Khoá luận tốt nghiệp dạng chuẩn tắc jordan và ứng dụng

Trước khi trìn h bày nội dung chính của khoá luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới th ầ y giáo T h... M ục đích nghiên cứu của đề tài N ghiên cứu về dạng chuẩn Jo rd a n và ứng dụ

Lời m ở đ ầ u 4

1.1 Á nh xạ tu yến tín h 6

1.1.1 Các định n g h ĩa 6

1.1.2 H ạt nhân, ản h của ánh xạ tuyến tín h 10

1.2 C ấu trú c của tự đồng cấu tu yến tín h 11

1.2.1 G iá trị riêng và vector riêng, đa thứ c đặc trư n g 11

1.2.2 K hông gian con b ấ t b iến 15

2 D ạ n g c h u ẩ n tắ c J o r d a n v à ứ n g d ụ n g 20 2.1 D ạng chuẩn tắ c J o rd a n 20

2.1.1 T h u ậ t to á n tìm dạng chuẩn tắ c Jo rd a n của m a trậ n vuông A 29 2.1.2 Các ví d ụ 30

2.2 ứ n g d ụ n g 38

2.2.1 T ín h lũy th ừ a 38

2.2.2 Giải hệ phương trìn h vi p h ân tu y ến tín h 41

Trước khi trìn h bày nội dung chính của khoá luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới th ầ y giáo T h s P h ạ m T h a n h T â m đ ã tậ n tìn h chỉ bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện để em có th ể hoàn th à n h khóa luận này.

Q ua đây em cũng xin bày tỏ lòng b iết ơn chân th à n h tới các th ầ y cô tro n g tổ Hình học và các th ầ y cô tro n g khoa Toán, Trường Đ ại học Sư ph ạm H à Nội 2 đ ã dạy bảo

em tậ n tìn h tro n g su ốt q u á trìn h học tậ p tạ i khoa

N hân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng b iết ơn chân th à n h tới gia đình, b ạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em tro n g suốt quá trìn h học tậ p vừa qua

Em xin chân th à n h cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 nă m 2016

Sinh viên Nguyễn T h ị Ngọc

Em xin cam đoan bài khóa luận là kết qu ả của quá trìn h làm việc nghiêm tú c, sự cố

gắng, nỗ lực từ b ản th â n dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tậ n tìn h của th ầ y giáo T h s

P h ạ m T h a n h T âm

Trong q uá trìn h th ự c hiện khóa luận em có th am khảo tà i liệu của m ột số tá c giả

đã nêu tro n g m ục tà i liệu th a m khảo

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 nă m 2016

Sinh viên Nguyễn T h ị Ngọc

m ột m a trậ n đơn giản, các tự đồng cấu có m a trậ n với m ột cơ sở nào đó là m a trậ n dạng chéo được gọi là các tự đồng cấu chéo hóa được N hưng không p hải b ấ t kỳ tự đồng cấu nào cũng chéo hóa được Vì vậy t a cần tìm m a trậ n có d ạng gần với m a trậ n dạng chéo n h ấ t chính là tìm dạng Jo rd a n của m a trậ n tro n g m ột tự đồng cấu

b ấ t kỳ

T hấy được tầm q uan trọ n g của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn n h iệt tìn h của th ầy giáo T h s P h ạ m T h a n h T â m tôi đã chọn đề tà i "D ạng chuẩn tắ c Jo rd a n và ứng dụng"

2 M ục đích nghiên cứu của đề tài

N ghiên cứu về dạng chuẩn Jo rd a n và ứng dụng

3 Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

D ạng chuẩn Jo rd a n và những ứng dụng quan trọ n g của nó

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

N ghiên cứu m ột số kiến thức chuẩn bị liên qu an đến dạng chuẩn Jo rd an

5.Phương pháp nghiền cứu

N ghiên cứu tà i liệu th a m khảo theo phương pháp: hệ th ố n g lại các kiến th ứ c có liên quan, p h â n tích, tổ n g hợp

