Khoá luận phương trình hàm và một số bài toán ứng dụng

13 2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân là toán tử compact.. 14 3 Một số bài toán liên quan đến phương trình hàm 29 3.1 Các bài toán liên quan đến toán tử com

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MỤC LỤC

1.1 Không gian Banach 4

1.2 Toán tử tuyến tính liên tục 5

1.3 Toán tử compact 5

1.4 Không gian Hilbert 7

2 Phương trình hàm 9 2.1 Phương trình hàm loại I 9

2.1.1 Dạng phương trình tổng quát 9

2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hàm loại I 10

2.1.3 Một số ví dụ về phương trình hàm loại I 10

2.2 Phương trình hàm loại II 13

2.2.1 Dạng phương trình tổng quát 13

2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân là toán tử compact 14

3 Một số bài toán liên quan đến phương trình hàm 29 3.1 Các bài toán liên quan đến toán tử compact 29

3.2 Một số phương trình hàm sơ cấp có liên quan 34

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích hàm là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu các khônggian vectơ được trang bị thêm cấu trúc tôpô phù hợp và các toán tử tuyến tínhliên tục giữa chúng Ngoài những kiến thức cơ bản, đại cương của không gianđịnh chuẩn và một số định lý quan trọng của giải tích hàm tuyến tính thì nộidung của ngành giải tích hàm còn xét các vấn đề cụ thể hơn như các khônggian Lp, không gian Hilbert và các vấn đề liên quan đến toán tử tuyến tính.Trong chương trình học của chúng em, bộ môn giải tích hàm đã được đưa vào

và trở thành một học phần quan trọng ở học kỳ hai năm ba và học kỳ một nămbốn Học phần này chúng em đã được làm quen và nắm được các tính chất củakhông gian Banach, toán tử tuyến tính liên tục, toán tử compact Đặc biệt

là toán tử tuyến tính liên tục và toán tử compact có những tính chất đặc biệtliên quan đến việc giải một số phương trình trong các không gian hàm mà tagọi là phương trình hàm Chính vì điều đó khoá luận này với đề tài: "Phươngtrình hàm và một số bài toán ứng dụng" sẽ đi nghiên cứu các dạng phươngtrình hàm và ứng dụng giải một số phương trình thường gặp

Nội dung nghiên cứu của em tuy không phải là những kết quả mới được tìmthấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽđem lại nhiều kiến thức bổ ích cho bản thân và nhiều thú vị cho độc giả Nộidung khoá luận gồm ba chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Phương trình hàm

Chương 3: Một số bài toán liên quan đến phương trình hàm

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thânnên khoá luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâmgóp ý của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Huế, ngày 5 tháng 5 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian định chuẩn, X được gọi là mộtkhông gian Banach nếu mọi dãy Cauchy trong X đều hội tụ về một điểm củanó

Ví dụ 1.1.2

1 X = C[a,b] là tập hợp các hàm số liên tục trên [a, b] và k x k= max

t∈[a,b] | x(t) |, với mọi x ∈ X Khi đó (X, k k) là một không gian Banach

1.2 Toán tử tuyến tính liên tục

Ta kí hiệu L(X, Y ) là không gian gồm các toán tử A : X → Y tuyến tínhliên tục

Định lí 1.2.1 Giả sử A : X → Y là toán tử tuyến tính có toán tử ngược

A−1 : Y → X liên tục Khi đó

(∀x ∈ X) k Ax k≥ m k x k, với mọi m ≤k A−1 k−1Ngược lại, giả sử A toàn ánh và tồn tại m0 > 0 sao cho

(∀x ∈ X) k Ax k≥ m0 k x kthì A−1 tồn tại, liên tục và k A−1 k≤ m−10

Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề Riesz) Giả sử Y là không gian con đóng của không gianđịnh chuẩn X và khác X Cho z0 ∈ X\Y và  > 0 Lúc đó tồn tại x0 thuộc

hY S

{z0}i sao cho k x0 k= 1, k x0− y k> 1 − , với mọi y ∈ Y

Định lí 1.2.3 (Định lí Banach) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và

A : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục Khi đó A là một phép đồngphôi tuyến tính

