

xảy ra hoặc biến cố A không xảy ra

• Xác suất để cho A xảy ra trong mỗi phép thử đều bằng p, xác suất không xảy

; 6

1 ) ( }, 6 ,

10 = = = = − =

Định nghĩa 1.8: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có thể nhận một trong các giá trị

0,1,2,3,…,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức Bernoulli:

Ví d ụ 23: Trong một thành phố nào đó 65% gia đình có tivi màu, chọn ngẫu nhiên 12

gia đình và gọi X là số gia đình có tivi màu

a) Gọi tên phân phố xác suất của X

k n k k

n p q C k X

P( = ) = −

b) Tính xác suất để có đúng 5 gia đình có tivi màu

c) Tính xác suất để trong mẫu có ít nhất 2 gia đình có tivi màu

Ví d ụ 24: Xác suất để mỗi con gà khi tiêm phòng bằng một loại vắc-xin được miễn

dịch là 0,8 Có 100 con gà được tiêm phòng Tìm số gà được miễn dịch trung bình và

số gà được miễn dịch có khả năng lớn nhất

(X = np= =

999.0)35,0(.)65,0(.)

35,0(.)65,0(.1

)1()0(1)2(

11 1

1 12 12 0

X P X

P X

P

h k k

p h k X k

P( ≤ ≤ + ) = + +1+ + +

Số gà được miễn dịch có khả năng nhiều nhất chính là Mod(X)

Ta có:

8,80)(8

,79

8,08,0.100)(2

,08,0.100

)(

X Mod

p np X Mod q

np

Vậy Mod(X) = 80, tức là số gà được miễn dịch có khả năng nhiều nhất là 80 con

 Công th ức ước lượng:

Khi X~B(n,p) với n khá lớn và 0<< p<<1, ta có thể áp dụng công thức xấp

1)(

;

u e u

f npq

np k

np k

2

dt e u

x t

∫ −

=

0 2

2

2

1)(

π

Với ϕ(u)là hàm lẻ, nghĩa là ϕ(−u)=−ϕ(u)

Ví d ụ 25: Một ký túc xá có 650 sinh viên Xác suất để một sinh viên đến xem phim tại

câu lạc bộ vào tối thứ bảy là 0,7

a) Tính xác suất để có 444 sinh viên đến xem phim

b) Tính xác suất để có không nhiều hơn 440 sinh viên đến xem phim

X

P( ) 1 ( ) 1

)()()

c) Cần phải có bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 có thể đủ ghế cho sinh viên đến xem phim

Gi ải

Gọi X là số sinh viên đến xem phim Khi đó X ~ B(650;0,7)

a) Theo công thức (16) ta có:

0279,03264,0.086,0

)94,0(.5,136

13

,0.7,0.650

7,0.650444

3,0.7,0.650

1)

444(

b) Theo công thức (17) ta có:

1003,02997,05,0)9,38()28,1(

3,0.7,0.650

7,0.65003

,0.7,0.650

7,0.650440)

()()4400

()440

=

−

=+

ϕϕ

ϕ

X P X

P

c) Gọi n là số ngế cần phải có Khi đó ta có:

48234

,26833,11

4556833

,11

45549

,0

5,136

45599

,0)9,38(

99,03,0.7,0.650

7,0.65003

,0.7,0.650

7,0.650

99,0)0

n n

n

n X P

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

Vậy cần chuẩn bị 482 ghế

1.4.2 Phân ph ối poisson:

Trong trường hợp X~B(n,p) với n khá lớn và n.p=a(hằng số) thì ta có công thức

xấp xỉ:

,

3,2,1,0

!)

k e

k

a q p C k X

k k n k k n

Lúc này ta thay công thức Bernoulli bởi công thức:

a k e k

a k X

!)( (công thức poisson)

Định nghĩa 1.9: Đại lượng ngẫu nhiên rới rạc X nhận một trong các giá trị: 0,1,2,…

Với các xác suất tương ứng được tính theo công thức:

(18)

thì X được gọi là phân phối theo qui luật poisson với tham số a, kí hiệu:Ρ(a)

• Nếu X ~Ρ(a)thì xác suất để X nhận giá trị trong đoạn [k;k+h] được tính theo công thức:

(19)

 Các tham s ố đặc trưng:

