Ứng dụng phương trình schrodinger trong một số hiệu ứng lượng tử

Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lợng tử đối với chuyển động một chiều.. Phơng trình cơ bản của cơ học sóng – cơ học lợng tử – nghiên cứu theoquan điểm của Schrửdinger là phơng trình

trờng đại học Vinh

I Phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều

1 Thành lập phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều

1

2 Các tính chất nghiệm phơng trình Schrửdinger.

II Các tính chất chung của chuyển động một chiều

III Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lợng tử đối với chuyển động một chiều

Chơng III Giải một số bài toán nhờ phơng trình

Schrệdinger trong chuyển động một chiều

-A-Mở đầu.

Khi nghiên cứu thế giới vi mô, một lĩnh vực mới của vật lý hiện đại ra đời đó

là cơ học lợng tử, một lĩnh vực của vật lý lý thuyết nghiên cứu về các hệ nguyên

tử và hạt nhân Nghiên cứu các vấn đề đặt ra cơ học lợng tử dựa vào hai phơngpháp chính: Phơng pháp Heisenberg (Haixenbec) và phơng phápSchrửdinger(srôdingơ)

Phơng trình cơ bản của cơ học sóng – cơ học lợng tử – nghiên cứu theoquan điểm của Schrửdinger là phơng trình Schrửdinger.Từ phơng trình này về cơbản ta có thể giải thích đợc hầu hết các hiện tợng lợng tử xẩy ra trong phạm vi phitơng đối tính Những dấu hiệu thành công mang đến sự giải thích hài hoà giữa lýthuyết và thực nghiệm liên quan đến hàng loạt những bài toán về hạt chuyển độngtrong từ trờng và điện trờng ngoài, hiện tợng phát xạ lạnh của kim loại,hiệu ứng

đờng ngầm và một số hiệu ứng quan trọng khác.Với vị trí quan trọng đó của

ph-ơng trình Schrửdinger (sơrôdingơ).Luận văn này đặt mục đích xem xét một cách

đầy đủ các ứng dụng của phơng trình này trên cơ sở giải thích một số hiện tợng ợng tử quan trọng và một số bài toán cơ học lợng tử tiêu biểu dựa trên phơng trìnhSchrửdinger.Trên cơ sở đó,nội dung luận văn đợc trình bày trong ba chơng chínhngoài phần mở đầu và kết luận

l-Chơng I Tổng quan về lý thuyết phơng trình Schrửdinger tổng quát và phơng trìnhSchrửdinger dừng trong trong chuyển động một chiều

Chơng II ứng dụng phơng trình Schrửdinger trong các hiệu ứng lợng tử

Chơng III : Một số ứng dụng khác của phơng trình Schrửdinger

Vinh 1-2002

Trơng Quang Sơn

B-Nội dung

Chơng I: Phơng trình Schrửdinger dừng cho hạt vimô.

I Phơng trình Schrửdinger trong chuyển động một chiều.

1 Phơng trình:

3

Xét một hạt tự do có khối lợng m ở trạng thái năng lợng E,xung lợng pkhông

đổi(trạng thái dừng).Trạng thái của hạt tự do mà ta xét dợc mô tả bởi hàm sóng

Ψ( r,t) = Ψ 0exp

-

i(E.t- rp.) =ϕ(x,y,z).f(t).

 là phần phụ thuộc thời gian

Lấy đạo hàm riêng phần Ψ( r,t) theo thời gian ta đợc:

i E exp i (Et pr) i E ( )r,t

t

)t,r

2

2+

=

−Ψ

∂

Ψ

∂ 

 = ΗΨ r,t) (1.4)Phơng trình (1.4) đợc gọi là phơng trình Schrửdinger phụ thuộc thời gian viếtcho hạt tự do,hạt có năng lợng xác định.Tuy nhiên kết quả này cũng đúng cho một

hệ hạt bất kỳ

Từ đó ta xét cho hạt chuyển động mà vị trí của hạt đợc xác định bởi một trụctoạ độ x.Hạt chuyển động trong trờng thế U(x) và có năng lợng E.

Ta có:

( )

t

t,xi

2

2+

∂

ψ

∂

 =EΨ(x,t) Suy ra:

)t,x(

Ψ

Η =EΨ(x,t) U(x) (x,t) E (x,t)

x

)t,x(m

2 2

Ψ

=Ψ

) 2 2

=Ψ

−+

iexpm

2 2

=Ψ

[E U(x)] (x) 0

x

)x(m

E 2 2

=Ψ

−+

5

sẽ có mặt ở vô cực và tồn tại ở mọi điểm bất kỳ trong không gian.Các trạng thái này

đợc gọi là các trạng thái không liên kết

Phơng trình (1.7) đợc ứng dụng cho các vi hạt chuyển động một chiều.Đồngthời những vi hạt ấy không tự sinh ra và không tự mất đi.Nghĩa là trong các quátrình chúng ta khảo sát hệ lợng tử không có quá trình sinh và huỷ cặp.Trong bất kỳquá trình vật lý nào số hạt thuộc một loại xác định là không đổi và những vi hạt ấychuyển động với vận tốc v đủ nhỏ(v << c)

Chúng ta đả biết phơng trình Schrửdinger dừng là một phơng trình vi phân

đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính Do vậy ,việc giải phơng trình Schrửdinger trongkhông gian ba chiều nói chung là phức tạp.Hơn nữa trong giới hạn của đề tài nàychúng tôi chỉ xét trong trờng hợp một chiều.Với bài toán này có thể phân tích đợcmột số tính chất tiêu biểu đặc trng cho hệ lợng tử(sẽ đợc đề cập đến ở chơng sau)

mà không làm giảm tính tổng quát của bài toán ba chiều.Mặt khác trong nhiều ờng hợp thế năng của trờng tơng tác có thể phân tích ra dới dạng:U(x,y,z)=U(x)+U(y) + U(z) Khi đó bài toán trong không gian ba chiều có thể chuyển về các bàitoán một chiều.Thật vậy ta có phơng trình Schrửdinger trong trờng hợp này là:

- (x,y,z) U(x,y,z) (x,y,z) E (x,y,z)

m2

2

2

Ψ

=Ψ

+Ψ

2 2

2

2

ΨΨΨ

=ΨΨ

∂

∂+

∂

∂

− 

(1.9).Chia cả hai vế phơng trình (1.9) cho Ψ(x).Ψ(y).Ψ(z).Ta có:

3 2 1 2

2 2

2

2 2 2

2 2

EEEE)z()z(Uz

)z(m2)z(

1

)y()y(Uy

)y(m2)y(

1)

x()x(Ux

)x(m2)

x

(

1

++

- U(x) (x) E (x)

x

)x(m

2 2

Ψ

=Ψ+

2 2

Ψ

=Ψ+

2 2

Ψ

=Ψ+

b Hàm sóng Ψ(x)phải giới nội.Điều này có thể suy ra từ điều kiện chuẩn hoá hàm

sóng.Theo điều kiện chuẩn hoá hàm sóng∫ Ψ(x,t)2dx=1 (1.13)

c Hàm sóng phải đơn trị vì nếu không đơn trị thì ứng với mỗi vị trí trong khônggian có nhiều giá trị xác suất tìm hạt Điều này trái với lý thuyết xác suất

d Tính chất liên tục của nghiệm và đạo hàm của nghiệm: Hàm sóng cần phải liêntục theo toạ độ vì mật độ xác suất tìm thấy hạt trong không gian là liên tục của toạ

độ, hay nói cách khác là xác suất tìm hạt( Ψ(x) 2) không thể thay đổi nhảy vọt.Ngoài ra đối với các trờng có thế năng gián đoạn hữu hạn thì ngay cả tại những

điểm đạo hàm bậc nhất của nghiệm cũng sẽ là liên tục

Nghĩa là: (x ) (x )

0 E 0

′Ψ

=

′

Ψ với x0 là điểm mà tại đó U(x) gián đoạn hữu hạn

II Các tính chất của chuyển động một chiều.

