Họ chuẩn tắc đều và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––– QUÁCH NGỌC TOẢN HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM ––––––––––––––––––––––– QUÁCH NGỌC TOẢN HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - 2015 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tôi, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Phạm Việt Đức Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Tôi xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả QUÁCH NGỌC TOẢN Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ii LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư Phạm Thái Ngun, nơi mà tơi hồn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cô Đặc biệt, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Phạm Việt Đức, người Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè người giúp đỡ chia sẻ với suốt thời gian học tập hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2014 Tác giả QUÁCH NGỌC TOẢN Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iii MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii MỞ ĐẦU Chƣơng 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định lý giải tích phức 1.2 Metric Poincaré số kết liên quan 1.3 Hàm chuẩn tắc họ chuẩn tắc 1.4 Giả khoảng cách Kobayashi không gian phức 11 1.5 Ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian hyperbolic 16 Chƣơng 2: HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1 Họ chuẩn tắc số tính chất 22 2.2 Tổng quát hóa số định lí cổ điển họ chuẩn tắc 26 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn MỞ ĐẦU Vào năm 60 kỉ XX, Kobayashi nhà hình học người Nhật xây dựng lý thuyết không gian phức hyperbolic Trong thời gian gần lý thuyết thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Kiernan, Kobayashi, Kwack Noguchi nghiên cứu thác triển ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức thu kết quan trọng Năm 1995 J.Joseph M.Kwack đưa phương pháp mới, dựa vào tính chất tơpơ khơng gian hàm để chứng minh tổng quát hoá kết Kiernan, Kobayashi, Kwack Noguchi, từ đưa số đặc trưng tính nhúng hyperbolic không gian phức Trong năm 1996, 1997 J.Joseph M.Kwack công bố kết nghiên cứu họ ánh xạ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic không gian phức Các nghiên cứu góp phần thúc đẩy phát triển lý thuyết không gian phức hyperbolic mở hướng nghiên cứu Trong luận văn chúng tơi trình bày số ứng dụng họ chuẩn tắc việc mở rộng định lý Brody, Lohwater Pommerenke, Hahn, Hayman giải tích phức Bố cục luận văn chia thành hai chương Chương I: Một số kiến thức chuẩn bị Nội dung chương trình bày số kiến thức Giải tích phức hyperbolic, hàm chuẩn tắc họ chuẩn tắc đều, hàm độ dài khoảng cách sinh hàm độ dài không gian phức, ánh xạ chỉnh hình vào khơng gian hyperbolic Những kiến thức sở cho việc nghiên cứu chương sau Chương II: Họ chuẩn tắc ứng dụng Là nội dung luận văn Trong chương này, nghiên cứu số tính chất quan trọng họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn đa tạp hyperbolic Những kết có ý nghĩa quan trọng việc tổng quát hóa