Luận văn sư phạm Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Khoá lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HẨ N I KHOA TOÁN *****&***** V TH THANH HUY N PHÂN PH I XÁC SU T C A HÀM CÁC BI N NG U NHIÊN KHỐ LU N T T NGHI P Chun ngƠnh: Tốn ng d ng HƠ N i, 2009 V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p TR NG IH CS PH M HẨ N I KHOA TOÁN *****&***** V TH THANH HUY N PHÂN PH I XÁC SU T C A HÀM CÁC BI N NG U NHIÊN KHOÁ LU N T T NGHI P Chuyên ngƠnh: Toán ng d ng Ng ih ng d n khoa h c Th.s Nguy n Trung D ng HƠ N i, 2009 V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p M CL C L IC M N L I CAM OAN L I NịI Ch U ng Ki n th c chu n b 1.1 Hàm phân ph i xác su t 1.1.1 M t s đ nh ngh a 1.1.2 Hàm phân ph i xác su t c a m t s b.n.n đ c l p 1.2 Hàm sinh mômen 1.2.1 nh ngh a hàm sinh mômen 1.2.2 Hàm sinh mômen c a m t s b.n.n đ c l p 10 Ch ng Phơn ph i xác su t c a hƠm bi n ng u nhiên 13 2.1 K thu t d a hàm phân ph i xác su t đ ng th i 13 2.1.1 Mô t ph ng pháp 13 2.1.2 Phân ph i xác su t c a Max Min 14 2.1.3 Phân ph i c a t ng hi u hai bi n ng u nhiên 18 2.1.4 Phân ph i c a tích th ng 21 2.2 K thu t d a hàm sinh mômen 24 2.2.1 Mô t ph ng pháp 24 2.2.2 Phân ph i c a t ng bi n ng u nhiên đ c l p 27 2.3 K thu t d a phép bi n đ i Y  g  X  32 2.3.1 Tr ng h p bi n ng u nhiên có phân ph i r i r c 32 V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p 2.3.2 Tr ng h p bi n ng u nhiên có phân ph i liên t c 34 K T LU N 43 TẨI LI U THAM KH O 44 V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p L IC M hồn thành khố lu n này, tr N c h t em xin bày t lòng bi y n sâu s c đ n th y, giáo khoa tốn nói chung th y, giáo t Tốn ng d ng nói riêng t o u ki n cho em su t th i gian làm khoá lu n c bi t, em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a t i th y giáo Nguy n Trung D ng- ng i giúp đ em t n tình q trình chu n b hồn thành khố lu n V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p L I CAM OAN Khoá lu n c a em đ c hoàn thành sau m t th i gian mi t mài nghiên c u v i s giúp đ t n tình c a th y giáo, Th c s Nguy n Trung D ng Trong trình làm khố lu n em có tham kh o m t s tài li u nh nêu m c tài li u tham kh o Em xin cam đoan khoá lu n k t qu nghiên c u khoa h c c a riêng em khơng trùng v i k t qu c a b t kì tác gi khác Hà N i, ngày 13 tháng 05 n m 2009 Sinh viên V Th Thanh Huy n V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p L I NịI U Ngày nay, “ LỦ thuy t xác su t” khơng cịn m t l nh v c tốn h c m i m mà tr thành m t ngành Toán h c l n n n toán h c th gi i Ng i ta bi t đ n lý thuy t xác su t khơng ch m t ngành toán h c ch t ch v lý thuy t mà cịn có ng d ng r ng rãi nhi u ngành khoa h c k thu t, khoa h c xã h i nhân v n m t khoa h c v ph thông tin đ nh l c bi t g n li n v i khoa h c th ng kê, ng pháp thu th p, t ch c phân tích d li u, ng V i đ tài : “ PHÂN PH I XÁC SU T C A HẨM CÁC BI N NG U NHIÊN” lu n v n trình bày m t s ph ng pháp tìm phân ph i xác su t c a hàm bi n ng u nhiên Lu n v