Hàm đặc trưng hàm sinh mômen và ứng dụng

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 3 Lời cảm ơn Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập, tích lũy kinh nghiệm, là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS..

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 1

trường đại học sư phạm hà nội 2

khoa toán

*********

Nguyễn thị thảo nguyên

Hàm Đặc trưng - hàm sinh mômen Và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Hà Nội – 2010

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 2

Trường đại học sư phạm hà nội 2

khoa toán

*********

Nguyễn thị thảo nguyên

Hàm Đặc trưng - hàm sinh mômen Và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 3

Lời cảm ơn

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình học tập, tích

lũy kinh nghiệm, là sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình của ThS Nguyễn Trung Dũng

Em xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy Đồng thời em xin chân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và đặc biệt là các thầy cô trong tổ toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em trong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin trân thành cảm ơn

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 4

Lời cam đoan

Khóa luận của em được hoàn hành nhờ sự nỗ lực cố gắng của bản thân,

cùng sự chỉ bảo tận tình của ThS Nguyễn Trung Dũng, những ý kiến đóng góp

của các thầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm

Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này em tự nghiên cứu, tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu tham khảo Những nội dung này chưa được công bố trong bất kì khóa luận nào

Sinh viên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 5

1.2.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp 15 1.2.4 Lũy thừa hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên 17

Chương 2 ứng dụng của hàm đặc trưng và hàm sinh mômen 21

2.1.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 22 2.1.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập 25

2.2.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 28 2.2.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 31 2.2.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 32

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 6

Lời nói đầu

Toán ứng dụng là một ngành toán học có ý nghĩa rất to lớn và chiếm một

vị trí quan trọng Nó là cầu nối để đưa những kết quả được nghiên cứu trên lí thuyết của đại số, giải tích, hình học… vào ứng dụng trong các ngành khoa học khác và thực tế cuộc sống

Nói đến toán học ứng dụng không thể không nói đến toàn bộ môn xác suất – thống kê, nó là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như kinh tế, sinh học, tâm lí – xã hội… Do đó, bộ môn này được đưa vào giảng dạy hầu hết các trường đại học, cao đẳng

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về bộ môn xác suất – thống kê em

đã chọn đề tài “Hàm đặc trưng – hàm sinh mômen và ứng dụng”

Khóa luận bao gồm hai chương

Chương 1 Hàm đặc trưng và hàm sinh mômen

Chương 2 ứng dụng

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 7

Chương 1 Hàm đặc trưng và hàm sinh mômen

1.1 Hàm đặc trưng

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Cho hai biến ngẫu nhiên cùng xác định trên không gian xác

suất (, A, P) và tồn tại EX, EY Khi đó biến ngẫu nhiên XiY có kì vọng và được xác định bởi

Bổ đề 1.1 Cho g1 x và g2 x là các hàm thực không âm xác định trên Khi

đó với mỗi dãy số thực  x sao cho n g1 x n g2 x n n1,2 , và   

 1 2

x

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 8

Bổ đề 1.4 Cho g x là hàm xác định trên sao cho b  

a

dx x

g thì    





dx x

E cos cos( ). ,    

x

x x p tx tX

tx )

x

x x p

tx ).

cos( 

 Ecos tX   tồn tại E cos tX

Lập luận tương tự ta cũng chỉ ra được sự tồn tại của E sin tX

Do đó tồn tại hàm đặc trưng φX t trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 9

φXt1, t2, , t n   

n

k k k

n

X it n

X X

X t t t Ee 1 2

e E

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 10

n

n itX

n

n X

n

n

e X i E e

t E Ee dt

d t dt

n

X E i t

X d

, ,

1 2

d X c d X

n n

φ , , , 1 2 , , , 1 1 2 2

2 1 1 2

2 1

,

, ,

k j k t

t t n X

X k j

k

X E i t

t t

n n

Định lí được chứng minh tương tự như Định lí 1.1

Định lí 1.3 Nếu X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối thì

t t

i n

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 11

Chứng minh

Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp như sau:

+ Với i 2 ta có     1 2 

2 1

X X it X

n i

X X

t t

n i i

n

X X X

X X

X X

t t

t t

t t

t

i n

i n

n

i i n

n

i i n

1 1

φφ

φφ

φφ

f

T T

itx T

ith

e x

π

12

1

Chứng minh

+ Theo định lí 1.1 thì φ là hàm liên tục và  t itx j

e là liên tục

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 12

dt x f e

T

j k

21

x x it

k e dt T

it

dt e

j

k x dt x

j

k x dt x

j

k x dt x

it

dt e

j

k x dt x

k

x x t d x

1

j k

j k j

k

j k j

k

x x

x x T x

x

x x T x

x T

k

j k

j k

x x x

x T

x x T

x x

Õu n

Õu n

1

) (

Mặt khác  

j k j

k

j k

x x x

x T

x x T

j k

j k

T T x x

x x T

j k T

T

x x it

x x dt

e T

j k

nÕu0

nÕu1

21

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 13

Thay (1.2) vào biểu thức e  t dt

T

T T

itx j





φ2

x x it

k e dt T

x x it k

x x

T x

x x it k

x x

T x

tix

dt t

dt dy y f e

dydt y f

x y it

Giả sử y x thì    

x y

x y T dt

e

T T

x y it

x y T y

f

T

sin lim

z x f

T

sin lim

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 14

Trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục khẳng định được chứng minh

tương tự bằng cách thay dấu tổng của chuỗi bởi dấu tổng tích phân và sử dụng các kết quả của chuyển giới hạn qua dấu tích phân

n n

X X x it x it n

T n X

X

T x

x x f

n n

1

21

+ Nếu X là vectơ ngẫu nhiên liên tục thì

n n

X X

x it j

h it T

T

n T

h n X

h it

e T

x x

f

n

k

j j j

k

1

1 1

0

1 1

12

1

, , φ

lim lim ,

,

,

Định lí 1.7 Có sự tương ứng 1-1 giữa hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên

X với hàm mật độ xác suất đồng thời của nó

1.1.3 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên

n it x

n x it x n x

n x x n itx

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 15

x it x

x itx

x

e e

x e e t

/ / / t t e it X t

X X

2

2

12

ππ

1

dx e

x dx

e x e

X

β β α

α β

α

βα

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 16

t i

y x

11

1

α α

β α α

βα

ββ

ββ

dy e

y t i

y

Với αr /2,β2 chúng ta có lượng tương ứng với χ2r và với α1,β1/λ

chúng ta có lượng tương ứng cho phân phối mũ âm với các hàm đặc trưng tương ứng là

λλ

2 2

1

21

1

11

11

dx x

tx dx

x

tx i

dx x

tx dx

x e

t itx

X

cos sin

cos

ππ

ππ

tx sin

)

Từ sin tx là hàm lẻ và cos tx là hàm chẵn Hơn nữa   t

e dx x

x x

n x

X x

1 1

1

, , 1

p  

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 17

k

x x

x k x k

x it x it

p p x x

n e

, ,

1 1

k it

x x

x it k

x it k

p x x

1 1

1 1

1 1

được gọi là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên X

Nhận xét Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp r của X , có

i

i tX

i

t i

tX E

e E t

2

t X

2 E X

t X tE X E t

Cho t0 ta được M ' X 0 E X

Đạo hàm hai vế của (1.4) đối với t ta được

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 18

    .  

X E t X E t

i X t

Ee 1 tồn tại với mọi t i h , i 1, n thì hàm số

  

n

i i

n

X t n

X X

X t t t Ee

2

1, , , 1, 2, , được gọi là hàm sinh mômen đồng thời của các biến ngẫu nhiên X1, X2, , X n Nhận xét

+ Ta có

X t i

X X

2

1, , , , , , , , , + Nếu X1, X2, , X n là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

n

X t X t X t X

t X t X t n

X X

t X

t X t

t M e

E e

E e

1

2 2 1

1.2.2 Tính chất của hàm sinh mômen

+ Cho biến ngẫu nhiên X Nếu M x t tồn tại thì φX t M X it

+ Cho vectơ ngẫu nhiên XX1, X2, , X n Nếu M X X X t t t n

, , , 2 1 2

X X

X t t t M it it it

n

, , , 2 1 2 1 2 1 2

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 19

Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là M X t Khi đó biến ngẫu nhiên

 t M    at M bt

M Z  X Y Chứng minh

i X a Z

1

với các a1, a2, , a n là các hằng số thực Khi đó

Z t M a t

1

Chứng minh

i X n

i

tX a tX

a X a t tZ

Z t Ee Ee Ee Ee M a t

n i i i n

i i i

1 1

1

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 20

1.2.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

k

k n k k n tk tX

k kt tX

k

e e

k

e e Ee

X t e M

tx tX

X

2 2 2 2

2 2 2 2

2

12

1

ππ

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 21

1 2

2 2

2

12

x t t

t x t

e dx e

e dx e e

X t Ee e e dx e e e e e e

2 2 2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2

2 2

2

12

μσπσ

t t

2 2

2 2 2 2

2 1 2 2

2 2

1 2

2

12

σ

σ μ σ

μ μ σ σ

πσπσ

2

2

t t

e t dx

e dx

e e e

E t

X             

λ

λλ

λλ

0 0

r t

1

dx e

x

r dx

e x

r e e

E t

X

λ

λ λ

λ

λ

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 22

r t

e t

tx

a b t

e dx

a b e e

E t

Chú ý Với biến ngẫu nhiên X chúng ta cũng tìm được luỹ thừa của hàm sinh

mômen Luỹ thừa của hàm sinh mômen được kí hiệu là η và được xác định bởi X

x

x n x x n x

b.Nếu X ~ Poi λ thì    

t e

x e t

x

x x

x x

!

!

λ λ λ λ λ

η

0 0

1.2.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên

a Nếu các biến ngẫu nhiên X1, X2, , X k có phân phối đa thức với các tham số n

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 23

và p1, p2, , p k thì     t n j 

k t

k X

X t t p e p e t

, ,

X t X t X

t X t k

X

x x

n e

Ee t

, ,

1 1

1 1

e p e

p x x

= t n

k

e p e

1 2 1 2

1 1 2

2 2 1

1 1 2

1

1 1 2

2 1 2

2

11

2

1

σ

μσ

μσ

μρ

σ

μρ

σπσ

x x

x x

1

2 1 2

2

σσ

ρσ

σρσσ

1 2

1

2 1 2

2 2

2 1 1 1

,

1

μ

μσ

σρσ

σρσσ

μμ

μμ

x

x x

x x

x '

2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2

1 1 2 2 2 2

2

2

1

21

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 24

2 2 1

1 1 2

1

1 1

μσ

μρ

σ

μρ

x x

x x

2

12

1

' exp

1 2

1

2

12

1

R R

X t

x t t t t t

t

22

2

12

1

' '

' ' '

1

2

12

12

1 2 1 2

1 2

2 2

1

2 1 2

1 2

t

t t

t t

σσ

ρσ

σρσσ

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 25

          1 2

2 2 2 2 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 2

0

yx0

2 x y Y

X

e y

tX Y

e t

u y t y

21

1

20

1 1

(với u1, tu2)

Ta có hàm sinh mômen của các biến ngẫu nhiên X và Y là

t t

M t

,

23

20





u u u M

u

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 26

Chương 2 ứng dụng của hàm đặc trưng

và hàm sinh mômen 2.1 ứng dụng của hàm đặc trưng

2.1.1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên

Từ định lí về công thức ngược ta có thể tìm được hàm xác suất và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên

Ví dụ 2.1 Cho X ~ B n , p với    it n

X t  pe q

φ ( với q1p) áp dụng kết quả của định lí về công thức ngược chúng ta có

itx r n r it r n T

T

itx n

T dt e q pe

12

t x r i r n r r

n p q e dt C

x n x x n n

x r r

T T

t x r i r

n r r

T dt x r i e x r i q p C

11

e e

q p

n n

x r r

T x r i T x r i r n r r

2

12

x r r

r n r r

T x r

T x r q

Ví dụ 2.2 Cho X ~ Poi λ với φ   λe it λ

X t e áp dụng kết quả của định lí công thức ngược chúng ta có

r itr T

T

itx

r e e T

dt e e T

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 27

r

dt e

r n

x r r

T T

t x r i r

dt r

e T dt x r i e x r i r

e e

r e

r n

x r r

T x r i T x r i r

22

12

T x r r

e

r n

x r r

12

ππ

t

x

2 2

2 2

2 1 2

1 2

1 2

1

2

12

2

12

/ /

/ /

ππ

ππ

 

2 2

1

2 2

2

112

/ /

2.1.2 Tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

Từ tính chất của hàm đặc trưng ta có thể tìm được kì vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên

+ Cho φX t là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Khi đó

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 28

d

t i E X

dt   n1, 32, nếu n 

X E

(tính chất 7 trong Định lí 1.1)

+ Cho X X X t t t n

, , , 1 2

0 0

X

t t

X

t t

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 29

t it

x

σμ

2 2 2 2 2

2 2

t

X

β

ββ

α 2 2

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 30

Ví dụ 2.8 Cho XX1, X2, , X k có phân phối đa thức và có hàm đặc trưng là

k it

k X

1

2 1 1

11

t t t

k n it k it

k k

e p e

p p p i k n n

2.1.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập

Định lí 2.1 Cho X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó ta có

 điều phải chứng minh

Định lí 2.2 Giả sử X j , j 1,2, , k là các biến ngẫu nhiên độc lập và

j

j B n p X

1 1

j k

j

j

n it

k j

n it k

j

X X

q e p q

e p t

1

1 1

.