6 K ết cấu của khóa luận

Ngoài p h ần mở đầu, kết luận và d an h m ục tà i liệu th am khảo, khóa luận gồm hai chương:

C hư ơ ng l: K iến th ứ c cơ sở

Chương2: D ạng chuẩn tắ c Jo rd a n và ứng dụng

Do h ạn chế về thời gian, kiến thứ c nên khóa luận không trá n h khỏi những th iếu sót

Vì vậy em r ấ t m ong n h ận được những ý kiến đóng góp quý b áu của các th ầ y cô và các b ạ n sinh viên để đề tà i được hoàn th iệ n hơn

T rân trọ n g cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 nă m 2016

Sinh viên Nguyễn T h ị Ngọc

K iến th ứ c cơ sở

1.1.1 Các định nghĩa.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1

Á nh x ạ ậ : V — > w được gọi là m ột ánh xạ tu yến tín h nếu:

c) Á nh xạ đạo hàm J - : -Rfz] — » cho bởi:

d J—(anx n + + a xx + a0) = n a „ x n + + a 1 dx

với A G K và ệ : V — > w là án h xạ tu y ến tín h , ta gọi là tích của ánh xạ ậ với

vô hướng A là m ột ánh xạ, kí hiệu là Xậ xác định bởi:

Xệ : V — > w

ấ I— > ( Xệ )( ấ) = Xệ (ấ )

Đ ịn h lý 1 1 4

G iả sử V là m ột không gian vector n — chiều K hi đó, mỗi ánh xạ tu y ến tín h

từ V vào w được hoàn to à n xác định bởi ảnh của nó trê n m ột cơ sở Nói rõ hơn,

giả sử (e) = {ẽi, ¿2, , ẽ^} là m ột cơ sở của V còn (/3) = {/?1, /?2, , /3n} là n vector

nào đó của w K hi đó có m ột và chỉ m ột án h x ạ tuyến tín h (ị) : V — > w sao cho

Cho ộ : V — > w là án h xạ tu yến tín h trê n trư ờng K khi đó:

• ậ là m ột đơn cấu nếu ậ là đơn ánh.

• ậ là m ột to à n cấu nếu (ị) là to à n ánh.

• ệ là m ột đẳng cấu nếu ệ là song ánh.

Nếu có m ột đẳng cấu ệ : V — > w th ì ta nói rằn g V đẳng cấu với w và viết V — w

Đ ịn h lý 1 1 6

Cho V và w là hai không gian vector hữu hạn chiều trê n trư ờng K K hi đó V

đ ẳng cấu với w khi và chỉ khi d i m V = d i m W

C h ứ n g m in h

G iả sử V đẳng cấu với w, khi đó có m ột đẳng cấu ệ : V — > w Tức là, nếu

{¿{,¿* 2 , , ể*n} là m ột cơ sở của V th ì hệ ậ(E2) , , là m ột cơ sở của w.

T h ậ t vậy:

G iả sử /3 là m ột vector b ấ t kỳ tro n g V, khi đó tồ n tạ i ã £ w ảể P — ậ(ã) Tức là, _< -+ n -* I V

neu CO a = 2X = 1 aieỉ thì:

P = ậ ( ã ) = ự> (X aiẽi) = X ai H s

i)-i=1 ¿=1

K hi đó /3 biểu th ị tu y ến tín h duy n h ấ t q ua hệ { ệ ( ẽ ‘1), ậ ( ẽ ^ ) , , ệ (^ n)} nên hệ này là

m ột cơ sở của w Nói cách khác d i m V = d i m W

Ngược lại, giả sử d i m V = d i m W = n C họn các cơ sở {õq, a 2, ( P n } của V và

{ P h 02, ■■■, Pn} của w Á nh xạ duy n h ấ t / : V — > w được xác định bởi / ( a i ) =

/ ? ! , f ( a n) = /3n là m ột đẳng cấu tu y ến tín h

T h ậ t vậy, nghịch đảo của f là án h x ạ tu y ến tín h h : w — > V được xác đinh bởi điều kiện h(/3i) = đ q , h(Ị3„) = õ^.

