Nguyên lí dirichlet và ứng dụng vào bài toán hình học tổ hợp (KL06214)

Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợpChương này dành để trình bày phương pháp sử dụng nguyên líDirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp, nguyên lí Dirich

KHOA TOÁN

*************

TRẦN BÍCH NGỌC

NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI, 5/2014

KHOA TOÁN

*************

TRẦN BÍCH NGỌC

NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa họcTh.S PHẠM THANH TÂM

HÀ NỘI, 5/2014

Trước khi trình bày nội dung của đề tài, tôi xin gửi lời cảm ơn và

sự tri ân sâu sắc đến thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm - người đã chỉbảo và hướng dẫn tận tình cho tôi, giúp tôi hoàn thành đề tài khóaluận tốt nghiệp

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáocủa trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các quý thầy côgiáo của khoa Toán đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình họctập tại khoa

Lời cảm ơn chân thành và sâu sắc, tôi xin gửi tới gia đình, bạn bè– những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập tại trường

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014Sinh viên thực hiện

Trần Bích Ngọc

Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thâncùng sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.S Phạm ThanhTâm tôi đã hoàn thành bài khóa luận của mình.

Tôi xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân hoàn thành cùngvới sự hướng dẫn của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm

Hà Nội, tháng 5 năm 2014Sinh viên thực hiện

Trần Bích Ngọc

Lời cảm ơn 1

1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản 8

1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng 9

1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 9

1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 9

1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn 10

2 Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợp 11 2.1 Bài toán tô màu hình 11

2.2 Bài toán diện tích 33

2.3 Một số bài tập đề nghị 52

1 Lí do chọn đề tài

Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bàitoán tổ hợp nói chung Khác với các bài toán trong lĩnh vực giải tíchhay đại số, các bài toán của hình học tổ hợp thường liên quan đếncác đối tượng là các tập hữu hạn Những bài toán về hình học tổ hợpthường rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải Nhiều bài toánphát biểu rất đơn giản, với kiến thức phổ thông ta cũng có thể hiểuđược, nhưng để giải chúng thì cần một sự hiểu biết sâu sắc nhữngkiến thức về tổ hợp và hình học Sử dụng nguyên lí Dirichlet để giảicác bài toán hình học tổ hợp là một phương pháp rất hay, nhờ có ứngdụng của nguyên lí này mà nhiều bài toán khó của lĩnh vực hình học

tổ hợp được giải quyết một cách trọn vẹn

Nguyên lí Dirichlet do nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet(1805-1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834 Nguyên línày là một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quảsâu sắc của toán học Nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khácnhau của toán học như hình học, đại số, tổ hợp, đặc biệt là trongcác chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Dùng nguyên lí Dirichlet trongnhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại củamột đối tượng với tính chất xác định Sử dụng nguyên lí Dirichletkhông đòi hỏi nhiều về kiến thức và khả năng tính toán mà chủ yếuđòi hỏi sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô hình cụ thể và linh hoạttrong cách tư duy Đó là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứngdụng nguyên lí Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp

Vì vậy để thấy được cái hay, cái hiệu quả cũng như làm thành mộtcách thức mới để vận dụng vào quá trình giảng dạy sau này và giúp

các em học sinh có được phương pháp giải bài tập hình học tổ hợphiệu quả, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài "Nguyên lí Dirichlet vàứng dụng vào bài toán hình học tổ hợp" dưới sự hướng dẫn củathầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn trong quá trìnhgiảng dạy bộ môn hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng củanguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán hình học tổ hợp

3 Đối tượng nghiên cứu

Nguyên lí Dirichlet và những bài toán hình học tổ hợp có ứng dụngnguyên lí Dirichlet để giải

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet

Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toánhình học tổ hợp

Hệ thống lại một số dạng bài tập có sử dụng nguyên lí Dirichlet

để giải

5 Phạm vi nghiên cứu

Một số bài toán hình học tổ hợp giải được bằng nguyên lí Dirichlet

6 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và trao đổi nghiên cứu nhằm đưa ra cái nhìn tổng quát

về nội dung nguyên lí Dirichlet và nhận diện được các bài tập hình

học có thể giải quyết một cách đơn giản bằng nguyên lí Dirichlet.Phân tích, tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học có ứngdụng nguyên lí Dirichlet.