• E(X)=D(X)=a

• a−1≤Mod(X)≤a

Ví d ụ 26: Trong một đợt người ta xuất bản 100000 cuốn sách Xác suất để mỗi cuốn

sách có lỗi do in ấn là 0,0001 Tìm xác suất có đúng 5 cuốn sách có lỗi

0.10

!5

10)5(

5 10

P

Ví d ụ 27: Xác suất một chai bia bị vỡ khi vận chuyển là 0,001 Giả sử vận chuyển

4000 chai Tìm số chai bị vỡ trung bình và số chai vỡ có khả năng nhiều nhất khi vận chuyển

Gi ải

Gọi X là số chai bia bị vỡ khi vận chuyển

,

3,2,1,0

=

⇒ X và X ~Ρ(a)với a = p n =4000.0,001=4

Số chai bia bị vỡ khi vận chuyển chính là kỳ vọng của X:

) ,

3 , 2 , 1 , 0 (

! )

k

a k X

p h k X k

P( ≤ ≤ + ) = + +1+ + +

Ta có: E(X)= a=4

Vậy:trung bình có 4 chai bia bị vỡ khi vận chuyển 4000 chai

Số chai bia bị vỡ có khả năng nhiều nhất chính là Mod(X)

phần tử không có tính chất A Chọn ngẫu nhiên một tập hợp gồm n phần tử Gọi X là

số phần tử có tính chất A trong n phần tử chọn ra Khi đó X có thể nhận các giá trị: 0,1,2,…n với các xác suất tương ứng được xác định bởi công thức:

(20)

Định nghĩa 1.10: Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị:

0,1,2,…,n với các xác suất tương ứng được tính theo công thức (20) được gọi là phân

phối theo qui luật siêu bội với các tham số:N, M, n Kí hiệu:H(N,M,n)

Ví d ụ 28: Một công ty có 40 kiện hàng trong đó có 8 kiện chất lượng không đạt tiêu

chẩn Phân phối ngẫu nhiên 10 kiện hàng cho một cửa hàng Tính xác suất để cửa hàng

đó nhận 2 kiện không đạt tiêu chuẩn

Gi ải

4 ) ( 3

) ( 1

a X Mod a

n N

k n M N k M C

C C k X P

−

−

=

= )(

Gọi X là số kiện hàng không đạt tiêu chuẩn có trong 10 kiện hàng lấy từ 40

kiện Khi đóX ~ H(40,8,10)

847660528

10518300

28)

2

40

8 32 2

P

 Chú ý: Nếu X ~H(N,M,n) và N khá lớn so với n thì có thể xem X có phân

phối nhị thức X ~B(n,p)với hai tham số n và

N

M

p= Khi đó:

) , , 2 , 1 , 0 , 1 ( )

P = = n k k n−k = − =

Ví d ụ 29: Một sọt cam có 1000 trái trong đó có 400 trái hư Lấy ngẫu nhiên ra 3 trái

a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư

b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư

Gi ải

Gọi X là số trái hư trong 3 trái lấy ra Khi đó X ~ H(1000,400,3)

Ta thấy n=3<<N=1000 nên ta xấp xỉ: X ~ B(3;0,4)với 0 , 4

Ví d ụ 30: Trong một thành phố gồm có 10000 người, trong đó có 8000 người có thu

nhập cao Chọn ngẫu nhiên 100 người để kiểm tra Tính xác suất sao cho có ít nhất 70 người có thu nhập cao trong 100 người được chọn để kiểm tra

Gi ải

Gọi X là số người có thu n hập cao khi kiểm tra 100 người Khi đó

)100,8000,10000

(

~ H

X Vì N=10000 lớn hơn khá nhiều so với n=100 nên có thể xem

)8,

Xét trong phân phối nhị thức X ~ B(100;0,8)với n=100 khá lớn, p=0,8 không quá

gần 0 và 1 nên theo công thức xấp xỉ ta có:

9938 , 0 4938 , 0 5 , 0 ) 5 , 2 ( ) 5 (

2 , 0 8 , 0 100

8 , 0 100 70 2

, 0 8 , 0 100

8 , 0 100 100 )

( ) ( ) 100 70

= +

ϕϕ

ϕ

X P

1.4.4 Phân ph ối chuẩn:

Định nghĩa 1.11: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X nhận giá trị trong khoảng