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 7

G iả sử V, w là những K - không gian vector hữu hạn chiều, (e) = {ẽi,

là m ột cơ sở của V , (e) = { ẽ ĩ , l à m ột cơ sở của w Á nh xạ tu y ến tín h

ậ : V — > w được xác định duy n h ấ t bởi m ột hệ vector ệ(e) = 0 (ẽ^)}

Các vector ậ(ếj) lại biểu th ị tu y ến tín h m ột cách duy n h ấ t qua cơ sở (e) = { ¿ I , ẽ^n)

của w.

m

^ 3 1, n.

i= 1tro n g đó các ữ ị j đều th u ộ c trư ờng K

cơ sở (e) và (e) Mọi ấ có tọ a độ ( x i , x „ ) tro n g cơ sở (e), viết dưới dạng cột: X1 ,

ã = : K hi đó tọ a độ của vector ậ ( a ) £ w tro n g cơ sở (e) là (y1 ; , y m), viết

Ta gọi công thứ c trê n là biểu th ứ c tọ a độ của ánh xạ tu y ến tín h ậ đối với cặp cơ sở

(e) và (e) đã cho

cấu của V M ột tự đồng cấu của V đồng thời là m ột đẳng cấu được gọi là m ột tự đẳng cấu của V.

K hông gian vector t ấ t cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là E n d (K ).

Tập hợp t ấ t cả các tự đẳng cấu của V được kí hiệu là G L (K ).

Đ ịn h n g h ĩa 1 1 1 0

Cho ộ e E n d ( v ) Gọi A = (UýOmxn là m a trậ n của ệ tro n g m ột cơ sở nào đó của V Ta gọi:

a) D et A là đ ịnh th ứ c của tự đồng cấu ộ và kí hiệu là det ậ.

b) Tổng các p h ầ n tử nằm trê n đường chéo chính của m a trậ n A là vết của ậ, kí hiệu

là

n

t r ( ậ ) = ^ 2

aii-i= 1

Ta cũng gọi số này là vết của m a trậ n A, kí hiệu là trA

1.2.1 G iá trị riêng và vector riêng, đa th ứ c đặc trưng.

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 1

Số thực A được gọi là giá trị riêng của tự đồng cấu tu yến tín h (ị) nếu tồ n tạ i m ột

vector V Ỷ 0 sao cho: ộ(v) — Ằv K hi đó V được gọi là vector riêng của (ị) ứng với giá

Đ a th ứ c đặc trư n g của ậ, kí hiệu là Pộ(t), được định nghĩa là định thứ c của ánh

xạ ậ — t ■ id, tro n g đó id là ánh xạ tu y ến tín h đồng n h ấ t.

Đ ị n h lý 1 2 4

Số thự c A là giá trị riêng của ậ khi và chỉ khi nó là nghiệm của đ a thứ c đặc trư n g

C h ứ n g m in h

G iả th iế t Pậ( t) = 0 Cố định m ột cơ sở (e) = { ẽ i , ẽ ^ } của V và kí hiệu A là

m a trậ n của ậ, [x] là tọ a độ của X theo cơ sở này K hi đó d e t( A — XI n) = 0 T ừ đó

hệ phương trìn h tu y ến tín h th u ầ n nh ất:

(A - XIn)[x} = 0

có nghiệm không tầm thường Nghiệm của hệ này chính là vector riêng của ộ ứng

với giá trị riêng A

Ngược lại, giả sử ư 7^ 0 là nghiệm của hệ

(A — A/n)[a:] = 0 A[v] — A[u] = 0 A[v] = A[u].

Suy ra A chính là giá trị riêng của ệ.

N h ậ n x é t 1 2 5

Để tìm giá trị riêng và vector riêng của m ột tự đồng cấu ậ ta làm như sau: Bước 1: T ìm m a trậ n A của ậ tro n g m ột cơ sở tù y ý (e) = { ế i , , ẽ*n} của V Bước 2: T ín h đa th ứ c đặc trư n g d e t ( A — X E n).

