Dạng chuẩn tắc jordan và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Ngọc DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Ngọc DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Lời mở đầu Kiến thức sở 1.1 1.2 Ánh xạ tuyến tính 1.1.1 Các định nghĩa 1.1.2 Hạt nhân, ảnh ánh xạ tuyến tính 10 Cấu trúc tự đồng cấu tuyến tính 11 1.2.1 Giá trị riêng vector riêng, đa thức đặc trưng 11 1.2.2 Không gian bất biến 15 Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng 2.1 2.2 20 Dạng chuẩn tắc Jordan 20 2.1.1 Thuật toán tìm dạng chuẩn tắc Jordan ma trận vuông A 29 2.1.2 Các ví dụ 30 Ứng dụng 38 2.2.1 Tính lũy thừa 38 2.2.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính 41 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khoá luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm tận tình bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện để em hoàn thành khóa luận Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô tổ Hình học thầy cô khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập vừa qua Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Lời cam đoan Em xin cam đoan khóa luận kết trình làm việc nghiêm túc, cố gắng, nỗ lực từ thân hướng dẫn, bảo tận tình thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm Trong trình thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục tài liệu tham khảo Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Lời mở đầu Lí chọn đề tài Đại số tuyến tính môn học Toán cao cấp, áp dụng vào hàng loạt lĩnh vực khác nhau, từ giải tích tới hình học vi phân, từ học, vật lý tới kĩ thuật Những kiến thức Đại số tuyến tính ánh xạ tuyến tính, cấu trúc tự đồng cấu kiến thức thiếu Hơn nữa, tự đồng cấu đóng vai trò quan trọng việc làm rõ cấu trúc không gian vector Để việc tìm cho tự đồng cấu sở không gian dễ dàng ta cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản tự đồng cấu Ma trận dạng chéo ma trận đơn giản, tự đồng cấu có ma trận với sở ma trận dạng chéo gọi tự đồng cấu chéo hóa Nhưng tự đồng cấu chéo hóa Vì ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma trận dạng chéo tìm dạng Jordan ma trận tự đồng cấu Thấy tầm quan trọng vấn đề, với hướng dẫn nhiệt tình thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm chọn đề tài "Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng" Mục đích nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng chuẩn Jordan ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Dạng chuẩn Jordan ứng dụng quan trọng 4.Giới hạn phạm vi nghiên cứu đề tài Nghiên cứu số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng chuẩn Jordan 5.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp 6.Kết cấu khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương1: Kiến thức sở Chương2: Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Do hạn chế thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Nguyễn Thị Ngọc K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Chương Kiến thức sở 1.1 1.1.1 Ánh xạ tuyến tính Các định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho V ,W hai không gian vector trường K Ánh xạ φ : V −→ W gọi ánh xạ tuyến tính nếu: φ(α + β) = φ(α) + φ(β) φ(kα) = kφ(α) với α, β ∈ V k ∈ K Ánh