Khóa luận tốt nghiệp toán Nguyên lí Dirichlet và ứng dụng vào bài toán hình học tổ hợp

TRẦN BÍCH NGỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC Tổ H0P KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học TRẦN BÍCH NGỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC Tổ H0P KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học Th.s PHẠM THANH TÂM TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN HÀ NỘI, 5/2014 LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung của đề tài, tôi xin gửi lời cảm ơn và sự tri ân sâu sắc đến thầy giáo Th.s. Phạm Thanh Tâm - người đã chỉ bảo và hướng dẫn tận tình cho tôi, giúp tôi hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các quý thầy cô giáo của khoa Toán đã tận tình chỉ bảo tôi trong suốt quá trình học tập tại khoa. Lời cảm ơn chân thành và sâu sắc, tôi xin gửi tới gia đình, bạn bè - những người đã luôn động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Trần Bích Ngọc TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN HÀ NỘI, 5/2014 LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu với sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.s. Phạm Thanh Tâm tôi đã hoàn thành bài khóa luận của mình. Tôi xin cam đoan bài khóa luận là do bản thân hoàn thành cùng với sự hướng dẫn của thầy giáo Th.s. Phạm Thanh Tâm. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên thực hiện Trần Bích Ngọc Mục lục Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bài toán tổ hợp nói chung. Khác với các bài toán trong lĩnh vực giải tích hay đại số, các bài toán của hình học tổ hợp thường liên quan đến các đối tượng là các tập hữu hạn. Những bài toán về hình học tổ hợp thường rất đa dạng về nội dung và phương pháp giải. Nhiều bài toán phát biểu rất đơn giản, với kiến thức phổ thông ta cũng có thể hiểu được, nhưng để giải chúng thì cần một sự hiểu biết sâu sắc những kiến thức về tổ hợp và hình học. Sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp là một phương pháp rất hay, nhờ có ứng dụng của nguyên lí này mà nhiều bài toán khó của lĩnh vực hình học tổ hợp được giải quyết một cách trọn vẹn. Nguyên lí Dirichlet do nhà toán học Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805-1859) người Đức đưa ra lần đầu tiên vào năm 1834. Nguyên lí này là một công cụ hiệu quả và sắc bén để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như hình học, đại số, tổ hợp, đặc biệt là trong các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi. Dùng nguyên lí Dirichlet trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định. Sử dụng nguyên lí Dirichlet không đòi hỏi nhiều về kiến thức và khả năng tính toán mà chủ yếu đòi hỏi sự sáng tạo trong việc đưa ra một mô hình cụ thể và linh hoạt trong cách tư duy. Đó là điểm mạnh cũng như cái khó của việc ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào bài toán hình học tổ hợp. Vì vậy để thấy được cái hay, cái hiệu quả cũng như làm thành một cách thức mới để vận dụng vào quá trình giảng dạy sau này và giúp các em học sinh có được phương pháp giải bài tập hình học tổ hợp hiệu quả, tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài "Nguyên l í Dirichlet và ứng dụng vào bài t o á n hình học tổ hợp" dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Th.s. Phạm Thanh Tâm. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán hình học tổ hợp. 3. Đối tượng nghiên cứu Nguyên lí Dirichlet và những bài toán hình học tổ hợp có ứng dụng nguyên lí Dirichlet để giải. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Nêu nội dung cơ bản của nguyên lí Dirichlet. Nêu ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán hình học tổ hợp. Hệ thống lại một số dạng bài tập có sử dụng nguyên lí Dirichlet 4 -2 • 7 • đê giai. 5. Phạm vi nghiên cứu Một số bài toán hình học tổ hợp giải được bằng nguyên lí Dirichlet. 6. Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu và trao đổi nghiên cứu nhằm đưa ra cái nhìn tổng quát về nội dung nguyên lí Dirichlet và nhận diện được các bài tập hình học CÓ thể giải quyết một cách đơn giản bằng nguyên lí Dirichlet. Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: SVTH: Trần Bích Ngọc 5 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Phân tích, tổng hợp và hệ thống các dạng bài tập hình học có ứng dụng nguyên lí Dirichlet. 7. Giả thuyết khoa học Nếu xác định được ứng dụng của nguyên lí Dirichlet và hệ thống lại được các dạng bài tập thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán, đặc biệt là bộ môn hình học và bồi dưỡng học sinh giỏi. Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: SVTH: Trần Bích Ngọc 6 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 Bố cục khóa luận Chương 1: Kiến thức cơ bản 1.1. Nguyên lí Dirichlet cơ bản 1.2. Nguyên lí Dirichlet mở rộng 1.3. Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp 1.4. Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng 1.5. Nguyên lí Dirichlet vô hạn Chương 2: ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợp 2.1. Bài toán tô màu hình 2.2. Bài toán diện tích Một số bài tập đề nghị 7 Chương 1 Kiến thức cơ bản Nguyên lí Dirichlet còn gọi là "Nguyên tắc nhốt thỏ vào lồng" hoặc "nguyên tắc xếp đồ vật vào ngăn kéo" hoặc "nguyên tắc lồng chim bồ câu" đã được biết đến từ rất lâu. Nguyên lí Dirichlet này được nhà toán học người Đức Peter Guster Lijeune Dirichlet (1805- 1859) phát biểu lần đầu tiên vào năm 1834. 1.1 Nguyên lý Dirichlet cơ bản Nếu nhốt N + 1 con thỏ vào N cái chuồng thì bao giờ cũng có một chuồng chứa ít nhất hai con thỏ. Ta có thể phát biểu nguyên lí Dirichlet tổng quát như sau: Mệnh đề 1.1.1. Nếu có N đồ vật được đặt vào trong K hộp thì sẽ ~N'" đồ vật. (ở đây, |"af| là số nguyên tồn tại một hộp chứa ít nhất nhỏ nhất có giá trị lớn hơn hoặc bằng X). Chứng minh. Giả sử mọi hộp đều chứa ít hơn tổng số đồ vật là: Điều này mâu thuẫn với giả thiết là có N đồ vật cần xếp. k ' đồ vật. Khi đó 'N ' 'N ' k -1) < k = 1.2 Nguyên lí Dirichlet mở rộng Mệnh đề 1.2.1. Nếu nhốt N con thỏ vào M > 2 cái chuồng thì tồn "n + m — V tại một chuồng có ít nhất chỉ phần nguyên của số A. Chứng minh. Giả sử trái lại, mọi chuồng thỏ không có đến 1.3 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp Mệnh đ ề 1.3.1. Cho A và B là hai tập hợp khác rỗng. Kí hiệu S(A), S(B) lần lượt là số lượng phần tử của A và B, với S(B) < S(A) < +oo. Khi đó, xét ánh xạ /, với: Ỉ A-^B A I—> F(A) = B e B thì tồn tại A' ẽ A, A' Ỷ A sao cho: F(A') = F(A) = B. 1.4 Nguyên lí Dirichlet dạng tập hợp mở rộng Giả sử A, B là hai tập hợp hữu hạn và ^(A), S(B) tương ứng kí hiệu là các số lượng phần tử của A và B. con thỏ, ở đây kí hiệu [a\ để m n + m — n — Khóa luận tốt nghiệp đại học Chuyên ngành: n — m SVTH: Trần Bích Ngọc 9 K36CNT-ĐHSP Hà Nội 2 m m con. Từ m < n — 1 con (vô n + m — m con, thì số thỏ mỗi chuồng đều nhỏ hơn hoặc bằng z , n — 1 lí). Điều vô lí này chứng tỏ có ít nhất một chuồng có con thỏ. +1 n + m Giả sử có một số tự nhiên K nào đó mà SỤ4) > K.S(B) và ta có quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử của Ả với một phần tử của B. Khi đó tồn tại ít nhất K + 1 phần tử của A mà chúng tương ứng với cùng một phần tử của B. Chứng minh. Với mọi tập con c gồm một phần tử của B ỊC c B) thì S(C) = 1. Ta có: S(C) = 1 < S(B) suy ra S(A) > K.S(C) = K. Hay S(A) >K+L. Suy ra tồn tại ít nhất K + 1 phần tử của A tương ứng với một phần tử của B. Vì c là tập bất kì nên nguyên lí được chứng minh. CHÚ Ý: Khi A; = 1, ta có ngay lại nguyên lí Dirichlet. 1.5 Nguyên lí Dirichlet vô hạn Nếu chia một tập hợp vô hạn các quả táo vào hữu hạn ngăn kéo, thì phải có ít nhất một ngăn kéo chứa vô hạn các quả táo. Nguyên lí Dirichlet mở rộng cho trường hợp vô hạn này cũng đóng vai trò hết sức quan trọng trong lí thuyết số nói riêng và toán học rời rạc nói chung. [...]