7 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thốnglại được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạyhọc môn Toán, đặc biệt là bộ môn hình học và bồi dưỡng học sinhgiỏi

Chương 1: Kiến thức cơ bản

1.1 Nguyên lí Dirichlet cơ bản

1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng

1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp

1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng

1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn

Chương 2: Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toánhình học tổ hợp

2.1 Bài toán tô màu hình

2.2 Bài toán diện tích

2.3 Một số bài tập đề nghị

Kiến thức cơ bản

Nguyên lí Dirichlet còn gọi là "Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng" hoặc

"nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc "nguyên tắc lồng chim bồcâu" đã được biết đến từ rất lâu Nguyên lí Dirichlet này được nhàtoán học người Đức Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) phátbiểu lần đầu tiên vào năm 1834

1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản

Nếu nhốt n + 1 con thỏ vào n cái chuồng thì bao giờ cũng cómột chuồng chứa ít nhất hai con thỏ Ta có thể phát biểu nguyên líDirichlet tổng quát như sau:

Mệnh đề 1.1.1 Nếu có N đồ vật được đặt vào trong k hộp thì sẽtồn tại một hộp chứa ít nhất

Nk



đồ vật Khi đótổng số đồ vật là:

k(

Nk



−1) < k

Nk



= N

Điều này mâu thuẫn với giả thiết là có N đồ vật cần xếp

con thỏ, ở đây kí hiệu [α] đểchỉ phần nguyên của số α.

Chứng minh Giả sử trái lại, mọi chuồng thỏ không có đến



n + m − 1m

+1

con, thì số thỏ mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng



n − 1m

con Từ

đó suy ra tổng số con thỏ không vượt quá m



n − 1m



≤ n − 1 con (vôlí) Điều vô lí này chứng tỏ có ít nhất một chuồng có



n + m − 1m

con thỏ

1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp

Mệnh đề 1.3.1 ChoAvà B là hai tập hợp khác rỗng Kí hiệuS(A),S(B) lần lượt là số lượng phần tử của A và B, với S(B) < S(A) <+∞ Khi đó, xét ánh xạ f, với:

f : A −→ B

a 7−→ f (a) = b ∈ Bthì tồn tại a0 ∈ A, a0 6= a sao cho: f (a0) = f (a) = b

Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và S(A), S(B) tương ứng kíhiệu là các số lượng phần tử của A và B

1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn

Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo,thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo

Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này cũng đóngvai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toán học rờirạc nói chung

Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợp

Chương này dành để trình bày phương pháp sử dụng nguyên líDirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp, nguyên lí Dirichlet ápdụng cho độ dài các đoạn thẳng, diện tích các hình phẳng hay được

sử dụng đến trong nhiều bài toán hình học tổ hợp

Bài toán 2.1 Trong mặt phẳng cho 6 điểm, không có ba điểm nàothẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được bôi màu đỏ hoặcxanh Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho,sao cho chúng là các đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó đượcbôi cùng một màu

Chứng minh Xét A là một trong số 6 điểm đã cho Khi đó xét nămđoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm A với năm điểm còn lại)

Vì mỗi đoạn thẳng được bôi chỉ màu đỏ hoặc màu xanh, nên theonguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu.Giả sử đó là các đoạn AB, AB0 và AB00 và có thể cho rằng chúngcùng màu xanh

Chỉ có hai khả năng xảy ra:

2) Nếu không phải như vậy, tức là BB0, B0B00, B00B màu đỏ, thì

ba điểm phải tìm là B, B0, B00 vì BB0B00 là tam giác có ba cạnh màuđỏ

Từ đây bài toán được chứng minh

Bài toán 2.2 Cho sáu điểm trên mặt phẳng, sao cho không có bađiểm nào thẳng hàng Các đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tômàu đỏ hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại hai tam giác (màcác đỉnh của chúng thuộc tập hợp sáu điểm đã cho) mà các cạnh củachúng cùng màu

