Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

4.Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng chuẩn Jordan.. 6.Kết cấu của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

Phạm Thanh Tâm

Hà Nội – Năm 2016

Mục lục

1.1 Ánh xạ tuyến tính 6

1.1.1 Các định nghĩa 6

1.1.2 Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính 10

1.2 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính 11

1.2.1 Giá trị riêng và vector riêng, đa thức đặc trưng 11

1.2.2 Không gian con bất biến 15

2 Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng 20 2.1 Dạng chuẩn tắc Jordan 20

2.1.1 Thuật toán tìm dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận vuông A 29 2.1.2 Các ví dụ 30

2.2 Ứng dụng 38

2.2.1 Tính lũy thừa 38

2.2.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính 41

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của khoá luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, tạođiều kiện để em có thể hoàn thành khóa luận này

Qua đây em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hìnhhọc và các thầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo

em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đãluôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vừa qua

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Ngọc

Lời cam đoan

Em xin cam đoan bài khóa luận là kết quả của quá trình làm việc nghiêm túc, sự cốgắng, nỗ lực từ bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.SPhạm Thanh Tâm

Trong quá trình thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả

đã nêu trong mục tài liệu tham khảo

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Ngọc

Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầygiáo Th.S Phạm Thanh Tâm tôi đã chọn đề tài "Dạng chuẩn tắc Jordan và ứngdụng".

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu về dạng chuẩn Jordan và ứng dụng

3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Dạng chuẩn Jordan và những ứng dụng quan trọng của nó

4.Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng chuẩn Jordan

5.Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liênquan, phân tích, tổng hợp

6.Kết cấu của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm haichương:

Chương1: Kiến thức cơ sở

Chương2: Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng

Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót

Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô vàcác bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016

Sinh viênNguyễn Thị Ngọc

Cho V ,W là hai không gian vector trên trường K.

Ánh xạ φ : V −→ W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:

φ(~α + ~β) = φ(~α) + φ(~β)

φ(k~α) = kφ(~α)với mọi ~α, ~β ∈ V và mọi k ∈ K Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu tuyếntính, hay một cách vắn tắt là đồng cấu

Kí hiệu: Hom(V, W ) là tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W

Ví dụ 1.1.2

a) Ánh xạ không 0 : V −→ W cho bởi: 0(~α) = ~0, ∀~α ∈ V là một ánh xạ tuyếntính

b) Ánh xạ đồng nhất idV : V −→ W mà idV(~α) = ~α, ∀~α ∈ V là một ánh xạ tuyếntính

c) Ánh xạ đạo hàm dxd : R[x] −→ R[x] cho bởi:

với λ ∈ K và φ : V −→ W là ánh xạ tuyến tính, ta gọi là tích của ánh xạ φ với

vô hướng λ là một ánh xạ, kí hiệu là λφ xác định bởi:

λφ : V −→ W

~

α 7−→ (λφ)(~α) = λφ(~α)

Định lý 1.1.4

Giả sử V là một không gian vector n− chiều Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính

từ V vào W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của nó trên một cơ sở Nói rõ hơn,giả sử (ε) = { ~ε1, ~ε2, , ~εn} là một cơ sở của V còn (β) = { ~β1, ~β2, , ~βn} là n vectornào đó của W Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính φ : V −→ W sao choφ(~εi) = ~βi, i = 1, 2, , n

Chứng minh

• Sự tồn tại:

Nếu ~α = x1ε~1 + x2ε~2 + · · · + xnε~n ∈ V , ta đặt:

φ(~α) = x1β~1+ x2β~2+ · · · + xnβ~n∈ W

Định nghĩa 1.1.5.

Cho φ : V −→ W là ánh xạ tuyến tính trên trường K khi đó:

• φ là một đơn cấu nếu φ là đơn ánh

• φ là một toàn cấu nếu φ là toàn ánh

• φ là một đẳng cấu nếu φ là song ánh

Nếu có một đẳng cấu φ : V −→ W thì ta nói rằng V đẳng cấu với W và viết V ∼= W Định lý 1.1.6

Cho V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều trên trường K Khi đó Vđẳng cấu với W khi và chỉ khi dimV = dimW

Chứng minh

Giả sử V đẳng cấu với W, khi đó có một đẳng cấu φ : V −→ W Tức là, nếu{ ~ε1, ~ε2, , ~εn} là một cơ sở của V thì hệ {φ( ~ε1), φ( ~ε2), , φ( ~εn)} là một cơ sở của W.Thật vậy:

Giả sử ~β là một vector bất kỳ trong V, khi đó tồn tại ~α ∈ W để ~β = φ(~α) Tức là,nếu có ~α =Pn

Giả sử V , W là những K - không gian vector hữu hạn chiều, (e) = { ~e1, , ~en}

là một cơ sở của V , (ε) = { ~ε1, , ~εm} là một cơ sở của W Ánh xạ tuyến tính

φ : V −→ W được xác định duy nhất bởi một hệ vector φ(e) = {φ( ~e1), , φ( ~en)}.Các vector φ( ~ej) lại biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở (ε) = { ~ε1, , ~εm}của W

cơ sở (e) và (ε) Mọi ~α có tọa độ (x1, , xn) trong cơ sở (e), viết dưới dạng cột:

Giả sử φ : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính Ta gọi:

a) Kerφ = φ−1(~0) = {~x|φ(~x) = ~0} của V được gọi là hạt nhân (hay hạch) của φ Sốchiều của kerφ gọi là số khuyết của φ

b) Imφ = φ(V ) = {φ(~x)|~x ∈ V } của W được gọi là ảnh của φ Số chiều của Imφgọi là hạng của φ và kí hiệu là rankφ

Định nghĩa 1.1.9

Ta gọi ánh xạ tuyến tính từ không gian vector V vào chính nó là một tự đồng

cấu của V Một tự đồng cấu của V đồng thời là một đẳng cấu được gọi là một tựđẳng cấu của V

Không gian vector tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V )

Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của V được kí hiệu là GL(V )

Định nghĩa 1.1.10

Cho φ ∈ End(V ) Gọi A = (aij)m×n là ma trận của φ trong một cơ sở nào đócủa V Ta gọi:

a) Det A là định thức của tự đồng cấu φ và kí hiệu là det φ

b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là vết của φ, kí hiệu

Ta cũng gọi số này là vết của ma trận A, kí hiệu là trA

1.2.1 Giá trị riêng và vector riêng, đa thức đặc trưng.

Định nghĩa 1.2.1

Số thực λ được gọi là giá trị riêng của tự đồng cấu tuyến tính φ nếu tồn tại mộtvector ~v 6= ~0 sao cho: φ(~v) = λ~v Khi đó ~v được gọi là vector riêng của φ ứng với giátrị riêng λ

Đa thức đặc trưng của φ, kí hiệu là Pφ(t), được định nghĩa là định thức của ánh

xạ φ − t · id, trong đó id là ánh xạ tuyến tính đồng nhất

Định lý 1.2.4

Số thực λ là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trưng

Pφ(t)

Chứng minh

Giả thiết Pφ(t) = 0 Cố định một cơ sở (e) = { ~e1, , ~en} của V và kí hiệu A là

ma trận của φ, [x] là tọa độ của ~x theo cơ sở này Khi đó det(A − λIn) = 0 Từ đó

hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

(A − λIn)[x] = 0

có nghiệm không tầm thường Nghiệm của hệ này chính là vector riêng của φ ứngvới giá trị riêng λ

Ngược lại, giả sử ~v 6= ~0 là nghiệm của hệ

(A − λIn)[x] = 0 ↔ A[v] − λ[v] = 0 ↔ A[v] = λ[v]

Suy ra λ chính là giá trị riêng của φ

Nhận xét 1.2.5

Để tìm giá trị riêng và vector riêng của một tự đồng cấu φ ta làm như sau:Bước 1: Tìm ma trận A của φ trong một cơ sở tùy ý (e) = { ~e1, , ~en} của V Bước 2: Tính đa thức đặc trưng det(A − XEn)

Bước 3: Giải đa thức bậc n đối với ẩn X:

det(A − XEn) = 0

Bước 4: Giả sử λ là một nghiệm của phương trình đó Giải hệ phương trình tuyến

tính thuần nhất suy biến:

an1x1+ an2x2+ · · · + (ann− λ)xn = 0

Giả sử = (c1, , cn) là một nghiệm không tầm thường của hệ này Khi đó, ~α =

c1e~1+ · · · + cne~n là một vector riêng của φ ứng với giá trị riêng λ

Định nghĩa 1.2.6

Ánh xạ φ được gọi là chéo hóa được, nếu tồn tại một cơ sở mà ứng với nó matrận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đường chéo, nói cách khác φ chéo hóa đượcnếu có một cơ sở của V gồm toàn những vector riêng của φ

b) Rank(φ − λi) = n − σi, i = 1, , m, ở đây λi là nghiệm với bội σi của đa thứcđặc trưng Pφ(t)

Chứng minh.

Giả sử φ chéo hóa được Khi đó, giả sử ma trận của φ trong một cơ sở nào đócủa V là một ma trận chéo D với σ1 phần tử nằm trên đường chéo bằng λ1, , σmphần tử nằm trên đường chéo bằng λm, trong đó n = σ1+ + σm Khi đó:

dimVi = dimKer(φ − λiidV) = n − rank(φ − λiidV) = σi

Mà ta luôn có tổng V1+ +Vmlà một tổng trực tiếp, với số chiều bằng σ1+ +σm =

n Vậy tổng đó bằng toàn bộ không gian V

V = ⊕

i

Vi

Lấy một cơ sở bất kì { ~ei1, , ~eeiσi} của Vi với i = 1, , m

Khi đó { ~e11, , ~e1σi, , ~em1, ,emσ~m} là cơ sở của V gồm toàn bộ những vector riêngcủa φ

Vậy φ chéo hóa được

Hệ quả 1.2.9

Cho φ là một tự đồng cấu của không gian vector V chiều n Khi đó:

• φ chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm n vector riêng

• Nếu φ có n giá trị riêng khác nhau thì φ chéo hóa được

1.2.2 Không gian con bất biến.

Với B là ma trận cấp bằng số chiều của U

b) Kí hiệu V /U là không gian thương của V theo U Khi đó φ cảm sinh một ánh xạ

¯

φ trên V /U bởi công thức:

¯φ([~v]) := [φ(~v)]

c) Kí hiệu là φ|U là hạn chế của φ trên U Khi đó đa thức đặc trưng của φ là tíchcác đa thức đặc trưng của φ|U và ¯φ:

Pφ(t) = Pφ|U(t)Pφ¯(t)

Chứng minh.

a) Chọn một cơ sở { ~u1, , ~ur} của U và mở rộng thành một cơ sở của V bằngcách bổ sung các phần tử (w) = ( ~w1, , ~ws) Theo giả thiết φ( ~ui) ∈ U nên có thểbiểu diễn được theo các vector ~uj bởi một ma trận B

Vì (u, w) là một cơ sở của V nên các vector φ( ~wk) có thể biểu diễn theo cơ sở đóbởi một ma trận dạng



CD





Vậy theo cở sở (u, w), φ có ma trận với dạng đã khẳng định

b) Trước hết ta đã chứng minh rằng ánh xạ ¯φ được định nghĩa đúng Thật vậy, nếu

~

v1 và ~v2 có hiệu thuộc U , nghĩa là cũng xác định một phần tử trong V /U thì theogiả thiết φ( ~v1) − φ( ~v2) = φ( ~v1− ~v2) cũng thuộc U , do đó φ( ~v1) và φ( ~v2) cũng xácđịnh một phần tử trong V /U

c) Xét cơ sở của V như trong (a) Khi đó ma trận của φ|U theo cơ sở (u) là B và :

các vector nghiệm lập thành một không gian con của V , gọi là không gian nghiệmứng với giá trị riêng λ, kí hiệu là V (λ).

b) Tìm giá trị của λ sao cho ma trận sau có hạng thấp nhất.

c) Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:

Bài tập 1.4

Chứng minh rằng nếu tự đồng cấu ϕ của không gian vector n chiều V có n giátrị riêng khác nhau và ψ là một tự đồng cấu giao hoán với ϕ, thì mỗi vector riêngcủa ϕ cũng là 1 vector riêng của ψ và ψ có một cơ sở gồm toàn vector riêng của nó.Bài tập 1.5

a) Cho U ⊆ V là không gian con bất biến của ϕ và W ⊆ U Chứng tỏ rằng W

là không gian con bất biến của ϕ|U khi và chỉ khi nó là không gian con bất biến củaϕ

b) ϕ(U ), ϕ−1(U ) là các không gian con bất biến của ϕ

Bài tập 1.7

Cho ~vi1, , ~vimi là các vector độc lập tuyến tính và là các vector riêng của tựđồng cấu ϕ ứng với giá trị riêng λi, i = ¯1, r Giả sử λ1, , λr đôi một khác nhau.Chứng minh rằng hệ vector ∪ri=1{ ~vi1, , ~vimi} độc lập tuyến tính Từ đó hãy suy rađiều kiện cần và đủ để ϕ chéo hóa được là m1+ + mr = n(n = dimV ).

Bài tập 1.8

Cho φ là tự đồng cấu của không gian vector hữu hạn chiều chéo hóa được và U

là không gian con bất biến Chứng minh rằng φ|U chéo hóa được

Nếu thêm vào nó φk−1 6= 0 thì k được gọi là bậc lũy linh của φ.

b) Cơ sở { ~e1, , ~en} của V được gọi là một cơ sở xyclic đối với tự đồng cấu φ : V −→

V nếu ta có:

φ( ~e1) = ~e2, φ( ~e2) = ~e3, , φ(~en−1) = ~en, φ( ~en) = ~0c) Không gian vector con U của V được gọi là một không gian con xyclic đối với tựđồng cấu φ : V −→ V nếu U có một cơ sở xyclic đối với φ

riêng của φ tương ứng với giá trị riêng bằng 0.

Ngược lại, giả sử ~α là một vector riêng của φ ứng với giá trị riêng λ Ta có φ(~α) =λ(~α), do đó φk(~α) = λkα Vì φ~ k = 0 nên ta có λk~α = φk(~α) = ~0 Do vector riêng

Khi đó φ là tự đồng cấu lũy linh bậc n

Hãy chứng minh rằng f là lũy linh Tìm cơ sở xyclic của đồng cấu f.

A3 = A2· A = 0

Do đó f là tự đồng cấu lũy linh bậc q = 3

Đặt V1 = V1

1 là không gian vector sinh bởi các vector cột của A2 Không gian này

có cơ sở là {− ~ε1− ~ε2+ ~ε3+ ~ε4} (cột đầu của A2 )

Gọi V2 là không gian vector sinh bởi các vector cột của ma trận A Ta chọn V1

2 sinhbởi vector {− ~ε2− ~ε3} vì V1

2 đẳng cấu với V11 qua ánh xạ f

Tiếp theo V3 = V = R4 Ta chọn V1

3 là không gian sinh bởi ~ε1

Vì dim(V = R4) = 4, nên V22 = V32 = {~0}, vì nếu V22 6= {~0} thì V2

3 6= {~0} (hoặccũng có thể thấy điều đó do các vetor cột của A rõ ràng gây nên không gian vectorcon 2 chiều)

Không gian V3

3 là phần bù tuyến tính của V1

1 trong kerf , nhưng rõ ràng dimkerf = 2

và ~ε1+ ~ε4 ∈ kerf nên có thể lấy V3

3 là không gian con sinh bởi ~ε1+ ~ε4.Như vậy, ta tìm được một không gian vector con 3 chiều với cơ sở xyclic đối với fvới cơ sở xyclic là { ~γ1 = ~ε1, ~γ2 = − ~ε2 − ~ε3, ~γ3 = − ~ε1 − ~ε2+ ~ε3+ ~ε4} và một khônggian vector con một chiều xyclic đối với f gây nên bởi vector ~γ4 = ~ε1 + ~ε4

Ma trận của f trong cơ sở mới { ~γ1, ~γ2, ~γ3, ~γ4} có dạng:

Đó là vì f ( ~γ1) = ~γ2; f ( ~γ2) = ~γ3; f ( ~γ3) = ~0; f ( ~γ4) = ~0

Định lý 2.1.5

a) Mỗi không gian riêng suy rộng V (λ) của φ đều là một không gian con bất

biến đối với φ.

b) Ánh xạ (φ − λ · idV)|V (λ) là một tự đồng cấu lũy linh của V (λ)

c) Nếu λ là một giá trị riêng của φ thì không gian riêng Pλ = ker(φ − λ · idV) nằmtrong không gian riêng suy rộng V (λ)

d) Với mọi không gian riêng suy rộng V (λ), λ là một giá trị riêng của φ

Chứng minh

a) Vì φ(φ − λidV) = (φ − λidV)φ nên với m nguyên dương ta cũng có φ(φ −λidV)m = (φ − λidV)mφ Vì vậy, nếu ~α ∈ V (λ) thì có m nguyên dương nào đó để(φ − λidV)m(~α) = ~0

Cho φ là một tự đồng cấu lũy linh của không gian vector V Dạng Jordan của φ

là dạng mà ma trận biểu diễn dưới dạng:

Jkm0

Cho ánh xạ φ : V −→ V là tự đồng cấu lũy linh bậc k Khi đó có một cơ sở của

V mà ma trận của φ đối với cơ sở này có dạng khối Jordan liên kết với 0

Chứng minh

Đặt Mi = Imφi∩ Kerφ với i = 0, 1, , k − 1 Ta có một dãy các không gian conlồng nhau như sau:

0 = Mk ⊂ Mk−1 ⊂ ⊂ M1 ⊂ M0 = Kerφ

Đặt Sk−1 là cơ sở của Mk−1 , ta bổ sung vào Sk−1 tập Sk−2 để được Sk−1∪ Sk−2 là

cơ sở của Mk−2 Tiếp tục bổ sung thêm Sk−3 để được Sk−1 ∪ Sk−2 ∪ Sk−3 là cơ sởcủa Mk−3 Cứ như vậy, ta được Sk−1∪ Sk−2∪ Sk−3∪ ∪ S1∪ S0 là một cơ sở của

M0 = Kerφ

Giả sử số phần tử của Si là vi và ta đặt Si = {bi1, , bivi} Khi đó, ta đặt

B = {bk−1,1, , bk−1,rk−1, , b11, b12, , b1v1, b01, b02, , b0v0} là một cơ sở của kerφ.Lấy bij ∈ B, khi đó bij ∈ Si ⊂ Imφi ∩ Kerφ ⊂ Imφ Do đó, xij ∈ V sao cho

φi(xij) = bij Đặt

Jbij = {φi(xij), φi−1(xij), , φ(xij), xij}và

Ji = Jbi1 ∪ Jbi2 ∪ ∪ Jbivi

Ta sẽ chứng minh

J = Jk−1∪ Jk−2∪ ∪ J1∪ J0

là cơ sở Jordan của V Đầu tiên ta chứng minh số vector của J là n = dimV Đặt

di = dimMi và ri = dimImφi, suy ra số phần tử trong Si là vi = di − di+1 Chú ýrằng dk = 0 = rk và r0 = dimidV = n Theo tính chất sau:

dim(Imφi∩ kerφ) = dimImφi− dimIm(φiφ)

suy ra di = ri− ri+1 Số phần tử trong Jbij là i + 1 với i = 0, 1, k − 1 và j = 1, 2, , vi

= d0+ d1+ + dk−1 = (r0− r1) + (r1− r2) + + (rk−1− rk) = r0− rk = n − 0 = n.

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh J là một tập độc lập tuyến tính Chú ý rằng B là một

cơ sở của Kerφ nên các vector bij là độc lập tuyến tính

a(1)k−1,1bk−1,1+ a(1)k−1,2bk−1,2+ + a(1)k−1,v

k−1bk−1,vk−1+ a(0)k−2,1bk−2,1+ a(0)k−2,2bk−2,2+ + a(0)k−2,v

k−2bk−2,vk−2 = 0

Do bk−1,1, bk−1,2, , bk−1,vk−1, bk−2,1, bk−2,2, , bk−2,vk−2độc lập tuyến tính nên

a(1)k−1,1 = a(1)k−1,2= = a(1)k−1,v

k−1 = 0và

a(0)k−2,1 = a(0)k−2,2= = a(0)k−2,v

k−2 = 0