...Chương 2 ứng dụng nguyên lí Dirichlet vào một số bài toán hình học tổ hợp Chương này dành để trình bày phương pháp sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp, nguyên lí Dirichlet áp dụng cho độ dài các đoạn thẳng, diện tích các hình phẳng hay được sử dụng đến trong nhiều bài toán hình học tổ hợp 2.1 Bài toán tô màu hình B à i t o á n 2 1 Trong mặt phẳng... trước Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong M là đỉnh của một tam giác cùng màu Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp theo N 1) Với N = 1 ta có UỊ = 3 và kết luận của bài toán hiển nhiên đúng (vì ở đây chỉ có một màu do N = 1) Với N = 2 ta có U2 — 2UI — 1 + 1 Ta có bài toán với sáu điểm và dùng hai màu (Giải như bài toán 2.1) Vậy kết luận bài toán đúng với N = 2 2) Giả sử kết luận của bài toán đúng... trong của tập hợp A trên mặt phẳng nếu như tồn tại hình tròn tâm P bán kính đủ bé sao cho hình tròn này nằm trọn trong A Nguyên lí Dirichlet cho diện tích còn được dùng để chứng minh cho một định lí có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học, đó là định lí Bloophelt Bài toán 2.21 (Định lí Bloophelt) Cho Ả là một hình trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện S(A) > 1, {S(A) là diện tích của hình A) Khi... cũng là số vô tỉ NHẬN XÉT Bài toán bề ngoài có vẻ không liên quan gì tới hình học nhưng lại có thể quy về bài toán hình học với một lời giải đẹp mắt như vậy Bài toán 2.4 Cho hình chóp đáy là đa giác chín cạnh Tất cả 9 cạnh bên và 27 đường chéo của đa giác đáy được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh của hình chóp sao cho chúng là những đỉnh của hình tam giác với các cạnh... đỉnh T và cả hai trường hợp tam giác này đều khác tam giác PQR H 2.2 p Suy ra, ta có thể cho rằng SP, S Q , S R là xanh, còn ST và s u màu đỏ Nếu ta lí luận tương tự cho đỉnh T thì cũng chỉ ra rằng tồn tại hai tam giác đồng màu khác tam giác PQR bằng việc loại trừ khi TP, TQ, TR xanh, còn TS và TU là đỏ Trong trường hợp đó, tam giác STU là đỏ Từ đó bài toán đã được chứng minh Bài toán 2.3 Từ bài toán. .. trong lưới vuông làm cơ sở (mỗi hình vuông chỉ tồn tại duy nhất một phép tịnh tiến như vậy) Khi đó, những phần của diện tích hình A nằm trong những hình vuông khác nhau sẽ được chuyển vào hình vuông cơ sở sau những phép tịnh tiến này Nhưng tổng diện tích của chúng bằng diện tích hình Ả và suy ra diện tích này lớn hơn 1 (diện tích của hình vuông cơ sở) Theo nguyên lí Dirichlet về diện tích suy ra ít... „ 2 Hình cầu này dĩ nhiên chứa ít nhất 11 điểm trong số 22000 điểm đã cho Bài toán 2.23 Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 151 điểm bất kì, phân biệt Chứng minh rằng có ít nhất 7 trong số 151 điểm ~ 1 đó năm trong một hình tròn bán kính — Chứng minh Chia hình vuông đã cho thành 25 hình vuông con bằng nhau có cạnh bằng — (H.2.15) 5 Do có 151 điểm mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lí Dirichlet. .. điều phải chứng minh 3) TH3: Không có cột nào có dạng 1 hoặc 8 thì có 7 cột nhưng chỉ có 6 dạng nên tồn tại 2 cột cùng dạng và bài toán cũng được chứng minh Vậy luôn tồn tại hình chữ nhật thỏa mãn điều kiện đề bài Bài toán 2.8 Trên mặt phẳng cho 18 điểm, sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng Nối từng cặp điểm với nhau và tô màu cho mọi đoạn thẳng thu được một trong hai màu xanh và đỏ Chứng minh rằng... AB' và AB" và có thể cho rằng chúng cùng màu xanh Chỉ có hai khả năng xảy ra: A H 2.1 1) Nếu ít nhất một trong ba đoạn BB ', B'B ", B"B màu xanh, thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này 2) Nếu không phải như vậy, tức là BB', B'B", B"B màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là B, B ', B" vì BB'B" là tam giác có ba cạnh màu đỏ Từ đây bài toán được chứng minh Bài. .. đường thẳng gọi là một lưới nguyên, những điểm có tọa độ nguyên gọi là các đỉnh của lưới nguyên Lưới nguyên chia mặt phẳng thành những ô vuông bằng nhau và có diện tích bằng 1 Nếu ta đặt một hình vuông bất kì nào đó tịnh tiến đến trùng với một hình vuông khác trong lưới nguyên này thì hiệu giữa những tọa độ tương ứng của điểm nào đó và ảnh của nó hiển nhiên sẽ là một số nguyên Bây giờ ta chọn một trong . NGỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC Tổ H0P KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học TRẦN BÍCH NGỌC NGUYÊN LÍ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC Tổ H0P KHÓA. tổ hợp và hình học. Sử dụng nguyên lí Dirichlet để giải các bài toán hình học tổ hợp là một phương pháp rất hay, nhờ có ứng dụng của nguyên lí này mà nhiều bài toán khó của lĩnh vực hình học. các cơ sở lý luận và dựa vào thực tiễn trong quá trình giảng dạy bộ môn hình học để tổng hợp và đưa ra các ứng dụng của nguyên lí Dirichlet vào việc giải các bài toán hình học tổ hợp. 3. Đối