Luận văn sư phạm Hàm đặc trưng - hàm sinh Mômen và ứng dụng

Khóa lu n t t nghi p tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán ********* Nguy n th th o nguyên Hàm c tr ng - hàm sinh mômen Và ng d ng Khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Toán ng d ng Hà N i – 2010 Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Tốn Khóa lu n t t nghi p Tr ng đ i h c s ph m hà n i khoa toán ********* Nguy n th th o nguyên Hàm c tr ng - hàm sinh mômen Và ng d ng Khóa lu n t t nghi p đ i h c Chuyên ngành: Toán ng d ng Ng ih ng d n khoa h c Ths Nguy n trung d ng Hà N i – 2010 Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán Khóa lu n t t nghi p L ic m n Khóa lu n t t nghi p đ l y kinh nghi m, s h c hoàn thành k t qu c a trình h c t p, tích ng d n ch b o t n tình c a ThS Nguy n Trung D ng Em xin t lòng bi t n chân thành sâu s c nh t đ n th y ng th i em xin chân tr ng c m n th y cô giáo khoa đ c bi t th y t tốn ng d ng t o u ki n giúp đ , đóng góp ý ki n cho em su t th i gian h c t p th c hi n khóa lu n t t nghi p Em xin trân thành c m n Sinh viên Nguy n Th Th o Nguyên Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn Khóa lu n t t nghi p L i cam đoan Khóa lu n c a em đ c hoàn hành nh s n l c c g ng c a b n thân, s ch b o t n tình c a ThS Nguy n Trung D ng, nh ng ý ki n đóng góp c a th y t , khoa b n nhóm Em xin cam đoan v i h i đ ng ch m khóa lu n t t nghi p đ tài em t nghiên c u, tìm hi u trích d n trung th c t tài li u tham kh o Nh ng n i dung ch a đ c công b b t kì khóa lu n Sinh viên Nguy n Th Th o Nguyên Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Tốn Khóa lu n t t nghi p M cL c 1.1 1.1.1 L i nói đ u N i dung Ch ng Hàm đ c tr ng hàm sinh mômen Hàm đ c tr ng nh ngh a 1.1.2 Tính ch t 1.1.2 Hàm đ c tr ng c a m t s bi n ng u nhiên 1.2 12 1.2.1 Hàm sinh mômen nh ngh a 12 1.2.2 Tính ch t c a hàm sinh mơmen 1.2.3 Hàm sinh mômen c a m t s bi n ng u nhiên th 13 ng g p 15 1.2.4 L y th a hàm sinh mômen c a m t s bi n ng u nhiên 17 1.1.5 Hàm sinh mômen c a vect ng u nhiên 17 Ch ng ng d ng c a hàm đ c tr ng hàm sinh mômen 21 ng d ng c a hàm đ c tr ng 21 2.1.1 Tìm hàm phân ph i c a bi n ng u nhiên 21 2.1.2 Tính kì v ng ph ng sai c a bi n ng u nhiên 22 2.1.3 Phân ph i c a t ng bi n ng u nhiên đ c l p 25 2.1 2.2 ng d ng c a hàm sinh mômen 28 2.2.1 Tìm phân ph i c a hàm bi n ng u nhiên 28 2.2.2 Tính kì v ng ph 31 ng sai c a bi n ng u nhiên 2.2.3 Ch ng minh s h i t c a dãy bi n ng u nhiên Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 32 Khóa lu n t t nghi p L i nói đ u Toán ng d ng m t ngành toán h c có ý ngh a r t to l n chi m m t v trí quan tr ng Nó c u n i đ đ a nh ng k t qu đ c nghiên c u lí thuy t c a đ i s , gi i tích, hình h c… vào ng d ng ngành khoa h c khác th c t cu c s ng Nói đ n tốn h c ng d ng khơng th khơng nói đ n tồn b mơn xác su t – th ng kê, cơng c đ gi i quy t v n đ chuyên môn c a nhi u l nh v c nh kinh t , sinh h c, tâm lí – xã h i… Do đó, b mơn đ gi ng d y h u h t tr V i mong mu n đ c đ a vào ng