xạ tuyến tính gọi đồng cấu tuyến tính, hay cách vắn tắt đồng cấu Kí hiệu: Hom(V, W ) tập ánh xạ tuyến tính từ V vào W Ví dụ 1.1.2 a) Ánh xạ không : V −→ W cho bởi: 0(α) = 0, ∀α ∈ V ánh xạ tuyến tính b) Ánh xạ đồng idV : V −→ W mà idV (α) = α, ∀α ∈ V ánh xạ tuyến tính Khóa luận tốt nghiệp c) Ánh xạ đạo hàm Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng d dx : R[x] −→ R[x] cho bởi: d (an xn + + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + + a1 dx ánh xạ tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Giả sử V , W K không gian vector φ, ϕ : V −→ W hai ánh xạ tuyến tính Ta gọi tổng φ ϕ ánh xạ, kí hiệu φ + ϕ xác định bởi: φ + ϕ : V −→ W α −→ (φ + ϕ)(α) = φ(α) + ϕ(α) với λ ∈ K φ : V −→ W ánh xạ tuyến tính, ta gọi tích ánh xạ φ với vô hướng λ ánh xạ, kí hiệu λφ xác định bởi: λφ : V −→ W α −→ (λφ)(α) = λφ(α) Định lý 1.1.4 Giả sử V không gian vector n− chiều Khi đó, ánh xạ tuyến tính từ V vào W hoàn toàn xác định ảnh sở Nói rõ hơn, giả sử (ε) = {ε1 , ε2 , , εn } sở V (β) = {β1 , β2 , , βn } n vector W Khi có ánh xạ tuyến tính φ : V −→ W cho φ(εi ) = βi , i = 1, 2, , n Chứng minh • Sự tồn tại: Nếu α = x1 ε1 + x2 ε2 + · · · + xn εn ∈ V , ta đặt: φ(α) = x1 β1 + x2 β2 + · · · + xn βn ∈ W Nguyễn Thị Ngọc K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Khi đó: φ : V −→ W ánh xạ tuyến tính φ(εi ) = βi , i = 1, 2, , n • Sự nhất: Nếu tồn ánh xạ f : V −→ W thõa mãn định lí φ(εi ) = f (εi ) = βi , i = 1, 2, , n với α = n φ(α) = φ( n i=1 xi εi ta có: n xi εi ) = i=1 n xi φ(εi ) = i=1 n xi f (εi ) = f ( i=1 xi εi ) = f (α) i=1 Suy φ = f Vậy φ tồn Định nghĩa 1.1.5 Cho φ : V −→ W ánh xạ tuyến tính trường K đó: • φ đơn cấu φ đơn ánh • φ toàn cấu φ toàn ánh • φ đẳng cấu φ song ánh Nếu có đẳng cấu φ : V −→ W ta nói V đẳng cấu với W viết V ∼ = W Định lý 1.1.6 Cho V W hai không gian vector hữu hạn chiều trường K Khi V đẳng cấu với W dimV = dimW Chứng minh Giả sử V đẳng cấu với W, có đẳng cấu φ : V −→ W Tức là, {ε1 , ε2 , , εn } sở V hệ {φ(ε1 ), φ(ε2 ), , φ(εn )} sở W Thật vậy: Nguyễn Thị Ngọc K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Vì u1 , u2 ∈ ker(f − IdR4 ), ta chọn u1 = (−2, 1, 0, 0), u2 = (−2, 0, 1, 0) Rõ ràng u1 , u2 , u3 , u4 độc lập tuyến tính Suy {u1 , u2 , u3 , u4 } sở cần tìm Hơn Khi   −2 −2   1 0 P =  0 1  0 −2   0   0     0 P −1 AP =   0     0   1  0 0 0 Vậy dạng tắc Jordan ma trận A là:    0 J =  0  0 0 0    0   1  Ví dụ 2.1.15 Tìm dạng chuẩn tắc ma trận sau:  i   0   A = 0   0  0 i 0 0 −1    0   0   0  Khai triển laplace ma trận tam giác, đưa đa thức đặc trưng ma trận sau: PA (x) = (x − i)2 (x − 2)3 Nguyễn Thị Ngọc 36 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ta có Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng  i−2 0    i−2   B1 = A − 2I5 =  0    0  −1  (i − 2)2    (i − 2)2   B12 =  0    0  2(i − 2) 0 0 0    0   0   0   0   0 0   0 0   0 0  0 Vậy dimker(B12 ) =    0   B2 = A − iI5 = 0   0  0 0    0 0   2−i 0   − i 0  −1 0 Vậy dimker(B2 ) = Đa thức tối tiểu: mA (x) = (x − i)(x − 2)2 i KerB2 = {(0, 1, 0, 0, 0), ( , −1, 0, 0, 1)} = {(w1 , w2 )} KerB12 = {(0, 0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)} KerB1 = {(0, 0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 0, 1)} KerB1 KerB1 = {(0, 0, 1, 0, 0)} = {v1 } B1 v1 = (0, 0, 0, 0, −1) {v2 } = kerB1 {B1 v1 } = {(0, 0, 0, 1, 0)} Nguyễn Thị Ngọc 37 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Cơ sở Jordan {w1 , w2 , v1 , B1 v1 , v2 } Ma trận đổi sở:  i   −1   P =   0  P −1  0   0 0   0   0 1  −1 0 0 0  − 2i+4      = − 2i+4     0 0 0 0 0 0    0   −1   0  Dạng tắc Jordan  i   0   P −1 AP = 0   0  2.2 2.2.1 0 i 0 0 0    0   0   0  Ứng dụng Tính lũy thừa Thuật toán chéo hóa ma trận A cấp n Bước 1: Lập giải phương trình đặc trưng A: Pφ (λ) = |A − λI| = 0(1) • Nếu (1) vô nghiệm A không chéo hóa • Nếu (1) có m nghiệm λ1 , , λm ứng với số bội k1 , , km với (m ≤ n): Nguyễn Thị Ngọc 38 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng + Nếu m = n tức (1) có n nghiệm phân biệt A chéo hóa + Nếu k1 + + km < n A không chéo hóa + Nếu k1 + + km = n : gọi dim(KGCR(A, λi ) số chiều không gian riêng ma trận (A − λi I) ứng với λi ) Tồn i ∈ 1, , m cho dim(KGCR(A, λi )) < ki A không chéo hóa Tồn i = 1,¯m cho dim(KGCR(A, λi )) = ki A chéo hóa Bước 2: Khi A đủ điều kiện chéo hóa   x  1    x2   • Tìm n vector độc lập tuyến tính A cách giải hệ [A − λi I]    = .   xn ứng với giá trị riêng λi (kể bội) Khi ma trận làm A chéo hóa là:  a  11   a21 P =  · · ·  an1 a12 · · · a22 · · · ··· ··· an2 · · · a1n    a2n    · · ·  ann ( (α1 = (a11 , a12 , , a1n ) , α2 = (a21 , a22 , , a2n ) , , αn = (an1 , an2 , , ann ) n vector riêng vừa tìm được.) • Ma trận dạng chéo (hay ma trận đồng dạng) A là:   λ ···     B =  λ2    0 · · · λn (λi ; (i = 1,¯n) n giá trị riêng (kể bội)) • Hiển nhiên ta A = P BP −1 Bằng quy nạp toán học ta dễ dàng chứng minh At = P B t P −1 (t ∈ N ) Nguyễn Thị Ngọc 39 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Dễ thấy:  λt · · ·   B t =  λt2  0 ···     ; (∀t ∈ N )  t λn Khi đó, việc tính At dễ dàng Ví dụ 2.2.1 Cho    A= −1 Tính Ak với k ∈ N Ta có (A − λI) = ↔ 1−λ −1 2−λ = ↔ (1 − λ)(2 − λ) = ↔ λ = 1; Do A có hai giá trị riêng nên A chéo hóa Ma trận dạng chéo:    B=   x1 Thay λ = 1; vào (A−λI)   = ta có vector viết dạng nghiệm x2 tổng quát α1 = (a, a); α2 = (0, b); a, b ∈ R∗ Cho a = b = 1, ta có hai vector riêng α1 = (1, 1); α2 = (0, 1) Do ma trận làm cho A chéo hóa là:     1  → P −1 =   P = 1 −1 Như         1 1 1    =  = = 1 2k −1 1 2k −1 1 − 2k 2k  Ak = P B k P −1 Nguyễn Thị Ngọc 40 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Ví dụ 2.2.2 Cho       A =  1    −2 −1 Chứng minh An không phụ thuộc vào n với n ∈ N ∗ Giải phương trình đặc trưng A: |A − λI| = 0, ta được: λ = hoặcλ = (bội2) Với λ = 0, ta tìm vector riêng α1 = (1, 1, −2) Với λ = 1, ta tìm hai vector riêng α2 = (1, 0, −1); α3 = (0, 1, 0) Do ma trận làm A chéo hóa được:  1      −1 P = 1 → P   −2 −1   −1 −1     =     1 Ma trận dạng chéo   0     B = 0 0   0 Như An = P B n P −1 = A B n = B Vậy An không phụ thuộc vào n, với n ∈ N ∗ 2.2.