Bước 3: G iải đ a thức bậc n đối với ẩn X:

d e t( A — X E n) — 0.

Bước 4: G iả sử A là m ột nghiệm của phương trìn h đó G iải hệ phương trìn h tuyến

Đ ịn h n g h ĩa 1 2 7

M a trậ n A E M a t ( n X n , K ) đồng dạng với m ột m a trậ n chéo B E M a t ( n X n, K)

th ì A được gọi là m a trậ n chéo hóa được

Do đó, nếu A chéo hóa được th ì mọi m a trậ n đồng dạng với nó cũng chéo hóa được Việc tìm m ột m a trậ n kh ả nghịch c (nếu có) sao cho C _1A C là m ột m a trậ n chéo

được gọi là việc chéo hóa m a trậ n A

Trong đó A i, , An là các số đôi m ột khác nhau

b) R a n k ( ậ — Ai) = n — ơ i, i = 1 ở đây AỂ là nghiệm với bội ơị của đ a thức đặc trư n g Pậ(t).

C h ứ n g m in h

G iả sử ậ chéo hóa được K hi đó, giả sử m a trậ n của ậ tro n g m ột cơ sở nào đó của V là m ột m a trậ n chéo D với Ơ1 p h ầ n tử nằm trê n đường chéo bằng Ai, ,crm

p h ầ n tử nằm trê n đường chéo b ằng Am, tro n g đó n = ƠI + + ơm K hi đó:

p y t ) = p D{t) = (Ai - ¿ r • • ■ (Am - t y - = ( - 1)"(Í - x 1y i • • ■ (t - Xmy -

Ta th ấ y m a trậ n (D — Xị En) là m a trậ n chéo, với ơi p h ần tử nằm trê n đường chéo bằng Aj — Aị = 0, các p h ần tử còn lại b ằng Aj — Xị y ữ với i y Jj j nào đó.

Cho nên ta có:

R a n k ( ậ — X ị id y ) = r a n k ( D — Xị E„ ) = n — ơị.

Ngược lại, giả sử các điều kiện (a), (b) được th ỏ a m ãn X ét không gian vector con

riêng ứng với giá trị riêng Aj : Vị = K e r ( ộ — X ị i d y ) (ì = 1, , m ) t a có:

dimVị = d i m K e r( ậ — X ị id y ) = n — rank(<f) — X ị i d y ) = ơị.

M à ta luôn có tổ n g V 1 + + Vm là m ột tổng trự c tiếp, với số chiều b ằng ơi + + ơ m =

n Vậy tổng đó b ằng to à n bộ không gian V

V = i

®Vi-Lấy m ột cơ sở b ấ t kì {e7i, ,e e7ơj} của Vị với i = 1, ,m.

K hi đó {¿ 1 1 , , , , e ^ i , , } là cơ sở của V gồm to àn bộ những vector riêng của ộ.

Vậy ậ chéo hóa được.

H ệ q u ả 1 2 9

Cho ậ là m ột tự đồng cấu của không gian vector V chiều n K hi đó:

• ậ chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm n vector riêng.

• Nếu ộ có n giá trị riêng khác n h au th ì ậ chéo hóa được.

1.2.2 K hông gian con bất biến.

A ( ộ ) aoậk + ãiậ>k 1 + + akidự

ữj là các hệ số thực A(ộ) được gọi là m ột ánh x ạ đ a th ứ c theo ệ. H ạch và ảnh của

A(ậ) là các không gian con b ấ t biến đối với ộ.