Chứng minh Giả sử P là điểm bất kì trong 6 điểm đã cho Từ P

ta kẻ 5 đoạn thẳng Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô bởi một tronghai màu nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạnthẳng nói trên được tô cùng màu Không giảm tổng quát, ta cho đó

là những đoạn P Q, P R, P S cùng được tô màu đỏ

Nếu ba đoạn QR, RS và SQ được tô màu xanh thì chúng tạothành tam giác màu xanh (H 2.2)

Nếu một đoạn nào đó được tô màu đỏ, ví dụ QR thì ta nhận đượctam giác P QR màu đỏ (H 2.3)

Theo như lập luận trên thì ta có ít nhất một tam giác đồng màu

Ta cho tam giác đó là tam giác P QR màu đỏ

là xanh thì ta sẽ có tam giác xanh với đỉnh S hoặc tam giác đỏ vớiđỉnh T và cả hai trường hợp tam giác này đều khác tam giác P QR.Suy ra, ta có thể cho rằng SP, SQ, SR là xanh, còn ST và SU

màu đỏ Nếu ta lí luận tương tự cho đỉnh T thì cũng chỉ ra rằng tồntại hai tam giác đồng màu khác tam giác P QR bằng việc loại trừ khi

T P, T Q, T R xanh, còn T S và T U là đỏ Trong trường hợp đó, tamgiác ST U là đỏ

Từ đó bài toán đã được chứng minh

Bài toán 2.3 Từ bài toán 2.1 ta đưa ra một ví dụ minh họa đẹpmắt cho bài toán như sau: chứng minh rằng từ sáu số vô tỉ tùy ý cóthể chọn ra được ba số (ta gọi ba số đó là a, b, c) sao cho a + b, b + c,

c + a cũng là số vô tỉ

Chứng minh Xét trên mặt phẳng sáu điểm sao cho không có bađiểm nào thẳng hàng Với mỗi điểm ta sẽ gắn cho nó một số vô tỉ.Như vậy sáu điểm được gắn sáu số vô tỉ đã cho Hai điểm mang số a

và b sẽ được nối với nhau bằng một đoạn thẳng màu đỏ nếu a + b là

số vô tỉ, còn sẽ có màu xanh khi a + b là số hữu tỉ

Theo đề bài, tồn tại ít nhất một tam giác cùng màu Giả sử tamgiác đó có ba đỉnh được gắn số là a, b, c Chỉ có hai khả năng xảy ra:1) Nếu tam giác đó là tam giác xanh Khi ấy a + b, b + c, a + c là

3 số hữu tỉ Lúc này (a + b) + (b + c) − (c + a) = 2b cũng là một sốhữu tỉ Điều này vô lí vì b là số vô tỉ

2) Nếu tam giác đó là tam giác đỏ Khi ấy a + b, b + c, a + c là 3

số vô tỉ

Như vậy, từ sáu số vô tỉ tùy ý có thể chọn ra được ba số (ta gọi ba

số đó là a, b, c) sao cho a + b, b + c, c + a cũng là số vô tỉ

Nhận xét Bài toán bề ngoài có vẻ không liên quan gì tới hìnhhọc nhưng lại có thể quy về bài toán hình học với một lời giải đẹpmắt như vậy

Bài toán 2.4 Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh Tất cả 9 cạnhbên và 27 đường chéo của đa giác đáy được tô bằng một trong haimàu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chópsao cho chúng là những đỉnh của hình tam giác với các cạnh được bôicùng màu

Chứng minh Xét 9 cạnh bên Vì 9 cạnh này chỉ được bôi bằng haimàu xanh hoặc đỏ nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại 5 cạnh bênđược bôi cùng một màu

H 2.4

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử đó là các cạnh bên SA,

SB, SC, SD, SE được bôi cùng màu đỏ, và các điểm A, B, C, D,

E xếp theo ngược chiều kim đồng hồ Xét đa giác ABCDE

Có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu AB là đường chéo của đáy Khi đó dĩ nhiên BD, DA cũng

là các đường chéo của đáy

Khi đó, lại có các trường hợp sau:

a) Nếu cả ba đoạn AB, BD, DA cùng bôi màu xanh Khi đó A,

B, D là ba đỉnh cần tìm, vì ABD là tam giác với ba cạnh xanh.b) Nếu một trong các đoạn AB, BD, DA là đỏ Giả sử BD đỏ,thì tam giác SBD là tam giác với ba cạnh đỏ Lúc này S, B,D là bađỉnh cần tìm

2) Nếu AB là cạnh đáy Khi đó dĩ nhiên AC, CE chắc chắn làđường chéo đáy

a) Nếu AE là đường chéo đáy thì ta quay lại trường hợp 1 vừa xét,với ACE là tam giác với ba cạnh là 3 đường chéo đáy

b) Nếu AE là cạnh đáy Khi đó rõ ràng AC, AD là các đường chéođáy

- Nếu CD là đường chéo đáy, ta quay về trường hợp 1

- Nếu CD là cạnh đáy Lại xét các trường hợp sau:

+ Nếu BC là đường chéo đáy, thì tam giác BCE là tam giác với

ba đường chéo đáy, quay về trường hợp 1

DE

Như vậy, bài toán đã giải quyết hoàn toàn

Bài toán 2.5 Cho hình đa giác đều 9 cạnh Mỗi đỉnh của nó được

tô màu bằng một trong hai màu đỏ hoặc xanh Chứng minh rằng tồntại hai tam giác phân biệt có diện tích bằng nhau, mà các đỉnh củamỗi tam giác được tô cùng một màu

Chứng minh Chín đỉnh của đa giác là A1, A2, A9 đều được tôbằng hai màu đỏ hoặc xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhấtnăm đỉnh trong số đó được tô cùng một màu, năm đỉnh này tạo ra:

C53 = 5!

3!2! = 10tam giác đỏ (tam giác đỏ là tam giác có ba đỉnh màu đỏ)

Gọi Ω là tập hợp các đỉnh của đa giác đã cho Tức là:

ý rằng số các tam giác khác nhau có đỉnh trong Ω là:

C93 = 9!

6!3! = 84.

Do 84 < 90, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hai tam giác đỏ

∆1 và∆2 sao cho các phép quay tương ứng trùng với một tam giác Vìphép quay bảo toàn hình dáng và độ lớn của hình, tức là: ∆1 = ∆2.Bài toán 2.6 Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một tronghai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà bađỉnh và trọng tâm cùng màu

Chứng minh Lấy năm điểm tùy ý sao cho không có ba điểm nàothẳng hàng trên mặt phẳng Khi đó vì chỉ dùng có hai màu để tôcác đỉnh, mà theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại ba điểm trong số

đó cùng màu Giả sử đó là ba điểm A, B, C có màu đỏ Như vậy ta

có tam giác ABC với ba đỉnh màu đỏ Gọi G là trọng tâm tam giácABC Chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu G có màu đỏ Khi đó A, B, C, G cùng đỏ và bài toán đãđược chứng minh

2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA, GB, GC sao cho:

H 2.7

Khi đó, nếu gọi M, N, P tương ứng là các trung điểm của BC,

CA, AB thì A là trọng tâm của tam giác A0BC

Tương tự ta cũng có:

B là trọng tâm của tam giác B0AC

C là trọng tâm của tam giác C0AB.Vậy các tam giác A0BC, B0AC, C0AB tương ứng nhận A, B, C

là trọng tâm Mặt khác, ta cũng có các tam giác ABC và A0B0C0 cócùng trọng tâm G Có hai trường hợp sau có thể xảy ra:

a) Nếu A0, B0, C0 cùng xanh Khi đó tam giác A0B0C0 và trọngtâm G có cùng màu xanh

b) Nếu ít nhất một trong các điểm A0, B0, C0 có màu đỏ Khôngmất tính tổng quát giả sử A0 đỏ Khi đó tam giác A0BC và trọng tâm

là các ô cùng màu

Chứng minh Xét từng cột, mỗi cột có 3 ô, mỗi ô có 2 cách sơn nên

có 2.2.2 = 8 cách sơn mỗi cột như sau:

1 2 3 4 5 6 7 8

H 2.8

Ta xét các trường hợp:

