Đề tài: Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản ppsx

Khoá luận tốt nghiệp Luận văn tốt nghiệp Đề tài: Áp dụng phương trỡnh Srodinger cho một số hệ đơn giản Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 1 Khoá luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài này, ngoài sự nỗ lục của bản thân tôi đã được sự giúp đỡ tận tình, khoa học của cô giáo Th.s Lê Thị Thuỷ cùng sự giúp đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Hoá, các bạn sinh viên lớp K1 - ĐHSP lý – hoá và sự động viên tinh thần của gia đình, bạn bè. Tôi xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo – Th.s Lê Thị Thuỷ người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành đề tài này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ hoá đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành đề tài này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình và các bạn trong tập thể K1 - ĐHSP lý hoá đã động viên, góp ý để đè tài của tôi được tốt hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn ! Thanh Hoá, tháng 5 năm 2010 Đặng Thị Thuý Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 2 Khoá luận tốt nghiệp PHẦN I : PHẦN MỞ ĐẦU I .Lí do chọn đề tài : Trong hoá học, đại lượng quan trọng nhất là năng lượng E của một nguyên tử, phân tử hay siêu phân tử và sự thay đổi năng lượng dọc theo toạ độ của phản ứng hoá học.Người làm hoá học cần có các thông tin này để hiểu diễn biến và cơ chế của phản ứng hoá học dựa trên những nguyên lý của nhiệt động lực học và động học để có thể kiểm soát hay thay đổi được chúng. Cung cấp thông tin về năng lượng của một hệ phân tử ở mọi trạng thái e là một mục đích chính của việc áp dụng những nguyên lý cơ học lượng tử vào hoá học. Có thể nói sự ra đời của cơ học lượng tử là một cuộc cách mạng trong vật lý nói riêng và các lĩnh vực khoa học tự nhiên nói chung. Cơ học lượng tử cho phép khảo sát bằng lý thuyết các hệ hoá học vi mô từ electron, nguyên tử cho tới phân tử hay tập hợp lớn hơn một cách chi tiết.Kết quả của sự khảo sát đó là cơ sở định lượng để giải thích kết quả thực nghiệm và từng bước hướng dẫn thực nghiệm. Một trong những cơ sở quan trọng hàng đầu của cơ học lượng tử ( CHLT) là phương trình Srodinger ở trạng thái dừng. Chỉ có thể giải thích được chính xác phương trình này khi xét hệ 1e, 1 hạt nhân ( hệ đơn giản). Trên cơ sở kết quả này, một số khái niệm quan trọng của hoá học được hình thành. Những khái niệm đó không chỉ giúp chúng ta hiểu sâu mà còn góp phần quan trọng Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 3 Khoá luận tốt nghiệp trong việc cung cấp kiến thức cơ bản phục vụ cho việc học hoá học được tốt hơn. Không giống như mô hình của nguyên tử Bo. Các điện tử trong mô hình sóng là các đám mây điện tử chuyển động trên các quỹ đạo và vị trí của chúng được đặc trưng bởi phân bố xác suất chứ không phải là một điểm rời rạc. Điểm mạnh của mô hình này là nó tiên đoán được các dãy nguyên tố có tính chất tương tự nhau về mặt hoá học trong bảng tuần hoàn các nguyên tố hoá học. Với chuyên ngành hoá học đặc biệt là trong hoá học vô cơ đó là những kiến thức cơ bản để giải thích cấu tạo và tính chất lý hoá học