Với B là m a trậ n cấp b ằng số chiều của u

b) K í hiệu v / u là không gian thương của V theo u. K hi đó ộ cảm sinh m ột ánh xạ

ậ trê n v / u bởi công thức:

ệ([v]) := [ậ(v)j

c) K í hiệu là ộ\ụ là h ạn chế của <f) trê n u K hi đó đa thứ c đặc trư n g của ậ là tích các đ a th ứ c đặc trư n g của ệ \u và ệ:

P Á t ) = p ộ\v(t)p

ị(t)-C h ứ n g m in h

a) C họn m ột cơ sở {ũ*!, , ur } của u và mở rộng th à n h m ột cơ sở của V bằng

cách bổ sung các p h ần tử (w) = (ĩưx, ,ĩưs) Theo giả th iế t ậ{uị) e u nên có thể

biểu diễn được theo các vector U j bởi m ột m a trậ n B

Vì (u , w ) là m ột cơ sở của V nên các vector ộ{vứk) có th ể biểu diễn theo cơ sở đó

bởi m ột m a trậ n dạng

c

D

Vậy theo cở sở (u , w), ậ có m a trậ n với dạng đ ã khẳng định.

b) Trước hết t a đã chứng m inh rằn g ánh xạ ậ được định nghĩa đúng T h ậ t vậy, nếu

V\ và v *2 có hiệu th u ộ c u , nghĩa là cũng xác định m ột p hần tử tro n g v / u th ì theo giả th iế t ậ( v\ ) — Ộ(v 2 ) = ậ(v\ — 0 * ) cũng thuộc u , do đó ệ(v{) và ệ(Ũ 2 2 ) cũng xác

= d e t ( B - t E T) det (D - t E n_r ) = Pậ\v ( t) Pị (t ).

Vế trá i chính là Pệ{t)

Đ ị n h n g h ĩ a 1 2 1 3

G iả th iế t Xlà m ột giá trị riêng của ệ V ector V € V được gọi là vector nghiệm

(vector riêng suy rộng) của ộ nếu tồ n tạ i r > 0 sao cho (ậ — A)r (Ư) = 0 T ập hợp

các vector nghiệm lập th à n h m ột không gian con của V 1 gọi là không gian nghiệm ứng với giá trị riêng A, kí hiệu là V(A).

a) C hứng m inh rằn g phép lấy đạo hàm :

a0 + aỵX + + anx n I-» ữi + 2a2x + + n a nx n 1

là m ột tự đồng cấu từ Vn đến Vn- 1 - Hãy viết m a trậ n của nó tro n g cơ sở {1, X , x n }

b) C hứng m inh rằn g phép lấy nguyên hàm :

ũi X2 anx n+1 a0 + a\X + + anx I—> aoX + —— h + - —

b) T ìm giá trị của A sao cho m a trậ n sau có hạng th ấ p n h ấ t.

B à i tậ p 1 5

a) Cho u c V là không gian con b ấ t biến của ip và w c u C hứng tỏ rằng w

là không gian con b ấ t biến của (p\u khi và chỉ khi nó là không gian con b ấ t biến của

b) 1(U) là các không gian con b ấ t biến của ip.

Cho V^I, , v^n là các vector độc lập tu y ến tín h và là các vector riêng của tự đồng cấu ip ứng với giá trị riêng \ i , i = 1 ~r G iả sử A i, ,A r đôi m ột khác nhau

C hứng m inh rằng hệ vector U-=1{ú7i, } độc lập tu y ến tín h T ừ đó hãy suy ra

điều kiện cần và đủ để <p chéo hóa được là m 1 + + m r = n ( n = d i m V ).

B à i tậ p 1 8

Cho ậ là tự đồng cấu của không gian vector hữu h ạn chiều chéo hóa được và u

là không gian con b ấ t biến C hứng m inh rằn g ệ\ự chéo hóa được.

D ạ n g chuẩn tắ c Jordan và ứng

dụng.

Đ ịn h n g h ĩa 2 1 1

a) T ự đồng cấu (ị) : V — > V được gọi là m ột tự đồng cấu lũy linh nếu có số

nguyên dương k sao cho ậ k = 0

Nếu th êm vào nó ậ k~1 Ỷ 0 th ì k được gọi là bậc lũy linh của ệ.

b) Cơ sở { ẽ [ , ẽ^} của V được gọi là m ột cơ sở xyclic đối với tự đồng cấu ậ : V — >

V nếu ta có:

(^(éỉi) 625 0 (^2) &3; — l) ^n; 0 (^n) bc) K hông gian vector con u của V được gọi là m ột không gian con xyclic đối với tự

đồng cấu ệ : V —> V nếu u có m ột cơ sở xyclic đối với ộ.

riêng của ệ tương ứng với giá trị riêng b ằng 0

Ngược lại, giả sử ã là m ột vector riêng của ộ ứng với giá trị riêng A Ta có ậ ( ã ) =

x ( ã ) , do đó <f>k (ã) — x kã Vì ệ k — 0 nên t a có x kã — ậ k(õì) — 0 Do vector riêng

Với j > n ta luôn có Im(f)j = 0, tức là = 0

Vậy ậ là đồng cấu lũy linh bậc n.

Hãy chứng m inh rằng f là lũy linh T ìm cơ sở xyclic của đồng cấu f

Do đó f là tự đồng cấu lũy linh bậc q — 3.

Đ ặ t V\ = V]1 là không gian vector sinh bởi các vector cột của A 2 Không gian này

có cơ sở là { —¿ì — ¿2 + ¿3 + £ 4 } (cột đầu của A 2 ).

Gọi V2 là không gian vector sinh bởi các vector cột của m a trậ n A Ta chọn v f sinh

bởi vector { — £2 — £ 3 } vì v f đẳng cấu với v f qua ánh xạ f.

T iếp theo V3 = V = i?4 Ta chọn Vg1 là không gian sinh bởi E\.

Vì d ỉ m i y = R 4) = 4, nên V 2 = V 2 = {0}, vì nếu V 2 Ỷ {0} th ì V 2 Ỷ {0} (hoặc

cũng có th ể th ấ y điều đó do các vetor cột của A rõ ràn g gây nên không gian vector con 2 chiều)

K hông gian V33 là p h ầ n bù tu y ến tín h của v f trong ke r f , nhưng rõ ràng d im k e r f = 2

và £~1 + £4 G k e r f nên có thể lấy V33 là không gian con sinh bởi £1 + £ 4

N hư vậy, t a tìm được m ột không gian vector con 3 chiều với cơ sở xyclic đối với f với cơ sở xyclic là {t í = £1,72 = —£2 — £3,73 = —£1 — £2 + £3 + £4} và m ột không gian vector con m ột chiều xyclic đối với f gây nên bởi vector 74 = £1 + £4

M a trậ n của f tro n g cơ sở mới {71,72,73,74} có dạng:

biến đối với ậ.

b) Á nh xạ (ậ — X ■ i d y ) |y(A) là m ột tự đồng cấu lũy linh của V (A).

c) Nếu A là m ột giá trị riêng của ậ th ì không gian riêng p x — ker(<Ị) — X ■ i dv ) nằm

tro n g không gian riêng suy rộng V(A)

d) Với mọi không gian riêng suy rộng V (A), A là m ột giá trị riêng của ộ.

C h ứ n g m in h

a) Vì <f)(<f) — Xidy) = (ậ — Xidv )ậ nên với m nguyên dương ta cũng có 0 (0 —

Xidv )m = (ậ — Xidv )mộ Vì vậy, nếu ã e V(A) th ì có m nguyên dương nào đó để (ậ - Xidv )m (ã) = Ổ.

d) Với ấ e V(A)|{Ổ}, có số nguyên dương m > 1 để (ậ — Xidv )m~1(a) ^ ổ và

(ậ — Xidv )m (đ) = 0 Gọi ặ = {ộ — A idy)ra -1(a ) th ì ặ e K e r ( ị > — X i d v ) =

Px-Đ ịn h n g h ĩa 2 1 6

Cho ậ là m ột tự đồng cấu lũy linh của không gian vector V D ạng Jo rd a n của (Ị)

là dạng m à m a trậ n biểu diễn dưới dạng: