hàm sinh mũ và ứng dụng

Mục lục• Danh sách tổ viên: theo mục lục Chữ ký Nhận xét của giáo viên 1 Trương Hoài Bão Ứng dụng: Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ.. Nhóm làm đề tài số 2 đã hoàn thành phần đề tài nghi

Mục lục

• Danh sách tổ viên:

(theo mục lục) Chữ ký Nhận xét của giáo

viên

1 Trương Hoài Bão

Ứng dụng: Phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ

2 Lê Thị Hạnh Vân

Tìm hiểu định nghĩa và định lý

về hàm sinh và hàm sinh mũ

Ứng dụng: Phương pháp đếm

3 Đỗ Xuân bằng hàm sinh mũ.

4 Nguyễn Thị Yến

Tìm hiểu định nghĩa và định lý

về hàm sinh và hàm sinh mũ

Lời nói đầu

Sau thời gian học tập và nghiên cứu với sự hướng dẫn tận tình của Thầy PGS – TSKH Trần Quốc Chiến Nhóm làm đề tài số 2 đã hoàn thành phần đề tài nghiên cứu về hàm sinh mũ và ứng dụng

Đề tài gồm 3 phần:

+ Phần I: Sơ lược tổ hợp

+ Phần II: Định nghĩa và định lý về hàm sinh và hàm sinh mũ

+ Phần III: Ứng dụng phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ.

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài không tránh khỏi sai sót mong Thầy và các bạn góp ý sửa chữa để đề tài hoàn thiện hơn

Chúng em chân thành cảm ơn!

I Sơ lược tổ hợp

Có thể nói tư duy tổ hợp ra đời từ rất sớm Vào thời Chu Trung Quốc người

ta đã biết đến những hình vuông thần bí Thời cổ Hi-lạp, thế kỷ thứ 4 trước công nguyên, nhà triết học Kxenokrat đã biết cách tính số các từ khác nhau lập từ bảng chữ cái cho trước Nhà toán học Pitagor và học trò đã tìm ra được nhiều số

có tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 không những là tổng 4 số chẵn, 4 số lẽ đầu tiên, mà còn là tổng lập phương của 3 số tự nhiên đầu tiên

36= 1+2+3…+7+9=1.1.1+2.2.2+3.3.3

Từ định lý Pitagor người ta đã tìm ra những số mà bình phương của nó bằng tổng bình phương của 2 số khác Các bài toán như vậy đòi hỏi phải có nghệ thuật

tổ hợp nhất định Tuy nhiên có thể nói rằng, lý thuyết tổ hợp được hình thành như một ngành toán học mới vào thế kỷ 17, bằng một loạt công trình nghiên cứu của các nhà toán học xuất sắc như Pascal, Fermat, Euler,…

Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi một khối lượng tính toán khổng lồ Vì vậy trong thời gian dài, khi mà các ngành toán học như Phép tính vi phân, Phép tính tích phân, phương trình vi phân,…phát triển như vũ bão, thì dường như nó nằm ngoài sự phát triển và ứng dụng của toán học Tình thế thay đổi từ khi xuất hiện máy tính và sự phát triển của toán h ọc hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp đã được giải quyết trên máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp đã trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực toán học, tin học

Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về bài toán hàm sinh mũ Một trong những bài toán của lý thuyết tổ hợp

II Định nghĩa và định lý về hàm sinh và hàm sinh mũ:

1 Định nghĩa: Cho dãy số thực ( )a r r =( , , , )a a a0 1 2 và biến x

 Hàm sinh ( thường ) của dãy ( , , , )a a a0 1 2 là hàm

0 1 2

g x = +a a x a x+ +

 Hàm sinh mũ của dãy ( , , , )a a a0 1 2 là hàm

( ) 0 1 2 2

G x = +a a +a +

 Ví dụ: Hàm

( )

0

n

k

=

+ =∑

là hàm sinh của dãy C n( ,0), ( ,1), ( , 2), , ( , ).C n C n C n n

Vì: C n k( , )= A n k k( , ) / ! nên hàm trên cũng là hàm sinh mũ của dãy

( ,0), ( ,1), ( , 2), , ( , )

2 Định lý

 Định lý 1 :

i) Nếu g x( ) là hàm sinh của dãy ( )a r r, thì (1−x g x) ( ) là hàm sinh của

dãy (a r −a r−1)r ii) Nếu g x( ) là hàm sinh của dãy ( )a r r, thì ( )