D

Định nghĩa 1.12: Đại lượng ngẫu nhiên liên tục X được gọi là có phân phối chuẩn hóa

nếu nó có phân phối chuẩn với µ=0 và σ2 =1 Và được kí hiệu N(0;1)

Khi X ~ N(0;1)thì hàm mật độ phân phối xác suất của X là 2

2

2

1 ) (

x

e x

2 ) (

2

1)

µ

πσ

−

−

=

x e x

P( ) 0,5

(23)

,0)2400

) 2 ( ) 5 , 0 (

200

2100 1700

200

2100 2200

) 2200 1700

(

= +

ϕϕ

X P

247889

,12002100

)89,1(47,0200

210003

,0200

21005

,0)(

a a

a X

µ

b X a

( X P

Ví d ụ 32: Một cơ sở sản xuất mặt hàng A có dự định sẽ áp dụng một trong hai phương

án sản xuất Lợi nhuận thu được từ hai phương án sản xuất là hai biến ngẫu nhiên phân

phối chuẩn ( đơn vị tính: triệu đồng / tháng) Ước tính lợi nhuận trung bình mỗi tháng

của hai phương án tương ứng là 140 triệu đồng và 180 triệu đồng Độ lệch tiêu chuẩn ứng với phương án một là 40 triệu đồng và phương án hai là 60 triệu đồng Nếu biết

rằng để tồn tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ sản xuất mặt hàng A phải đạt ít

nhất là 80 triệu đống/ tháng Hãy cho biết nên áp dụng phương án nào vào sản xuất?

Gi ải

Gọi X là lợi nhuận thu được của phương án một Khi đó X ~N(140;402)

Gọi Y là lợi nhuận thu được của phương án hai Khi đó Y ~ N(180;602)

Áp dụng công thức (23) ta có:

0,5 (1,5) 0,5 0,4332 0,9332 93,32%

40

140805

,0)80

,0)80

Vậy nên áp dụng phương án hai vào sản xuất

 Phân v ị chuẩn: Phân vị chuẩn mứcα (kí hiệu:uα) là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên U có phân phối chuẩn hóa sao cho P(U <uα)=α

Bảng tính sẵn các giá trị uαtương ứng với mức α cho trước ở phụ lục 3

Chương 2: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Một túi chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh Chọn ngẫu nhiên ra 3 tấm thẻ Khi đó xác suất để có 1 tấm thẻ đỏ là:

Câu 2: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

C Cả 1/ và 2/ đúng D Cả 1/ và 2/ sai

Câu 3: Tung một con xúc xắc liên tục 2 lần Gọi A là biến cố “lần đầu xuất hiện mặt

một chấm”, B là biến cố “tổng số chấm trong 2 lần tung không vượt quá 3” Khi đó:

A

36

4 ) (

; 36

5 )

(A = P B =

36

3 ) (

; 36

6 ) (A = P B =

;36

6)

36

3)(

;36

4)(A = P B =

P

Câu 4: Một hộp có ba chữ số 1,2,3 Một hộp khác đựng bốn chữ số 4,5,6,8 Lấy ngẫu

nhiên từ mỗi hộp một chữ số Gọi

Câu 5: Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ một túi có 6 bi đen, 4 bi trắng Gọi X là số bi trắng

Câu 6: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

Khi đó, cặp giá trị E(X) và D(X) là:

Câu 9: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

Cặp giá trị kỳ vọng và phương sai của X là:

A E(X)=2,1 và D(X)=1,091 B E(X)=2,33 và D(X)=0,88

C. E(X)=2,1 và D(X)=1,19 D E(X)=2,33 và D(X)=0,77

Câu 10: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

Khi đó cặp giá trị E(X) và Mod(X) sẽ có giá trị là:

A.

X

E(X) = 6,6 và Mod(X) = 6 B E(X) = 5,8 và Mod(X) = 8

C E(X) = 6,6 và Mod(X) = 10 D E(X) = 5,8 và Mod(X) = 4

Câu 11: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất:

Câu 12: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có hai giá trị 1 và 2 với các xác suất

4,0)2(

;6

, 0

2 1

6 , 0

1 0

) (

x khi

x khi

x khi x

Câu 15: Cho đại lượng X có E(X) = 1,6 và có bảng phân phối xác suất:

Trường hợp nào sau đây đúng?