của các nguyên tố. Cơ học lượng tử và phương trình Srodinger là một lý thuyết khó, trừu tượng và phức tạp. Trong trường đại học do điều kiện thời gian, sinh viên ngành hoá học chưa có điều kiện tìm hiểu sâu về những ứng dụng cụ thể của phương trình Srodinger vào hệ đơn giản. Để góp phần làm tăng hiệu quả học tập của mình và giúp cho các bạn sinh viên yêu thích lĩnh vực này hiểu biết sâu sắc, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “ Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản" II .Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình Srodinger tổng quát trong CHLT, từ đó xây dựng phương trình Srodinger ở trạng thái dừng. Nghiên cứu những ứng dụng của phương trình Srodinger trong các hộp thế và trường xuyên tâm. Trên cơ sở đó làm sáng tỏ những ưu điểm khi áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản. Đây cũng là những kiến thức rất cần thiết dùng làm tài liệu cho giáo viên và sinh viên môn hoá học. Đồng thời đó cũng là những kiến thức vô cùng quan trọng giúp cho việc giảng dạy của em sau khi ra trường đạt kết quả cao hơn. III - Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 4 Khoá luận tốt nghiệp Phương trình Srodinger tổng quát và phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian. Phương trình và nghiệm phương trình Srodinger trong bài toán hộp thế và trường xuyên tâm. Nghiệm phương trình Srodinger cho hệ đơn giản. IV - Nhiệm vụ nghiên cứu: 1. Khái quát chung về phương trình Srodinger 1.1. Cơ sở hình thành phương trình Srodinger 1.2. Hàm sóng - phương trình Srodinger tổng quát 1.3. Phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian. 1.4. Những định luật bảo toàn trong CHLT 2. Áp dụng phương trình Srodinger trong bài toán hộp thế 2.1. Bài toán hộp thế một chiều 2.2. Bài toán hộp thế ba chiều 3. Áp dụng của phương trình Srodinger trong trường xuyên tâm 3.1. Trường xuyên tâm 3.2. Toạ độ cầu 3.3. Biểu thức của một số toán tử của hạt trong hệ toạ độ cầu 3.4. Trị riêng của toán tử L 2 và L z 3.5. Hàm cầu 3.6. Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm 4. Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản 4.1. Mở đầu 4.2. Phương trình Srodinger 4.3. Kết quả giải phương trình Srodinger 4.4. Quang phổ nguyên tử hidro Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 5 Khoá luận tốt nghiệp 4.5. Hàm mật độ - Mây electron 4.6. Obitan nguyên tử 5. Giá trị - ý nghĩa 4 số lượng tử 6. Một số dạng bài toán trong hệ đơn giản V - Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến CHLT và phương trình Srodinger, các tài liệu liên quan đến hoá học lượng tử. Sử dụng công cụ toán học : Sử dụng các kiến thức giải thích, đại số để xác định năng lượng, hàm sóng của hạt vi mô Tham khảo ý kiến của các thầy cô hướng dẫn làm đề tài nghiên cứu. PHẦN II : NỘI DUNG A - CƠ SỞ LÝ THUYẾT I - KHÁI QUÁT CHUNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER 1 - Cơ sở hình thành phương trình Srodinger. Trong những năm 1926- 1927 Srodinger ( 1887- 1961) đã hình thành một lý thuyết trên cơ sở hoàn toàn mới. Ông xuất phát từ tư tưởng của Đơ Brơi về sóng vật chất và từ sự tương tự quang cơ. Lưỡng tính sóng hạt của ĐơBrơi Năm 1924 nhà vật lí Pháp Luis ĐơBrơi cho rắng các vi hạt cũng có lưỡng tính sóng hạt như ánh sáng. Theo ĐơBrơi, ứng với chuyển động của hạt tự do ( tức có thế năng U = 0 ) có một quá trình sóng gọi là sóng liên đới của hạt ( hay sóng ĐơBrơi) lan truyến theo hướng vectơ xung lượng P  = mv của hạt và có bước sóng λ xác định như sau: Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 6 Khoá luận tốt nghiệp P = P  = mv = λ h hay mv h = λ với m : khối lượng của hạt v : tốc độ hạt h : hằng số plăng h = 6,625.10 -34 j.s = 6,625.10 -27 ec.s 2. Hàm sóng ( ψ ) - phương trình Srodinger tổng quát. 2.1- Hàm sóng : Trong CHLT trạng thái chuyển động của electron được đặc trưng bằng hàm sóng ψ ( pơxi). ψ là hàm hữu hạn, liên tục, đơn trị và bằng 0 ở những chỗ không có mặt electron và thoã mãn điều kiện chuẩn hoá hàm sóng: ∫ d ψ 2 t = 1 toàn không gian Mây electron là miền không gian gần hạt nhân nguyên tử. Trong đó xác suất có mặt electron là nhiều nhất( khoảng 90%).Mây electron được xác định bằng một bề mặt gồm các điểm có mật độ xác suất bằng nhau. Các mây electron khác nhau có hình dạng và kích thước khác nhau. VD : Mây electron 1s có dạng hình cầu r = 0,529 A 0 2.2 . Phương trình Srodinger tổng quát: Hàm sóng ),( tq ψ mô tả trạng thái của hệ lượng tử biến thiên trong thời gian theo phương trình Srodinger tổng quát: i  t∂ ∂ ψ = H ˆ ψ (1) Trong đó : i = 1− Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 7 Khoá luận tốt nghiệp H ˆ là toán tử Hamintơn của hệ, trong trường hợp tổng quát, H ˆ có thể phụ thuộc cả vào t, tức là ), ˆ , ˆ ( ˆˆ tqpHH = 3. Phương trình Srodinger không phụ thuộc thời gian. a, Thiết lập phương trình: khi hệ lượng tử là kín( không tương tác với bên ngoài) hợac chuyển động trong một trường ngoài không dổi theo t thì H ˆ của hệ không chứa t : ) ˆ , ˆ ( ˆˆ qpHH = tức là 0 ˆ = ∂ ∂ t H Khi đó có thể tách biến q và t của ),( tq ψ tức là có thể viết ; ),( tq ψ = )().( tfq ψ (2) Thay pt (2) vào (1) ta có : i ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) tfqH t tfq ˆ . ψ ψ = ∂ ∂  i ( ) ( ) ( ) ( ) qHtf t tf q ψψ . ˆ . = ∂ ∂  i ( ) ( ) ( ) ( ) q q H dt tdf tf ψ ψ ˆ 1 = (3) Vế trái của phương trình (3) phụ thuộc vào biến t.Vế phải của phương trình (3) phụ thuộc vào biến q. Do đó hai vế chỉ có thể bằng nhau nếu chúng bằng một hằng số chung λ nào đó.Khi đó ta có : i ( ) ( ) tf dt tdf λ = (4) ( ) ( ) qqH ψλψ . ˆ = (5) Phương trình (5) là phương trình trị riêng của H ˆ . Khi không chứa t thì trị riêng của H ˆ là năng lượng toàn phần E của hệ lượng tử. Vì H ˆ là ecmít ==⇒ E λ số thực Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 8 Khoá luận tốt nghiệp Trong CHLT, các trạng thái của hệ có mức năng lượng E xác định ( không phụ thuộc thời gian ) gọi là trạng thái dừng. Vậy ta có ; ( ) ( ) qEqH ψψ = ˆ (6) (6) gọi là phương trình Srodinger dừng ( không phụ thuộc thời gian), thường gọi đơn giản là phương trình Srodinger. Đó là phương trình quan trọng nhất của hoá học lượng tử. Với H ˆ là toán tử Hamintơn : U m UTH h ˆ 8 ˆˆˆ 2 2 2 +−=+= ∆ π (7) ( ) q ψ là hàm sóng của e E : là năng lượng toàn phần của e.Gọi là trị riêng của toán tử Hamintơn. Thay (7) vào (6) ta có : ( ) ( ) 0. ˆ =− qEqH ψψ ( ) ( ) 0).( 8 2 2 2 =−−−⇔ ∆ qUEq m h ψψ π ( ) ( ) 0)( 8 2 2 2 =−+⇔ ∆ qUE m q h ψψ π Với zyx 2 2 2 2 2 2 2 ∂ + ∂ + ∂ = ∂∂∂ ∆ Ta có phương trình Srodinger dạng cụ thể hơn : ( ) 0 8 2 2 2 2 2 2 2 2 =−+           ∂ + ∂ + ∂ ∂∂∂ ψψ π UE m hzyx (8) Nghiệm của phương trình Srodinger là hàm sóng ψ và năng lượng toàn phần E Hàm sóng Srodinger là hàm sóng có vô số nghiệm : ψψψ n , 21 Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 9 Khoá luận tốt nghiệp Phương trình chỉ có nghiệm đúng cho 1e và gần đúng cho hệ nhiều e b, Một vài thuộc tính của trạng thái dừng : + / Trong trạng thái dừng mật độ xác suất ( ) tq, 2 ψ không thay đổi theo thời gian ( tức được bảo toàn) +/ Trong trạng thái dừng, nếu toán tử A ˆ không chứa t tức là : 00 ˆ =⇒= ∂ ∂ dt Ad t A Vậy A được bảo toàn ( không phụ thuộc thời gian) 4. Những định luật bảo toàn cần lưu ý trong cơ học lượng tử: a/ Trong CHLT , đại lượng vật lý A gọi là hằng số hay tích phân chuyển động khi : + 0 ˆ = ∂ ∂ t A + [ ] 0 ˆ , ˆ =AH Nếu hệ ở trạng thái dừng thì trạng thái này cũng là trạng thái riêng của toán tử A ˆ ( vì A ˆ giao hoán với H ˆ ).Khi đó trị trung bình của A đồng nhất với trị riêng của toán tử A ˆ và trị này được bảo toàn. Mặt khác : [ ] 0 ˆ , ˆ =HH khi 0 ˆ = ∂ ∂ t H thì năng lượng E của hệ là tích phân chuyển động. Theo định nghĩa : + Nếu hệ ở trạng thái dừng thì E = const + Nếu hệ không ở trạng thái dừng thì E = const b/ Định luật bảo toàn tính chẵn lẻ : Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá 10 [...]... giá trị bất kì từ 0 → + ∞ IV - ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER CHO MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN: 1 Mở đầu : Hệ đơn giản mà ta xét là hệ gồm 1e và 1 hạt nhân Đó là nguyên tử Hidro và giống Hidro như He+ , Li 2+ Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá Khoá luận tốt nghiệp 26 Hệ gồm một hạt nhân tích điện dương (+) với số đơn vị điện tích bằng Z → Z e0 ( e0 là điện tích nguyên tố ), một electron, có điện tích –... trong không gian 3 chiều của e ( số lượng tử chính n, số lượng tử phụ l, số lượng tử từ m ) III ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH SRODINGER TRONG TRƯỜNG XUYÊN TÂM 1.Trường xuyên tâm : 1.1 Khái niệm: Trường lực được gọi là trường lực đối xứng xuyên tâm nếu lực tác dụng vào một vật chuyển động trong trường đó đi qua một điêm cố định được chọn làm tâm của trường và độ lớn của lực tác dụng chỉ phụ thuộc vào khoảng... giải phương trình Srodinger : 3.1 Giải phương trình bán kính : Giải phương trình bán kính ta được nghiệm : Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá Khoá luận tốt nghiệp 27 x l − 2 l +1 Rnl ( x ) = −C x e 2 Ln+l ( x ) Z    n [ ( n +l )!]  a 0   4( n − l − 1)! Trong đó : C = 3 2 3 4 l : số lượng tử obitan của e ( l = 0, 1, 2, 3 n-1 ) n : số lượng tử chính của e ( n = 0, 1, 2, 3 ∞ )  Một số hàm... tăng dần theo n và sít dần vào nhau tới giới hạn ( n= 0 ) thì bằng 0 ( bắt đầu có sự ion hoá) 3.3 Giải phương trình góc : Phương trình góc : ∧ Y + λY = 0 Giải phương trình trên ta thu được hai số lượng tử l, m và hàm cầu Y lm ( θ ,ϕ ) Trong đó m : số lượng tử từ ( m = 0, ± 1,±2 ± l )  Biểu thức của một số hàm cầu đã chuẩn hoá: Sinh viên : Đặng Thị Thuý K1- ĐHSP Lý Hoá Khoá luận tốt nghiệp l 0 29 m Y lm... Vì ψ ( r) = R( r ) Y ( θ ,ϕ ) Phương trình Srodinger được viêt là : ˆ Hψ ˆ H  (r) = Eψ  (r) R( ) Y ( θ ϕ ) = E R( ) Y ( θ ϕ ) r Sinh viên : Đặng Thị Thuý , r , K1- ĐHSP Lý Hoá Khoá luận tốt nghiệp 2 ⇔r ∇ R 2 r 24 2m r R+ [E −U ( ) ] = − ∧YY 2 2 r  R( ) , Kí hiệu R là (18) Y là Y ( θ ,ϕ ) r Từ đó ta có 2 phương trình : + Phương trình bán kính : r∇ 2 2 r R + Phương trình góc : R+ 2m r  [E −U ( )... Quang phổ nguyên tử Hidro 4.1 Mô tả: Quang phổ nguyên tử H – một quang phổ phát xạ đơn giản nhất – có thể thu được bằng thực nghiệm như sau : phóng điện qua một ống mao quản chứa khí hidro ở áp suất thấp – vào khoảng vài mm Hg – còn gọi là hidro loãng, nhờ một máy quang phổ lăng kính mà thu được quang phổ vạch Ở một vùng bước sóng xác định, ta có một dãy tương ứng gồm các vạch phổ rời nhau Các vạch phổ... = ψ( ) + K2 x h 2 E > 0 = 0 ( 9) Phương trình ( 9) là phương trình vi phân đơn giản có nghiệm dạng : ψ ( ) = A cosKx x + B.sinKx Đối chiếu với điều kiện biên bài toán ta có: + Tại x = 0 A =0 + Tại x = a ⇒ ψ( ) x = BsinKa = 0 Ka = n π ⇒ K = ⇒ sinKa = 0 ψ n( x ) nπ a ( với n = 1, 2, 3 )  nπ  = B sin  x  a  Hàm sóng ψ n( x ) mô tả chuyển động của e trong hộp thế một chiều với chiều rộng a thế năng... vào số nguyên n = 1, 2, 3 gọi là số lượng tử 8π mE 2 2 c, Mặt khác từ phương trình : K = và h 2 nπ 2 ⇒K = K= a ( hn) suy ra E = 8m a ( nπ ) a 2 2 2 2 Dựa vào phương trình trên ta xác định được năng lượng toàn phần của electron trong hộp thế 1 chiều Năng lượng toàn phần này nhận các giá trị gián đoạn, rời rạc, phụ thuộc vào n Ta nói rằng năng lượng của hạt trong giéng thế bị lượng tử hoá Đối với một. .. tử là một hàm sóng ( Ψ ) mô tả trạng thái chuyển động của một elctrron ( Vi hạt) trong không gian xung quanh hạt nhân nguyên tử, kí hiệu AO 6.2 Kí hiệu và số lượng Obitan: 6.2.1 Kí hiệu : Một AO gồm 2 phần là : n: Viết bằng số ( n=1,2,3…) l: Viết bằng kí hiệu (l= s, p, d, f…) Khi : l >= 1 có thể dùng thêm phần thứ 3 chỉ toạ độ 6.2.2 Số lượng AO Từ biểu thức :  Ψ nlm = Rnl( r ) Y( φ , ϕ ) Khi cứ một. .. là hàm riêng đồng thời của Y lm ( θ ,ϕ ) ˆ L 2 và ˆ L z là nghiệm của phương trình vi phân : ∧ Y lm + l ( l + 1) Y lm = 0 ( ∧ là laplaxieen góc ) Dạng cụ thể của một vài hàm cầu đầu tiên : Y 00 Y 11 1 = 4π = Y 3 + iϕ sin θ e 8π Y 10 3 cos θ 4π = 1, −1 = 3 − iϕ sin θ e 8π 7 Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm : 7.1 Phương trình Srodinger trong trường xuyên tâm : ˆ Toán tử H của hạt trong trường xuyên . đề tài: “ Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản& quot; II .Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình Srodinger tổng quát trong CHLT, từ đó xây dựng phương trình Srodinger ở. chuyển động trong trường xuyên tâm 4. Áp dụng phương trình Srodinger cho một số hệ đơn giản 4.1. Mở đầu 4.2. Phương trình Srodinger 4.3. Kết quả giải phương trình Srodinger 4.4. Quang phổ nguyên tử. phương trình Srodinger cho hệ đơn giản. IV - Nhiệm vụ nghiên cứu: 1. Khái quát chung về phương trình Srodinger 1.1. Cơ sở hình thành phương trình Srodinger 1.2. Hàm sóng - phương trình Srodinger