n g m hai ch Ch ng: ng Ki n th c chu n b Trong ch ng trình bày m t s bi n ng u nhiên th ng g p hàm sinh mơmen c a Ch ng Phân ph i xác su t c a hàm bi n ng u nhiên Trong ch ng trình bày m t s ph ng pháp đ tìm phân ph i xác su t c a hàm bi n ng u nhiên V i khóa lu n này, em mong r ng s m t tài li u b ích cho nh ng quan tâm đ n v n đ V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p Ch ng 1: KI N TH C CHU N B 1.1 HẨM PHÂN PH I XÁC SU T 1.1.1 M t s đ nh ngh a nh ngh a 1.1 Hàm s FX  x  P   : X    x , x฀ đ c g i hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X nh ngh a 1.2 Cho vect ng u nhiên X   X1, X2  Hàm s FX1 , X2  x1 , x2  xác đ nh b i FX1 , X2  x1 , x2   P  X1  x1 , X2  x2  ,   x1 , x2   ฀ đ c g i hàm phân ph i xác su t đ ng th i c a vect ng u nhiên X T phân ph i xác su t đ ng th i c a X1, X2 ta có th tìm phân ph i c a X1 ho c X2 Khi phân ph i c a X1 X2 c a đ 1.1.2 Phơn ph i c a m t s bi n ng u nhiên th c g i phân ph i biên duyên ng g p a Phơn ph i nh th c nh ngh a 1.3 B.n.n X đ c g i có phân ph i nh th c v i tham s n,p v i n  ฀ * ,0  p  1, n u P  X  k   Cn k p k 1  p  nk , k  0, n Kí hi u X ฀ B n, p  c bi t n u n  ta nói X có phân ph i Becnuli b Phơn ph i Poisson nh ngh a 1.4 B.n.n X đ c g i có phân ph i Poisson v i tham s     0 , n u V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p P  X  k  Kí hi u e  k k! , k = 0, 1, 2,… X ฀ Poi    c Phơn ph i chu n (phơn ph i Gauss) nh ngh a 1.5 B.n.n X đ c g i có phân ph i chu n v i tham s (  , )v i     ,  n u hàm m t đ xác su t c a có d ng   x   f X  x  exp  2 2     ,   x    Kí hi u X ฀ N   ,  Tr ng h p đ c bi t, n u   0,  X đ c g i có phân ph i chu n t c, kí hi u X ฀ N  0,1  x2 Chú ý: N u X ฀ N  0,1 fX  x  e 2 FX  x   x  t2 e dt    x 2   d Phơn ph i m nh ngh a1.6 Bi n ng u nhiên X đ c g i có phân ph i m v i tham s  e   x , x       n u hàm m t đ xác su t c a có d ng fX  x   0, x   Kí hi u X ฀ Exp    V Th Thanh Huy n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p e Phơn ph i đ u nh ngh a 1.7 Bi n ng u nhiên X đ c g i có phân ph i đ u đo n  , x   a , b  a , b n u hàm m t đ xác su t c a có d ng fX  x   b  a 0, x   a , b   Kí hi u X ฀ U  a , b  f Phơn ph i Gamma nh ngh a 1.8 Bi n ng u nhiên X đ c g i có phân ph i Gamma v i r  0,   n u hàm phân ph i xác su t c a có d ng tham s  r   1  rx x e ,x  f X  x       0, x   Kí hi u X ฀ G  r ,   1.2 HÀM SINH MÔMEN 1.2.1 nh ngh a hƠm sinh mômen nh ngh a 1.9 Cho bi n ng u nhiên X Hàm sinh mômen c a X kí hi u mX  t  đ c xác đ nh b i mX  t   E  etX  n u t n t i h>0 cho mX  t  t n t i v i m i t  h Chú ý: Thu t ng hàm sinh mômen xu t phát t mơmen c p r c a X, có th đ c tính t mX  t  Th t v y, s d ng khai tri n Taylor cho hàm e x ta có    tX i   t i t 2E  X2  i mX  t   E  e   E   E  X    tE  X      i 0 i !   i ! 2!   i 0 tX V Th Thanh Huy n 10 (1.1) K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p ây hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên có phân ph i chu n v i trung bình n n  i ph ng sai i 1 a i 1  i2 , i  1,2, , n i    n     x-   a i i      i 1   exp -  fn  x   n n   2  Xi    a   i 1 2   a i2 i2  i i     i 1    i 1   Do Tr ng h p đ c bi t, n u X ฀ N   X , X2  , Y ฀ N  Y , Y2  X, Y đ c l p X  Y ฀ N   X  Y , X2   Y2  X  Y ฀ N   X  Y , X2   Y2  N u X1 ,, Xn bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i phân ph i chu n v i trung bình  ph ng sai 2  2  n Xn   Xi ฀ N   ,  n i 1 n   M t nh ng ng d ng không th không nh c t i c a k thu t đ nh lý gi i h n trung tâm ó m t đ nh lý vơ quan tr ng c a lý thuy t xác su t nh lỦ 2.6 ( nh lỦ gi i h n trung tơm) N u v i m i s nguyên d ng n, X1 ,, Xn bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i trung bình  X ph ng sai  X2 , v i m i z lim FZn  z     z  , n Zn  X n V Th Thanh Huy n  E  Xn  D  Xn   n Xn   X X 32 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p H qu 2.4 N u X1 ,, Xn bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i trung bình  X ph ng sai  X2   X  X Pa  n n  b    b     a  X    d  X P  c  Xn  d     n X  ho c n  s  n X   P  r   Xi  s     i 1    n X V Th Thanh Huy n 33   c  X     n   X      r  n X       n   X  K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p 2.3 K THU T D A TRÊN PHÉP BI N 2.3.1 Tr a Tr I Y  g  X ng h p bi n ng u nhiên có phơn ph i xác su t r i r c ng h p có m t bi n Gi s X bi n ng u nhiên r i r c nh n giá tr xi , i  1,2, v i xác su t PX  xi  , i  1,2, bi n ng u nhiên Y  g  X  có hàm phân ph i xác su t PY  y j     i:g  xi  y j  PX  xi  Ví d 1.12 Gi s Xlà bi n ng u nhiên r i r c nh n giá tr 0, 1, 2, 3, 4, v i xác su t PX  0 , PX 1 , PX   , PX  3 , PX   , PX 5 Tìm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Y  g  X    X   Gi i Ta có X Y  g  X    X  2 2 1 Do PY  0  PX   , PY 1  PX 1  PX  3 PY  4  PX    PX   , PY 5  PX 5 Ví d 2.13 Gi s X bi n ng u nhiên có hàm phân ph i xác su t  ,a ฀  PX  a    2n  0, a  ฀ Tìm PY  a  v i Y  X Gi i V Th Thanh Huy n 34 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p Ta có Y  X2 PY  a  22 ฀฀฀ n2 2n  2n  2n  ฀฀฀ 2n    2n  , a    Suy PY  a    , a  1,4, , n  2n  0, a  0,1,4, , n   b Tr ng h p có nhi u bi n Gi s nhiên hàm PX1 ,, Xn  x1 ,, xn  hàm xác su t đ ng th i c a n bi n ng u X1 ,, Xn   x ,, x  : P n X1 ,, Xn  x1,, xn   0 t Y1  g1  X1,, Xn ; ;Yk  gk  X1,, Xn  hàm xác su t đ ng th i c a chúng PY1 ,,Yk  y1,, yk   P Y1  y1,,Yk  yk    PX1 ,, Xn  x1,, xn  Ví d 2.14 Gi s su t đ c cho b ng sau :  x1, x2 , x3  (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1) PX1 , X2 , X3  x1 , x2 , x3  Tìm X1, X2 , X3 bi n ng u nhiên r i r c có phân ph i xác phân ph i xác su t c a 8 Y1  g1  X1, X2 , X3   X1  X2  X3 Y2  g2  X1, X2 , X3   X3  X2 V Th Thanh Huy n 35 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p Gi i Ta có A= {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} B={(0, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1), (3, 0)} PY1 ,Y2  0,0   PX1 , X2 , X3  0,0,0   PY1 ,Y2 1,1  PX1 , X2 , X3  0,0,1  PY1 ,Y2  2,0   PX1 , X2 , X3  0,1,1  PY1 ,Y2  2,1  PX1 , X2 , X3 1,0,1  PX1 , X2 , X3 1,1,0   PY1 ,Y2  3,0   PX1 , X2 , X3 1,1,1  2.3.2 Tr a Tr ng h p bi n ng u nhiên có phơn ph i xác su t liên t c ng h p có m t bi n N u X bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t fX  x hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Y  g  X  có th đ c tìm b ng cách sau: nh lỦ 2.7 Gi s X bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t fX  x t   x : fX  x  0 Gi s r ng (i) y  g  x phép bi n đ i 1-1 t A vào B (ii) o hàm c p m t c a x  g 1  y  theo y liên t c khác không v i y , g 1  y hàm ng c c a g  x Y  g  X  bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t V Th Thanh Huy n 36 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p fY  y   d  g 1  y   f X  g 1  y   dy Ch ng minh Gi s g(x) hàm đ n u t ng A Khi v i y ta có FY  y  P Y  y  P  g  X   y  P  X  g 1  y  FX  g 1  y Do fY  y   Ng d d d  FY  y     FY  g 1  y     f X  g 1  y    g 1  y   dy dy dy c l i, gi s g(x) hàm đ n u gi m A Khi v i y ta có FY  y  P Y  y  P  g  X   y  P  X  g 1  y    FX  g 1  y  Do fY  y   V y fY  y   d d d  FY  y    1  FY  g 1  y      f X  g 1  y    g 1  y   dy dy dy d  g 1  y   f X  g 1  y   dy Ví d 2.15 Gi s X ฀ U 1,2 Tìm phân ph i xác su t c a Y  Gi i Ta có y  g  x  X 1 d  x  g 1  y     g 1  y     x y dy x Theo X ฀ U 1,2 nên f X  x  I  0,2  x Theo đ nh lý 2.6, bi n ng u nhiên Y  fY  y  Ví d 2.16 Gi s s có phân ph i xác su t X I  x y2  12 ,1 Z ฀ N  0,1 Tìm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Y  eZ V Th Thanh Huy n 37 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p Gi i Ta có y  g  z   e z  z  g 1  y   ln y  d  g 1  y    dy y  z2 Theo Z ฀ N  0,1 nên fZ  z   e ,   z   2 Theo đ nh lý 2.6, bi n ng u nhiên Y  e Z s có phân ph i xác su t    ln y  e ,y0 fY  y    2  0, y  Ví d 2.17 Gi s X bi n ng u nhiên có phân ph i đ u kho ng (0, 1) Y  g  X   X Tìm hàm phân ph i xác su t c a Y Gi i Ta có FY  y  P Y  y  P  X  y    x:x  y f X  x dx  hay Do y  dx  y, < y < , FY  y   yI  0,1  y   I 1,   y  fY  y  y I 0,1  y Ví d 2.18 Gi s X có phân ph i Pareto v i hàm m t đ fY  y   x 1I1,  x Tìm hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Y  ln X Gi i Ta có g  x  ln x  g 1  y   e y  d  g 1  y    e y dy Theo đ nh lý 2.7, bi n ng u nhiên Y  ln X có hàm phân ph i fY  y  V Th Thanh Huy n d  g 1  y   f X  g 1  y     e y , y  dy 38 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p c bi t, gi s bi n ng u nhiên X có hàm phân ph i xác su t FX  Trong phép bi n đ i Y  g  X  ta thay hàm g   b ng hàm FX  hàm FX  liên t c ta hồn tồn có th xác đ nh đ c phân ph i c a bi n ng u nhiên Y  FX  X  nh lỦ 2.8 N u X bi n ng u nhiên liên t c có hàm phân ph i xác su t FX  x Y  FX  X  có phân ph i đ u kho ng  0,1 Ng c l i, n u Y có phân ph i đ u kho ng  0,1 X  FX 1 Y có hàm phân ph i FX  Ch ng minh Ta có P Y  y  P  FX  X   y  P  X  FX 1  y  FX  FX 1  y    y,0  y  Ng c l i, P  X  x  P  FX 1 Y  x  P Y  FX  x   FX  x  Ví d 2.19 Cho bi n ng u nhiên X hàm phân ph i xác su t 1  e  x , x  FX  x   x 0,   Ch ng minh r ng: X có hàm phân ph i FX  x ch Y  FX  X  ฀ U  0,1 Gi i 1  e  x , x   FX 1  y    ln 1  y  Ta có FX  x    0, x  Khi FY  y  P Y  y  P  FX  X   y  P  X  FX 1  y  FX  FX1  y  y,0  y  V Th Thanh Huy n 39 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p V y Y  FX  X  ฀ U  0,1 c l i, Y  FX  X  ฀ U  0,1  X  FY1  y  Ng Nên P  X  x  P  FX 1 Y  x  P Y  FX  x  FX  x V y X có hàm phân ph i FX  x b Tr ng h p có nhi u bi n Bài tốn : Gi s f X1 ,, Xn  x1 ,, xn  hàm m t đ c a n bi n ng u nhiên X1 ,, Xn   g , , ,  hàm đo đ  x ,, x  : f n xác su t đ ng th i X1 ,, Xn  x1,, xn   0 c ฀ n V n đ đ t tìm hàm m t đ xác su t c a n bi n ng u nhiên Y1,,Yn v i Yj  g j  X1 ,, Xn  , j  1,2, , n D i s trình bày k t qu ng v i n= v i n> ch s t ng quát hoá c a n= nh lỦ 2.9 Gi s X1, X2 bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t đ ng th i f X1 , X2  x1 , x2  t   x , x  : f X1 , X2  x1, x2   0 Gi s r ng (i) y1  g1  x1, x2  , y2  g2  x1 , x2  phép bi n đ i 1-1 t A vào B (ii) Các đ o hàm riêng c p c a x1  g11  y1 , y2  , x2  g 1  y1 , y2  liên t c B (iii) nh th c Jacobian J  x1 x1 y1 y2 x2 x2 y1 y2  0,   y1 , y2   hàm m t đ xác su t c a Y1  g1  X1, X2  Y2  g2  X1, X2  V Th Thanh Huy n 40 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p 1 1  J f X1 , X2  g1  y1 , y2  , g  y1 , y2   ,  y1 , y2   fY1 ,Y2  y1 , y2    0, y , y     Ví d 2.20 Gi s X1, X2 hai bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i chu n t c Tìm fY1 ,Y2  y1 , y2  c a Y1  X1  X2 ,Y2  X1 fY2  y2  X2  x21 Gi i Vì X1 ฀ N  0,1 nên fX1  x1   e ,   x1   2  x22 Vì X2 ฀ N  0,1 nên fX2  x2   e ,   x2   2  2  Do X1, X2 đ c l p nên fX1 , X2  x1 , x2   e ,  x1 , x2  ฀ 2 x x Ta có y1  g1  x1 , x2   x1  x2 , y2  g  x1 , x2    x1  g11  y1 , y2   x2  g 1 y  y1, y2   1  y2  y2 1 y J  det      y2 fY1 ,Y2  y1 , y2   y1 1  y  V Th Thanh Huy n y1 y2  y2 2 x1 x2  1  y2   y1  y2  1 y1    y1  1  y2  1  y2    1  y2   y1    y y 2 y12    exp -  2  2   y y 1        2   41 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p  1  y2  y12  y1 exp   2 1  y2 2 y      fY2  y2        1  y2  y12  1 fY1 ,Y2  y1 , y2 dy1   y1 exp - 1  y 2  dy1 2 1  y2 2    2  y2   1  y2  y1 t u  du  y dy 1 1  y2 2 1  y2   y2   u  1 1  fY2  y2    e du   y2 2 1  y2 2  y2 0 Ví d 2.21 Gi s X1, X2 hai bi n ng u nhiên có hàm m t đ xác su t 2e x1  x2 ,0  x1  x2 f X1 , X2  x1 , x2      0, x x  Tìm fY1 ,Y2  y1 , y2  , Y1  X1  X2 ,Y2  X2 Gi i Ta có y1  g1  x1, x2   x1  x2 , y2  g2  x1, x2   x2  x1  g11  y1 , y2   y1  y2 x2  g 1  y1 , y2   y2 J  Do fY1 ,Y2  y1, y2   2e y1 ,0  y2  y1  y2 Trong đ nh lý 2.8 hàm g ,  ph i tho mãn phép bi n đ i 1-1 V y tr ng h p g ,  không phép bi n đ i 1-1 làm nh th nào? nh lỦ 2.10 Gi s X1, X2 bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t đ ng th i f X1 , X2  x1 , x2  Gi s A có th phân tích đ V Th Thanh Huy n 42 c thành t p K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p 1,, m cho phép bi n đ i y1  g1  x1, x2  , y2  g2 x1, x2 phép bi n đ i 1-1 t x1  g1i 1  y1 , y2  , x2  g 2i 1  y1 , y2  i , i  1, m vào B Gi s phép bi n đ i ng c t B vào i , i  1, m Gi s đ o hàm riêng c p c a g1i 1, g2i 1 liên t c B Ji  g1i 1 g1i 1 y1 y2 1 1 g 2i g 2i y1 y2  0, i  1, m hàm m t đ c a Y1  g1  X1, X2  Y2  g2  X1, X2  có d ng m 1 1  J i f X1 , X2  g1  y1 , y2  , g  y1 , y2   ,  y1 , y2   fY1 ,Y2  y1 , y2    i 1 0,  y , y    Ví d 2.22 Gi s X1 ฀ N  0,1 , X2 ฀ N  0,1 X1, X2 đ c l p Tìm fY1 ,Y2  y1 , y2  c a Y1  X12  X22 ,Y2  X2 fY1  y1  Gi i Ta có  y1  x12  x2  x1   y1  y2   y x  x y    2 Ta th y r ng phép bi n đ i không 1-1    x1 , x2  :   x1  ,   x2    N u A phân tích đ V Th Thanh Huy n  y , y  :  y  ,   y1  y2  y1 c thành 1, 2 v i 43 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p 1   x1 , x2  :  x1  ,   x2   2   x1 , x2  :   x1  0,   x2   phép bi n đ i 1-1 t i vào B v i i= 1, Ta có g111  y1 , y2   y1  y2 , g 211  y1 , y2   y2 g12 1  y1 , y2    y1  y2 , g 22 1  y1 , y2   y2 1 1 2 2  y1  y2   y2  y1  y2    2  J  det  y  y2     1   1  1 2 2  y2  y1  y2     y1  y2  2  J  det    y1  y2       1  y21 e ,  y1 , y2    Do fY1 ,Y2  y1 , y2    y1  y2 2  0,  y1 , y2   fY1  y1      y  y21 fY1 ,Y2  y1 , y2  dy2  e  2  y1 y1  y2 dy2 y1   y1      y1 y2  y21  e arcsin e    e , y1    2 y1  y1  2  2  2   V y   y21  e , y1  fY1  y1    0, y   V Th Thanh Huy n 44 K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p K T LU N Trên tồn b n i dung c a khóa lu n “ PHÂN PH I XÁC SU T C A HẨM CÁC BI N NG U NHIÊN” Khóa lu n mang tính ch t t ng quan nên em c g ng ch ng minh m t s đ nh lý, b đ đ a m t s ví d áp d ng đ làm n i b t v n đ mà khóa lu n đ c p Do l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c H n n a th i gian n ng l c b n thân h n ch nên khóa lu n khơng tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a th y cô b n sinh viên đ khóa lu n c a em đ V Th Thanh Huy n 45 c hoàn thi n h n K31B CNKH Toán Khoá lu n t t nghi p TẨI LI U THAM KH O (*) Ti ng Vi t [1] H u H (2007), “ Xác su t th ng kê ”, Nhà xu t b n HQG Hà N i [2] Nguy n Duy Ti n, V Vi t Yên (2003), “ Lý thuy t xác su t ”, Nhà xu t b n giáo d c (*) Ti ng Anh [1] M., Graybill F.A., Boes D.C., (1974), “ Introduction to the theory of Statistics”, MC Graw- Hill [2] William C Rinaman, (1994), “ Foundations of Probability and Statistics”, Sounders College [3] George G Roussas, (1998), “ A course in Mathematical Statistics”, Academic Press V Th Thanh Huy n 46 K31B CNKH Toán ... s bi n ng u nhiên th ng g p hàm sinh mômen c a Ch ng Phân ph i xác su t c a hàm bi n ng u nhiên Trong ch ng trình bày m t s ph ng pháp đ tìm phân ph i xác su t c a hàm bi n ng u nhiên V i khóa... thu th p, t ch c phân tích d li u, ng V i đ tài : “ PHÂN PH I XÁC SU T C A HẨM CÁC BI N NG U NHIÊN” lu n v n trình bày m t s ph ng pháp tìm phân ph i xác su t c a hàm bi n ng u nhiên Lu n v n g... p ng 2: PHÂN PH I XÁC SU T C A HẨM CÁC BI N Ch NG U NHIÊN Cho bi n ng u nhiên c g1 , ,  , g2 , ,  , , gk , ,  hàm đo đ c ฀ n V n đ đ t tìm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Yj