Hàm đặc trưng hàm sinh mômen và ứng dụng

Khóa luận tốt nghiệp trường đại học sư phạm hà nội khoa toán ********* Nguyễn thị thảo nguyên Hàm Đặc trưng - hàm sinh mômen Và ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán ứng dụng Hà Nội – 2010 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Trường đại học sư phạm hà nội khoa toán ********* Nguyễn thị thảo nguyên Hàm Đặc trưng - hàm sinh mômen Và ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Ths Nguyễn trung dũng Hà Nội – 2010 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Khóa luận tốt nghiệp hoàn thành kết trình học tập, tích lũy kinh nghiệm, hướng dẫn bảo tận tình ThS Nguyễn Trung Dũng Em xin tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Đồng thời em xin chân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa đặc biệt thầy cô tổ toán ứng dụng tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em suốt thời gian học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin trân thành cảm ơn Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khóa luận em hoàn hành nhờ nỗ lực cố gắng thân, bảo tận tình ThS Nguyễn Trung Dũng, ý kiến đóng góp thầy cô tổ, khoa bạn nhóm Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài em tự nghiên cứu, tìm hiểu trích dẫn trung thực từ tài liệu tham khảo Những nội dung chưa công bố khóa luận Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Mục Lục 1.1 Lời nói đầu Nội dung Chương Hàm đặc trưng hàm sinh mômen Hàm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất 1.1.2 Hàm đặc trưng số biến ngẫu nhiên 1.2 12 Hàm sinh mômen 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Tính chất hàm sinh mômen 13 1.2.3 Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp 15 1.2.4 Lũy thừa hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên 17 1.1.5 Hàm sinh mômen vectơ ngẫu nhiên 17 2.1 Chương ứng dụng hàm đặc trưng hàm sinh mômen 21 ứng dụng hàm đặc trưng 21 2.1.1 Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên 21 2.1.2 Tính kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên 22 2.1.3 Phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập 25 2.2 ứng dụng hàm sinh mômen 28 2.2.1 Tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên 28 2.2.2 Tính kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên 31 2.2.3 Chứng minh hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 32 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Lời nói đầu Toán ứng dụng ngành toán học có ý nghĩa to lớn chiếm vị trí quan trọng Nó cầu nối để đưa kết nghiên cứu lí thuyết đại số, giải tích, hình học… vào ứng dụng ngành khoa học khác thực tế sống Nói đến toán học ứng dụng không nói đến toàn môn xác suất – thống kê, công cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học, tâm lí – xã hội… Do đó, môn đưa vào giảng dạy hầu hết trường đại học, cao đẳng Với mong muốn tìm hiểu sâu môn xác suất – thống kê em chọn đề tài “Hàm đặc trưng – hàm sinh mômen ứng dụng” Khóa luận bao gồm hai chương Chương Hàm đặc trưng hàm sinh mômen Chương ứng dụng Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương Hàm đặc trưng hàm sinh mômen 1.1 Hàm đặc trưng 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho hai biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (  , A, P) tồn EX, EY Khi biến ngẫu nhiên X  iY có kì vọng xác định E X  iY  EX  iEY , i  1 Định nghĩa 1.2 Hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X kí hiệu φ X t  xác định φ X t   EeitX Bổ đề 1.1 Cho g1 x g2 x hàm thực không âm xác định Khi với dãy số thực xn  cho g1 xn   g2 xn  n  1,2,   g x    n1 n   g x    n1 n Bổ đề 1.2 Cho g1 x g2 x hàm thực không âm xác định cho g1 x  g2 x x Khi đoạn a, b hữu hạn g1 x khả tích   g xdx      g xdx <   Bổ đề 1.3 Cho g x  hàm số xác định  xn  dãy số thực Khi   gx      gx    n1 n n1 n Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Bổ đề 1.4 Cho g x  hàm xác định b cho  g xdx tồn với a, b  a a  b Khi    gx dx     gxdx    Nhận xét Từ bổ đề 1.1 đến 1.4 cho tồn hàm đặc trưng φ X t  Thật φ X t   EeitX  EcostX   i sintX   E costX   iE sintX  Ta phải EcostX    , E sintX    Nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất pX x E costX    cos( tx ).px x , E sintX    sin( tx ).px x x x Ta có cos( tx ).pX x  pX x x mà  p x      cos( tx ) p x   X X x x   cos( tx ).px x   x  EcostX     tồn E costX  Lập luận tương tự ta tồn E sintX  Do tồn hàm đặc trưng φ X t  trường hợp X biến ngẫu nhiên rời rạc Tương tự ta tồn hàm đặc trưng φ X t  với X biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 1.3 Hàm đặc trưng vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 , , Xn  kí hiệu φX t1 ,t2 , , tn  xác định Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp n  itk Xk φ X t1 ,t2 , , tn   φ X , X , , X t1 , t2 , , tn   Ee k 1 n ( t1 ,t2 , , tn  1.1.2 Tính chất Định lí 1.1 Cho φ X t  hàm đặc trưng biến ngẫu nhiên X Khi ta có φ X 0  φ X t   φ X liên tục φ Xd t   eitd φ X t  với d số φcX t   φ X ct với c số φ cX d t   eitd φ X ct với c, d số dn φ X t  dt  in E  X n  n  1,2,3 E Xn   t 0 Chứng minh φ x t   EeitX Do φ X 0  Eei X  E1  φ X t   EeitX  E eitX  E1 eitX  φ X t  h  φ X t   Eei t h X  eitX   EeitX eihX  1  E eitX eihX  1  E eihX   lim φ X  t  h   φ X  t   lim E ethX   E lim ethX    h0 h0  h0   φ X liên tục φ Xd t   Eeit  Xd   EeitX eitd   eitd EeitX  eitd φ X t  φ cX t   Eeit ( cX )  Eei ct X  φ X ct φ cXd t   Eeit cXd   Eeitd eictX   eitd EeictX  eitd φ X ct Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp dn dn   n itX  itX φ X t   n Ee  E n e   Ei n X neitX  n dt dt  t  Ta có n φt   i n EX n  n t t 0 Với t = Cho φ  X , X , ,X  t1 ,t2 , , tn  hàm đặc trưng vectơ ngẫu nhiên Định lí 1.2 n X   X1 , X2 , Xn  ta có : φ  X , X , ,X  0, 0, , 0  1 n φ X , X , ,X t1 ,t2 , , tn   1 n φ  X , X , ,X  t1 ,t2 , , tn  liên tục n n  itdk φ  X  d , X  d , ,X  d  t1 , t2 , , t n   e φ X , X , ,X t1 , t2 , , tn  , di ,i  1, n số k 1 2 n n n φ c X ,c X , ,c X  t1 , t2 , , tn   φ X , X , ,X c1t1 , c2t2 , , cntn  , ci ,i  1,n số 1 2 n n n n  itdk φc X d ,c X d , ,c X d  t1 , t2 , , tn   e k 1 1 2 n n n φX , X , ,X c1 X1 , c2 X2 , , cn Xn  n ci ,di ,i  1,n số Nếu E Xj   k φ  X , ,X  t1 , , tn   i k EXjk , j  1, n k t j t t  t  n n Định lí chứng minh tương tự Định lí 1.1 Định lí 1.3 Nếu X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối φ t    φ t  n n  Xi i 1 Xi (1.1) i 1 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 10 Khóa luận tốt nghiệp d2 φ X t  dt  t 0   it d iλe λeλe it dt  iλe λ eλe it