đ i h c, cao đ ng c tìm hi u sâu h n v b mơn xác su t – th ng kê em ch n đ tài “Hàm đ c tr ng – hàm sinh mơmen ng d ng” Khóa lu n bao g m hai ch ng Ch ng Hàm đ c tr ng hàm sinh mômen Ch ng ng d ng Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Tốn Khóa lu n t t nghi p Ch ng Hàm đ c tr ng hàm sinh mômen 1.1 Hàm đ c tr ng 1.1.1 nh ngh a nh ngh a 1.1 Cho hai bi n ng u nhiên xác đ nh không gian xác su t (  , A, P) t n t i EX, EY Khi bi n ng u nhiên X  iY có kì v ng đ c xác đ nh b i i E X  iY  EX  iEY ,  1 nh ngh a 1.2 Hàm đ c tr ng c a bi n ng u nhiên X kí hi u X t  đ c xác đ nh b i t   Ee itX X B đ 1.1 Cho g1 x g2 x hàm th c không âm xác đ nh Khi v i m i dãy s th c xn  cho g1 xn   g2 xn  n  1,2,   g x    n1 n   g x    n1 n B đ 1.2 Cho g1 x g2 x hàm th c không âm xác đ nh cho g1 x  g2 x x Khi n u m i đo n a, b h u h n b t kì g1 x kh tích   g xdx      g xdx <   B đ 1.3 Cho g x  hàm s xác đ nh n u  xn  dãy s th c Khi   gx      gx    n1 n n1 n Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Tốn Khóa lu n t t nghi p B đ 1.4 Cho g x  hàm xác đ nh b cho  g xdx t n t i v i a, b  a a  b Khi n u    gx dx    gxdx     Nh n xét T b đ 1.1 đ n 1.4 cho s t n t i c a hàm đ c tr ng X t  Th t v y t   Ee itX X  EcostX   i sintX   E costX   iE sintX  EcostX    , Ta ph i ch E sintX    N u X bi n ng u nhiên r i r c có hàm xác su t pX x E costX    cos( tx ).px x , E sintX    sin( tx ).px x x x Ta có cos( tx ).pX x  pX x x mà  p x      cos( tx ) p x   X X x x   cos( tx ).px x   x  EcostX     t n t i E costX  L p lu n t ng t ta c ng ch đ Do t n t i hàm đ c tr ng X t  c s t n t i c a E sintX  tr ng h p X bi n ng u nhiên r i r c T ng t ta ch đ c s t n t i hàm đ c tr ng X t  v i X bi n ng u nhiên liên t c nh ngh a 1.3 Hàm đ c tr ng c a vect ng u nhiên X   X1 , X2 , , Xn  đ hi u X t ,t , , tn  đ c kí c xác đ nh b i Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Tốn Khóa lu n t t nghi p n X t ,t X t  hàm đ , , tn   X1 , X2 , , Xn t ,t  itk Xk , , tn   Ee k 1 ( t1 ,t2 , , tn  1.1.2 Tính ch t nh lí 1.1 Cho c tr ng c a bi n ng u nhiên X Khi ta có 0  1 X X X X d cX cX d t   liên t c t   e itd t   X X t  v ct t   e itd dn dt X X i d h ng s v i c h ng s ct v i c, d h ng s  in E  Xn  t  n  1,2,3 n u E Xn   t 0 Ch ng minh t   Ee itX Do 0  Ee i 0X x X t   Ee X t  h  t   Ee  itX X  E eitX  E1 i t h X X  E1  eitX   eitX   EeitX eihX  1  E eitX eihX  1  E eihX   lim X h0  t  h  X liên t c X d t   Ee  cX cX d it X d  t   Ee it ( cX ) t   Ee  X t   lim E ethX   E lim ethX    h0  h0   EeitX eitd   eitd EeitX  eitd  Eei ct X  it cX d  X X t  ct  Eeitd eictX   eitd EeictX  eitd Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán X ct Khóa lu n t t nghi p dn   n itX  itX   n Ee  E n e   Ei n XneitX  X t  dt   t dn dtn Ta có n t n V i t = nh lí 1.2  i n EX n  t  Cho t 0  X1 , X , ,Xn  t1 ,t2 , , tn  hàm đ c tr ng c a vect ng u nhiên X   X1 , X2 , Xn  ta có :  X , X , ,X  0, 0, , 0  1 n X1 , X , ,Xn t ,t , , tn    X , X , ,X  t1 ,t2 , , tn  liên t c n n  itdk  X  d , X  d , ,X  d  t1 , t2 , , t n   e k 1 2 n c X ,c X , ,c X  t1 , t2 , , tn   1 2 n X1 , X2 , ,Xn n n X1 , X2 , ,Xn t , t c t ,c t 1 2 , , tn  , di ,i  1, n h ng s , , cntn  , ci ,i  1,n h ng s n c1X1  d1 ,c2 X2  d2 , ,cn Xn  dn  t ,t  itdk , , tn   e k 1 X1 , X2 , ,Xn c X ,c X , , c X  1 2 n n ci ,di ,i  1,n h ng s N u E Xj   k t jk nh lí đ  X1 , ,Xn   i k EXjk , j  1, n t , , t  n t1 t2  tn  c ch ng minh t ng t nh nh lí 1.1 nh lí 1.3 N u X1 , X2 , , Xn bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i t    n n  Xi i 1 Xi t  (1.1) i 1 Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 10 Khóa lu n t t nghi p d2 dt t  X   it d i e e e it dt  t 0  i e e eit it  t 0 eit i  i    1      1   t 0  i e  e t 0  i  i  1   EX2  i2  DX  EX2  EX  d eit it e dt  i e Ví d 2.6 Cho X ~ N  ,  có hàm đ c tr ng 2 t    exp it   Khi ta   x có d dt 2  t  exp t it       i  X  t 0  d2 dt 2  t   exp  it   i  X t    t 0  i2  EX2   2   i2   DX  EX2  EX  2  t  i  EX  t 0 t  2 2  t  exp  it        Ví d 2.7 Cho X bi n ng u nhiên có phân ph i Gamma v i tham s có hàm đ c tr ng d dt d2 dt  EX2   X t  X  t 0 X t      i 1  i t  i t 0  1 t    1  i t  1 i 1  1 x t 0  x1  i t   dx Khi ta có exp     EX  t 0  i2 2   1 t 0  DX  EX2  EX  Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán   1  2  29 Khóa lu n t t nghi p Ví d 2.8 Cho X   X1 , X2 , , Xk  có phân ph i đa th c có hàm đ c tr ng t , , t   p e it1 X1 , ,Xk k t1 tk 1 k X1 , , Xk   pkeit  Khi ta có n k  t1, , tk  t1 t2  tk 0  nn  1 n  k  1i k p1 pk p1eit   pk eit k  n k t1 t2  tk   i k nn  1 n  k  1p1 p2 pk  E X1 Xk   nn  1 n  k  1p1 p2 pk 2.1.3 Phân ph i c a t ng bi n ng u nhiên đ c l p nh lí 2.1 Cho X,Y hai bi n ng u nhiên đ c l p Khi ta có X Y t   t  t  X Y Ch ng minh Ta có t   Ee  it XY  XY  EeitX e itY   EeitX EeitY  X t  t  Y ( X,Y đ c l p)  u ph i ch ng minh nh lí 2.2 Gi Xj , j  1,2, , k bi n ng u nhiên đ c l p s Xj ~ Bnj , p, j  1, k Khi ta có  k  ~ B  nj , p   j 1  k X j 1 j Ch ng minh Vì Xj ~ Bnj , p   t    k j 1 t    p.e k k  Xj t   p.e it Xj Xj j 1 it  q nj ( v i q   p ) j  1, k  q   p.e  q nj it k  nj j 1 j 1 Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 30 Khóa lu n t t nghi p  k    Xj ~ B  nj , p   u ph i ch ng minh j 1  j 1  k nh lí 2.3 Cho Xj ~ Poi , j j  1, k bi n ng u nhiên đ c l p Khi k X j 1 j  k ~ Poi   j 1    j Ch ng minh Vì Xj ~ Poi j , j  1, k  t   e Xj jt 1 j k k  k  Xj t    e k  Xj j 1 jt 1  jt 1 e j j j 1 j 1 j 1 k  k   Xj ~ Poi  j 1  j 1 j    u ph i ch ng minh  nh lí 2.4 Cho Xj ~ N  j , j , j  1, k bi n ng u nhiên đ c l p Khi k X j 1 j  k ~ N   j 1 k j , j j 1    T ng quát k C X j j 1 j ~ N j ,  k   Cj j j 1 , k   Cj j 1 j , cj  j  1,k Ch ng minh Vì Xj ~ N  j ,  j t    , j  1,k k k  Xj j 1 j 1 k k   Xj ~ N   j 1  j 1   it t     e j 1  k Xj k j , j 1 j t   e it Xj j  2 jt j 2 jt  k     it e   j 1 j   j    k  exp it   j 1 j t2 k   j 1 j       Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 31 Khóa lu n t t nghi p T ng quát: Xj ~ N  , t    k  k  Cj X j j 1 j 1  Cj t    exp itC j j 1  Xj k  k   Cj Xj ~ N   Cj j 1  j 1  Cj X j ~ N  j , k j 1 nh lí 2.5 ( Xj j k  k  exp it  Cj  j 1 V y t   e it j k j 1  2 jt  j Cj2t    t2 k 2    Cj j  j 1  j ,  Cj j  j    k   Cj j j 1 , k   Cj j 1 , c j  , j  1,k j nh lí gi i h n trung tâm) Cho Xn ,n  1,2, dãy bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i n  EXn , X  DXn t n t i h u h n t Yn  X n i 1 i n  n X , n  Xi Khi ta có n i 1 Y  lim P n n  T c  n  a  a, a   lim FY a  a, a n n Ch ng minh ch ng minh đ nh lí ta ch c n ch r ng lim n Z ~ N 0,1 V i m i n  * Yn t   t  ta có Yn  n Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán Z X  a  , n  Xi     n i 1   32 Khóa lu n t t nghi p t Zi  Xi   EZi  0, DZi  Zi ,i  1,2, dãy bi n ng u nhiên đ c l p  Zn t    t  n   t    Z Z  n    i 1 n n n i i i 1 i 1 Khai tri n Taylor hàm Zi  t   Z   n i  t    Z   n  i n  t   Z   n  i  t   t i t  ta có   n zi 0  ' Z 0 t " o t  t2   Z  0  1! 2! n n  n i i t2  t2   1  0  2n  n  t2    Y t   1    2n  n n n t t2    lim Y t   lim1    e  n n  2n  n Z t   u ph i ch ng minh 2.2 ng d ng c a hàm sinh mơmen 2.2.1 Tìm phân ph i c a hàm bi n ng u nhiên Ph ng pháp Cho X bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t f X x g x  hàm đo đ c Khi hàm sinh mơmen c a bi n ng u nhiên Y  g X (n u t n t i) MY t   EetY    etY fY ydy,  ho c Trong tr MY t   EetY   Eetg X     etg x  f X xdx  ng h p  X1 , X2 , , Xn  véc t ng u nhiên v i hàm m t đ xác su t đ ng th i bi t t Y  g X1 , X2 , , Xn  ta có Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 33 Khóa lu n t t nghi p MY t       tg x , x , ,x  f X , X , ,x x1 , x2 , , xn dx1dx2 dxn   e   n  n T nh ng thông tin v hàm sinh mômen MY t  ta có tìm đ c phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Y Ví d 2.9 Gi s bi n ng u nhiên X ~ Bn, p Tìm hàm phân ph i c a bi n ng u nhiên Y  n  X Gi i Ta có MY t   EetY   Eet  n X    etn Ee tX   etn M X  t   etn pet  q  qet  p n n q   p ây hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên Bn, p Do ta có Y ~ Bn, p Ví d 2.10 Cho X,Y bi n ng u nhiên đ c l p gi s X ~ N , , Y ~  ,  Tìm hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên Z  aX  bY Gi i Ta có M Z t   EetZ   Eet  aXbY   EetaX EetbY ( X,Y bi n ng u nhiên đ c l p) a2t  b2t      M X at.MY bt  exp at  exp bt        t2   2  exp a  b t  a  b   2  ây hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên có phân ph i chu n N ~ a  b , a2  b2  Do dó ta có Z ~ N a  b , a2  b2  Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 34 Khóa lu n t t nghi p Ví d 2.11 Gi s bi n ng u nhiên X ~ N 0,1 Tìm hàm phân ph i c a bi n ng u nhiên Y  X2 Gi i  12 x M X t   Ee    e e dx   Ta có   tX2 tY  x2 12t  e  1 1  2t    12 x 12t  e dx dx   1  2t     1  2t    2 1   ,t   2 1t     ây hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên có phân ph i Gamma v i tham s r 1 ,  2 1   y  2 y e   1 Suy fY y   2    2  0 nÕuy  nÕu y  Ví d 2.12 Gi s X1 , X2 bi n ng u nhiên có phân ph i chu n t c Tìm phân ph i xác su t c a bi n Y1  g1  X1 , X2   X1  X2 Y2  g2  X1 , X2   X2  X1 Gi i Ta có MY ,Y t1 , t2   Eet Y t Y   Eet  X  X t  X  X   1 2 1 2 2  EeX t t  X t t    EeX t t  EeX t t   2 Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán 2 35 Khóa lu n t t nghi p t12 2 t22  M X t2  t1 M X t1  t2   e e  0, V y X1 , X2 có phân ph i chu n v i fY y1   Suy  y12 e 2 y4 fY y2   e 2.2.2 Tính kì v ng ph ng sai c a bi n ng u nhiên + Cho bi n ng u nhiên X v i hàm sinh mômen MX t  Khi ta có dn M X t  dt n  E  Xn  t 0 Th t v y dn M X t  dt n dn  n  EetX  dt t 0  E  X netX   d n tX   E n e   dt  t 0 t 0  E  Xn  + Cho vect ng u nhiên X   X1 , X2 , , Xk  có hàm sinh mơmen MX , X , ,X t1 ,t2 , , tk  k Khi ta có  n1  nk M X1 , , Xk  t1, , tk  t1n1 tknk    E X1n1 Xknk t1 t2  tk 0 (v i n1 ,n2 , , nk s ngun khơng âm) Ví d 2.13 Cho X ~ Bn, p , ( n  ) có M X t    pet  q )n , q   p Khi ta * có Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 36 Khóa lu n t t nghi p d M X t  dt d2 M X t  dt  t 0 n d pet  q   dt t 0  n  pet  q  n1 t d t  np pe q e       dt  t 0  np  n  1  pet  q   n2 n1 pet t 0  np  EX t 0 pet et   pet  q  n 1 et   t 0  nn  1p2  np  n2 p2  np2  np  EX2  DX  EX2  EX  n2 p2  np2  np  n2 p2  np1  p  npq (v i q   p ) Ví d 2.14 Cho X ~ Poi v i hàm sinh mômen M X t   e e 1 , t  Khi t ta có d M X t  dt d2 M X t  dt d   et 1  e   dt   t 0  t 0  et e  DX  EX2  EX  1   Ví d 2.15 Cho X ~ N  , 2 t   EX t 0 t 0 d  t  et 1   ee   dt   1  e 1 et 1  et e et 1 et    et e    t 0 t 0   EX   có hàm sinh mômen 2 t   M X t   exp  t     Khi d M X t  dt 2  d  t   exp  t   dt   t 0    t 0 Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán 2  t  t  exp  t       EX t 0 37 Khóa lu n t t nghi p d     dt  t 0 d2 M X t  dt      DX  EX2  EX  2  2  t  t  exp  t     2 t   exp t       2  t 0 2 t   t exp t     t 0  EX2  2.2.3 Ch ng minh s h i t c a dãy bi n ng u nhiên Ph ng pháp d a đ nh lí sau nh lí 2.6 Cho X1 , X2 , dãy bi n ng u nhiên v i dãy hàm phân ph i t ng FX a, FX a, hàm sinh mômen MX t , MX t , t n t i ng 2 t   h, h , h  Khi n u t n t i hàm phân ph i xác su t FX a có hàm sinh mômen MX t  t n t i t   r , r ,  r  h cho lim M X a  M X t  n n lim FX a  FX a n n nh lí 2.7 (Lu t y u s l n) Cho X1 , X2 , dãy bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i bi n ng u nhiên X ~ N  , t Yn  t i  n  Xi Khi dãy bi n ng u nhiên Y1 ,Y2 , h i t theo xác su t n i 1 Ch ng minh Ta có  tn  MY t   EetY   Eexp  Xi    n  i 1  n n Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán 38 Khóa lu n t t nghi p   Eet / n X   Eet / n X  n n i i 1 n 2 2  t t  t    exp    exp t   n n n      2   t  t  lim MY t   limexp t    e n n n    n  Dãy bi n ng u nhiên Y1 ,Y2 , h i t t i nh lí đ c ch ng minh nh lí 2.8 (Lu t s l n Becnulli) Cho X1 , X2 , dãy bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i bi n n t Yn   Xi Khi dãy bi n ng u nhiên n i 1 ng u nhiên X ~ B1, p Y1 , Y2 , h i t theo xác su t t i p Ch ng minh Ta có  tn  MY t   EetY   Eexp  Xi    n  i 1  n n   Eet / n X   Eet / n X   1  p  pet / n  n i n n i 1 Khai tri n taylor c a et / n i t/n e t  1 t  t          gn n i 2 i !  n  n L i có lim ngn  n n pt    lim MY t   lim1  p  p   pgn  ept n n n   n Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 39 Khóa lu n t t nghi p ây hàm sinh mômen c a bi n ng u nhiên cho pY  p   Dãy bi n ng u nhiên Y1 ,Y2 , h i t t i p Chúng ta ch ng minh đ tr ng D nh lí đ c ch ng minh c đ nh lí gi i h n trung tâm b ng công c hàm đ c i s s d ng công c hàm sinh mômen đ ch ng minh l i đ nh lí nh lí 2.9 ( nh lí gi i h n trung tâm) Cho Xn ,n  1,2, dãy bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i v i n  EXn , X  DXn t n t i h u h n t Yn  X n i 1 i n  n X Trong n  Xi Khi ta có n i 1 Y  lim P n n  T c  n  a  a, a   lim FY a  a, a n n Ch ng minh Ta có    n    t   Xi  n     MY t   EetY   Eexp   i 1  n         n n t    tX      t  X       exp   n  Eexp  i     Eexp  i   n      n       n   t  X    S d ng khai tri n Maclaurin hàm Eexp i  ta đ n    Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán n c 40 Khóa lu n t t nghi p  MY t       t n n EXi   t2 2n  E  Xi    t3 3!  n  E  Xi        n n t2    1   gn  2n  n t2    lim MY t   lim1   gn  et n n   2n n /2 T gi i h n hàm sinh mômen c a Yn bi n ng u nhiên có phân ph i chu n t c nên ta suy đ c lim FY a  a, a n (đ nh lí đ n c ch ng minh) Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán 41 Khóa lu n t t nghi p K t lu n Khóa lu n đ t đ c m c đích nhi m v nghiên c u đ C th khóa lu n em nghiên c u m t s v n đ c b n v hàm đ c tr ng, hàm sinh mơmen, ng d ng c a chúng Khóa lu n mang tính ch t t ng quan nh ng em ch ng minh m t s đ nh lí, tính ch t đ gi i thích hi u rõ h n v n đ khóa lu n đ c p Qua trình tìm hi u, nghiên c u, hồn thành khóa lu n em b c đ u làm quen v i cách th c làm vi c khoa h c, hi u qu Qua c ng c đ c ki n th c lí thuy t xác su t th ng kê đ th y đ c s phong phú, lí thú c a tốn h c Mong r ng s m t tài li u b ích đ i v i nh ng quan tâm đ n v n đ Do th i gian ki n th c có h n nên khóa lu n không tránh kh i h n ch R t mong đ c ý ki n đóng góp c a th y cô b n Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th Th o Nguyên Nguy n Th Th o Ngun – K32CN Tốn 42 Khóa lu n t t nghi p Tài li u tham kh o H u H , (1996), Xác su t th ng kê, NXB đ i h c qu c gia Hà N i William C Rinaman, (1993), “Foundations of probability and statistics”, sounders college George G Roussas, (1997), “A course in mathematical statistics”, Academic press Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán 43 ... y th a hàm sinh mômen c a m t s bi n ng u nhiên 17 1.1.5 Hàm sinh mômen c a vect ng u nhiên 17 Ch ng ng d ng c a hàm đ c tr ng hàm sinh mômen 21 ng d ng c a hàm đ c tr ng 21 2.1.1 Tìm hàm phân... hàm sinh mômen ng d ng” Khóa lu n bao g m hai ch ng Ch ng Hàm đ c tr ng hàm sinh mômen Ch ng ng d ng Nguy n Th Th o Nguyên – K32CN Toán Khóa lu n t t nghi p Ch ng Hàm đ c tr ng hàm sinh mômen. .. nh ngh a 1.1.2 Tính ch t 1.1.2 Hàm đ c tr ng c a m t s bi n ng u nhiên 1.2 12 1.2.1 Hàm sinh mơmen nh ngh a 12 1.2.2 Tính ch t c a hàm sinh mômen 1.2.3 Hàm sinh mômen c a m t s bi n ng u nhiên