1) TH1: Giả sử một trong các cột của bàn cờ được sơn theo dạng

1 Khi đó nếu ít nhất 1 trong số 6 cột còn lại thuộc dạng 1, 2, 3, 7 thì

ta được ít nhất 1 hình chữ nhật có 4 góc được sơn màu trắng

Nếu 6 cột còn lại thuộc các dạng 4, 5, 6, 8 thì theo nguyên líDirichlet tồn tại 2 cột cùng dạng, chúng tạo thành hình chữ nhậtthỏa mãn đề bài

2) TH2: Nếu một trong các cột được sơn theo dạng 8 Khi đó nếu

có ít nhất 1 trong 6 cột còn lại được sơn theo các dạng 4, 5, 6, 8 thì

ta được ít nhất 1 hình chữ nhật được sơn màu xanh Nếu 6 cột cònlại thuộc các dạng 1, 2, 3, 7 thì có ít nhất 2 cột trong có cùng dạng

Do đó, ta có điều phải chứng minh

3) TH3: Không có cột nào có dạng 1 hoặc 8 thì có 7 cột nhưng chỉ

có 6 dạng nên tồn tại 2 cột cùng dạng và bài toán cũng được chứngminh

Vậy luôn tồn tại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài

Bài toán 2.8 Trên mặt phẳng cho 18 điểm, sao cho không có bađiểm nào thẳng hàng Nối từng cặp điểm với nhau và tô màu cho mọiđoạn thẳng thu được một trong hai màu xanh và đỏ Chứng minhrằng luôn tìm được một tứ giác mà các đỉnh của nó nằm trong tậpđiểm đã cho sao cho cạnh và đường chéo của nó cùng màu

Chứng minh Giả sử Ai (i = 1, 18) là 18 điểm đã cho Xuất phát từ

A1 có 17 đoạn thẳng A1Ai (i = 2, 18) Mười bảy đoạn thẳng đó chỉ

có hai màu xanh hoặc đỏ, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhấtchín đoạn thẳng cùng màu Không giảm tổng quát, giả sử đó là cácđoạn thẳng A1A2, A1A3, A1A10, và chúng có cùng màu đỏ

đỏ Đến đây chỉ còn lại hai khả năng:

a) Hoặc là mọi đoạn thẳng A3A4, A3A5, A3A6, A4A5, A4A6A5A6đều màu xanh Khi đó A3A4A5A6 là tứ giác xanh, thỏa mãn yêu cầubài toán

b) Tồn tại một đoạn thẳng AiAj (36 i < j 6 6) màu đỏ Khi đó

A1A2AiAj (3 6 i < j 6 6) là tứ giác đỏ thỏa mãn yêu cầu bài toán.2) Hoặc là với mọi điểm Aj (2 6 j 6 10) thì trong tám đoạnthẳng AjAk (2 6 k 6 10, k 6= j) có tối đa ba đoạn màu đỏ màthôi Khi đó phải tồn tại một điểm (chẳng hạn A2) mà trong cácđoạn A2Ak (3 6 k 6 10, k 6= j) có tối đa hai đoạn màu đỏ thôi(thật vậy, nếu với mọi Aj (2 6 j 6 10) mà có đúng 3 đoạn AjAk

(2 6 k 6 10, k 6= j) màu đỏ, thì số đoạn thẳng màu đỏ nối trongnội bộ 9 điểm đó là 9 × 3

2 là số nguyên, điều này vô lí) Vì A2Ak

(3 6 k 6 10, k 6= j) có tối đa hai đoạn màu đỏ mà thôi, nên trong sốcác đoạnA2A3, A2A4, A2A5, A2A10 có ít nhất sáu đoạn màu xanh.Không giảm tổng quát, ta cho A2A5, A2A10 màu xanh.

Xét sáu điểm A5, A6, A7, A8, A9, A10 Đó là sáu điểm mà trong đókhông có ba điểm nào thẳng hàng, và mỗi đoạn thẳng nối 2 điểm chỉ

có hai màu xanh hoặc đỏ Theo bài toán 2.1 thì luôn tồn tại ít nhấtmột tam giác mà ba đỉnh chọn trong A5, A6, A7, A8, A9, A10 sao cho

ba cạnh cùng màu

Khi đó, ta lại có hai khả năng sau:

a) Giả sử tồn tại tam giác AiAjAk (5 6 i < j < k 6 10) màuxanh Khi đó tứ giácA2AiAjAk (5 6 i < j < k 6 10) là tứ giác xanhthỏa mãn yêu cầu bài toán

b) Nếu tồn tại tam giác AiAjAk (5 6 i < j < k 6 10) màu đỏ thì

A1AiAjAk là tứ giác cần tìm

Như vậy ta luôn chứng minh được tồn tại một tứ giác mà các đỉnhcủa nó nằm trong tập điểm đã cho sao cho cạnh và đường chéo cùngmàu

Bài toán 2.9 Giả sử mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bằng mộttrong 2 màu xanh hoặc đỏ Chứng minh tồn tại một hình chữ nhật

có các đỉnh cùng màu

Chứng minh Vẽ ba đường thẳng song song d1, d2, d3 (d1//d2//d3).Lấy trên d1 bất kì bảy điểm Do mỗi điểm chỉ được bôi bằng mộttrong hai màu xanh hoặc đỏ nên theo nguyên lí Dirichlet trênd1 luôntồn tại bốn điểm cùng màu Không giảm tổng quát, giả sử bốn điểm

P1, P2, P3, P4 cùng màu đỏ

GọiQ1, Q2, Q3, Q4 là hình chiếu vuông góc củaP1, P2, P3, P4 xuống

d2 Gọi R1, R2, R3, R4 lần lượt là hình chiếu vuông góc củaP1, P2, P3,

P4 xuống d3

Khi đó, chỉ có các khả năng sau xảy ra:

1) Nếu tồn tại hai trong bốn điểm Q1, Q2, Q3, Q4 màu đỏ, giả sử

Qi, Qj Khi đó, PjPiQiQj là hình chữ nhật có bốn đỉnh cùng màu đỏ(H 2.12)

2) Nếu tồn tại hai trong bốn điểm R1, R2, R3, R4 màu đỏ, giả sử

Ri, Rj Khi đó, PjPiRiRj là hình chữ nhật có 4 đỉnh cùng màu đỏ(H 2.13)

3 đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân.

Chứng minh Ta có đa giác 2013 cạnh nên có 2013 đỉnh Do đó theonguyên lí Dirichlet phải tồn tại hai đỉnh kề nhau là P và Q được sơnbởi cùng một màu (chẳng hạn màu xanh)

Vì đa giác đã cho là đa giác đều có một số lẻ đỉnh, cho nên phảitồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng

P Q Giả sử đỉnh đó là A

Nếu A được tô màu xanh thì ta có tam giác AP Q là tam giác có

ba đỉnh A, P, Q được tô màu xanh

Nếu A tô màu đỏ Lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác

kề với P và Q

Nếu hai đỉnh B và C được tô màu đỏ thì tam giác ABC cân và

có ba đỉnh cùng tô màu đỏ

Nếu ngược lại một trong hai đỉnh B hoặc C mà tô màu xanh thìtam giác BP Q hoặc tam giác CP Q là các tam giác cân có ba đỉnhđược tô cùng màu xanh.

Vậy bài toán đã được chứng minh

Bài toán 2.11 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một tronghai màu đen hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác đều màcác đỉnh của nó chỉ được tô bằng một màu

Chứng minh Vẽ tam giác đều ABC, nếu có ba đỉnh A, B, C đềuđược tô cùng một màu thì ta có ngay điều phải chứng minh

Nếu A, B, C được tô bởi hai màu khác nhau thì theo nguyên líDirichlet phải có hai đỉnh được tô cùng một màu

Giả sử các đỉnh A, B được tô cùng màu đen, khi đó C được tôbằng màu đỏ

Ta dựng lục giác đều ADGEF C có tâm B

Ta có tam giác ABD đều Nếu D được tô màu đen thì ta có ngayđiều phải chứng minh Nếu D được tô màu đỏ thì ta xét tam giácCED đều Nếu E được tô màu đỏ thì tam giác CDE có 3 đỉnh được

tô màu đỏ, thỏa mãn Ngược lại, nếu E được tô màu đen, ta xét tamgiác BEF đều Nếu F được tô màu đen thì ta có tam giác BEF có

ba đỉnh được tô bằng màu đen, thỏa mãn

Giả sử ngược lại F được tô màu đỏ ta lại xét tam giác CF H đều.Nếu H được tô màu đỏ thì tam giác CF H có ba đỉnh được tô màu

đỏ, thỏa mãn Ngược lại, H được tô màu đen thì lại vẽ tam giác đềuBHI Nếu I được tô màu đen thì tam giác BHI có ba đỉnh được tôbằng màu đen, thỏa mãn

Ta lại giả sử I được tô bằng màu đỏ thì xét tam giác IDF Dễthấy tam giác IDF đều, theo trên ta có I, D, F được tô bởi cùngmàu đỏ, thỏa mãn

Như vậy, ta chứng tỏ được rằng tồn tại một tam giác đều mà bađỉnh được tô bởi cùng một màu

Bài toán 2.12 Cho hình lăng trụ có hai đáy là các ngũ giác đềuđáy trên A1A2A3A4A5 và đáy dưới B1B2B3B4B5 Mỗi cạnh của haingũ giác này và các đoạn thẳng AiBj với i, j = 1, 5 được tô màu đỏhoặc màu xanh Biết rằng mọi tam giác mà các đỉnh của nó là đỉnhcủa lăng trụ và tất cả các cạnh của nó được tô màu, có hai cạnh màu

khác nhau Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh ở đáy trên và đáy dướiđều có cùng một màu.

Chứng minh Trước tiên, ta chứng minh rằng tất cả các cạnh A1A2,

A2A3, A3A4, A4A5, A5A1 đều có cùng một màu Chứng minh bằngphản chứng Giả sử ngược lại, có các cạnh A1A2 màu đỏ và A2A3màu xanh Theo nguyên lí Dirichlet thì trong số 5 đoạn thẳng A2B1,

A2B2, A2B3, A2B4, A2B5 có ít nhất ba đoạn thẳng được tô bởi cùngmột màu xanh hoặc đỏ

Không giảm tổng quát, ta cho đó là màu đỏ và gọi chúng là A2Bi,

A2Bj, A2Bk Khi đó có ít nhất một trong những đoạn BiBj, BjBk,

BkBi là cạnh đáy (hai đỉnh kề nhau) Giả sử là BrBs Nếu BrBs làmàu đỏ thì ta có A2BrBs màu đỏ Điều này trái với giả thiết là tamgiác mà đỉnh của nó là đỉnh của lăng trụ và tất cả các cạnh của nóđược tô màu có hai cạnh màu khác nhau Do đó BrBs phải là màuxanh Bây giờ, đoạn A1Br và A1Bs cũng phải màu xanh, nếu ngượclại ta phải có A1A2Br hoặc A1A2Bs là những tam giác đỏ Do đó,

A1BrBs là tam giác xanh Điều này vô lí nên suy ra A1A2 và A2A3

có cùng màu

Làm tương tự như vậy cho tất cả các cạnh của đáy có cùng màu.Bây giờ ta giả sử tất cả các cạnh đáy trên màu đỏ và tất cả cáccạnh đáy dưới màu xanh Theo nguyên lí Dirichlet thì có ít nhất batrong năm cạnh A1Bi, i = 1, 5 phải có cùng màu Không giảm tổngquát giả sử đó là màu xanh, lí luận như trên thì hai trong số ba đỉnh

Bi đó phải là hai đỉnh kề nhau, từ đó hai đỉnh này tạo với A1 thànhtam giác có ba cạnh màu xanh (vô lí) Vì thế, ba trong năm cạnh

A1Bi, i = 1, 5 phải cùng màu đỏ Lập luận tương tự, ba trong nămcạnh A2Bi, i = 1, 5 phải có cùng màu đỏ Vì ta có sáu cạnh màu

đỏ, ít nhất hai trong chúng phải có đỉnh Bi ở đáy Khi đó, tam giác

A1A2Bi màu đỏ, vô lí

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Bài toán 2.13 Mỗi điểm của mặt phẳng được tô bằng một tronghai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng ắt tìm được ít nhất là bađiểm được tô bởi cùng một màu tạo thành một tam giác đều có cạnh

là 1 hoặc √

3.Chứng minh Dựng một tam giác đều có cạnh bằng 1 Nếu cả ba

đỉnh được tô bởi cùng một màu (xanh hoặc đỏ) thì bài toán đượcchứng minh.

