Hàm sinh mũ và ứng dụng giải bài toán đếm trong tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ NGUYỄN THỊ DUYÊN HÀM SINH MŨ VÀ ỨNG DỤNG GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Duyên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu .1 Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp cách tiếp cận nghiên cứu Tính sáng tạo Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1 NGUYÊN LÍ CỘNG VÀ NGUYÊN LÍ NHÂN .4 1.1.1 Nguyên lí nhân 1.1.2 Nguyên lí cộng 1.2 CÁC CẤU HÌNH TỔ HỢP CƠ BẢN .7 1.2.1 Chỉnh hợp lặp 1.2.2 Chỉnh hợp không lặp 1.2.3 Hoán vị 1.2.4 Tổ hợp 1.3 CẤU HÌNH TỔ HỢP MỞ RỘNG 10 1.3.1 Hoán vị lặp 10 1.3.2 Tổ hợp lặp 12 1.3.3 Phân hoạch thứ tự tổ hợp .13 1.3.4 Phân hoạch không thứ tự .15 1.4 PHÂN HOẠCH CỦA TẬP HỢP SỐ STERLING LOẠI HAI VÀ SỐ BELL 16 CHƯƠNG HÀM SINH MŨ 18 2.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 18 2.2 CÁC ĐỊNH LÝ 21 2.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SINH MŨ 23 2.3.1 Các hàm sinh 23 2.3.2 Phép nhân hàm sinh mũ với số 23 2.3.3 Phép cộng hàm sinh mũ .24 2.3.4 Phép nhân hàm sinh mũ .25 2.3.5 Phép lấy đạo hàm hàm sinh mũ 26 2.3.6 Phép lấy nguyên hàm, tích phân hàm sinh mũ 27 2.4 PHƯƠNG PHÁP ĐẾM SỬ DỤNG HÀM SINH MŨ .27 2.4.1 Nội dung phương pháp đếm sử dụng hàm sinh mũ .27 2.4.2 Phương pháp đếm số cách chọn r phần tử từ tập hợp n phần tử 28 2.5 MỘT SỐ HÀM SINH MŨ THƯỜNG GẶP 29 2.6 MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN CỦA HÀM SINH MŨ .30 2.6.1 Thiết lập hàm sinh mũ dãy số cho 30 2.6.2 Xác định dãy số cho hàm sinh mũ 31 2.6.3 Xác định số hạng ar dãy số (ar )r biết hàm sinh (ar )r tổng/hiệu/tích hàm sinh mũ quen thuộc 33 2.6.4 Chứng minh đẳng thức hàm sinh mũ 35 2.6.5 Giải công thức truy hồi tuyến tính hàm sinh mũ 36 CHƯƠNG ỨNG DỤNG HÀM SINH MŨ GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP 39 3.1 SỐ CÁC MẤT THỨ TỰ CỦA MỘT TẬP HỢP .39 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SINH MŨ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HOÁN VỊ .44 3.3 BÀI TOÁN ĐẾM SỐ DÃY R SỐ HẠNG LẤY TỪ TẬP N PHẦN TỬ.49 3.4 ĐẾM SỐ PHƯƠNG ÁN PHÂN PHỐI N VẬT KHÁC NHAU VÀO M Ô PHÂN BIỆT .52 3.5 ĐẾM SỐ CÁC PHÂN HOẠCH CỦA TẬP HỢP, SỐ STERLING LOẠI HAI 55 3.6 SỐ BELL 60 3.8 SỐ FIBONACCI VÀ SỐ LUCAS 68 KẾT LUẬN .75 TÀI LIỆU THAM KHẢO .76 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tư toán rời rạc đời sớm Tuy nhiên, khoảng kỉ XVII, lí thuyết tốn rời rạc hình thành ngành tốn học loạt cơng trình nghiên cứu nghiêm túc nhà tốn học xuất sắc Pascal, Fermat, Leibnitz, Euler… Lí thuyết tổ hợp phần quan trọng toán rời rạc, chuyên nghiên cứu phân bố phần tử vào tập hợp Thông thường phần tử hữu