Mệnh đề 1.2.4 Cho X là không gian định chuẩn Giả sử x1, x2, , xn là cácvector độc lập tuyến tính trong X Khi đó tồn tại các phiếm hàm tuyến tínhliên tục x∗1, x∗2, , x∗n ∈ X∗ sao cho

1 Cho A : X → Y là một toán tử tuyến tính Lúc đó A là toán tử compact khi

và chỉ khi A biến mỗi tập hợp bị chặn trong X thành tập compact tương đốitrong Y

2 Nếu không gian định chuẩn Y hữu hạn chiều và A : X → Y tuyến tính liêntục thì A compact

3 Toán tử đồng nhất I = id : X → X là compact khi và chỉ khi X hữu hạnchiều

4 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn, A : X → Y là toán tử tuyến tính.Khi đó A được gọi là toán tử hữu hạn chiều nếu dim A(X) < +∞ Nếu A làtoán tử tuyến tính liên tục và A hữu hạn chiều thì A là compact

5 Toán tử compact là liên tục

Định nghĩa 1.3.3 Cho X là một không gian định chuẩn, A : X → X là toán

tử tuyến tính liên tục Giả sử λ ∈ C sao cho tồn tại vectơ x 6= 0 trong X nghiệmđúng

Ax = λxthì λ được gọi là một giá trị riêng của toán tử A và x là một vectơ riêng ứngvới giá trị riêng λ này

Định nghĩa 1.3.4 Cho X là một không gian định chuẩn, A : X → X là toán

tử tuyến tính liên tục Ta gọi λ ∈ C là một giá trị phổ của toán tử A nếukhông tồn tại toán tử ngược bị chặn (A − λI)−1 Tập hợp các giá trị phổ của

A được gọi là phổ của toán tử A, ký hiệu là σ(A)

Nếu λ là một giá trị riêng của toán tử A thì λ ∈ σ(A)

Định nghĩa 1.3.5 Số µ không thuộc phổ σ(A) thì µ được gọi là giá trị chínhquy của toán tử A nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính liên tục (A − µI)−1 Tậphợp các giá trị chính quy của A được ký hiệu là ρ(A)

Định lí 1.3.6 Cho X là một không gian Banach, A là một toán tử compacttrong X và λ 6= 0 Khi đó không gian vectơ con đóng

N (A − λI) = {x ∈ X : (A − λI)x = 0} = {x ∈ X : Ax = λx}

có số chiều hữu hạn

Định nghĩa 1.3.7 (Toán tử liên hiệp) Cho X, Y là hai không gian địnhchuẩn, A : X → Y là một toán tử tuyến tính liên tục.

Lúc đó toán tử tuyến tính liên tục A∗ : Y∗ → X∗ được gọi là toán tử liên hiệpcủa toán tử A nếu

là những toán tử compact Với mọi số α, β, toán tử αA + βB là compact

Định lí 1.4.1 Cho {en, n = 1, 2, } là hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert

X và {λn}n là một dãy trong trường số K Ta có chuỗi

Định lí 1.4.4 Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là toán tử tự liênhiệp và µ là một giá trị riêng của A thì µ là một số thực.

Định lí 1.4.5 Cho X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán tửcompact tự liên hiệp Khi đó với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất một phần tử

x0 ∈ X mà A(x0) = 0 sao cho x được biểu diễn dưới dạng

tự liên hiệp A ∈ L(X) trong không gian Hilbert X là hữu hạn hoặc đếm được.Nếu đếm được thì tập hợp đó tạo thành một dãy hội tụ về 0

được gọi là phương trình hàm loại I

Ví dụ 2.1.1.2 Cho X = Y = C[1,2] là không gian định chuẩn gồm cáchàm liên tục trên [1, 2] với k x k= max

t∈[1,2] | x(t) | với mỗi x ∈ X Khi đó X làmột không gian Banach Giả sử

A : X → X

x 7→ Ax,xác định bởi:

Ax(t) = tx(t), với mọi t ∈ [1, 2]

Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục

2.1.2 Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hàm loại I

Mệnh đề 2.1.2.1 Cho X, Y là hai không gian Banach và A : X → Y là mộtsong ánh tuyến tính liên tục Khi đó phương trình (2.1.1) có nghiệm duy nhất.Chứng minh Xét phương trình (2.1.1):

Ax = y (x ∈ X, y ∈ Y )

Vì A song ánh tuyến tính liên tục nên theo Định lí 1.2.3 với mỗi y ∈ Y tồn tạiduy nhất x ∈ X sao cho Ax = y

Do đó với mỗi y ∈ Y thì phương trình (2.1.1) có nghiệm duy nhất

Mệnh đề 2.1.2.2 Nếu X, Y là hai không gian Banach, A : X → Y là mộttoàn ánh tuyến tính và tồn tại m0 > 0 sao cho k Ax k≥ m0 k x k với mỗi

x ∈ X thì phương trình (2.1.1) có nghiệm

Chứng minh Vì A là một toàn ánh tuyến tính và tồn tại m0 > 0 sao cho

k Ax k≥ m0 k x k với mỗi x ∈ X nên theo Định lý 1.2.1 suy ra A−1 tồn tại.Khi đó với mỗi y ∈ Y tồn tại A−1y = x ∈ X thoả mãn phương trình (2.1.1)

Do đó phương trình (2.1.1) có nghiệm

2.1.3 Một số ví dụ về phương trình hàm loại I

Ví dụ 2.1.3.1 Cho X = C[1,2] là không gian định chuẩn trên trường K gồmcác hàm liên tục trên [1, 2] với k x k= max

t∈[1,2] | x(t) | với mỗi x ∈ X Khi đó X

là một không gian Banach Giả sử

A : X → X

x 7→ Axxác định bởi:

Ax(t) = x(2) − tx(t), với mọi t ∈ [1, 2]

Hãy giải phương trình

Ax(t) = t2x(t) + x(1 − t), với mọi t ∈ [0, 1].

Tìm nghiệm của phương trình

Ax = y, y(t) = 2t − t4, với mọi t ∈ [0, 1] (2.1.3)Bài giải:

Xét phương trình :

Ax = y

⇔ Ax(t) = y(t), ∀t ∈ [0, 1]

⇔ t2x(t) + x(1 − t) = 2t − t4, ∀t ∈ [0, 1]

Thế t bằng 1 − t ta có:

(1 − t)2x(1 − t) + x(t) = 2(1 − t) − (1 − t)4.Theo giả thiết

Do đó x(t) = 1 − t2 với mọi t ∈ [0, 1] Ta thấy x(t) ∈ C[0,1]

Thử lại:

x(t) = 1 − t2 ⇒ x(1 − t) = 1 − (1 − t)2 = 2t − t2.Khi đó

t2x(t) + x(1 − t) = t2(1 − t2) + 2t − t2 = 2t − t4.Vậy nghiệm của phương trình (2.1.3) là hàm x(t) = 1 − t2, với mọi t ∈ [0, 1]

Ví dụ 2.1.3.3 Cho X = C[0,1] là không gian định chuẩn gồm các hàm liêntục trên [0, 1] với k x k= max

t∈[0,1]| x(t) |, với mỗi x ∈ X Giả sử

A : X → X

x 7→ Axxác định bởi:

Ax(t) = x(0) + tx(1), với mọi t ∈ [0, 1]

Khi đó A được gọi là hạt nhân của phương trình (2.2.1).

Nhận xét 2.2.1.2 Phương trình (2.2.1) là một dạng của phương trình (2.1.1).Đặt:

T = I − λAKhi đó (2.2.1) trở thành T (x) = y, đây là phương trình có dạng như phươngtrình (2.1.1)

Ví dụ 2.2.1.3 Cho X = C[0,1] là không gian định chuẩn gồm các hàm liêntục trên [0, 1] với k x k= max

t∈[0,1]| x(t) | với mỗi x ∈ X Giả sử

A : X → X

x 7→ Axxác định bởi:

Ax(t) = x(0) − tx(t), với mọi t ∈ [0, 1]

Ta chứng minh được A là toán tử tuyến tính liên tục

Khi đó ta có phương trình hàm loại II

x − Ax = 0Phương trình này có một nghiệm là hàm x(t) = t, với mọi t ∈ [0, 1]

2.2.2 Một số tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân

T = I − A, T∗ = I∗− A∗với I và I∗ lần lượt là toán tử đồng nhất trong X và X∗

Khi đó (2.2.2) trở thành:

(2.2.3) trở thành:

Từ đây trở đi ta ký hiệu X0 = N (T ) = T−1({0})

Trước khi đi đến các tính chất của phương trình hàm loại II với hạt nhân

là toán tử compact ta đi chứng minh một số bổ đề sau:

Bổ đề 2.2.2.1 T (X) là một tập đóng trong không gian X.