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính 2.2.2.1 Hệ phương trình Hệ phương trình vi phân tuyến tính hệ số có dạng: X = AX + F Nguyễn Thị Ngọc 41 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng đó:    a a ··· x (t)  11 12       a21 a22 · · ·  x2 (t)    X=   , A =        an1 an2 · · · xn (t)    φ (t)        φ2 (t)  a2n      , F =         φn (t) ann a1n Bộ n hàm số khả vi thỏa mãn phương trình X = AX + F gọi nghiệm phương trình Khi F = phương trình trở thành: X = AX gọi phương trình Rõ ràng X = nghiệm gọi nghiệm tầm thường phương trình X = AX Ta biết phương trình vi phân tuyến tính bậc y = my có nghiệm y = C · eλ·t Từ đưa đến việc xét nghiệm phương trình X = AX Thay X = C · eλ·t vào phương trình X = AX ta được: λCeλ·t = ACeλ·t Do eλ·t = 0∀t → AC − λC = hay (A − λI)C = Ở đây, I ma trận đơn vị cấp n Từ để tìm nghiệm phương trình X = AX ta cần tìm vector C = từ phương trình (A − λI)C = Giá trị λ thỏa mãn phương trình (A − λI)C = gọi giá trị riêng ma trận A Vector C = tìm gọi vector riêng ứng với λ Ta lại có kết Đại số tuyến tính biết: a) Điều kiện cần đủ để phương trình (A − λI)C = có nghiệm không tầm thường det(A − λI) = b) det(A − λI) đa thức bậc n phương trình det(A − λI) = gọi phương trình đặc trưng ma trận A Giải phương trình đặc trưng ma trận A tìm giá trị riêng, thay vào phương trình (A − λI)C = ta tìm vector riêng tương ứng Như vậy, vấn đề phức tạp hệ phương trình vi phân đưa vấn đề đơn giản Đại số tuyến tính Tập nghiệm phương trình X = AX không gian vector n chiều Do Nguyễn Thị Ngọc 42 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng để tìm nghiệm tổng quát phương trình X = AX ta cần tìm n nghiệm riêng độc lập tuyến tính n nghiệm riêng độc lập tuyến tính gọi tập nghiệm phương trình X = AX nghiệm tổng quát phương trình X = AX tổ hợp tuyến tính n nghiệm Ví dụ 2.2.3 Giải phương trình:   −1     X = 1 −1 X   −1 Ta có   −1     A = 1 −1   −1 1−λ det(A − λI)= −1 1 − λ −1 =-(λ + 1)(λ − 1)(λ − 2) −1 −λ Từ ta có giá trị riêng λ = 2, 1, −1 Với λ = ta có:     c −1 −1    1     (A − λI)C =  −1 −1 · c2  =     c3 −1 Sử dụng phương pháp Gauss ta tìm nghiệm không tầm thường   −1     C =     Từ Nguyễn Thị Ngọc   −1     X1 =   e2t   43 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng nghiệm phương trình Hoàn toàn tương tự: Với λ = ta tìm       C = 1   từ       X2 = 1 et   Với λ = ta tìm   −1     C=    từ   −1     X3 =   e−t   Vì X1 , X2 , X3 độc lập tuyến tính nên:       −1 −1             X = c1 X1 + c2 X2 + c3 X3 = c1   e2t + c2 1 et + c3   e−t       1 2.2.2.2 Hệ phương trình không Trước khảo sát phương trình không X = AX + F , ta nhắc lại phương trình X = AX A ma trận vuông cấp n, X1 , X2 , , Xn nghiệm độc lập tuyến tính phương trình X = AX Khi đó: φ = (X1 X2 Xn ) gọi ma trận sở có tính chất sau: Nguyễn Thị Ngọc 44 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng a) detφ = W (X1 , X2 , , Xn ) (W: định thức Wronski) b) φ =Aφ c)   c  1    c2   c1 X + c2 X + · · · + cn X n = φ    = φC .   cn Từ đó, nghiệm phương trình X = AX φC, sử dụng phương pháp hệ số biến thiên ta viết φ(t)U (t) nghiệm phương trình X = AX + F Do đạo hàm ma trận đạo hàm thành phần nên ta có: (φU ) = φ U + φU Thay X = φU vào phương trình X = AX + F ta thu được: φ U + φU = AφU + F Sử dụng tính chất (2) → φU = F Sử dụng công thức Cramer ta tính U từ tính U Khi nghiệm phương trình là: X = φC + φU Ví dụ 2.2.4 Giải phương trình:     2t e X +   X = 2e2t Ta có:    A= det(A − λI) = (λ − 4)(λ − 1) Nguyễn Thị Ngọc 45 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Từ giá trị riêng λ = 4, suy nghiệm riêng của phương trình     X1 =   e4t ; X2 =   et −1 Do ma trận sở   4t t 2e e  φ= e4t −et Đặt   u1 U =   → φU = F u2 trở thành      4t t 2t 2e e u e    =   e4t −et u2 2e2t Sử dụng công thức Cramer giải phương trình ta thu được:   u1 =e−2t  u =-et →   u1 = −1 −2t e  u2 = −et Vậy nghiệm tổng quát phương trình cho là:         −1 −2t 4t t 4t t 4t t 2t 2e e c 2e e e 2c e + c2 e − 2e   +  =  X = φC+φU =  2t 4t t 4t t t 4t t e −e c2 e −e −e c1 e − c2 e + e Bài tập 2.1 Chứng minh ma trận vuông cấp n: A = (aij ) (trên trường K) có aij = với i ≤ j An = Bài tập 2.2 Nguyễn Thị Ngọc 46 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Cho ϕ ψ hai tự đồng cấu giao hoán K− không gian vector hữu hạn chiều V Chứng minh rằng: a) Nếu ϕ ψ lũy linh ϕ + ψ lũy linh b) Nếu ϕ ψ chéo hóa ϕ + ψ ϕ · ψ chéo hóa Bài tập 2.3 Đưa ma trận sau (trên trường số thực) dạng chuẩn tắc Jordan: a)   −15     A = 11 −5    −6 b)  ··· n 0   n − n   B = n − n − n    ··· ··· ···     ···    ···    · · · · · ·  ··· n Bài tập 2.4 Chứng minh hai ma trận vuông cấp n sau đồng dạng với          · · ·      −1 ··· −1 · · · 0 ··· ··· ··· ··· ··· 0 ··· 0 ···         · · ·  Nguyễn Thị Ngọc 1 ··· 1 ··· ··· ··· ··· ··· 0 47 ···    0   0 ,  · · ·   −1  1    1   1   · · ·  K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng Bài tập 2.5 Hãy mô tả dạng chuẩn tắc Jordan ma trận cấp có đa thức cực tiểu (t + 1)2 (t2 + 2) R Bài tập 2.6 Chứng minh hai ma trận vuông cấp đồng dạng với chúng có đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng Nếu trùng đa thức cực tiểu đa thức đặc trưng có không? Bài tập 2.7 Giải phương trình:   −1     X = 0 2 X   0 Bài tập 2.8 Giải phương trình:    X X = −1 −2 Nguyễn Thị Ngọc 48 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Kết luận Trong trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận, bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, khóa luận trình bày sơ lược kiến thức chuẩn bị có liên quan tập trung nghiên cứu dạng chuẩn tắc Jordan phạm vi Đại số tuyến tính Sau khái niêm có ví dụ minh họa chi tiết Hầu hết, định lý, hệ khóa luận giới thiệu thêm phần chứng minh Cuối chương tập củng cố Đây xem tài liệu tham khảo dành cho người quan tâm đến dạng chuẩn tắc Jordan nói riêng Đại số tuyến tính nói chung Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc 49 Tài liệu tham khảo [1] Phan Hồng Trường, Giáo trình Đại số tuyến tính, Trường ĐHSP Hà Nội 2, 2001 [2] Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 [3] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 [4] Nguồn internet 50 ... nghiên cứu đề tài Nghiên cứu dạng chuẩn Jordan ứng dụng Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng 3.Đối tượng phạm vi nghiên cứu đề tài Dạng chuẩn Jordan ứng dụng quan trọng 4.Giới hạn... bất biến 15 Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng 2.1 2.2 20 Dạng chuẩn tắc Jordan 20 2.1.1 Thuật toán tìm dạng chuẩn tắc Jordan ma trận vuông A 29 2.1.2... chiều chéo hóa U không gian bất biến Chứng minh φ|U chéo hóa Nguyễn Thị Ngọc 19 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội Chương Dạng chuẩn tắc Jordan ứng dụng 2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan Định nghĩa 2.1.1 a) Tự đồng cấu