1) Các trị riêng năng lợng thuộc phổ gián đoạn của phơng trình Schrửdinger mộtchiều không suy biến.Thật vậy,giả sử tồn tại hai hàm sóngΨ1,Ψ2 cùng ứng với mứcnăng lợng E Khi đó từ (1.7) ta có:

7

2

2 2

1

1 2m (U(x) E)

Ψ

″Ψ

=

−

=Ψ

″Ψ



1 2 2 1 1

2 2

″Ψ

−Ψ

″Ψ

Lấy tích phân hai vế ta đợc: ' 1 const

2 2

'

1ψ −ψ ψ =ψ

ở vô cực đối với phổ gián đoạn: Ψ1,2(+∞) =0⇒const=0

Suyra :

2

2 1

1 1

2 2

′Ψ

=Ψ

′Ψ

⇒Ψ

′Ψ

=Ψ

′Ψ

Lại lấy tích phân hai vế đẳng thức này ta đợc:

định lý sau:’’Hàm riêng Ψn(x) cắt trục hoành n lần tại những giá trị x hữu hạn.” ở

đây ta đánh số các hàm riêng và trị riêng thuộc phổ gián đoạn của phơng trình (1.7)bởi chỉ số n(n=0,1,2,3, )sao cho trị riêng E nhỏ nhất ứng với n=0,mức năng lợng E0

gọi là mức năng lợng cơ bản,còn hàm sóng Ψn mô tả trạng thái kích thích thứn.Theo định lý trên, nếu chuyển động của hạt chỉ xảy ra trên một đoạn thẳng hữuhạn nào đó thứ n chính là số giao điểm giữa đồ thị hàm riêng Ψ n (x),với trục x bêntrong đoạn thẳng này.Những giao điểm này gọi là nút hàm sóng 3)

về cơ học cổ điển ta thấy hạt có thể chuyển động theo những cách khác nhau phụthuộc vào tơng quan giữa năng lợng toần phần E và thế năng U của nó.Tại các điểm

x1,x2 mà ở đó U(x)=E,Wđ =0 thì x1, x2 gọi là các điểm quay lui

Ta xét tơng quan giữa năng lợng toàn phần E và thế năng U(x) của nó(đợc biểu hiện

nh hình vẽ)Từ (H.1) ta thấy: U(x)

trong miền [x1,x2] là U(x)<E

Vậy hạt chỉ xuất hiện E

trong miền[x1,x2]

x1 0 x2 x

• Nếu hạt có E<U(x)

trong miền (-∞,x1] (H.2)

thì từ vô cực hạt giảm

dần vận tốc và quay ngợc trở lại điểm x1 mà không (H.1)

xuất hiện ở miền II Ta nói hạt bị phản xạ bởi rào

thế và miền II gọi là miền cấm

• Nếu E>U(x) với mọi x (H.3)

Thì từ âm vô cực hạt giảm dần

U(x) hoặc tăng dần vận tốc phụ thuộc

vào thế U(x) rồi tiếp tục chuyển

học cổ điển Khi E>U(x) hạt vẫn có

thể bị phản xạ bởi rào thế Đặc biệt khi E < U(x) hạt có thể xuất hiện trong miềncấm cổ điển(miền II) với xác suất khác 0 trên những khoảng cách nhất định tính từ

điểm quay lui trong trờng hợp hạt bị giảm trong giếng thế năngU(x)lợng của nó bị lợng tử hoá mặc dù thế năng hạt bên trong giếng thế bằngkhông(U(x)=0)

U(x)

E

0 (H.3) x 4).Ta xét dáng điệu của hàm sóngΨ (x) trong trờng hợp đợc mô tả bởi (H.2)

Chúng ta biết rằng, dấu đạo hàm bậc hai Ψ’’(x) cho ta biết tính lồi lõm của đồthị hàmΨ(x) tại điểm x Nếu Ψ’’(x) > 0 thì đồ thị hàm sóng lõm tại x Nếu Ψ’’(x) <

0 thì đồ thị hàm sóng lồi tại x

9

k2(x) > 0 nên từ (1.16) ta có Ψ’’(x) < 0 ở nửa mặt phẳng phía trên trục toạ độ và

Ψ’’(x) > 0 ở nửa mặt phẳng dới trục toạ độ Do vậy đồ thị hàm sóng Ψ(x) sẽ lồi ởnửa mặt phẳng phía trên và lõm ở nửa mặt phẳng phía dới trục toạ độ(H.4a)

Suy ra khi năng lợng của hạt E > U(x) phơng trình (1.7) có thể cho nghiệmdao động(H.4b)

- Ngợc lại E < U(x) (trong miền II):

Nếu đặt: k2(x) =2m[U(x)−E]>0

 (1.17)Thì (1.7) trở thành : Ψ’’(x)=k2(x)Ψ(x) (1.18)

(H.4a) (H.4b)

Ta nhận thấy trong miền II Ψ’’(x) > 0 ở nửa mặt phẳng phía trên trục toạ độ và

Ψ’’(x) < 0 ở nửa mặt phẳng phía dới trục toạ độ Do vậy đồ thị hàm sóng Ψ(x) sẽlõm ở nửa mặt phẳng phía trên và lồi ở nửa mặt phẳng phía dới trục toạ độ (H.5a)

0 x 0 x

(H.5a) (H.5b)Hiển nhiên trong miền (II) không tồn tại nghiệm dao động Hàm Ψ(x) chỉ cóthể biến thiên một cách đơn điệu (H.5b) Tại điểm quay lui x1 có Ψ’’(x)=0 và hàm

0 x1 x(H.6)

5) Trong thực tế, thế U(x) thờng tiến tới những giá trị hữu hạn khi x →±∞ Để thuận tiện ta chọn gốc tính năng lợng sao cho : Lim U(x)=U0>0,

Lim U(x)=0 x →−∞

+∞

→

x

Ta xét dạng tiệm cận của hàm sóng trong ba miền giá trị năng lợng của hạt:

E < 0 (miền I), 0 < E < U0 (miền II) và E > U0 (miền III)

a)Trong miền I:

*) Khi x→ +∞ Phơng trình (1.7)có dạng tiệm cận :

Ψ’’(x) - k1 (x)Ψ(x) = 0 Với k1 (x)=-2mE2 >0

 (1.19) (1.19)có nghiệm dạngΨ(x)= 1 kx

x 1

1

1 Bee

2

2 B ee

Từ (1.20)và (1.22)ta nhận thấy khi E<0 hạt không thể ra xa vô cực.Hay nói cách

khác,hạt ở trong rạng thái liên kết.Phổ năng lợng của hạt là gián đoạn, do đókhông suy biến

từ một hớng Do E > 0 nên trong miền này hạt có phổ năng lợng liên tục

Với k52(x) =

2

0)UE(m2



−

Nghiệm của (1.30): Ψ(x) = a2eik5x+ b2e-ik5x (1.31)

Từ (1.29) và (1.31) ta thấy hạt có mặt ở vô cực, trong miền này phổ năng lọng củahạt là liên tục

III Các đại lợng đặc trng cơ bản của hệ lơng tử đối với chuyển động một chiều

ΨΨ

(

mà:

t)(tt

ρ

∂

=ΨΨ

2+

m2)(

m2

)UU

()(

m2Hˆ

Hˆ

2 2

2 2

2 2

−Ψ

∇Ψ

∇

−

=Ψ

∇Ψ

−Ψ

∇Ψ

−

=

=ΨΨ

−ΨΨ+Ψ

∇Ψ

−Ψ

∇Ψ

−

=ΨΨ

−ΨΨ

i

2

∗

∗∇Ψ−Ψ∇ΨΨ

khi x→-∞

khi x→+∞

m2

i)(

m2

Phơng trình (1.35) đợc gọi là phơng trình liên tục trong cơ học lợng tử

Trong đó: ρ gọi là mật độ xác suất

j: gọi là vectơ mật độ dòng xác suất

Phơng trình (1.35) mô tả định luật bảo toàn xác suất, hay còn gọi là định luật bảotoàn số hạt trong cơ học lợng tử

U0 hạt vẫn có thể ‘’phản xạ’’ bởi bức tờng thế năng Bây giờ ta tính xác suất phảnxạ này Giả sử hạt chuyển động từ trái sang phải với những giá trị dơng và lớn Hàmsóng mô tả hạt vợt qua ‘’phía trên tờng’’ và chuyển động về phía dơng của trục x

Ta có biểu thức tiệm cận của hàm sóng:

*)Khi x→+∞:Ψ(x) = Aeik1x (A = const)

Với k1 = 1 2m(E−U)



*) Khi x→−∞:Ψ(x) = eik2x+Be-ik2x Với k2=1 2mE



ở đây: eik2x đợc đoán nhận là sóng tới

e-ik2x đợc đoán nhận là sóng phản xạ

Mật độ dòng xác suất tỷ lệ với k2 B ,đối với sóng đi qua k2 1A *) Để đặc trng cho2

sự phản xạ của sóng,ngời ta đa ra khái niệm hệ số phản xạ:

k

Ak

dx

)x(dm

2 2

2 2

Ψ

=Ψ

∞+

k (x) 0

dx

)x(

2

2

=Ψ+

Ψ (1.40)

Với k2 =2 2



mE (1.41)Nghiệm (1.40) có dạng: Ψ(x) = Asin(kx) + Bcos(kx)

áp dụng điều kiện liên tục của hàm sóng: Ψ(0) =Ψ(a) =0

=

=ψ

0)kasin(

Aa

0B0

Vì B = 0 nên không thể giả thiết A= 0, do đó sin(ka) = 0

(n=1,2,3, ) (1.43)Trong đó A đợc xác định từ điều kiện chuẩn hoá hàm sóng Từ (1.41), (1.42) ta đ-

ợc :

En = 2

2

2 2 2 2

nma2m2

k  = π  (n=1,2, )

Giá trị nhỏ nhất E1 =

2

2 2

ma2



π (1.44) là năng lợng ở trạng thái cơ bản Năng lợng

các trạng thái còn lại và khoảng cách ∆En giữa hai mức liên tiếp có thể biểu diễntrực tiếp qua E1 bởi công thức: En =n2E1 , ∆En =En+1- En =(2n+1)E1

Từ (1.44) ta nhận thấy năng lợng ở trạng thái cơ bản là lớn hơn không(E1> 0) Đây

là điều bất ngờ đối với cơ học cổ điển vì theo lý thuyết cổ điển trạng thái này cónăng lợng bằng không Trong cơ học cổ điển giá trị E1 gọi là ‘’năng lợng không’’

Sự tồn tại của ‘’năng lợng không’’của các hệ lợng tử là hệ quả trực tiếp của hệ thứcbất định giữa toạ độ và xung lợng Biểu thức (1.44) cho thấy nếu giảm bề rộng hốthế (tức là giảm bớc sóng Debroglie λ1 tơng ứng với E1)thì năng lợng E1 sẽ tăng.Vậy nếu vị trí hạt càng xác định thì xung lợng của nó càng bất định và ngợc lại

Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý bất định.Về vấn đề ‘’năng lợng không’’chúng ta còn gặp ở một số bài toán khác sẽ đợc đề cập ở chơng sau

b) Rào thế.

U(x) =

Hàng rào thế là một dạng của trờng ngoài mà một trong miền không gian nào

đó thế năng lớn hơn các miền lân cận.Trong mô hình chuyển động một chiều ta xéthàng rào thế sau đây:

2 2

2 2

=Ψ+

2

mE2

2

2 2 1 2

2 2 1

1 2

1

−

−

−+

−

(1.53)

Nh vậy dù cho E<U0 biên độ D của sóng vẫn khác không, tức là hạt vẫn đi qua ràovới một xác suất nào đó Hiệu tợng xuyên qua rào thế năng gọi là hiệu ứng đờngngầm Hiệu ứng đờng ngầm sẽ đợc đề cập kỹ ở chơng sau Ta đi xác định hệ sốtruyền qua T của hạt đi qua rào:

T = 2

D = exp{ 2k a}

kk

kk16

2 2

2

2 1

2 2

kk16

0 2

2

2 1

2 2

2 1

x1 0 x2 x

(H.10)Vì vậy có thể chia rào thế này thành vô số rào thế nhỏ hình chữ nhật,mỗi cái

có bề rộng ∆x và chiều cao U(x).Hệ số truyền qua rào thế bằng tích các hệ sốtruyền qua các rào thế nhỏ

x

x

dx)E)x(U(m2

2exp

ơng trình Schrửdinger dừng một chiều, đề tài tiếp cận các vấn đề của vật lý lợng

đợc hoàn toàn có thể mở rộng sang các hệ 2 hoặc 3 chiều Trong tinh thể lý tởng cácion dơng sắp xếp một cách trật tự tuần hoàn tại các nút mạng còn các điện tử hoá trịvới vai trò tải điện đợc xem là chuyển động độc lập với nhau trong một trờng tuầnhoàn tạo bởi các ion Một trờng nh thế đợc mô tả bởi hình vẽ (H.11)

19

L

(H.11)Gọi d là khoảng cách giữa các nút mạng lân cận (d còn đợc gọi là hằng sốmạng) Do tính đối xứng tịnh tiến của mạng nên thế năng U(x) của điện tử là hàmtuần hoàn với chu kỳ d

Tại vùng biên( Tức bề mặt) tinh thể, tính tuần hoàn của mạng sẽ bị vi phạm Do đó

để đảm bảo tính đối xứng tịnh tiến cho mạngngời ta giả thiết rằng do số nút mạng(N) vô cùng lớn, nên sự thay đổi của thế U(x) tại vúng biên không ảnh hởng gì đếntrạng thái của các điện tử bên trong mạng Cũng có thể hình dung rằng: vừa thoátkhỏi mặt này của tinh thể, điện tử lập tức trở lại tinh thể ở mặt đối diện

2 Định lý Bloch.

Toán tử Hamilton của điện tử dẫn trong mạng tinh thể một chiều có dạng

HΛ =m2p

2

∧

Trong đó thế U(x) thoả mãn (2.1)

Trớc hết ta xét trờng hợp tinh thể rất yếu có thể xem nh điện tử chuyển động tự do ởgiới hạn này ta có phơng trình Schrửdinger cho điện tử

dx

xdm

k 2 2



= có nghiệm

m2

pm2

kE

Ae)x(

2 2 2 k

ikx

Trong đó →p  là xung lợng của điện tử chúng ta đã biết chúng biết chuyển= →k

động tự do năng lơng Ek nhận các giá trị liên tục và hàm sóng là sóng phẳng DeBroglie

Bây giờ ta xét chuyển động của điện tử trong trờng tuần hoàn của tinh thể Do thếcủa điện tử phụ thuộc vào x (U = U(x)) nên toán tử xung lợng

di

p∧=−  của điện tử không giao hoán với Hamilton nửa và vì vậyxung lợng của điện tử không đợc bảo toàn Trạng thái điện tử lúc này không thể môtả bởi sóng phẳng De Broglie (2.3) mà chỉ có thể biểu diễn dới dạng chồng chất củanhững sóng này với các giá trị k khác nhau Để tìm hàm riêng Hamilton (2.2) trớchết ta sử dụng toán tử dịch chuyển T∧(d) đợc định nghĩa:

)dx(f)x(fd(

Từ tính tuần hoàn của thế U(x) ta có:

0H),d(

Trong trờng hợp nếu trị riêng E không suy biến thì hai hàm T∧(d)ψ(x) và ψ(x)chỉ

có thể sai khác nhau một hằng số:

)x()

d

(

T∧ ψ =λ(d)ψ(x) (2.6) Do việc tịnh tiến gốc toạ độ đi một đoạn bất kỳ

không làm thay đổi giá trị của tích phân chuẩn hoá ∫ ψ(x)2d(x) nên điều kiệnchuẩn hoá đối với hàm sóng ψ(x)sẽ không làm thay đổi phép tịnh tiến từ x đến

x + d(x)

1)d( 2 =

λ =λ(d1 +d2)

21

U > (0) U< (d)

Suy ra λ(d)phải có dạng hàm mũ:

)d(

Nh vậy, do tính tuần hoàn của thế năng U(x) hàm sóng điện tử phải có dạng:

)x(e)dx( + = ikdψ

k(x)=U (x)e

Trong đó Uk(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ bằng hằng số mạng

Uk(x+d) =Uk(x) (2.11)Thật vậy, từ (2.10) và (2.11) ta có:

ikd k

ikd ikx k

) d x ( ik k

k(x+d)=U (x+d)e =U (x)e e =ψ (x)e

Hàm sóng (2.10) cũng gọi là hàm Bloch Vây có thể phát biểu định lý Bloch nh sau:

“Hàm sóng điện tử trong trờng tuần hoàn là hàm Bloch” Nó có dạng tích của sóngphẳng exp(ikx) với hàm tuần hoàn Uk(x) Thừa số thứ hai này có tác dụng biến điệusóng phẳng theo chu kỳ mạng tinh thể

II Mô hình kronig-Penney.

Mô hình Kronig-Penney đợc mô tả nh hình vẽ (H.12)

U(x)

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

0 a d d+a 2d x

(H.12)Mô hình Kronig-Penney mô tả tính tuần hoàn cuả thế năng điện tử trongmạng tinh thể một chiều đợc thoả mãn bời việc lăp lại đều đặn vô số lần nhữnggiếng thế đã xét trong hình (H.11) trên khoảng cách một chu kỳ ta có:

b

ik I

1

1 BeAe

)x

2

2 1

mE2k



Bên ngoài giếng thế (a≤x≤a+b = d) nếu E > U0 ta có:

x ik x

ik II

2

2 DeCe

)x

2 0 2

2

)UE(m2k

)d(U)0(U

(2.15)

Từ (2.10) ta đợc:

U(x) = ψ(x)e-ikx suy ra U’(x) = ψ'(x)e-ikx- ikU(x) (2.16)

Ta viết lại điều kiện liên tục (2.15) ψ'(0)=ψ'(d)e− ikd (2.17)Khi áp dụng điều kiện thứ nhất trong (2.15) và (2.17) lên hàm U(x) ta thu đợc 2phơng trình:

A + B = e− ikd(Ceik 2 d +De− ik 2 d) (2.18)

k1(A-B) = k2e− ikd(Ceik 2 d −De− ik 2 d) (2.19)Tơng tự, đối với hàm ψ(x) và ψ'(x)liên tục tại điểm x = a ta thu đơc 2 phơngtrình:

a ik a

ik a

ik a

ik 1 Be 1 Ce 2 De 2

)DeCe

(k)Bee

(

2 a ik a

ik 1

2 2

1

Nh vậy, ta thu đợc hệ phơng trình 4 ẩn số Ta đi tìm nhứng giá trị khả dĩ củanăng lợng điện tử trong mô hình ta xét, bằng việc giải hệ phơng trình trên Saumột số biến đổi toán học ta thu đợc phơng trình sau đây cho trờng hợp E > U0

23nếu 0 ≤ x ≤ a

cosk1a cosk2b -

2 1

2 2

2 1

kk2

k

k + sink

1a sink2b = coskd (2.22)

2 0 2

2

2 1

mU2kk

kk

1 1

2 2

2 0 2

2 1

mU2kk

Trớc hết ta dựng đồ thị hàm F(E), sau đó cho trớc giá trị của kd, ta tính đợcf(kd) rồi vẽ đờng thẳng f(kd) tơng ứng song song với trục hoành Từ giao điểm của

đờng thẳng này với đờng F(E) ta hạ đờng thẳng vuông góc xuống trục hoành rồi xác

định nghiệm E(k) ứng với giá trị (kd) đã chọn Những giá trị E này đợc mô tả bởinhững đoạn nhỏ thẳng đứng trên (H.13) Một lần nữa ta đi đến kết luận: Phổ năng l-

ơng của điện tử bị gián đoạn

Tuy vậy, phổ năng lợng trong mô hình này có tính chất đặc biệt khác với phổnăng lợng trong mô hình giếng thế đơn đã xét ở mục trớc Thật vậy, do coskd ≤1nên vế trái F(E) của các phơng trình (2.22), (2.25) bị giới hạn trong khoảng:

1)