Chứng minh Xét không gian thương X = X/X0 và

• Giả sử với mỗi n ta có Xn 6= Xn+1.

Ta có Xn là không gian con đóng thực sự của Xn+1 nên theo Bổ đề Riesz thìtồn tại xn+1 thuộc Xn+1\Xn sao cho:

k xn+1 k= 1, d(xn+1, Xn) > 1

2, n = 1, 2, (2.2.9)với m > n ta xét phần tử:

Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.2.1 ta có các tập ở (2.2.11) là các tập đóng

Ta sẽ đi chứng minh

T (X) ⊃ T2(x) ⊃ ⊃ Tn(X) ⊃

Lấy y ∈ Tn(X) khi đó tồn tại x ∈ X sao cho y = Tn(x) = Tn−1(T (x)) nên

y ∈ Tn−1(X) Suy ra dãy các tập ở (2.2.11) là dãy giảm

Tương tự như Bổ đề 2.2.2.2 ta sẽ chứng minh được nếu Tn(X) = Tn+1(X) vớimột n nào đó thì Tn(X) = Tn+1(X) = Tn+2(X) =

Thật vậy bây giờ ta giả sử Tn(X) 6= Tn+1(X), (n = 0, 1, )

Theo Bổ đề Riesz ta xây dựng được dãy {xn} sao cho

k xn k= 1, xn ∈ Tn(X)\Tn+1(X), d(xn, Tn+1(X)) > 1

2, (n = 1, 2, ).

(2.2.12)Với m > n tương tự Bổ đề 2.2.2.2 ta có:

A(xn) − A(xm) = xn− T (xn) − (xm− T (xm)) = xn− ˜xtrong đó ˜x = T (xn) + xm− T (xm)

Vì T (xn) ∈ Tn+1(X), xm ∈ Tm(X) ⊂ Tn(X), T (xm) ∈ Tm+1(X) ⊂ Tn+1(X)nên ˜x ∈ Tn+1(X)

a Toán tử T là song ánh từ X’ vào chính nó

b X” là không gian hữu hạn chiều Toán tử T là ánh xạ từ X” vào X”

c Mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn duy nhất dưới dạng:

x = x0+ x00 với x0 ∈ X0, x00 ∈ X00 (2.2.13)Hơn nữa tồn tại M > 0 sao cho

k x0 k≤ M k x k, k x00 k≤ M k x k (2.2.14)

d Toán tử A có thể được biểu diễn dưới dạng:

Chứng minh

a) Ta có X0 = Tr(X) khi đó :

T (X0) = Tr+1(X) = Tr(X) = X0.Suy ra T : X0 → X0

Nếu T (x) = 0 với x ∈ X0 thì chọn n ≥ r sao cho N (Tn) = N (Tn+1) Theo Bổ

đề 2.2.2.2 ta có x ∈ Tn(X) Do đó tồn tại ˜x ∈ X sao cho x = Tn(˜x)

Khi đó 0 = T (x) = Tn+1(˜x) ⇒ ˜x ∈ N (Tn+1) = N (Tn) ⇒ x = Tn(˜x) = 0.Suy ra T đơn ánh

Ta có Tr(X) = Tr+1(X) ⇒ T (X0) = X0 Suy ra T toàn ánh

Vậy T là song ánh

b) Tr = (I − A)r = I − A1 với A1 = Ar

Khi đó theo Định lí 1.3.8 ta có A1 compact

Ta có Tr(x) = 0 với mỗi x ∈ X00 suy ra A1(x) = x với mỗi x ∈ X00

Do đó A1 = IdX 00 compact Theo tính chất 3 của Tính chất 1.3.2 ta suy radim X00 < +∞

Nếu r > 0 thì T (X00) = N (Tr−1), khi đó theo Bổ đề 2.2.2.2 ta có

Từ Bổ đề 2.2.2.1 ta có X0 là tập đóng Theo Mệnh đề 1.1.2 suy ra X0 là mộtkhông gian con Banach của X.

