2 Ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình
2.2 Bài toán diện tích
Nếu K là một hình phẳng, cònK1, K2, ...Kn là các hình phẳng sao cho Ki ⊆ K với i = 1, n và |K| < |K1|+|K2|+...+|Kn|, ở đây |K|
là diện tích của hình phẳng K, còn |Ki| là diện tích hình phẳng Ki,
i = 1, n , thì tồn tại ít nhất hai hình phẳng Hi, Hj (1 6 i < j 6 n)
sao cho Hi, Hj có điểm trong chung. (Ở đây ta nói rằng P là điểm trong của tập hợp A trên mặt phẳng nếu như tồn tại hình tròn tâm
P bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằm trọn trong A.
Nguyên lí Dirichlet cho diện tích còn được dùng để chứng minh cho một định lí có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học, đó là định lí Bloophelt.
Bài toán 2.21. (Định lí Bloophelt). Cho A là một hình trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện S(A) > 1, (S(A) là diện tích của hình A). Khi đó, tồn tại một phép tịnh tiến sao cho ảnh của A qua phép tịnh tiến này chứa ít nhất hai điểm trong có tọa độ nguyên.
Chứng minh. Để chứng minh định lí này, ta xét bổ đề sau: "Nếu một hình A trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện diện tích của nó lớn hơn thực sự 1, kí hiệu S(A) > 1, thì nó chứa ít nhất hai điểm trong khác nhau (x1, y1) và (x2, y2) mà những hiệu của chúng x2 − x1 và y2 −y1 là những số nguyên".
Qua mỗi điểm (m, n) có tọa độ nguyên, ta kẻ một đường thẳng song song với trục hoành và một đường thẳng song song với trục tung. Như vậy, ta nhận được một hệ những đường thẳng gọi là một lưới nguyên, những điểm có tọa độ nguyên gọi là các đỉnh của lưới nguyên.
Lưới nguyên chia mặt phẳng thành những ô vuông bằng nhau và có diện tích bằng 1.
Nếu ta đặt một hình vuông bất kì nào đó tịnh tiến đến trùng với một hình vuông khác trong lưới nguyên này thì hiệu giữa những tọa độ tương ứng của điểm nào đó và ảnh của nó hiển nhiên sẽ là một số nguyên.
Bây giờ ta chọn một trong những ô vuông trong lưới vuông làm cơ sở (mỗi hình vuông chỉ tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến như vậy). Khi đó, những phần của diện tích hìnhA nằm trong những hình
vuông khác nhau sẽ được chuyển vào hình vuông cơ sở sau những phép tịnh tiến này. Nhưng tổng diện tích của chúng bằng diện tích hình A
và suy ra diện tích này lớn hơn 1 (diện tích của hình vuông cơ sở). Theo nguyên lí Dirichlet về diện tích suy ra ít nhất hai trong số những ảnh đưa tới ô vuông cơ sở có một điểm trong chung (x0, y0). Vậy trong hai hình ban đầu A, tương ứng với điểm (x0, y0) sẽ là hai điểm khác nhau (x1, y1) và (x2, y2) mà như nhận xét ban đầu thì
x1 −x0, y1 −y0, x2 −x0, y2 −y0 là những số nguyên. Từ đây suy ra
x2−x1 vày2−y1 cũng là những số nguyên. Từ đây bổ đề được chứng minh.
Bây giờ ta tịnh tiến tập hợp A sao cho điểm (x1, y1) chuyển tới điểm có tọa độ nguyên. Khi đó điểm (x2, y2) cũng tịnh tiến đến điểm có tọa độ nguyên. Thật vậy, với việc tịnh tiến này mọi điểm(x, y) của
A sẽ tương ứng với điểm (x+a, y+b) với a, b là những hằng số. Do đó, x1 +a và y1 +b là những số nguyên. Nhưng khi đó cả hai số:
x2 +a = (x2 −x1) + (x1 +a)
và
y2 +b = (y2 −y1) + (y1 + b)
là những số nguyên vì là tổng của hai số nguyên. Như vậy, ta đã chứng minh được định lí Bloophelt.
Để mở rộng cho định lí Bloophelt, ta có bổ đề sau: "Cho n là số tự nhiên bất kì, còn A là hình trong mặt phẳng có diện tích S(A) > n. Khi đó, tồn tại n+ 1 điểm trong khác nhau (x1, xj) với i = 1, . . . n+ 1
trong A, sao cho các hiệu xi −xj và yi −yj là những số nguyên với i, j = 1, . . . n+ 1".
Chứng minh. Hoàn toàn tương tự như chứng minh định lí Bloophelt. Ta cũng tiến hành đưa mọi hình vuông trong lưới nguyên bằng phép tịnh tiến về trùng với hình vuông cơ sở. Và như vậy, mỗi phần củaAnằm trong hình vuông khác nhau sẽ được chuyển tới hình vuông cơ sở. Nhưng lần này, tổng diện tích của những phần tịnh tiến thuộc
A sẽ lớn hơn n. Theo nguyên lí Dirichlet mở rộng cho diện tích suy ra tồn tại ít nhất n+ 1 ảnh tịnh tiến có điểm trong chung (x0, y0).
này là:
(x1, xj), i= 1, . . . n+ 1.
Khi đó, xi−xj và yi−yj, i, j = 1, . . . n+ 1 là những số nguyên. Như vậy, bổ đề mở rộng của định lí Bloophelt đã được chứng minh.
Bài toán 2.22. Một hình lập phương có cạnh bằng 15 chứa 22000 điểm. Chứng minh rằng có một hình cầu bán kính 1 chứa ít nhất 11 điểm trong số 22000 điểm đã cho.
Chứng minh. Chia mỗi cạnh của hình lập phương thành 13 phần bằng nhau. Như vậy, hình lập phương đã cho được chia thành 132 = 2197 hình lập phương nhỏ. Do có 22000 điểm, mà lại có 2197 hình lập phương nhỏ nên theo nguyên lí Dirichlet thì tồn tại ít nhất một hình lập phương nhỏ mà hình này chứa ít nhất 11 điểm. Như đã biết, nếu gọi cạnh của hình lập phương là a thì hình cầu ngoại tiếp có bán kính là R, với R = 1