it  iλe λ t 0  λe i  i  it t 0 d λeit it e dt t 0  iλe  λ e λ  λi  i   i 2λλ  1  λλ  1   EX2  DX  EX2  EX  λλ  1  λ  λ σ 2t   Ví dụ 2.6 Cho X ~ N μ,σ  có hàm đặc trưng φ x  exp it μ   Khi ta   có d φ X t  dt  σ2t   exp  itμ    iμ  σ t   t 0  d2 φ X t  dt   σ2t  σ2t  2  exp  itμ    iμ  σ t   σ exp  itμ   2     t 0  iμ  EX  μ t 0 t 0  i 2μ  σ  i μ  σ   EX2  μ  σ  DX  EX2  EX  μ  σ  μ  σ Ví dụ 2.7 Cho X biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với tham số α β có hàm đặc trưng φ X t   d φ X t  dt d2 φ X t  dt  t 0   iαβ 1  iβt  i t 0 α β α  x1  i βt   xα1 exp  dx Khi ta có β    iαβ  EX  αβ α 1 t 0 α  α  1 β 1  iβt   i 2α  α  1 β α2 t 0  EX2  αα  1β  DX  EX2  EX  αα  1β  α 2β  αβ Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 29 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2.8 Cho X   X1 , X2 , , Xk  có phân phối đa thức có hàm đặc trưng φ X , ,X t1 , , tk   p1eit   pkeit 1 k k k φ X , , X  t1 , , tk  t1 tk k  Khi ta có n t1 t2  tk 0  nn  1 n  k  1i k p1 pk p1eit   pk eit k  n k t1 t2  tk   i k nn  1 n  k  1p1 p2 pk  E X1 Xk   nn  1 n  k  1p1 p2 pk 2.1.3 Phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập Định lí 2.1 Cho X,Y hai biến ngẫu nhiên độc lập Khi ta có φ XY t   φ X t .φY t  Chứng minh Ta có φ XY t   Eeit  XY   EeitX e itY   EeitX EeitY  φ X t .φY t  ( X,Y độc lập)  điều phải chứng minh Giả sử Xj , j  1,2, , k biến ngẫu nhiên độc lập Định lí 2.2 Xj ~ Bnj , p, j  1, k Khi ta có  k  ~ B  nj , p   j 1  k X j 1 j Chứng minh Vì Xj ~ Bnj , p  φ X t   p eit  q nj j φ t    φ t    p.e k k it k  Xj j 1 Xj j 1 ( với q   p ) j  1, k  q   p.e  q nj it k  nj j 1 j 1 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 30 Khóa luận tốt nghiệp  k    Xj ~ B  nj , p   điều phải chứng minh j 1  j 1  k Định lí 2.3 Cho Xj ~ Poiλ j  , j  1, k biến ngẫu nhiên độc lập Khi k X j 1 j  k  ~ Poi  λ j   j 1  Chứng minh Vì Xj ~ Poiλ j  , j  1, k  φ X t   e  jt 1λ j j k φ k  Xj  jt 1 λ j   φ X t    e k k j j 1  jt 1λ j e j 1 j 1 j 1 k  k    Xj ~ Poi  λ j   điều phải chứng minh j 1  j 1  Định lí 2.4 Cho Xj ~ N μ j ,σ 2j , j  1, k biến ngẫu nhiên độc lập Khi k X j 1 j k  k  ~ N   μ j ,  σ 2j  j 1  j 1  Tổng quát k C X j j 1 j ~ N μ j , σ  μ   Cj μ j , σ   Cj σ 2j , c j  k k j 1 j 1 j  1,k Chứng minh Vì Xj ~ N μ j ,σ , j  1, k  φ X t   e itμ j  j j  itμ  σ 2t     φ t   φ X t    e X j 1 j 1   k k σ 2j t k j j j 1 2 j j k  σ 2j     itμ   t2 k   k e  exp it  μ j   σ j   j 1   j 1  j j 1 k k k   Xj ~ N   μ j ,  σ 2j  j 1 j 1  j 1  Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 31 Khóa luận tốt nghiệp Tổng quát: Xj ~ N μ,σ φ   φ t   e k j 1 σ 2j t 2 Xj σ 2j Cj2t   t    φ X Cj t    exp itC j μ j    j 1 j 1  k  Cj X j itμ j  k j t2 k 2   k  exp it  Cj μ j   Cj σ j  j 1  j 1  k k  k    Cj Xj ~ N   Cj μ j ,  Cj σ 2j  j 1 j 1  j 1  Vậy  Cj Xj ~ N μ j , σ  μ   Cj μ j , σ   Cj σ 2j , cj  , j  1,k k k k j 1 j 1 j 1 Định lí 2.5 ( Định lí giới hạn trung tâm) Cho Xn ,n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với n μ  EXn , σ  DXn tồn hữu hạn Đặt Yn  X  X  nμ i 1 i σ n  n Xμ , σ n  Xi Khi ta có n i 1 Y μ  lim P n n  a  a, a  n  σ  Tức lim FY a  a, a n n Chứng minh Để chứng minh định lí ta cần lim φY t   φ Z t  n Z ~ N 0,1 Với n  * n ta có Yn  n Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán a  , Xμ n  Xi  μ     σ n i 1  σ  32 Khóa luận tốt nghiệp Đặt Zi  Xi  μ  EZi  0, DZi  Zi ,i  1,2, dãy biến ngẫu nhiên σ độc lập n  t  n  t    t   φ Z t   φ t   φ     φZ     φZ   Z Z  i 1 n n n         n n n n i i i i i 1 i 1  t  Khai triển Taylor hàm φ Z   t  ta có  n i φ' Z 0 t φ" Z o t  t2   t    φZ   φ       z 1! 2! n n  n  n i i i i t2  t2   1  0  2n  n  t2    φ Y t   1    2n  n n n t t2    lim φ Y t   lim1    e  φ Z t  n n  2n  n  điều phải chứng minh 2.2 ứng dụng hàm sinh mômen 2.2.1 Tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên Phương pháp Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X x g x  hàm đo Khi hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên Y  g X (nếu tồn tại) MY t   EetY    etY fY ydy,  MY t   EetY   Eetg X     etg x  f X xdx  Trong trường hợp  X1 , X2 , , Xn  véc tơ ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất đồng thời biết Đặt Y  g X1 , X2 , , Xn  ta có Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 33 Khóa luận tốt nghiệp MY t       tg x , x , ,x  f X , X , ,x x1 , x2 , , xn dx1dx2 dxn   e   n  n Từ thông tin hàm sinh mômen MY t  ta có tìm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Y Ví dụ 2.9 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ Bn, p Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên Y  n  X Giải Ta có MY t   EetY   Eet  n X    etn Ee tX   etn M X  t   etn pet  q  qet  p n n q   p Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên Bn, p Do ta có Y ~ Bn, p Ví dụ 2.10 Cho X,Y biến ngẫu nhiên độc lập giả sử X ~ N α,β , Y ~ γ,δ Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Z  aX  bY Giải Ta có M Z t   EetZ   Eet  aXbY   EetaX EetbY ( X,Y biến ngẫu nhiên độc lập) a2t 2β  b2t 2δ     M X at.MY bt  exp atα  exp bt γ         t2   2  exp aα  bγ t  a β  b δ   2  Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N ~ aα  bγ , a2β  b2δ  Do dó ta có Z ~ N aα  bγ , a2β  b2δ  Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 34 Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2.11 Giả sử biến ngẫu nhiên X ~ N 0,1 Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên Y  X2 Giải  Ta có  12 x M X t   Ee    e e dx 2π  tX2 tY   12 x 12t  1  2t    12 x 12t   dx  e dx  e 2π  2π 1  2t    2  1  2t    2 1   ,t   2 1t     Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với tham số r  1 ,λ  2 1   y  2 y e   1 Suy fY y   2    2  0 nÕuy  nÕu y  Ví dụ 2.12 Giả sử X1 , X2 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Tìm phân phối xác suất biến Y1  g1  X1 , X2   X1  X2 Y2  g2  X1 , X2   X2  X1 Giải Ta có MY ,Y t1 , t2   Eet Y t Y   Eet  X  X t  X  X   1 2 1 2 2  EeX t t  X t t    EeX t t  EeX t t   2 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 2 35 Khóa luận tốt nghiệp t12 2 t22  M X t2  t1 M X t1  t2   e e Vậy X1 , X2 có phân phối chuẩn với μ  0, σ  1 y4 fY y1   e 4π Suy 2 y4 fY y2   e 4π 2.2.2 Tính kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên + Cho biến ngẫu nhiên X với hàm sinh mômen MX t  Khi ta có dn M X t  dt n  EX n  t 0 Thật dn M X t  dt n dn  n  EetX  dt t 0  E  X netX   d n tX   E n e   dt  t 0 t 0  EX n + Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 , , Xk  có hàm sinh mômen MX , X , ,X t1 ,t2 , , tk  k Khi ta có  n1  nk M X1 , , X k  t1, , tk  t1n1 tknk    E X 1n1 X knk t1 t2  tk 0 (với n1 ,n2 , , nk số nguyên không âm) Ví dụ 2.13 Cho X ~ Bn, p , ( n  ) có M X t    pet  q )n , q   p Khi ta * có Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 36 Khóa luận tốt nghiệp d M X t  dt d2 M X t  dt  t 0 n d pet  q   dt  t 0 t 0  n  pet  q  n1 t d t np pe  q e       dt  np  n  1  pet  q   n2 n1 pet t 0  np  EX t 0 pet et   pet  q  n 1 et   t 0  nn  1p2  np  n2 p2  np2  np  EX2  DX  EX2  EX  n2 p2  np2  np  n2 p2  np1  p  npq (với q   p ) Ví dụ 2.14 Cho X ~ Poiλ  với hàm sinh mômen M X t   eλ e 1 , t  Khi t ta có d M X t  dt d2 M X t  dt  t 0  t 0 d  λ et 1  e   dt   λet e  λ  EX t 0 t 0 d  t λ et 1   λe e   dt    λ et 1 λ et 1 λ  et 1  λ  et e  et e λet    t 0 t 0  λ1  λ   EX2  DX  EX2  EX  λ1  λ   λ  λ σ 2t   Ví dụ 2.15 Cho X ~ N μ,σ  có hàm sinh mômen M X t   exp  μt     Khi d M X t  dt  d  σ 2t    exp  μt   dt   t 0   σ2t    μ  σ t  exp  μt     t 0 Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán  μ  EX t 0 37 Khóa luận tốt nghiệp  d  σ2t     μ  σ t  exp  μt   dt    t 0 d2 M X t  dt t 0  σ 2t  σ 2t     σ exp μt    μ  σ 2t exp μt   2      t 0  μ  σ  EX2  DX  EX2  EX  μ  σ  μ  σ 2.2.3 Chứng minh hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Phương pháp dựa định lí sau Định lí 2.6 Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên với dãy hàm phân phối tương ứng FX a, FX a, hàm sinh mômen MX t , MX t , tồn 2 t   h, h , h  Khi tồn hàm phân phối xác suất FX a có hàm sinh mômen MX t  tồn t   r , r ,  r  h cho lim M X a  M X t  n n lim FX a  FX a n n Định lí 2.7 (Luật yếu số lớn) Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với biến ngẫu nhiên X ~ N μ,σ  Đặt Yn  n  Xi Khi dãy biến ngẫu nhiên Y1 ,Y2 , hội tụ theo xác suất n i 1 tới μ Chứng minh Ta có  tn  MY t   EetY   Eexp  Xi    n  i 1  n n Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 38 Khóa luận tốt nghiệp   Eet / n X   Eet / n X  n i n i 1 n   tμ σ t   σ 2t    exp    exp tμ   n n n        σ 2t  tμ  lim MY t   limexp tμ    e n n n    n  Dãy biến ngẫu nhiên Y1 ,Y2 , hội tụ tới μ Định lí chứng minh Định lí 2.8 (Luật số lớn Becnulli) Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với biến n ngẫu nhiên X ~ B1, p Đặt Yn   Xi Khi dãy biến ngẫu nhiên n i 1 Y1 , Y2 , hội tụ theo xác suất tới p Chứng minh Ta có  tn  MY t   EetY   Eexp  Xi    n  i 1  n n   Eet / n X   Eet / n X   1  p  pet / n  n i n n i 1 Khai triển taylor et / n i t/n e t  1 t  t          gn n i 2 i !  n  n Lại có lim ngn  n n pt    lim MY t   lim1  p  p   pgn  ept n n n   n Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 39 Khóa luận tốt nghiệp Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên cho pY  p   Dãy biến ngẫu nhiên Y1 ,Y2 , hội tụ tới p Định lí chứng minh Chúng ta chứng minh định lí giới hạn trung tâm công cụ hàm đặc trưng Dưới sử dụng công cụ hàm sinh mômen để chứng minh lại định lí Định lí 2.9 (Định lí giới hạn trung tâm) Cho Xn ,n  1,2, dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với n μ  EXn , σ  DXn tồn hữu hạn Đặt Yn  X  X  nμ i 1 i σ n  n Xμ Trong σ n  Xi Khi ta có n i 1 Y μ  lim P n n  a  a, a  n  σ  Tức lim FY a  a, a n n Chứng minh Ta có    n    t   Xi  nμ     MY t   EetY   Eexp   i 1  σ n         n n tμ    tX      t  X  μ      exp   n  Eexp  i     Eexp  i   σ    σ n      σ n    n n   t  X  μ   Sử dụng khai triển Maclaurin hàm Eexp i  ta   σ n  Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 40 Khóa luận tốt nghiệp   t t2 t3     MY t    EXi  μ   E  Xi  μ   E X  μ  i 3  σ n  2σ n 3! σ n    n      n n t2    1   gn  2n  n t2    lim MY t   lim1   gn  et n n  2n  n /2 Từ giới hạn hàm sinh mômen Yn biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc nên ta suy lim FY a  a, a n n (định lí chứng minh) Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 41 Khóa luận tốt nghiệp Kết luận Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ nghiên cứu đề Cụ thể khóa luận em nghiên cứu số vấn đề hàm đặc trưng, hàm sinh mômen, ứng dụng chúng Khóa luận mang tính chất tổng quan em chứng minh số định lí, tính chất để giải thích hiểu rõ vấn đề khóa luận đề cập Qua trình tìm hiểu, nghiên cứu, hoàn thành khóa luận em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua củng cố kiến thức lí thuyết xác suất thống kê để thấy phong phú, lí thú toán học Mong tài liệu bổ ích quan tâm đến vấn đề Do thời gian kiến thức có hạn nên khóa luận không tránh khỏi hạn chế Rất mong ý kiến đóng góp thầy cô bạn Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Thảo Nguyên Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 42 Khóa luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo Đào Hữu Hồ, (1996), Xác suất thống kê, NXB đại học quốc gia Hà Nội William C Rinaman, (1993), “Foundations of probability and statistics”, sounders college George G Roussas, (1997), “A course in mathematical statistics”, Academic press Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 43 [...]... 2 u  3u  2 2 25 Khóa luận tốt nghiệp Chương 2 ứng dụng của hàm đặc trưng và hàm sinh mômen 2.1 ứng dụng của hàm đặc trưng 2.1.1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên Từ định lí về công thức ngược ta có thể tìm được hàm xác suất và hàm mật độ xác suất của các biến ngẫu nhiên Ví dụ 2.1 Cho X ~ Bn, p với φ X t    peit  q ( với q  1  p ) áp dụng kết n quả của định lí về công thức ngược chúng... có hàm sinh mômen là MX t  Khi đó biến ngẫu nhiên Y  aX  b với a, b là các hằng số thực có hàm sinh mômen là MY t   etb M X at Chứng minh Ta có MY t   EetY   Eet  aXb   etb EeatX   etb M X at  điều phải chứng minh Định lí 1.9 Cho X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập với hàm sinh mômen lần lượt là MX t , MY t  Thì Z ·aX  bY với a,b là các hằng số thực có hàm sinh mômen. .. p1eit   pk eit 1 k  n 1.2 Hàm sinh mômen 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.4 Cho biến ngẫu nhiên X Nếu tồn tại h  0 sao cho t   h, h tồn tại EetX thì hàm số M X t   EetX được gọi là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên X Nhận xét Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp r của X , có thể được tính từ MX t  Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm ex ta có   tX i M X t...  n n n t t2    lim φ Y t   lim1    e 2  φ Z t  n n  2n  2 n  điều phải chứng minh 2.2 ứng dụng của hàm sinh mômen 2.2.