số định lý cổ điển Brody Lohwater Pommerenke, Lehto Virtanen, Hahn, Zaidenberg Cuối chương, giới thiệu khái niệm số kết ánh xạ chuẩn tắc họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình nhiều tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số định lý giải tích phức Với X , Y khơng gian phức, kí hiệu H  X ,Y   C  X ,Y   không gian ánh xạ chỉnh hình (liên tục) từ X vào Y Ta sử dụng H  X   C  X   thay cho H  X ,    C  X ,    Tất không gian hàm trang bị tơpơ compact mở Hình cầu Riemann biểu thị P1    1.1.1 Định lý (Định lý thác triển Riemann) Một hàm chỉnh hình bị chặn xác định đĩa thủng f D*   z   :0  z  1 thác triển thành hàm chỉnh hình f xác định đĩa D   z   : z  1 1.1.2 Định lý (Định lý Liouville) Một hàm nguyên bị chặn hàm 1.1.3 Định lý (Bổ đề Hurwitz) Cho U miền  cho f  k dãy H U , P1     a mà hội tụ tới f  H U , P1     Khi f f  H U , P1     a 1.1.4 Định nghĩa Một họ hàm chỉnh hình F xác định miền U   gọi chuẩn tắc dãy F chứa dãy hội tụ H U  dần đến  Bổ đề Hurwitz chứng tỏ tính chuẩn tắc họ F  H U  tương đương với tính compact tương đối họ xem họ tập H U , P1     Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 1.1.5 Định nghĩa Cho X , Y không gian tô pô Một họ F  C  X ,Y  gọi liên tục đồng từ p  X tới q  Y tập mở U Y quanh q , tồn tập mở V ,W X , Y quanh p, q tương ứng cho:  f  F : f  p   W   f  F : f V   U  Nếu F liên tục đồng từ p  X tới q  Y ta nói F liên tục đồng (từ X tới Y ) Ta có định lý Ascoli-Arzelà sau: 1.1.6 Định lý Cho X khơng gian compact địa phương quy cho Y khơng gian quy Khi F  C  X ,Y  compact tương đối C  X ,Y  khi:  a  F liên tục đồng  b  F  x    f  x  : f  F  compact tương đối Y với x  X 1.1.7 Định lý Cho Y ,  không gian metric compact địa phương Cho X không gian tô pô  giả metric X mà liên tục X  X Nếu F  C  X ,Y  Lipschitz ứng với   , F compact tương đối C  X , Y   , Y  compact hóa điểm Y 1.1.8 Định lý (Định lý Montel) Một họ bị chặn địa phương F hàm chỉnh hình xác định miền U   compact tương đối H U  1.2 Metric Poincaré số kết liên quan Nhóm tự đẳng cấu A D  đĩa D cho T  z   ei za , a  D  az Khoảng cách hyperbolic d D metric Poincaré Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn  dz 1 z bất biến A D  thỏa mãn: d D  z ,    inf      đường cong nối z  Tiếp theo bổ đề Schwarz-Pick sau chứng tỏ H  D, D  giảm khoảng cách khoảng cách hyperbolic 1.2.1 Định lý (Bổ đề Schwarz-Pick [22]) Với f  H  D, D  , ta có: f  z   f    f  z  f    z   z ; z,  D f '  z 1 f  z  1 z ; z D trừ tự đẳng cấu 1.2.2 Định lý (Định lý Montel [5]) Cho M miền  Khi họ H  M ,   0,1 họ chuẩn tắc, tức compact tương đối H  M , P1     1.2.3 Định lý (Định lý Picard bé [5]) Mỗi hàm f  H   ,   0,1 hàm 1.2.4 Định lý (Định lý Picard lớn [5]) Mỗi ánh xạ f  H  D* ,   0,1  thác triển thành f  H  D, P1     Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 27 (2) Một ánh xạ h  C ( ,Y  ) gọi giới hạn Brody F có dãy Brody hn  F cho hn  h tập compact  Khi X không gian phức compact tương đối không gian phức Y , dãy Brody F , trùng với đường cong chỉnh hình Zaidenberg giới hạn Brody trùng với ánh xạ F - giới hạn Zaidenberg Ta có nhận xét sau: 2.2.3 Nhận xét Cho X , Y không gian phức cho mn  H ( D, Dn ) phép nhân với n Khi g n  f n  n  mn  F  H ( D, X ) mn1  H ( Dn , D) Vì fn  n  gn  mn1 , nến dãy Brody F  H ( D, X ) dãy Brody F ngược lại Mỗi ánh xạ f  H ( , P1 ( )) coi giới hạn Brody cách sử dụng ánh xạ bao hàm in  H ( Dn ,  ) Định lý 2.2.4 sau xem khái quát định lý Picard bé 2.2.4 Định lý Cho M đa tạp phức cho F  H ( M ,Y ) họ chuẩn tắc Khi (1) Mỗi dãy Brody F có dãy mà hội tụ đến giới hạn Brody F tập compact  ; (2) Mỗi giới hạn Brody F ánh xạ Chứng minh Trước hết chứng minh định lý với giả thiết M khơng gian hyperbolic Khi định lí suy từ Nhận xét 2.2.3 Từ (3) Định lý 2.1.13 suy có hàm độ dài E Y cho F giảm khoảng cách k M d E Đối với (1) , m số nguyên dương  f n  gn  dãy Brody F f  F g n  H ( Dn , M ) ,  fn  gn : n  m giảm khoảng cách từ k Dm đến d E , Định lý 1.1.5, chương tập compact tương đối C( Dn ,Y  ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 28 Đối với (2), giả sử n  dãy Brody F với giới hạn Brody  Nếu p, q   ( p), (q)  Y , với n đủ lớn có dE (n ( p)),n (q)  kDn ( p, q) Từ kDn ( p, q) 0 ta có  ( p)   (q) Nếu  ( p)   , tính liên tục  tính liên thơng  kéo theo  (q)    (C )  Y có nhiều điểm Từ Nhận xét 2.2.3 ta suy điều phải chứng minh Định lý sau khái quát định lý Lohwater Pommerenke hàm chuẩn tắc định lý Hahn ánh xạ chuẩn tắc mà có miền giá trị Pn ( ) 2.2.5 Định lý Cho Y không gian phức cho F  H ( D,Y ) Khi F khơng chuẩn tắc với hàm độ dài E Y có dãy  fn  F,  pn D , rn  (0, ) ,  n   [1/4,1] , n  thỏa mãn điều kiện sau: (1) rn  0, rn / ( n  pn )  0; (2) n  H ( Ds , D) n xác định n ( z )  pn  zrn , sn   n  pn  / rn ; (3) fn  n  g  C( ,Y  ) ; (4) limsup E ((d ( f n  n )) z (e))  cho z   E ((d ( f n  n ))0 (e))  Hơn nữa, ánh xạ g (3) ánh xạ g ( )  Y   Chứng minh Điều kiện đủ hệ Định lý 2.2.4 Đối với điều kiện cần, giả sử F chuẩn tắc cho E hàm độ dài Y Khi có dãy  zn  D ,  f n  mãn (df n ) zn   Định nghĩa  n  bởi:  / z 1 n   n2   2  2 zn / (1  zn ) zn  Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn F thỏa 29 Khi  n thỏa mãn điều kiện sau đây: (1)  n2  [1 / 4,1); zn   n ; (1  zn /  n )  (1  zn ) / giả sử 2 (2) (1  zn /  n ) E (( df n ) zn (e))   Đặt   M n  max (1  z /  n ) E ((df n ) z (e)) : z   n ; Giả sử M n đạt pn , rn  1/ E((df n ) pn (e)) Chúng ta thấy rn /  n  pn   , giả sử Mn   rn /  n  pn   Đặt sn   n  pn  / rn định nghĩa n  H ( Dsn , D)  n ( z )  pn  zrn Bây giả sử r  sn  r Với z  Dr e vecto đơn vị Tz ( D) ta có E((d ( f n  n ) z (e))  rn E((df n )n ( z ) (e))  p  zrn  rn M n 1  n  n   rn r  1    n  pn    1     1  rn r 1    n  pn biểu thức bên phải đẳng thức cuối dần đến Do    1  fn  n liên tục đồng Dr ứng với metric Euclide Dr d E Y Theo Định lý 1.1.5, Chương 1, ta có  f n  n  tập compact tương đối C( Dn ,Y  ) giả thiết fn  n  g  C( ,Y  ) Từ điều kiện (1); (2); (3) thỏa mãn với  fn;  pn; rn n  Dễ dàng thấy E ((d ( f n  n ))0 (e))  Do (4) chứng minh Vậy Định lý chứng minh Hệ 2.2.6 suy từ Định lý 2.2.5 Mệnh đề 2.1.10 2.2.6 Hệ Cho M , Y không gian phức cho F  H ( M ,Y ) Khi F khơng chuẩn tắc với hàm độ dài E Y , có dãy Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 30 Brody gn  F với giới hạn Brody g cho lim E ((dg n )0 (e))  Hơn g ( )  Y   , g không ánh xạ Hệ 2.2.7 khái quát Định lý 2.2.1 Brody định lý đảo H ( D, X ) họ chuẩn tắc H ( D, X ) X nhúng hyperbolic Y 2.2.7 Hệ Cho M , Y không gian phức cho F  H ( M ,Y ) thỏa mãn F ( x)   f ( x) : f  F compact tương đối Y với x  M Khi F không chuẩn tắc tồn giới hạn Brody khác F Định lý 2.2.8 sau đặc trưng họ chuẩn tắc ngôn ngữ dãy Brody 2.2.8 Định lý Nếu X , Y không gian phức F  H ( X , Y ) mệnh đề sau tương đương; (1) F họ chuẩn tắc (2) Có hàm độ dài E Y cho dg E  với g  F  H ( D, X ) (3) Có hàm độ dài E Y cho E ((dhn )0 (e))  với dãy Brody h  n F (4) Có hàm độ dài E Y cho E ((dhn )0 (e))  với dãy Brody h  n F với giới hạn Brody Chứng minh (1)  (2) suy từ Định lý 2.1.13 (2)  (3) Giả sử E hàm độ dài thỏa mãn (2) Nếu  f n  n  dãy Brody F ta có: E ((d ( f n   n ))0 (e))  K D  e   n n với n từ suy (3) (3)  (4) Hiển nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 31 (4)  (1) Được suy từ Hệ 2.2.6 Định lý chứng minh Một không gian phức Y gọi hyperbolic Brody f  H ( , Y ) ánh xạ Một không gian phức hyperbolic hyperbolic Brody chiều ngược lại Brody chứng minh không gian phức compact hyperbolic hyperbolic Brody Ta nhận xét Y hyperbolic Brody giới hạn Brody H ( D, Y ) với giá trị Y Các Hệ 2.2.9-2.2.11 đưa đặc trưng cho không gian hyperbolic nhúng hyperbolic ngôn ngữ dãy Brody 2.2.9 Hệ Một không gian phức Y hyperbolic có hàm độ dài E Y cho E ((df n )0 (e))  với dãy Brody f  n H ( D, Y ) với giới hạn Brody g  C ( ,Y  ) Ta lưu ý giới hạn Brody phải 2.2.10 Hệ Một không gian phức Y không gian phức Z nhúng hyperbolic Z có hàm độ dài E Z cho E ((df n )0 (e))  với dãy Brody  f n  H ( D, Y ) với giới hạn Brody g  C ( , Z  ) Ta lưu ý giới hạn Brody phải 2.2.11 Hệ Cho X không gian phức F  H ( X ) Khi mệnh đề sau tương đương: (1) F họ chuẩn tắc xem tập H ( X ) (2) F họ chuẩn tắc xem tập H ( X , P1 ( )) (3) Mỗi giới hạn Brody g  H ( , P1 ( )) F ánh xạ (4) Mỗi giới hạn Brody g  H ( ) F ánh xạ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 32 Chứng minh Tương tự Định lý 2.2.8 Bổ đề Hurwitz Hệ chứng minh Tiếp theo ta mở rộng Định lý 1.3.10, chương Hayman họ chuẩn tắc lấy giá trị  xác định không gian phức Nếu X không gian phức, f  H ( X ) x  X kí hiệu max 1, f ( x)   ( f , x) Rõ ràng kết luận định lý 1.3.10, chương thay tồn c  phụ thuộc vào F cho:  ( f , z )    ( f ,0) (1 z )/(1 z )  2c z  exp    z   với f  F z  D 2.2.12 Định lý Cho X không gian phức F  H ( X ) Khi mệnh đề sau tương đương: (1) F chuẩn tắc (2) Tồn c  cho với f  F , x, y  X bất đẳng thức sau thỏa mãn  ( f , x)    ( f , y )  exp[( k X ( x , y )] exp[c[exp[(2k X ( x, y)]  1]] (3) Tồn c  cho với f  F , x, y  X bất đẳng thức sau thỏa mãn log(c ( f , x))  [exp[(2k X ( x, y )]  1]]log(c ( f , y )) (4) Tồn c  cho với f  F , x  X   Q  X bất đẳng thức sau thỏa mãn log(c ( f , x))  [suplog(c ( f , y))exp[(2k X ( x, Q)] yQ (5) Tồn c  cho với f  F , x, y  X bất đẳng thức sau thỏa mãn c ( f , x)  [c ( f , y)]exp[(2 k X ( x, y ) (6) Tồn c  cho với f  F ,  H ( D, X ), x, y  D bất đẳng thức sau thỏa mãn c ( f  , x)  [c ( f  , y)]exp[(2k D ( x, y ) Chứng minh (1)  (2) Chúng ta thấy F  H ( D, X ) chuẩn tắc bất biến, chuẩn tắc theo ý nghĩa Montel Hayman ([13], trang 165) với họ chuẩn tắc bất biến H ( D) , có c  cho Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 33 với g  F  H ( D, X ) , ta có g ' (0)  0 (log 0  c) 0  max 1, g (0)  Với z  D xác định  z  A( D )  z  w   w  z  / 1  zw Khi với g  F  H ( D, X ) có: (1  z ) g '( z )  ( g  z )'(0)  2 z (log  z  c)  z  max 1, g (z)  Giả sử x, y  X , f  F   Tồn số nguyên j  1,1,2 , , j  H ( D, X ) a1, a2 , , a j  (0,1) thỏa mãn: 1 (0)  y, i (ai )  i 1 (0) với i  1, j   j (a j )  x k i D (0, )  kX ( x, y)   / Ta giả sử f ( x)  gi ( 0,   D gi (0, )    D, gi  f  i Đặt I  {i : gi (0, )    D} Với i  I , ta có: gi' ( z ) gi ( z ) (log gi ( z )  c)  1 z với z  [0, ] ; Do với i  I , ta có:  log gi (ai )  c  log    2k D (0, ) log g (0)  c i   Nếu 1 I thì:  log f ( x)  c  log    2k X ( x, y)   log f ( y )  c   Nếu 1 I , gọi  phần tử nhỏ I Khi g (0)   log f ( x)  c  log    k X ( x, y )   log g (0)  c    Từ ta suy (2) (2)  (3) Thay c log c kết luận (2) ta có điều phải chứng minh (3)  (4) Nếu   Q  X x  X , gọi  yn  dãy Q cho d X ( x, yn )  d X ( x, Q) Khi (4) hiển nhiên (4)  (5) Hiển nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 34 f  F ,  H ( D, X ) ( x, y )  D ta có, từ (5), (5)  (6) Nếu c ( f  , x)  c ( f , ( x))  [c( f ,( y)]exp[(2k X ( ( x ), ( y ))]  [c( f ,( y)]exp[2 k D ( x , y )] (6)  (1) Theo Mệnh đề 2.1.10 tính D , ta cần chứng tỏ  f n  n  dãy F H ( D, X ) , tương ứng dãy  f   n n hội tụ lân cận V đến g  C(V ,Y  ) Nếu với tập compact K  Y lân cận V 0, f n  n (V )  K   ta có điều phải chứng minh Ngược lại ta giả sử dãy  zn  D1/ cho  f   ( z ) n n n bị chặn Khi có c  cho, với z  D1/2 , c ( fn  n , z)  [c ( f  n , zn )]exp[(2d D ( z , zn )]  f n  n  bị chặn D1/ Định lý chứng minh Trong hệ sau áp dụng (2) Định lý 2.2.12 để mở rộng Bổ đề Bohr (1.3.11, chương 1) ánh xạ chỉnh hình nhận giá trị  xác định không gian phức 2.2.13 Hệ Cho X không gian phức B  X , f  H ( X ) thỏa mãn: (1) B bị chặn với giả khoảng cách k X (2) sup xB f ( x)  (3)  f ( B) Khi tồn r  độc lập với f cho: w   : r  w  2r  f ( X ) w   : 4r  w  5r  f ( X ) Chứng minh Ta có H ( X ,   {0,1}) họ chuẩn tắc H ( X ) Theo Định lý 2.2.12(2), chọn c  cho:  ( p)  exp[c[exp(2k X ( p, q))  1]] với p, q  B,  H ( X , C  {0,1}) cho  (q)  1; Đặt A  exp[c[exp(2sup k X ( x, y))  1]] x , yB r  (7 A  2)1 Giả sử w1 w   : r  w  2r  f ( X ), w2 w   : 4r  w  5r  f ( X ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 35 xác định   H ( X ,   {0,1})  ( p)  ( f ( p)  w1 ) / ( w2  w1 ) Khi có q  B cho f (q)  ;  (q)  với p  B ,  ( p)  A f ( p)   ( p)(w2  w1 )  w1  A( w2  w2 )  w1  (7 A  2)r  Điều mâu thuẫn Vậy Hệ chứng minh 2.2.14 Chú ý (1)  (3)  (4)  (1) Định lý 2.2.10 Zaidenberg [35] chứng minh họ chuẩn tắc xác định đa tạp phức Trong Định lý sau cho ta mở rộng Định lý 1.3.5(Đinh lý điểm), chương Lappan [25] Ta mở rộng định lý họ chuẩn tắc từ không gian phức tùy ý vào Pn ( ) trước hết cách mở rộng định lý với họ xác định đa tạp hyperbolic sau sử dụng Mệnh đề 2.1.10 Mệnh đề 2.1.6 Ta nói g  H ( m , P n ( )) suy biến g ( m )   siêu phẳng  Pn ( ) 2.2.15 Định lý Cho M đa tạp hyperbolic,  tập hợp có 2n  siêu phẳng vị trí tổng quát Pn ( ) cho A     Khi F  H (M , P n(  )) chuẩn tắc hai điều kiện sau thỏa mãn:   (1) sup (df ) p : p   F f 1 ( A)  , (2) Mỗi giới hạn suy biến Brody F Chứng minh Điều kiện cần suy từ (3) Định lý 2.1.13 Định lý 1.3.4, tất hàm độ dài Pn ( ) tương đương Để chứng minh điều kiện đủ ta chứng tỏ điều kiện (2) F không chuẩn tắc điều kiện (1) sai Nếu  siêu phẳng Pn ( ) , gọi T phiến hàm tuyến tính  n1 mà  hạt nhân Nếu  tập siêu phẳng vị trí tổng quát Pn ( ) ta nói ánh xạ khơng suy biến g  H ( , P n ( )) rẽ nhánh toàn thể  với   ta có: (T  g )'( )  T  g ( )  Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 36 Bổ đề: Cho   {1, , q } tập hợp tùy ý siêu phẳng vị trí tổng quát Pn ( ) Nếu g  H ( , P n ( )) rẽ nhánh tồn thể  , q  2n  Từ Pn ( ) compact F khơng chuẩn tắc đều, nến có giới hạn Brody khác g  H ( , P n ( )) F (theo (3) Định lý 2.2.4) Giả sử  fk , k  dãy thỏa mãn f k  F ,  k  H ( Dk , M ) , f k  k  g Từ (2) suy g không suy biến từ Bổ đề trên, ta có g rẽ nhánh tồn thể   với   Chọn hệ tọa độ  w, , w P  n n ( ) cho  xác định  w  Nếu g k  f k  k ta biểu diễn g g k tọa độ  g , , g  g , , g   n  n k k tương ứng, s g s g k chỉnh hình  gk   g Phương trình  g ( z)  có nghiệm z0   mà  g '( z0 )  dó, E hàm độ dài P n ( ) , ta có E((dg ) z0 (e))    Theo Bổ đề Hurwitz, có dãy  zk   cho zk  z0 ,  gk ( zk )  E((dg ) zk (e))   Cho pk   k ( zk ) Ta suy ra: (df k ) pk  z  E ((dg k ) zk (k 1  k  k    z  e))  k 1  k k     E (( dg k ) zk (e)),  (df k ) pk   Vì pk  fk1 ( )  fk1 ( A), điều kiện (1) không xảy Vậy định lý chứng minh Bây ta chứng minh tổng quát hóa Định lý Lappan 2.2.16 Định lý Cho X không gian phức, cho  tập hợp gồm 2n  siêu phẳng vị trí tổng quát Pn ( ) cho A     Khi F  H ( X , P n ( )) chuẩn tắc hai điều kiện sau thỏa mãn: (1) sup (df   )0 :   H ( D, X ), (0)   F f 1 ( A)   , (2) Mỗi giới hạn suy biến Brody F Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 37 Chừng minh Từ Định lý 2.2.15 Mệnh đề 2.1.10 thấy F chuẩn tắc hai điều kiện sau thỏa mãn:   (1 ) sup (dg ) p : g  F  H ( D, X ), p   g 1 ( A)   , (2 ) Mỗi giới hạn suy biến Brody F  H ( D, X ) Các điều kiện (1 ) (2 ) tương đương với điều kiện (1) (2) theo Định lý 2.1.8 đẳng thức sau:  (dg ) p  : g  F  H ( D, X ), p   g 1 ( A)   (d ( f   ))0 :   H ( D, X ), (0)   F g 1 ( A) Từ suy định lý chứng minh 2.2.17 Hệ Cho X không gian phức Khi F  H ( X , P ( )) chuẩn tắc khi:   sup ( df   ) :   H ( D, X ), (0)   f 1 ( A)   F A  P ( ) có nhiều phần tử (2 phần tử hữu hạn F  H ( X )) 2.2.18 Hệ Cho M đa tạp hyperbolic Khi F  H (M , P ( )) chuẩn tắc khi:   sup (df ) p : p   f 1 ( A)   F A  P ( ) có nhiều phần tử (2 phần tử hữu hạn F  H (M )) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, chúng tơi trình bày kết họ chuẩn tắc đều, số tính chất bản, định lý mở rộng định lý Brody, Lohwater Pommerenke, Hahn Hayman giải tích phức Cụ thể kết luận văn đạt là: Trình bày số tiêu chuẩn họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình đa tạp hyperbolic khơng gian phức tùy ý  Trình bày việc tổng quát hóa định lý cổ điển Lehto – Virtanen, Aladro – Krantz, Lohwter Pommerenke họ chuẩn tắc đa tạp hyperbolic  Trình bày khái quát định lý Lohwater Pommerenke hàm chuẩn tắc định lý Hahn ánh xạ chuẩn tắc mà có miền giá trị Pn ( )  Trình bày việc mở rộng bổ đề Bohr ánh xạ chỉnh hình khơng gian phức tùy ý  Trình bày việc mở rộng định lý – điểm lappan họ chuẩn tắc ánh xạ chỉnh hình từ khơng gian phức tùy ý vào không gian ánh xạ ảnh phức n chiều P n ( ) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức gian hyperbolic, Nhà xuất Đại học sư phạm Tiếng Anh [2] M Abate (1993), A characterization of hyperbolic manifolds, Proc AMS 117, 789-793 [3] G Aladro (1987), Applications of the Kobayashi meric to normal functions of several complex variables, Utilitas Math 31, 13-24 [4] G Aladro and S G Krantz (1991), A criterion for normality in C n , J Math Anal and Appl 161, 1-8 [5] C Caratheodory (1954), Theory of Function, vol II Chelsea, New York [6] J A Cima and S.G Krantz (1983), The Lindelof principle and normal functions of several complex variables, Duke Math, Jour 50, 303-328 [7] E F Collingwood and A J Lohwater (1996), The Theory of Cluster Sets, Cambridge University Press, London [8] K Funahashi (1984), Normal holomophic mappings and classical theorem of function theory, Nagoya Math J 94, 89-104 [9] M L Green (1977), The hyperbolicity of the complement of 2n+1 hyperplanes in general position in Pn , and related results, Proc AMS 66, 109-113 [10] K T Hahn (1986), Higher dimensional generalizatons of some classical theorems on normal meromorphic functions, Complex Variables 6, 109-121 [11] K T Hahn (1988), Non – Tangential limit theorems for normal mappings, Pac J Math 135, 57-64 [12] K T Hahn (1987), Boundary behavior of normal and nonnormal holomorphic mappings, Proc KIT Math Workshop, Analisic and Geomery, KIT MTH Research Center, Tae, Korea Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 40 [13] K T Hahn (1989), Hyperbolicity of the complement of closed subsets in a compact Hermitian manifold Complex Anal and Appl.’87, Sofa, pp, 211-218 [14] W K Hayman (1964), Meromorphic Functions, Oxford Univ, Press, Oxford [15] E Hille (1962), Analytic Function Theory, vol II Ginn, Lexington, MA [16] P Jarvi (1988), An Extension theorem for normal function in several variables, Proc AMS 103, 1171-1174 [17] J E Joseph and M H Kwack (1994), Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extentions of holomorphic maps, Jour Geom Analysis 4, No 3, 343-362 [18] J E Joseph and M H Kwark (1996), Some classical theorems and families of normal maps in several complex variables, Complex Variables 29, 343-362 [19] J L Kelley (1995), General Topology, Van Nostrand, Princeton, N J [20] P Kiernan (1972), Extentions of Holomophic maps, Trans Amer Math Soc 172, 347-355 [21] P Kiernan (1973), Hyperbolically imbedded spaces and the big Picard theorem Math Ann 204, 203-209 [22] S Kobayashi (1970), Hyperbolically Manifolds and Holomorphic Mappings Marcel Dekker, New York [23] S Kobayashi (1993), Relative intrinsic distance and hyperbolic imbedding, Symposia Mathemarica, Proceedings of “Recent Analysic in Differetinal Geometry” Pisa 36 [24] S G Kranzt (1993), Geometric Anlysic and Function Spaces, CBMS, Amer Math Soc 81, Providence, RI [25] M H Kwack (1996), Families of normal maps in several complex variables and classical theorems in complex analysis, Lecture Notes Ser, 33, Seoul National University, Seoul [26] S Lang (1987), Introduction to Complex Hyperbolic Space, Springer – Verlag, N.Y Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 41 [27] P Lappan (1974), A criterion for a meromorphic function to be normal, Comment Math Helvetici 49, 47-65 [28] O Lehto and K I Virtanen (1957), Boundary behaviour and normal meromophic functions, Acta Math 97, 47-65 [29] A J Lohwater and Ch Pommerenke (1973), On normal meromophic functions, Ann Acad Sci Fenn Ser AI 550 [30] J Noguchi (1985) Hyperbolic fiber space and Mordell’s conjecrure over function fields, Publ Research Institute Math Sciences Kyoto Universty 21, no 1, 27-46 [31] J Noguchi (1988) Moduli space of holomorphic mappings into hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent Math 93, 15-34 [32] K Noshiro (1938) Contributions to the theory of meromophic functions in the unit circle, J Fac Sci Hokkaido Univ 7, 149-159 [33] H Royden (1971) Remarks on the Kobayashi metric, Proc Maryland Conference on Several Complex Variables Lecture Notes, Vol 185, Springer-Verlag, Berlin [34] J L Schiff (1993) Normal Famillies, Universitext, Springer-Verlag, New York [35] R M Timoney (1978) A necessary and sufficient condition for Bloch functions, Proc AMS 71(2), 263-266 [36] H Wu (1967) Normal familiesof holomorphic mappings, Acta Math 119, 193-233 [37] M G Zaidenberg (1992) Schottky- Landau growth estimates for snormal families of holomophic mappings Math An 293, 123-141 [38] M G Zaidenderg (1983) Picard theorem and hyperbolicity, Siberian Math J 24, 858-857 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn ... xạ chỉnh hình vào khơng gian hyperbolic 16 Chƣơng 2: HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1 Họ chuẩn tắc số tính chất 22 2.2 Tổng quát hóa số định lí cổ điển họ chuẩn tắc 26 KẾT... chứng minh Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn 22 Chƣơng HỌ CHUẨN TẮC ĐỀU VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Họ chuẩn tắc số tính chất Trong phần chúng tơi mở rộng khái niệm ánh xạ chuẩn tắc. .. hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn  D  z1 , z2   Rõ ràng họ chuẩn tắc chuẩn tắc Nhưng điều ngược lại chưa hẳn Tuy nhiên, họ chuẩn tắc bất biến họ chuẩn tắc 1.3.7 Định