hạn việc phân bố chúng phải thỏa mãn điều kiện định Mỗi cách phân bố gọi cấu hình tổ hợp Một vấn đề việc nghiên cứu tổ hợp đếm (có thể liệt kê) xem có cấu hình tạo với quy tắc nêu? Để đếm xác, ta phải phân biệt cấu hình dựa vào luật xây dựng chúng Vì xem toán đếm luyện tập để ta làm quen với tư tổ hợp Bài tốn đếm có nội dung phong phú kể dạng phát biểu lẫn cách giải Một phương pháp giải toán đếm phải kể đến ứng dụng hàm sinh ( hàm sinh thường hàm sinh mũ) để giải Phương pháp đưa toán tổ hợp toán sử dụng tính chất hàm số để giải Những điều gây hứng thú cho tơi Vì mà tơi chọn làm hướng nghiên cứu cho luận văn với tên đề tài là: Hàm sinh mũ ứng dụng giải toán đếm tổ hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Bài toán đếm tổ hợp Hàm sinh mũ ứng dụng hàm sinh mũ giải số tốn đếm tổ hợp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hàm sinh mũ ứng dụng Thơng qua giúp giải toán đếm tổng quát chứng minh nhiều cơng thức mà sử dụng vào giải toán đếm phạm vi cho phép Từ xây dựng phương pháp cho em học sinh vận dụng vào trình học tập chuyên đề tổ hợp Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc, nghiên cứu hàm sinh mũ ứng dụng Nêu phương pháp giải tốn đếm cách sử dụng hàm sinh mũ Phương pháp cách tiếp cận nghiên cứu Trong phạm vi đề tài có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực hàm số, chuỗi lũy thừa, dãy số, phương trình, tổ hợp ,… Phương pháp nghiên cứu từ lí thuyết hàm sinh mũ, từ việc xây dựng phương pháp giải toán đếm tổng quát nhằm giúp học sinh tư tốt q trình học tập Tính sáng tạo Có tốn đếm giải nhiều cách khác nhau, có tốn đếm sử dụng phương pháp hàm sinh mũ giải ngắn gọn, đơn giản Thơng qua tốn mang tính tổng qt, đưa nhiều toán áp dụng hiệu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt thực hành, vận dụng số tính chất hàm sinh mũ để giải tốn Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo giúp giáo viên tổng quát hóa hay cụ thể hóa số tốn lĩnh vực tổ hợp đồng thời xây dựng phương pháp giải chung cho dạng tốn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm ba chương: Chương Đại cương tổ hợp: trình bày số kết tổ hợp Chương Hàm sinh mũ Chương gồm số nội dung hàm sinh mũ, định nghĩa, định lí, tính chất ứng dụng đơn giản hàm sinh mũ Chương Ứng dụng hàm sinh mũ để giải toán đếm tổ hợp Trong chương này, dựa vào mạnh hàm sinh mũ, tác giả trình bày số ứng dụng hàm sinh mũ để giải toán đếm : đếm số tập thứ tự, đếm số hốn vị vịng quanh, đếm số dãy r số hạng từ tập n phần tử, đếm số sterling loại 2, số bell, số bernoulli, số Fibonacci số Lucas CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP Trong chương này, tác giả trình bày số quy tắc đếm định nghĩa liên quan toán đếm Các kiến thức chương xem tài liệu [1], [3], [5], [7], [8] 1.1 NGUYÊN LÍ CỘNG VÀ NGUYÊN LÍ NHÂN 1.1.1 Ngun lí nhân Ví dụ 1.1.1 Bé Linh có nón khác nhau, quần áo học khác nhau, đôi dép khác Mỗi sáng học, bé Linh chọn cho trang phục gồm mũ, quần áo đơi dép Hỏi bé Linh có cách chọn trang phục để học? Giải: Số cách chọn tính sau: (cách chọn mũ) * (cách chọn quần áo) * 6(cách chọn đôi dép) = 210 (cách thực hiện)  Nguyên lý nhân: Giả sử cấu hình tổ hợp xây dựng qua k bước, bước thực n1 cách, bước thực n2 cách, bước k thực nk cách Khi số cấu hình tổ hợp là: n1.n2 nk Ví dụ 1.1.2 Cho tập S = {x1; x2; ; xk} Đếm số tập S Giải: Mỗi tập S xây dựng n bước sau: - Nhặt khơng nhặt x1: có cách thực - Nhặt không nhặt x2: có cách thực - Nhặt khơng nhặt xk: có cách thực Như vậy, số tập là: 2.2 .2 = 2k  Ví dụ 1.1.3 Từ chữ số 0,1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số khác chữ số 5,6 đứng cạnh Phân tích: Ta ghép hai chữ số 5,6 liền với thành chữ số kép Có cách ghép 56 65 Khi tốn trở thành : từ chữ số 0,1,2,3,4, số kép 56, 65, lập số tự nhiên số có chữ số khác có cặp chữ số kép (56,65) Giải: - Ghép chữ số kép 56,65 : có cách - Chọn chữ số hàng : có cách - Chọn chữ số hàng thứ : có cách - Chọn chữ số hàng thứ : có cách - Chọn chữ số hàng thứ : có cách - Chọn chữ số hàng thứ : có cách - Chọn chữ số hàng thứ : có cách Vậy theo quy tắc nhân số số thỏa mãn yêu cầu toán : 2.5.5.4.3.2.1 = 1200  1.1.2 Nguyên lí cộng Ví dụ 1.1.4 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác ? Giải: Tập X = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Gọi abcde số cần lập 62 Suy ra, n å S n ,k t k =0 k n = å C (n; k ) Pk (t )Qn -k (t ) k =0 Thay t = vào đẳng thức trên, ta nhận được: n n k =0 k =0 å Sn,k = å C (n; k ) Pk Qn-k n hay Bn = å C (n; k ) Pk Qn -k k =0  Nhận xét Hàm sinh mũ dãy số đưa toán đếm tổ hợp toán hàm số giải tích Ta vận dụng linh hoạt tính chất hàm số, giải cơng thức nhằm đếm số tốn tổ hợp Sau ví dụ ứng dụng số Bell để giải Bài tốn 6.4 Bé Na có 10 cầu phân biệt Bé Na cất cầu vào hộp Hỏi bé Na có cách làm (giả thiết số hộp tùy ý hộp giống nhau) Đáp án: Số cách thực B10 cách Tiếp theo ứng dụng hàm sinh mũ vào toán số Bernoulli 3.7 SỐ BERNOULLI VÀ ĐA THỨC BERNOULLI Định nghĩa: Số Bernoulli, kí hiệu b0;b1;b2;…là hệ số thỏa mãn khai triển chuỗi sau: F ( x) = ¥ x xn b = å n e x - n =0 n ! m Đa thức Bernoulli, kí hiệu Bm(t), có dạng: Bm(t) = å C (m; i )bit m-i , i =0 63 Khi t = 0, Bm(0) = bm số Bernoulli thứ m Bài toán 7.1 Chứng minh : (-1) m m!S n,m b) bn = å m =0 m + ¥ a) b2 n+1 = 0, "n ³ Giải a) Dãy ( bn )n có hàm sinh mũ F ( x) = x nên ta có e -1 x b b b x b = + x + x + + n x n + 2! n! e - 0! 1! x (20.1) Mặt khác ex - 1 x x2 x n -1 = + + + + + x 1! 2! 3! n! (20.2) Nhân hai vế (20.1) (20.2), ta 1= n b0 ỉ b1 b b b bi ỉ b +ỗ + ữ x + ỗ + + ÷ x + + å x n + 0! 1! è 1!.1! 0!.2! ø è 2!.1! 1!.2! 0!.3! ø i = ( n + - i )! Đồng hai vế, ta n b å i !(n + 1i - i)! = 0, "n ³ hay i =0 bi (n + 1)! =0 i = i !( n + - i )! n (n + 1)!å n Þ (n + 1)!å Cni +1bi = i =0 n Þ å Cni bi = i =0 n -1 Þ å Cni bi = (20.3) i =0 Từ (20.3), ta tính b0 = 1, b1 = - , b2 = , b4 = - , b3 = b5 = b7 = 30 64 Cách Hàm sinh mũ dãy ( bn )n F ( x) = x -x F (- x) = - x e -1 e -1 x x1 x3 x5 1é x -x ù Þ b1 + b3 + b5 + + = ê x - -x ú 1! 3! 5! ë e - e - 1û Þ b1 x1 x3 x5 + b3 + b5 + + = - x 1! 3! 5! 2 Đồng hai vế ta b1 = - , b3 = b5 = = b) Vì hai dãy đồng chúng có hàm sinh mũ Ta chứng minh câu b sau: ¥ Đặt F ( x) = å bn n=0 ¥ ỉ ¥ ö xn xn x (-1) m = x G ( x) = ỗ m ! S n ,m ÷ n! e - n ! n =0 è m =0 m + ø ỉ (-1) m m ! S n ,m ÷ è m =0 m + øn ¥ hàm sinh m ca cỏc dóy s (bn ) n v ỗ å Ta có ( m !Sn,m )n có hàm sinh mũ ( e x - 1) nên m ¥ ỉ ¥ ỉ ¥ (-1) m xn x n (-1)m G ( x) = ỗ m ! S n , m ữ = ỗ m ! S n ,m ÷ n! ø m + n =0 è m = m + ø n ! m=0 è n=0 ¥ m ( -1) m x =å e -1 m=0 m + ¥ ( ) (1 - e x ) m =å m=0 m + ¥ = ¥ (1 - e x ) m+1 å - e x m =0 m + x (1 - e x )m+1 1-e Mà å = ò du m +1 m =0 1- u ¥ = - ln - u 1-e x = - ln e x = - x 65 Do G ( x) = x (- x) = x = F ( x) hay G(x) hàm sinh mũ x 1- e e -1 dãy ( bn )n (-1) m Vậy bn = å m ! S n ,m m =0 m + ¥  Nhận xét: Số Bernoulli tính dựa vào phân hoạch Sn,m Hơn nữa, m > (-1) m m ! S n ,m m =0 m + n n Sn ,m = nên bn = å Bài toán 7.2 Chứng minh rằng: bn-1 = - n å C (n, i)bn-i n i =2 Giải Theo định nghĩa dãy số Bernoulli, ta có: xn x = e - å bn n! n=0 ( x ) ¥ ỉ ¥ x n ưỉ ¥ xn Û x = ỗ ữỗ bn ữ ố n=1 n ! øè n=0 n ! ø Vế trái F(x) = x hàm sinh mũ dãy (0, 1, 0, 0, ) Xét vế phải, theo Định lí 2.2.1.iii), vế phi l hm sinh m dóy ổ n ỗ å C (n, i )bn -i ÷ è i =1 øn Rõ ràng b0 = với n ³ , n å C (n, i)bn-i = i =1 hay bn-1 = - n å C (n, i)bn-i n i =2  66 Bài toán 7.3 Với n nguyên dương, đặt s0 (n) = n sm (n) = 1m + 2m + 3m + + (n - 1)m a) Hãy thiết lập hàm sinh mũ cho dãy ( sm (n) )m³0 ; b) Chứng minh sm (n) = m C (m + 1, i )bi n m+1-i áp dụng å m + i =0 m = Giải a) Đặt Fk ( x) hàm sinh mũ ( sm (n) )m³0 Quy ước sm (0) = Ta có: ¥ xm ỉ n -1 m ö x m Fn ( x) = å sm (n) = ồk m! m=0 ỗố k =0 ữứ m! m=0 ¥ ỉ ¥ ( kx )m n -1 kx = ồỗ ữ=ồ e ỗ ữ k =0 k =0 m = m ! è ø n -1 ( ) = + e x + e2 x + e( n-1) x = e nx - ex -1 Vậy hàm sinh mũ ( sm (n) )m³0 Fn ( x) = e nx - ex -1 b) Từ câu a) ta có hàm sinh mũ ( sm (n) )m³0 F ( x) = enx - e nx - x = (*) x ex -1 ex - Trong vế phải (*) ta thấy e nx = + nx (nx) (nx)3 (nx) + + + + 1! 2! 3! 4! 67 ¥ enx - n x n3 x n x n m +1 x m = n+ + + + = å x 2! 3! 4! m =0 m + m ! enx - hàm sinh mũ dãy Vậy, x Mà æ n m+1 ỗ ữ ố m + ứ m x hàm sinh mũ dãy ( bm )m³0 (theo đ/n 3.7) e -1 x Do theo ĐL2.1 iii) n m+1-i m sm (n) = å C (m, i )bi = C (m + 1, i )bi n m+1-i å m + - i m + i =0 i =0 m 2 * Với m = b1 = - , b0 = - , b2 = , s2 (n + 1) = c(3; i)bi (n + 1)3-i å i =0 1é 3 ù = ê( n + 1) - (n + 1) + (n + 1) ú 3ë 2 û Hay s2 (n + 1) = (n + 1)n(2n + 1)  Bài toán 7.4 a) Chứng minh rằng: sm-1 (n) = [Bm(n) – Bm(0)] m b) Thiết lập hàm sinh mũ (biến x) (Bm(t))m ³0 Giải: a) sm-1 (n) = é m-1 ù C (m; i )bi n m-i ú å ê m ë i =0 û 1ém ù = ê å C (m; i )bi n m-i - C (m; m)bm n m-m ú m ë i =0 û 68 = [Bm(n) – Bm(0)] m b)Các dãy (bm )m³0 (t m ) m³0 có hàm sinh mũ Ta có x etx e -1 x x etx hàm sinh mũ dãy tích chập nhị thức e -1 x ỉ m m -i ç å C (m; i )bi t ÷ è i =0 ø m ³0 m Mà theo định nghĩa đa thức Bernoulli, ta có Bm(t) = å C (m; i )bit m-i , i =0 x etx hàm sinh mũ (Bm(t))m ³0 e -1 x Vậy hàm sinh mũ (Bm(t))m ³0 xetx ex -1  Nhận xét : Các đa thức dãy đa thức Bernoulli : B0(t) = - = bo B2(t) = t - t + B1(t) = t - 2 B3(t) = t - t + t (do b3 = 0) 3.8 SỐ FIBONACCI VÀ SỐ LUCAS Năm 1718, nhà toán học người Pháp Abraham De Moivre(1667 – 1754) phát minh hàm sinh để giải công thức truy hồi Fibonacci · Định nghĩa : ì F1 = F2 = gọi dãy số F = F + F , " n ³ n -1 n-2 ỵ n 1) Dãy số ( Fn )n³1 có dạng í Fibonacci 69 ì L1 = 1; L2 = gọi dãy số ỵ Ln = Ln-1 + Ln -2 , "n ³ 2) Dãy số ( Ln )n³1 có dạng í Lucas · Cơng thức Binet cho số Fn Ln : an - bn "n ³ 0, Fn = ; Ln = a n + b n a -b đó, a = 1+ 1- ;b = 2 (các công thức chứng minh nhờ sử dụng hàm sinh thường ) Bây giờ, ta vận dụng công thức Binet để giải toán sau : Bài toán 8.1 Thiết lập hàm sinh mũ cho dãy số sau: ( Fn ) ; ( Ln ) ; ( Fnk )n ; ( Lnk )n Giải: ¥ tn a n xn b x ¥ b n xn ax Vì e = å nên ta có : e = å ;e = å n=0 n ! n=0 n ! n=0 n ! t ¥ Từ suy ra, ea x - e b x ¥ a n - b n x n ¥ xn =å = å Fn ; a -b n ! n =0 n ! n=0 a - b ax e +e ea x - e b a -b k bx k x xn ¥ xn = å (a + b ) = å Ln n ! n =0 n ! n=0 ¥ n n a kn - b kn x n ¥ xn =å = å Fnk ; n ! n =0 n! n=0 a - b ¥ ¥ ea x + e b x = å (a kn + b kn ) k k n =0 Vậy, ta có : xn ¥ xn = å Lnk n ! n =0 n! 70 ( Fn ) « ea x - e b x ; a -b ( Ln ) « ea x + e b x ea x - e b x ( Fnk ) « ; a -b k k ( Lnk ) « ea x + e b k k x  Nhận xét : Bằng cách thay a = 1+ 1- vào hàm sinh mũ ;b = 2 ( Fn ) ; ( Ln ) , ta có : x 2 ỉx 5ư ( Fn ) « e sh ỗ ữ; ố ứ x 2 ổx 5ử ( Ln ) ô e ch ỗ ÷ è ø ¥ tn tn Lưu ý : Giả sử A(t ) = å an ; B (t ) = å bn n! n! n =0 n =0 ¥ Khi đó, ¥ ỉ n tn A(t ).B (t ) = ỗ C (n, k )ak bn -k ÷ ; n =0 è k =0 ø n! ¥ ỉ n tn A(t ).B (-t ) = ỗ (-1)n -k C (n, k )ak bn-k ÷ n=0 è k =0 ø n! Bài toán 8.2 Chứng minh : n a) å C (n; k ) Fk = F2 n ; k =0 n c) å (-1) k =0 n-k C (n; k ) F2 k = Fn n b) å (-1) n-k C (n; k ) Fk = (-1)n-1 Fn k =0 n d) å C (n; k ) Fk Ln-k = 2n Fn k =0 Giải : a) Chọn A(t ) = ¥ ea t - e b t tn = å Fn ; a -b n! n =0 tn n=0 n ! ¥ B (t ) = e t = å 71 Ta có : ea t - e b t e (a +1) t - e ( b +1) t A(t ).B (t ) = e = a -b a -b t ¥ ea t - e b t tn = = å F2 n a -b n! n =0 2 (a +1=a ; b +1=b 2) ỉ ¥ tn ø n! n Mặt khỏc, A(t ).B (t ) = ỗ C (n; k ) Fk ÷ n =0 è k =0 tn Bằng cách đồng hệ số hai tổng trên, suy n! n å C (n; k ) Fk = F2n k =0 ea t - e b t = b) Chọn A (t ) = a -b tn å Fn n !; n=0 ¥ B (t ) = e -t tn = å ( - 1) n! n=0 ¥ n ý a –1= –b; b –1= –a ea t - e b c) Chọn A(t ) = a -b 2 t = ¥ å F2 n n =0 tn ; n! B (t ) = e - t = ¥ å ( -1) n n =0 tn n! ý ab = –1 d) Chọn ¥ ea t - e b t tn ü = å Fn ï ¥ a -b n !ï ỉ n tn n =0 ( ) ( ) ( ; ) Þ A t B t = C n k F L ý ồỗ k n-k ÷ ¥ tn ï n =0 è k =0 ø n! at bt B (t ) = e + e = Ln n ! ùỵ n=0 A(t ) = Mặt khác, ea t - e b t a t e2a t - e2 b t bt A(t ).B (t ) = e +e = = a -b a -b a -b ( tn Þ A(t ).B(t ) = å Fn n! n=0 ¥ n ) tn å (a - b ) n! n =0 ¥ n n n 72 Từ suy n å C (n; k ) Fk Ln-k = 2n Fn k =0  Nhận xét: i) Các hàm sinh mũ A(t),B(t) công cụ giúp chứng minh đồng thức tổ hợp số Fn Ln cách nhẹ nhàng, dễ hiểu tìm thêm mẽ số kì diệu Fn Ln ii) Ngồi ra, sử dụng đạo hàm hàm sinh mũ giúp chứng minh nhiều công thức Mỗi cơng thức cơng cụ để giải tốn, nên, có nhiều cơng cụ việc giải tốn ngắn gọn ¥ Ta có : A(t ) = å an n =0 ¥ tn dr tn Þ r A(t ) = å an+ r n ! dt n! n=0 Bài toán 8.3 n Chứng minh : å C (n; k ) Fk +r = F2 n+r k =0 Giải : ¥ ¥ ea t - e b t tn dr tn A(t ) = = å Fn Þ r A(t ) = å Fn+ r a -b n ! dt n! n=0 n=0 tn B (t ) = e = å n =0 n ! t ¥ Do đó, B (t ) ¥ dr ỉ n tn A t = C n k F ( ) ( ; ) ồỗ n+r ÷ dt r n =0 è k =0 ø n! Mặt khác, B (t ) r at bt dr t d æe -e A t = e ( ) ç dt r dt r è a - b ö t a r ea t - b r e b t a r e(a +1) t - b r e( b +1)t = ÷=e a b a -b ø 73 dr a r ea t - b r e b t hay B(t ) r A(t ) = a -b dt 2 n ¥ é r ¥ 2n t n r 2n t ù a a b b å n !ú ê å n! n=0 ë n =0 û = a -b = é ¥ 2n+ r t n ¥ n+r t n ù -åb êåa ú a - b ë n =0 n ! n=0 n !û n é¥ n+ r n+ r t ù = -b êå a ú a - b ë n=0 n !