(1 )

g x x

− là hàm sinh của dãy

(a0+ + +a1 a r r) iii) Nếu g x( ) là hàm sinh thường ( mũ ) của dãy ( )a r r, thì '( ) là

hàm sinh thường ( mũ ) của dãy ( r a r r)

iv) Nếu g x( ) là hàm sinh thường ( mũ ) của dãy ( )a r r và h x( ) là hàm

sinh thường ( mũ ) của dãy ( )b r r, thì p g x ( )+q h x ( ) là hàm sinh thường của dãy ( p a r+q b r r) với mọi số p q,

v) Nếu g x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r r và h x( ) là hàm sinh

thường của dãy ( )b r r, thì g x h x( ) ( ) là hàm sinh thường của dãy tích

0

r

i r i

a b −

=

vi) Nếu G x( ) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r và H x( ) là hàm sinh mũ

của dãy ( )b r r, thì G x H x( ) ( ) là hàm sinh mũ của dãy tích chập nhị

thức

0

( , )

r

i r i

C r i a b −

=

vii) Nếu g x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r r, thì

( )(0) , 0,1, 2

!

r r

g

r

viii) Nếu G x( ) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r, thì

( )r (0), 0,1, 2

r

⇒ Chứng minh :

Việc kiểm tra các định lý trên rất dễ dàng, sau đây là một số cách thực hiện :

 i) Do g x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r rnên:

2

0 1 2

2

0 1 2

g x a a x a x

x g x x a a x a x

Vậy (1−x g x) ( ) là hàm sinh của dãy (a r−a r−1) r

 ii) Do g x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r rnên:

2

0 1 2

2 2

2

0 1 2

(1 )

g x a a x a x

a x a x a x a x a x

a x a x a x a x a x a x

Suy ra:

( )

(1 )

g x

−

Vậy:

( ) (1 )

g x x

− là hàm sinh của dãy (a0+ + +a1 a r r)

 iii)

 Do g x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r rnên:

2

0 1 2

2

g x a a x a x

g x a a x a x

xg x a x a x a x

Vậy '( ) là hàm sinh thường của dãy (r a r r)

 Do g x( ) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r rnên:

2 3

2

Vậy '( ) là hàm sinh mũ của dãy (r a r r)

 iv)

 Do g x h x( ), ( ) là hàm sinh thường của dãy ( ) ( )a r r, b r rnên:

2

0 1 2

2

2

0 1 2

2

g x a a x a x

p g x pa pa x pa x

h x b b x b x

q h x qb qb x qb x

Suy ra:

Vậy: p g x ( )+q h x ( ) là hàm sinh thường của dãy (pa r +qb r r)

 Do g x h x( ), ( ) là hàm sinh mũ của dãy ( ) ( )a r r, b r rnên:

Suy ra:

Vậy: p g x ( )+q h x ( ) là hàm sinh mũ của dãy ( pa r+qb r r)

 v) Do g x h x( ), ( ) là hàm sinh thường của dãy ( ) ( )a r r, b r rnên:

2 3

2 3

2

0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0

g x a a x a x a x

h x b b x b x b x

g x h x a a x a x a x b b x b x b x

g x h x a b x a b a b x a b a b a b

Vậy g x h x( ) ( ) là hàm sinh thường của dãy tích chập:

0

r

i r i

a b−

=

 vi) Do G x( ) là hàm sinh mũ của dãy ( )a r r và H x( ) là hàm sinh mũ của dãy

( )b r r nên ta có:

( )

2

0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 2 0 3

0 3 1 2 3 1 3 0

3!

x

a b a b a b a b

Vậy G x H x( ) ( ) là hàm sinh mũ của dãy tích chập

( , )

r

i r i

C r i a b −

=

( Chú ý : 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 2 0

0

r

i r i

C r i a b− a b a b a b a b a b a b

=

 vii) Do g x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r rnên:

2 3

( )

(0) !

r

r

r

g x a a x a x a x

!

r r

g a

r

=

 viii) Chứng minh tương tự trên

3 Các ví dụ:

 Chog x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )a r r,a0 ≠0, và

1

( )

h x

g x

= Giả sử h x( ) là hàm sinh thường của dãy ( )b r r Để tính dãy số ( )b r r

ta sử dụng định lý (v) ở trên như sau:

1 ( )

( ) ( ) ( ) 1

h x

g x

h x g x

=

Theo định lý (v) thì 1 là hàm sinh thường của dãy tích chập

0

r

i r i

a b−

=

nên:

1 = a b + a b a b x + + a b + a b a b x + +

Suy ra hệ phương trình đối với ( )b r r

0 0

0 1 1 0

0 2 1 1 2 0

1 0 0

a b

a b a b

=

 Cho n m N n m, ∈ , ≥ ,ta có thể xác định số Sterling loại hai

( , ),

S n m bằng hàm sinh mũ như sau Xét đẳng thức:

m

n

x m

m

( vì theo Công thức Taylor:

2

1

2! !

k

k

= + + + + + ) Khai triển VP ta nhận được hệ số của xnlà:

( )

1 1 1 1 !

! ! ! ! ! ! !

n

=

Mặc khác

1 2

!

! ! !m

n

n n n chính là số phân hoạch thứ tự một tập hợp X có nphần

tử vào các ô có kích thước n n1, , , 2 nm Như vậy VP của (1) bằng 1

!

n lần số

phân hoạch thứ tự một tập X có nphần tử vào m ô, và bằng !

!

m

n số phân

hoạch không thứ tự của X vào m ô, tức là ! ( , ).

!

m

S n m n

Kí hiệu:

0

(2)

! ( , )

n

n m a

∀ <





thì

2

0 1 2

Suy ra ( ex − 1)mlà hàm sinh mũ của dãy ( ) an n≥0

Do đó theo định lý 6.1 (viii) ta có:

n x m

x

d e

−

Từ (2) và (3) ta suy ra cách tính của số Sterling loại 2 là:

0

!

n x m n x

d e

−

III Ứng dụng : phương pháp đếm bằng hàm sinh mũ

1 Các định nghĩa

 Giả sử với mỗi tập hữu hạn X ta có tập S X ( ) các phần tử muốn đếm thỏa mãn các tính chất sau:

Kí hiệu [ ] k = { 1, 2, , k }

Hàm sinh mũ cho dãy các tập S ( ) [ ] 0 , S ( ) [ ] 1 , S ( ) [ ] 2 , được định nghĩa là hàm sinh mũ của dãy số S ( ) [ ] 0 , S ( ) [ ] 1 , S ( ) [ ] 2 ,

Giả sử T ( ) [ ] 0 , T ( ) [ ] 1 , T ( ) [ ] 2 , là dãy các tập thỏa mãn các tính chất như trên

Ta định nghĩa tậpST k ( ) [ ] là tập bao gồm tất cả các cặp ( σ τ , ) , với σ là phần tử của tập S J J ( ) , ∈ [ ] k ,còn τ là phần tử của tập T k J( [ ]\ ) Như vậy

[ ]

( )

ST k là tích chập của nhị thức

[ ]

0

( , )

k

j

=

Kí hiệu s x t x st x ( ), ( ), ( )tương ứng là hàm sinh mũ của dãy

[ ]

      .Theo định lý (vi), ta có:

2 Các ví dụ

 Ví dụ 1:

Với mỗi z C∈ , kí hiệu chuỗi lũy thừa

2 2

1! 2!

zx z z

e = + x+ x +

Như vậy e zx là hàm sinh mũ của dãy số z z z0, , , , 1 2 z k

 Ví dụ 2: ( Số mất thứ tự )

Chon N X∈ * ={x x1, , ,2 x n}. Hoán vị {α α1, 2, ,αn} của X gọi là một mất thứ

tự, nếu α ≠ ∀ ∈i x i, i X. Ký hiệu D n là số mất thứ tự của X. Hiển nhiên D X( ) thỏa mãn tính chất (i), (ii)

Ký hiệu P X( ) là tập các hoán vị của X I X, ( )là tập ánh xạ đồng nhất của X

vào X.

Ta có | ([ ]) |P n =n I n!,| ([ ]) | 1,| ([ ]) |= D n =D n

Gọi p x d x i x( ), ( ), ( )tương ứng là các hàm sinh mũ cho dãy các tập

([0]), ([1]), ([2]), ; ([0]), ([1]), ([2]),

P P P D D D và I([0]), ([1]), ([2]), I I

Xét hoán vị bất kỳ α ={α α1, 2, ,αk} của [ ](k k>0).Ký hiệu

{ [ ] | j }

J = ∈j k α = j

Khi đó hoán vị α có thể coi là cặp (σ τ, ,) trong đó σ là một ánh xạ đồng

nhất từ Jvào J và τ là một mất thứ tự của tập [ ] \ k J Với mỗi j=0,1, 2, ,kcó

( , )

C k j tổ hợp chập j của tập [ ]k ,suy ra:

0

([ ]) ( , ) ([ ]) ([ ])

k j

=

Từ đó ta nhận được:

( ) ( ) ( )

p x =i x d x

Ta có: P n([ ]) =n I!, ([n]) 1, ([n])= D =D n. Suy ra:

2

1! 2!

1! 2!

1! 2!

x

= + + + =

= + + + = + + +

và:

x

n n

n

= + − ÷ + + − + − + + − ÷ +

Vậy:

n n

n

=  − + − + + − ÷

Bây giờ cho hàm sinh mũ s x( ) của các dãy ( ) [ ] :

k

S k

[ ]

( ) ( ) [ ]1 ( ) [ ]2 2

Xét đạo hàm

[ ]

( ) ( ) [ ]2 ( ) [ ]3 2

Kí hiệu S k k'[ ], =0,1, 2 , là tập cần đếm của tập [ ]k có S k'[ ] = S k( [ +1 ] )

Như vậy S k'[ ] cũng thỏa mãn các tính chất (i) và (ii) và s x'( )là hàm sinh mũ của dãy các tập '( ) [ ]

k

S k

 Ví dụ 3: E - hoán vị của tập [2k−1 ,] k≥1

Hoán vị ( ,α α1 2, ,α2k−1) của tập [2k−1] được gọi là E - hoán vị của [2k−1 ,] nếu αj >αj−1∀j chẵn và αj <αj−1∀j lẻ.

Kí hiệu T( [2k−1] ) là tập các E – hoán vị của [2k−1 ,] t2k−1 = T( [2k−1 ] ) Ta

đặt T( [ ]2k ) = ∅,t2k = T( [ ]2k ) = ∀0 k. Dễ thấy rằng tập T([n]) thỏa mãn các tính chất (i) và (ii)

Hàm sinh mỹ của dãy ( )t n là

1

t

t x = x+ x + x +

Đạo hàm của ( )t n là

1

t x = +t x + x +

Ký hiệu S n( ) [ ] =T n( [ +1 ,] ) s n =t n+1∀ ≥n 2

Như vậy, do t1 =1, '( ) 1t x − là hàm sinh mũ của dãy ( ( ) [ ] ) 1

n

S n

≥

Cho E – hoán vị ( ,α α1 2, ,α2k−1) của tập [2k−1] với k≥2

Ta thấy số 2k−1 phải ở vị trí chẵn, vì 2k−1 là số lớn nhất trong tập [2k−1].

Vì vậy, các phần tử bên trái phần tử (2k−1) sẽ tạo thành một E – hoán vị τ

của tập [2k−2 \ ] J Tương ứng α và cặp (σ τ, ) là 1-1 Ví dụ, phần tử

(3, 4,1,5, 2)

α = của T( ) [ ]5 tương ứng cặp (σ τ, ) với σ =(3, 4,1),τ =(2)

Kết hợp với điều kiện S n([ ])=T n([ +1]) 0= ∀n lẻ, S([k]) là tích chập nhị thức

0

([k]) k ( , ) ([ ]) ([ ])

j

=

Theo định lý 1 (vi), ta có

2

'( ) 1 ( ) ( ) ( )

t x − =t x t x =t x

Giải phương trình trên ta nhận được :

( ) ( )

t x =tg x

Như vậy (2 1)

2k 1 k (0) 2

t − =tg − ∀ ≥k

Chẳng hạn:

1 1; 3 2; 5 16; 7 272; 9 7936;

t = t = t = t = t =

Kết luận

Hàm sinh là một trong những sang tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng của toán rời rạc Nói một cách nôm na, hàm sinh chuyển những bài toán về dãy số thành bài toán về hàm số Điều này rất tuyệt vời vì chúng ta đã có trong tay cổ máy lớn để làm việc với hàm số Nhờ vào hàm sinh, chúng ta có thể áp dụng cổ máy này vào các bài toán dãy số Bằng cách này, chúng ta có thể sủ dụng hàm sinh trong việc giải tất cả các dạng toán về phép đếm

Tài liệu tham khảo

1 Kenneth H Rensen Discreten Mathematics and Its Applications, Mc

Graw – Hill 2000

2 Giáo trình tổ hợp, PGS – TSKH Trần Quốc Chiến – Đại học Đà

Nẵng

3 Một số tài liệu trên mạng Internet