φφ

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 31

X

k j j k

j

j ~ ,

1 1

 điều phải chứng minh

Định lí 2.3 Cho X j ~ Poi λj , j 1, k là các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó

k j j

j Poi X

j k

j

j

jt k

j jt k

j

X X

e e

1

1

1 1 1

λ λ

φφ

k j j k

j j

j N X

2 1

C

1μ

Vì X j ~ Nμj ,σ2j, j 1, k   2

2

t it X

j j

σ μ

k j

k j j j

it t

it k

j X X

t it

e e

t t

k

j

j j j

j j

2

1

2 2

1

σμ

φφ

σ μ σ

j j

j N

X

2 1

σ

μ ,

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 32

Tổng quát: X j ~ Nμ,σ2   2

2

t it X

j j

σ μ

j j j j k

j

j X X

C

t C itC

t C

1

σμφ

j j k

j

j

j t C C

it

1

2 2 2

j j k

j

j j j

j X N C C

C

2 1

C

1μ

Định lí 2.5 ( Định lí giới hạn trung tâm)

Cho X n , n1,2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với

n X Y

n i i n

X n

X n Y

1

1

σ

μσ

μ

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 33

Z n

Z

n

t n

t n

t t

i i n

i i

φφ

φ

1 1

1 1

t o n

t n

i i

Z Z

z Z

2 2

02

1

00

t2 2

02



21

lim

 điều phải chứng minh

2.2 ứng dụng của hàm sinh mômen

2.2.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 34

n

, , , , , ,

2 1 2

1

2 1 2

Từ những thông tin về hàm sinh mômen M Y t ta có thì tìm được phân phối xác

suất của biến ngẫu nhiên Y

Ví dụ 2.9 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ B n , p Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên YnX

pe

q1p Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên B , n p Do đó ta có Y ~ B n , p

Ví dụ 2.10 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử X ~ N α,β ,

 ( vì X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập)

2 2 2

M at

b a t b

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 35

Ví dụ 2.11 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ N 0,1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 2

2 12

1

π

1

2 1 2 1 2

1 2

21

212

12

1

π π

212

1

12

12

1

2 1

0

0y nÕu2

12

t Y t Y

E e



Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 36

2 2 2 2 1 1

2

2 2

2 1

t t X

y Y

y Y

e y

f

e y

2.2.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

+ Cho biến ngẫu nhiên X với hàm sinh mômen M X t Khi đó ta có

   

0

n

n X

k

k

n n

n n

n n

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 37

0 0

n

X

t t

p n np np p

n EX EX

0

X

t t

t t t

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 38

2 2

2 2 2

t

μσ

μ

σμ

2 2



2.2.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Phương pháp dựa trên định lí sau

Định lí 2.6 Cho X1, X2, là dãy các biến ngẫu nhiên với dãy hàm phân phối tương ứng F X    a , F X a ,

n

t E

e E t

n

1

exp

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 39

n t

e E e

1

1

/ /

n

t n

22

2 2 2

2

μσ

μ

exp exp

n Y

n

t t

exp lim

n

t E

e E t

n t

e E e

t n

t i n

t e

i

i n

Y

n

pt p p t

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 40

Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên sao cho pY p1

 Dãy các biến ngẫu nhiên Y1, Y2, hội tụ tới p Định lí được chứng minh Chúng ta đã chứng minh được định lí giới hạn trung tâm bằng công cụ hàm đặc trưng Dưới đây chúng ta sẽ sử dụng công cụ hàm sinh mômen để chứng minh lại định lí này

Định lí 2.9 (Định lí giới hạn trung tâm)

Cho X n , n1,2, là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với

n X Y

n i i n

e E t M

n i i tY

n

tX E

σμ

Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 41

n

t X

E n

t X

E n

t t

3

3 2

2 2

32

σ

μσ

μσ

Y

n

t t

Từ giới hạn hàm sinh mômen của Y là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc n

nên ta suy ra được