Ngược lại, xét tam giác ABC đều cạnh AB = 1 mà A và B được

tô bằng hai màu khác nhau

Lấy điểm D của mặt phẳng sao cho AO = BO = 2 Vì A, B khácnhau nên D cùng màu với chỉ một trong hai điểm A hoặc B

Suy ra, tồn tại đoạn thẳng AD = 2 hoặc BD = 2 có hai đầu mútđược tô bằng hai màu khác nhau Giả sử là đoạn AD GọiK là trungđiểm của đoạn AD thì K cùng màu với một trong hai điểm A hoặc

D Giả sử K và A có cùng màu xanh

Vẽ các tam giác đều AP K và AQK

Nếu P hoặc Q có màu xanh thì ta có tam giác đều AP K hoặcAQK có cạnh bằng 1 và ba đỉnh được tô bằng màu xanh

Nếu P vàQ có màu đỏ thì tam giácP QD có ba đỉnh được tô cùngmàu đỏ Dễ thấy tam giác P QD đều có cạnh bằng √

3

Từ đây bài toán được chứng minh

Bài toán 2.14 Cho dãy vô hạn các số tự nhiên u1, u2, được xácđịnh theo công thức truy hồi sau:

Giả sửnlà số tự nhiên bất kì và tập M gồmun điểm sao cho không

có ba điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối hai điểm khác nhautrong M được tô bằng một trong nmàu cho trước Chứng minh rằngtồn tại ba điểm trong M là đỉnh của một tam giác cùng màu

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

1) Với n = 1 ta có u1 = 3và kết luận của bài toán hiển nhiên đúng(vì ở đây chỉ có một màu do n = 1)

Với n = 2 ta có u2 = 2u1 − 1 + 1 Ta có bài toán với sáu điểm vàdùng hai màu (Giải như bài toán 2.1) Vậy kết luận bài toán đúngvới n = 2

2) Giả sử kết luận của bài toán đúng với n, tức là nếu tập M gồm

un điểm sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng và dùng n màu để

tô các đoạn thẳng Khi đó tồn tại tam giác cùng màu.

3) Xét với n + 1, tức là tập M gồm un+1 điểm bất kì (không có bađiểm nào thẳng hàng) và dùng n + 1 màu để tô các đoạn thẳng.Lấy A là một trong các điểm của tập M Điểm này có thể nối với

un+1− 1 điểm còn lại của tập M bằng un+1− 1 đoạn thẳng bôi màu.Theo công thức xác định dãy ta có:

b) Các đoạn thẳng BiBj, 1 6 i < j 6 un có màu khác với α Xét

un điểm B1, B2, Bun Rõ ràng không có ba điểm nào trong chúngthẳng hàng Chúng dùng tối đa (n + 1) − 1 = n màu để tô (do khôngdùng màu α) Theo giả thiết quy nạp tồn tại tam giác cùng màu.Vậy kết luận của bài toán cũng đúng với n + 1

Bài toán 2.15 Cho sáu điểm trong mặt phẳng sao cho bất kì bađiểm nào cũng là đỉnh của một tam giác có các cạnh chiều dài khácnhau Chứng minh rằng tồn tại một cạnh vừa là cạnh nhỏ nhất củatam giác vừa là cạnh lớn nhất của một tam giác khác

Chứng minh Ta kí hiệu A1, A6 là tập hợp điểm đã cho Ta xétmột tam giác bất kì có đỉnh tại các điểm đó Vì độ dài các cạnh củacùng một tam giác khác nhau nên ta sẽ sơn cạnh có độ dài nhỏ nhấtmàu đỏ Hai cạnh còn lại ta sơn xanh Với cách làm như vậy tập hợpcác đoạn thẳng AnAm nối hai điểm bất kì An, Am thuộc tập điểm đãcho có màu đỏ hoặc xanh

Ta chứng minh tồn tại một tam giác có cả ba cạnh cùng màu đỏ.Thật vậy, ta xét các đoạn thẳng có chung đầu mút là A1 Như vậy

có 5 đoạn thẳng, khi đó theo nguyên lí Dirichlet tồn tại ít nhất bađoạn được tô cùng một màu