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên Phương pháp Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất f X x và g x  là hàm đo được trên Khi đó hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên Y  g X (nếu tồn tại) là MY t   EetY    etY fY ydy, ... Ua, b thì et eb  ea  M X t   t b  a Chứng minh  1 et eb  ea  dx  Ta có M X t   Ee    e b a t b  a 0 tx tx Chú ý Với biến ngẫu nhiên X chúng ta cũng tìm được luỹ thừa của hàm sinh mômen Luỹ thừa của hàm sinh mômen được kí hiệu là η X và được xác định bởi η X t   Et X , t  nếu tồn tại Et X  1.2.4 Luỹ thừa hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên a.Nếu X ~ Bn, p... kết quả của chuyển giới hạn qua dấu tích phân ( định lí được chứng minh) Địng lí 1.5 (Sự duy nhất ) Có sự tương ứng 1-1 giữa hàm đặc trưng và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên Định lí 1.6 Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 , , Xn  với hàm mật độ xác suất đồng thời f  x  và hàm đặc trưng là φt  khi đó ta có các khẳng định: + Nếu X là vectơ ngẫu nhiên rời rạc thì f X , X , ,X 1 2 n  1  x1... vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên Từ tính chất của hàm đặc trưng ta có thể tìm được kì vọng và phương sai của các biến ngẫu nhiên + Cho φ X t  là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X Khi đó Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán 27 Khóa luận tốt nghiệp  in E  X n  dn φ X t  dt n  1,2,3 nếu E Xn   t 0 (tính chất 7 trong Định lí 1.1) + Cho φ  X , X , ,X  t1 ,t2 , , tn  là hàm đặc trưng. .. tương ứng 1-1 giữa hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên X với hàm mật độ xác suất đồng thời của nó 1.1.3 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên Tính chất 1.1 Cho X ~ Bn, p thì φ X t    peit  q , với q  1  p n Chứng minh X ~ Bn, p  φ X t    e C p q n x 0 itx x n x n x   Cnx  peit  qn x   peit  q n x n x 0 Đặc biệt nếu n  1 thì ta nói X có phân phối Bernoulli B1, p và Nguyễn... 1  i βt  Với α  r / 2, β  2 chúng ta có lượng tương ứng với χ 2r và với α  1,β  1 / λ chúng ta có lượng tương ứng cho phân phối mũ âm với các hàm đặc trưng tương ứng là 1 φ X t   1  2it  r / 2 λ  it  và φ X t    1    λ λ  it  Tính chất 1.5 Cho X là phân phối Côsi với tham số μ  0 và σ  1 khi đó φ X t   e t Chứng minh Ta có  φ X t    eitx  1 1 1  costx  i... n n 2 2 i 1 i 1.2.2 Tính chất của hàm sinh mômen + Cho biến ngẫu nhiên X Nếu Mx t  tồn tại thì φ X t   MX it  + Cho vectơ ngẫu nhiên X   X1 , X2 , , Xn  Nếu MX , X , ,X t1 ,t2 , , tn  tồn tại thì 1 2 n φ X , X , ,X t1 ,t2 , , tn   MX , X , ,X it1 ,it 2 , , it n  1 2 n 1 2 n Do đó hàm sinh mômen cũng có một số tính chất tương tự như của hàm đặc trưng Định lí 1.8 Nguyễn Thị Thảo ... Hàm đặc trưng – hàm sinh mômen ứng dụng Khóa luận bao gồm hai chương Chương Hàm đặc trưng hàm sinh mômen Chương ứng dụng Nguyễn Thị Thảo Nguyên – K32CN Toán Khóa luận tốt nghiệp Chương Hàm đặc. .. mômen số biến ngẫu nhiên 17 1.1.5 Hàm sinh mômen vectơ ngẫu nhiên 17 2.1 Chương ứng dụng hàm đặc trưng hàm sinh mômen 21 ứng dụng hàm đặc trưng 21 2.1.1 Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên 21 2.1.2... 1.1.2 Hàm đặc trưng số biến ngẫu nhiên 1.2 12 Hàm sinh mômen 1.2.1 Định nghĩa 12 1.2.2 Tính chất hàm sinh mômen 13 1.2.3 Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp 15 1.2.4 Lũy thừa hàm sinh mômen