û ( ) tn n! ¥ = å F2 n+ r n=0 Vậy, ta có : n å C (n; k ) Fk +r = F2 n+r k =0  Hồn tồn tương tự ta chứng minh đa số hệ thức số Fibonacci số Lucas Chẳng hạn, chứng minh : n å C (n; k ) Fmk Lmn-mk = 2n Fmn k =0 Thật vậy, chọn ea t - e b A(t ) = a -b m a mt B (t ) = e m t +e ¥ = å Fmn n=0 b mt tn ; n! tn = å Lmn n! n=0 ¥ Thế thì, t n e2a t - e b å Fmn n! = a - b n=0 ¥ m n m t 74 (e = a mt - eb m t )( e a mt + eb m t ) a -b ỉ ¥ tn ổ Ơ tn = ỗ Fmn ữ ỗ Lmn ữ n ! ứ ố n =0 n! ø è n =0 ¥ ỉ n tn = ỗ C (n; k ) Fmk Lm ( n-k ) ÷ n =0 è k =0 ø n! Đồng hệ số, cho ta hệ thức cần chứng minh 75 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả trình bày “ Hàm sinh mũ ứng dụng giải toán đếm tổ hợp” Tác giả sâu vào nội dung thu số kết sau: 1) Hệ thống lại số định nghĩa, định lí cấu hình cấu hình mở rộng tổ hợp, kèm theo số ví dụ áp dụng đơn giản lời giải ví dụ 2) Luận văn hệ thống lí thuyết hàm sinh mũ, bao gồm: định nghĩa, định lí, tính chất số hàm sinh mũ thơng dụng số dạng tốn liên quan 3) Dựa vào sở lí thuyết nói trên, luận văn khai thác ứng dụng hàm sinh mũ vào giải toán đếm tổ hợp, đặc biệt hiệu số tốn đếm mang tính tổng qt mà sử dụng cho trường hợp cụ thể trình bày 4) Trong khả cho phép, tác giả đặt nhiều toán vận dụng kèm theo lời giải đáp số tốn Trong q trình nghiên cứu tổ hợp, giải tốn đếm, tơi gặp nhiều khó khăn Song, biết kết hợp vận dụng nhiều phương pháp đồng thời tìm dấu hiệu sử dụng phương pháp hữu hiệu vào việc giải tốn tốn đếm nói riêng tốn tổ hợp nói chung trở nên đơn giản Đây hướng tiếp tục nghiên cứu thời gian tới 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến (2010), Giáo trình lý thuyết tổ hợp – Đại học Đà Nẵng [2] Phạm Triều Đại (2008), Mối liên hệ số phân hoạch, số phân hoạch chẵn, số phân hoạch lẻ - Quy Nhơn, Luận văn thạc sĩ [3] GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu (2008), Các toán rời rạc tổ hợp, NXB ĐHQG Hà Nội [4] Hoàng Minh Quân – Phan Đức Minh (2012), Tuyển tập chuyên đề tổ hợp [5] ThS Nguyễn Văn Thơng (2012), Bài giảng HSG Tốn Tổ hợp – Rời rạc – NXB ĐHQG Hà Nội [6] Nguyễn Đình Trí (1997), Tốn cao cấp (tập 2), NXB Giáo dục Tiếng Anh [7] V.K BALAKRISHNAN (1995), Schaum’s outline of theory and problems of combinatorics [8] Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas numbers with applications ,Canada Website [9] http://mathworld.wolfram.com (Eric Weisstein) ... nghiên cứu Bài toán đếm tổ hợp Hàm sinh mũ ứng dụng hàm sinh mũ giải số toán đếm tổ hợp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu hàm sinh mũ ứng dụng Thơng qua giúp giải toán đếm tổng quát chứng minh nhiều... tính hàm sinh mũ 36 CHƯƠNG ỨNG DỤNG HÀM SINH MŨ GIẢI BÀI TOÁN ĐẾM TRONG TỔ HỢP 39 3.1 SỐ CÁC MẤT THỨ TỰ CỦA MỘT TẬP HỢP .39 3.2 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM CỦA HÀM SINH MŨ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN... cương tổ hợp: trình bày số kết tổ hợp 3 Chương Hàm sinh mũ Chương gồm số nội dung hàm sinh mũ, định nghĩa, định lí, tính chất ứng dụng đơn giản hàm sinh mũ Chương Ứng dụng hàm sinh mũ để giải toán