Câu 23: Theo thống kê việc một người mỹ 25 tuổi sẽ sống thêm trên một năm có xác

suất là 0,992, còn xác suất để người đó chết trong vòng một năm tới là 0,008 Một chương trình bảo hiểm đề nghị người đó bảo hiểm sinh mạng cho một năm với số tiền chi trả 100 đô la, còn tiền đóng là 10 đô la Hỏi lợi nhuận trung bình của công ty đó là

bao nhiêu?

A 1 đô la B.

2)(X =

E

2 đô la C 3 đô la D 4 đô la

Câu 24: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có và có bảng phân bố xác suất như sau:

X x1 1 2 3

P 0,1 0,2 p3 0,4

Khi đó các giá trị x1 và p3 sẽ có giá trị là:

Khi đó cặp giá trị E(X) và Mod(X) sẽ có giá trị là:

A E(X) = 1,7 ; Mod(X) = 4 B E(X) = 1,5 ; Mod(X) = -1

C.

X

E(X) = 1,7 ; Mod(X) = 2 D E(X) = 1,5 ; Mod(X) = 0

Câu 26: Cho đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất:

Và Y=5X +D(X) Khi đóE (Y) bằng:

)1()

5,0

;3(

;25(

~ B X

Câu 28: Cho đại lượng ngẫu nhiên Khi đó P(X ≥23) có giá trị là:

A.

)6,0

;50(

~ B X

;5(

~ B X

E(X) = 30, Mod(X) = 30 D E(X) = 12, Mod(X) = 31

Câu 30: Cho đại lượng ngẫu nhiên Khi đó P(X =3)sẽ có giá trị là:

)

8,0

;100(

~ B X

Câu 32: Cho X ~B(n;p) với

3

4 ) (

; 2 ) (X = D X =

Câu 33: Cho đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức B(100;0,1) Đại lượng

;100(

Câu 35: Xác suất để một con gà đẻ trong ngày là 0,6 Bạn Nam nuôi 15 con Vậy xác

suất để trong một ngày có ít nhất 1 con gà đẻ là:

Câu 36: Xác suất để một con gà đẻ trong ngày là 0,6 (Giả sử mỗi con gà chỉ đẻ tối đa

1 trứng trong 1 ngày) Nếu muốn mỗi ngày trung bìn h có 100 trứng thì số con gà người nuôi cần phải nuôi là:

Câu 37: Một gia đình có 10 người con, Giả sử xác suất sinh con trai, con gái như nhau Khi đó xác suất để có 5 trai, 5 gái là:

Câu 38: Đề thi trắc nghiệm gồm 6 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 5 câu trả lời (trong đó chỉ

có 1 câu trả lời đúng) Điều kiện thi đạt là trả lời đúng ít nhất 4 câu trả lời Khi đó xác

suất để 1 thí sinh không học bài thi đạt sẽ bằng:

Câu 40: Với đề bài ở câu 32, đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối nhị thức

Nếu mỗi trứng bán được 800 đồng, tiền cho mỗi con gà ăn trong ngày là

300 đồng Tính số tiền lãi trung bình người nuôi thu được trong ngày là bao nhiêu?

A 45500 đồng B 48000 đồng C 54400 đồng D 55600 đồng

Câu 41: Để tiêu diệt một xe tăng phải có ít nhất 2 viên đạn trúng xe Bắn 10 viên (xác

suất mỗi viên trúng là 0,8) Tính xác suất để xe bị diệt

Câu 42: Một xí nghiệp sản xuất thuốc cho biết có 10% số chai không đúng tiêu chuẩn

lấy 10 chai, tính xác suất để có ít nhất 1 chai không đúng tiêu chuẩn

Câu 43: Trong một phân xưởng dệt có 50 máy dệt hoạt động độc lập với nhau Xác

suất các máy bị hỏng trong một ca sản xuất đều như nhau và bằng 0,07 Hỏi trung bình

có bao nhiêu máy dệt bị hỏng trong 1 ca sản xuất Xác suất để trong ca sản xuất có trên

48 máy hoạt động tốt bằng bao nhiêu?

A. E(X)=3,5;P(X <2)=0,127 B E(X)=3,7;P(X <2)=0,099

C E(X)=3,5;P(X <2)=0,027 D E(X)=3,7;P(X <2)=0,148

Câu 44: Theo dữ liệu câu 36 Nếu trong một ca sản xuất, một kỹ sư máy chỉ có thể đảm bảo sửa chữa kịp thời tối đa 2 máy thì để sửa chữa kịp thời tất cả các máy hỏng trong ca chúng ta nên bố trí bao nhiêu kỹ sư trực cho một ca sản xuất là hợp lý nhất

Câu 45: Chọn ngẫu nhiên một gia đình có 4 đứa con Giả sử xác suất sinh con trai và con gái là như nhau Tìm xác suất để gia đình đó có ít nhất 1 đứa con trai và 1 đứa con gái

Câu 49: Một kiện hàng gồm 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên

lần lượt có hoàn lại 5 sản phẩm để kiểm tra Xác suất để trong 5 sản phẩm lấy ra có 2

phế phẩm được tính bởi cách nào sau đây?

C C

D 6

100

2 10

C C

Câu 50: Tung đồng xu 3 lần, xác suất có đúng 2 lần đồng xu lật mặt sấp là:

Câu 51: Tín hiệu thông tin được phát 3 lần độc lập với xác suất thu được mỗi lần là 0,6 Số lần nguồn thu nhận được thông tin tin chắc nhất là:

Câu 56: Giả sử mỗi cặp vợ chồng nào đó có 3 con, khả năng có con trai, con gái trong

mỗi lần sinh là như nhau Hỏi có trung bình bao nhiêu gia đình có duy nhất một đứa con gái trong 120 gia đình?

Câu 57: Một lô hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 80 sản phẩm tốt Chọn ngẫu nhiên

lần lượt có hoàn lại 15 sản phẩm Tìm số sản phẩm tốt trung bình được chọn ra

Câu 58: Một lò bánh mì sản xuất 500 ổ bánh mỗi ngày Xác suất để ổ bánh có thể bán được (không bị hư) khi ra lò là 0,9 Giả sử giá bán của mỗi ổ bánh là 1000 đồng, trong khi chi phí cần thiết cho mỗi ổ bánh là 600 đồng Tính số tiền lãi trung bình (ngàn đồng) thu được mỗi ngày của chủ lò bánh này

Câu 59: Trong một ca làm việc một máy tự động sản xuất được 100 sản phẩm Xác

suất để một sản phẩm được sản xuất ra bị hư là 0,1 Giả thiết rằng quá trình máy sản

xuất ra các sản phẩm là độc lập nhau Tìm độ lệch chuẩn của số phế phẩm trong ca

A.

25,0)0

1/E(X)=25

4

75)(/

2 D X =

Chọn một câu đúng trong các câu sau:

A Chỉ có kết luận 1/ đúng B Chỉ có kết luận 2/ đúng

C Cả hai kết luận 1/ và 2/ đều đúng D Cả hai kết luận 1/ và 2/ đều sai

Câu 62: Tung một con xúc xắc 45 lần liên tiếp Tìm độ lệch chuẩn của số lần xúc xắc

xuất hiện mặt một chấm?

10

)25,0()0

(X = =

P

2,5

Câu 63: Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, ở mỗi câu hỏi có cho sẵn 4 phương án

trả lời với duy nhất một phương án đúng Gọi X là số câu trả lời đúng khi chọn các phương án trả lời một cách ngẫu nhiên Chọn một kết luận đúng trong các kết luận sau:

)75,0()1(X = =

P

)75,0.(

25,0)2

(X = =

)75,0(1)1(X ≥ = −

P

Câu 64: Tỉ lệ sản phẩm loại tốt của một nhà máy là 0,8 Chọn ngẫu nhiên 100 sản

phẩm từ nhà máy này Gọi X là số sản phẩm loại tốt chọn được Điều nào sau đây sai:

A X có phân phối nhị thức B(0,8;100) B E(5X) = 85

Câu 65: Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 0,002 Chọn ngẫu nhiên 1000 sản phẩm

từ nhà máy này Gọi X là số phế phẩm trong 1000 sản phẩm chọn ra Xét hai kết luận: