Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN *****&***** VŨ THỊ THANH HUYỀN PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****&*****

VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC

BIẾN NGẪU NHIÊN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội, 2009

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

*****&*****

VŨ THỊ THANH HUYỀN

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC

BIẾN NGẪU NHIÊN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học Th.s Nguyễn Trung Dũng

Hà Nội, 2009

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN 3

LỜI CAM ĐOAN 4

LỜI NÓI ĐẦU 5

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Hàm phân phối xác suất 6

1.1.1 Một số định nghĩa 6

1.1.2 Hàm phân phối xác suất của một số b.n.n độc lập 6

1.2 Hàm sinh mômen 8

1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 8

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số b.n.n độc lập 10

Chương 2 Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên 13

2.1 Kĩ thuật dựa trên hàm phân phối xác suất đồng thời 13

2.1.1 Mô tả phương pháp 13

2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min 14

2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên 18

2.1.4 Phân phối của tích và thương 21

2.2 Kĩ thuật dựa trên hàm sinh mômen 24

2.2.1 Mô tả phương pháp 24

2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 27

2.3 Kĩ thuật dựa trên phép biến đổi Y g X  32

2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối rời rạc 32

2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối liên tục 34

KẾT LUẬN 43

TÀI LIỆU THAM KHẢO 44

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khoá luận này, trước hết em xin bày tỏ lòng biếy ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và các thầy, cô giáo trong tổ Toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian làm khoá luận

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Nguyễn Trung Dũng- người đã giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn thành khoá luận

LỜI CAM ĐOAN

Khoá luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo, Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng

Trong quá trình làm khoá luận em có tham khảo một số tài liệu như đã nêu

ở mục tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khoá luận này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng

em và nó không trùng với kết quả của bất kì tác giả nào khác

Hà Nội, ngày 13 tháng 05 năm 2009

Sinh viên

Vũ Thị Thanh Huyền

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay, “ Lý thuyết xác suất” đã không còn là một lĩnh vực toán học

mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong nền toán học thế giới Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ vì nó là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội và nhân văn Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, một khoa học về các phương pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông tin định lượng

Với đề tài : “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU

NHIÊN” luận văn trình bày một số phương pháp tìm phân phối xác suất của

hàm các biến ngẫu nhiên Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và hàm sinh mômen của nó

Chương 2 Phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Trong chương này trình bày một số phương pháp để tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên

Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho những ai quan tâm đến vấn đề này

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1.1.1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Hàm số F X x P:X  x, x được gọi là hàm

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X X X1, 2 Hàm số F X X1, 2x x1, 2 xác định bởi

Từ phân phối xác suất đồng thời của X X ta có thể tìm ra phân phối của 1, 2 X 1

hoặc X Khi đó phân phối của 2 X và 1 X của được gọi là phân phối biên duyên 2

1.1.2 Phân phối của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Đặc biệt nếu n1 thì ta nói X có phân phối Becnuli

b Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 B.n.n X được gọi là có phân phối Poisson với tham số

 0

   , nếu

c Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)

Định nghĩa 1.5 B.n.n X được gọi là có phân phối chuẩn với tham số( , 2)với

x X

e Phân phối đều

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều trên đoạn

 a b nếu hàm mật độ xác suất của nó có dạng ,    

f Phân phối Gamma

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma với các

tham số r0,0 nếu hàm phân phối xác suất của nó có dạng

    1 , 0

rx X

1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen

Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X Hàm sinh mômen của X kí hiệu là

Đạo hàm hai vế của (1.2) đối với t ta được

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là m X t Khi đó, biến

ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b là các hằng số thực có hàm sinh mômen là

Định lý 1.2 Cho X1,,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập với các hàm sinh

mômen tương ứng là  , i=1, 2, , n

i X

1

n

i i i

1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

a Biến ngẫu nhiên có phân phôi nhị thức

Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n,p) thì

b Biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson

Nếu X tuân theo phân phối Poisson Poi() thì

k t k

c Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1) thì

 

2

2

t X

m t e

Chứng minh

Ta có





d Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

Nếu X tuân theo phân phối mũ Exp  thì

Nếu X tuân theo phân phối Gamma G r , thì X 

f Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

Chương 2: PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA HÀM CÁC BIẾN

NGẪU NHIÊN

Cho các biến ngẫu nhiên c và g1, , , g2 , , , , g k, , là các hàm

đo được trên n

 Vấn đề đặt ra là tìm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên Y j g jX1,,X n, j1, 2, ,k

Dưới đây là một số kĩ thuật để tìm hàm phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên Y j j, 1,2, ,k

2.1 KĨ THUẬT DỰA TRÊN HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT ĐỒNG THỜI 2.1.1 Mô tả phương pháp

Cho X1,,X n là các biến ngẫu nhiên và g1, , , g2 , , , , g k, ,

 Khi đó hàm phân phối xác suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên Y1,,Y k được xác định bởi

Ví dụ 2.1 Cho biến ngẫu nhiên X  N 0,1 Tìm hàm phân phối xác suất

Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp này

2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min

Giả sử X1,,X n là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất  , , P Ta kí hiệu

Y1Min X 1,,X n,Y n MaxX1,,X nthì Y Y cũng là các biến ngẫu nhiên, 1, ntức là với mỗi  ta có X i  là các số thực nên Y1    ,Y n  cũng là các

Ta có hàm phân phối xác suất của Y Y có dạng 1, n

Ví dụ 2.2 Giả sử tuổi thọ của một bóng đèn thắp sáng là một biến ngẫu nhiên có

phân phối mũ với trung bình là 100 giờ Thắp sáng đồng thời 10 bóng Tìm phân phối xác suất của bóng đèn tắt đầu tiên và tính kì vọng của nó

1 10

2.1.3.Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên

Định lý 2.3 Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

Hệ quả 2.3 Nếu X và Y là hai biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập và Z =X + Y thì

Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường được gọi là công thức

chập Trong giải tích toán, hàm f Z  được gọi là tích chập của các hàm f X 

2.1.4 Phân phối của tích và thương

Định lý 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

z x

2.2 KĨ THUẬT DỰA TRÊN HÀM SINH MÔMEN

Đặc biệt, với k=1 thì hàm sinh mômen là hàm của một biến số nên ta có thể đoán nhận được hàm phân phối tương ứng với nó là gì còn trong trường hợp k>1 thì kĩ thuật nay sẽ bị hạn chế vì ta chỉ có thể đoán nhận được một vài hàm phân phối tương ứng với hàm sinh mômen tìm được

Ví dụ 2.5 Giả sử biến ngẫu nhiên X  N 0,1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Y  X2

2

12

1

12

4 2

1414

y Y

y Y

Ví dụ 2.7 Giả sử X X là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc 1, 2

1

12

2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

Định lý 2.5 Nếu X1,,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và tồn tại các hàm

Ví dụ 2.8 Giả sử X1,,X n là các biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli, nghĩa

là P X i  1 p P X,  i   0 1 p và   , 1

i

t X

i

t X

1

,

n i i

Ví dụ 2.10 Giả sử X1,,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối mũ với cùng tham số  Tìm m X i  t và  

1

n i i X

tX X

i

n n

2

n

i i

i i i

Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình

1

xexp

-22

n

i i i

n

i i i n n

a X

i i

i i

i i

a

a a

Định lý 2.6 ( Định lý giới hạn trung tâm) Nếu với mỗi số nguyên dương n,

Hệ quả 2.4 Nếu X1,,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối

với trung bình là X và phương sai là X2 thì

2.3 KĨ THUẬT DỰA TRÊN PHÉP BIẾN ĐỔI Y g X 

2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất rời rạc

Ví dụ 1.12 Giả sử Xlà biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, 4, 5 với

xác suất P X           0 ,P X 1 ,P X 2 ,P X 3 ,P X 4 ,P X 5 Tìm phân phối xác suất của

0, 0,1, 4, ,

Y

a n

18

18

18

18

Tìm phân phối xác suất của Y1 g X X X1 1, 2, 3 X1X2 X3và

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X x thì hàm

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y g X  có thể được tìm bằng cách sau:

Định lý 2.7 Giả sử X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X x

Đặt  x f: X x 0 Giả sử rằng

(i) yg x  là phép biến đổi 1-1 từ A vào B

x g y theo y là liên tục và khác không với

g y là hàm ngược của g x  thì Y  g X  là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất

  2 1  

,1 2

z Z





     Theo định lý 2.6, biến ngẫu nhiên Y e Z sẽ có phân phối xác suất

 

  2

ln 2

Đặc biệt, giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất F X  Trong phép biến đổi Y  g X  ta thay hàm g  bằng hàm F X  và hàm F X liên tục thì ta hoàn toàn có thể xác định được phân phối của biến ngẫu nhiên

 

X

Y F X

Định lý 2.8 Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất F X x

thì Y F X X có phân phối đều trên khoảng  0,1 Ngược lại, nếu Y có phân

g    là hàm đo được trên  Vấn đề đặt ra là tìm hàm mật độ xác suất của n

n biến ngẫu nhiên Y1,,Y n với Y j g jX1,,X n, j1, 2, ,n

Dưới đây chúng ta sẽ trình bày các kết quả ứng với n= 2 còn với n> 2 chỉ là sự tổng quát hoá của n= 2

Định lý 2.9 Giả sử X X là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác 1, 2suất đồng thời f X X1, 2x x1, 2 Đặt   x x1, 2: f X X1 , 2x x1, 20 Giả sử rằng

(i) y1g x x1 1, 2,y2 g2x x1, 2 là các phép biến đổi 1-1 từ A vào B

x X

x X

Định lý 2.10 Giả sử X X là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác 1, 2suất đồng thời f X X1, 2x x1, 2 Giả sử A có thể phân tích được thành các tập

1, , m

   sao cho phép biến đổi y1 g x x1 1, 2,y2 g2 x x1, 2 là các phép biến

KẾT LUẬN

Trên đây là toàn bộ nội dung của khóa luận “ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN” Khóa luận mang tính chất tổng quan

nên em đã cố gắng chứng minh một số định lý, bổ đề và đưa ra một số ví dụ áp dụng để làm nổi bật các vấn đề mà khóa luận đề cập

Do là lấn đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn nữa

do thời gian và năng lực bản thân còn hạn chế nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

(*) Tiếng Việt

[2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), “ Lý thuyết xác suất ”, Nhà xuất bản

giáo dục

(*) Tiếng Anh

[1] M., Graybill F.A., Boes D.C., (1974), “ Introduction to the theory of

Statistics”, MC Graw- Hill

[2] William C Rinaman, (1994), “ Foundations of Probability and Statistics”,

Sounders College

[3] George G Roussas, (1998), “ A course in Mathematical Statistics”,

Academic Press