Ta có T0 là song ánh từ X0 vào X0 nên theo Định lí Banach nó là một phépđồng phôi, khi đó ta kí hiệu ánh xạ ngược liên tục của nó là T0−1

Do đó sự biểu diễn ở (2.2.13) của x là duy nhất

Ta có T0−r là toán tử liên tục nên T0−r◦ Tr liên tục

Từ (2.2.17) suy ra tồn tại M1 > 0 sao cho với mỗi x ∈ X

k x0k = k T0−r◦ Tr(x) k≤ M1 k x k Suy ra

k x00k = k x − x0 k≤k x k + k x0 k≤ (M1+ 1) k x k Khi đó nếu chọn M ≥ M1+ 1 thì ta có:

k x0 k≤ M k x k và k x00 k≤ M k x k d) Ta có A = I − T khi đó:

A(x) = x − T (x) ∈ X0, với mọi x ∈ X0nên A là ánh xạ từ X0 vào chính nó

A(x) = x − T (x) ∈ X00, với mọi x ∈ X00

suy ra A(X00) ⊂ X00.

Với x ∈ X ta có x = x0+ x00, x0 ∈ X0, x00∈ X00

Đặt

A0(x) = A(x0), A00(x) = A(x00) (2.2.18)Theo bất đẳng thức (2.2.14) ta suy ra A0 và A00 là toán tử tuyến tính liên tục.Vì

A(x) = A(x0+ x00) = A(x0) + A(x00) = A0(x) + A00(x), với mọi x ∈ X.nên A = A0+ A00 và A0(X) ⊂ X0, A00(X) ⊂ X00

Mà A0 = A − A00 nên theo Định lí 1.3.9 ta có A0 là toán tử compact

Cuối cùng ta chứng minh T0 = I − A0 là phép đồng phôi

Giả sử T0(x) = 0

Ta có 0 = T0(x) = x − A0(x) = x0− A(x0) + x00 = T (x0) + x00

Vì T (x0) ∈ X0 và sự biểu diễn duy nhất của 0 theo công thức (2.2.13) nên

T (x0) = x00 = 0 ⇒ x0 = 0 (theo câu a)

Định lý 2.2.2.5 Điều kiện cần và đủ để (2.2.2) giải được với mọi y ∈ X làphương trình thuần nhất:

có duy nhất nghiệm (rõ ràng nghiệm là x = 0)

Tính giải được của (2.2.2) với mọi y ∈ X tương đương với T (X) = X, điềunày tức là r = 0 Tính duy nhất nghiệm của phương trình(2.2.20) tương đươngvới điều kiện m = 0 Vậy dựa vào Định lí 2.2.2.4 và chú ý trên ta suy ra kếtluận của Định lí 2.2.2.5

Ta xét mối liên hệ giữa phương trình (2.2.2) và (2.2.3) thông qua định lí sau:Định lý 2.2.2.6 Hai không gian N (T ) và N (T∗) có cùng số chiều hữu hạn.Chứng minh Ta có N (T ) ⊂ N (Tr) = X00 và theo Định lí 2.2.2.4 thì X00 làkhông gian hữu hạn chiều do đó N (T ) là không gian hữu hạn chiều Ngoài ra

vì A∗ là toán tử compact nên N (T∗) cũng là không gian hữu hạn chiều

Giả sử dim N (T ) = n và dim N (T∗) = m

Gọi x1, x2, , xn và g1, g2, , gm lần lượt là hệ các phần tử độc lập tuyến tínhcủa N (T ) và N (T∗)

Vì x1, x2, , xn là hệ độc lập tuyến tính nên áp dụng Mệnh đề 1.2.4 tồn tại các

phiếm hàm tuyến tính liên tục f1, f2, , fn sao cho:

Từ (2.2.26) kéo theo αs = 0 do đó x0 = 0 Vì vậy (2.2.23) có nghiệm duy nhất.Theo Định lí 2.2.2.5 suy ra phương trình không thuần nhất tương ứng với(2.2.23) là giải được với bất kì vế phải Đặc biệt, phương trình sau có nghiệm:

f (xk) = 0, (k = 1, 2, , n)

Khi các điều kiện này được thỏa mãn thì nghiệm tổng quát của phương trình(2.2.2) có dạng:

Định lý 2.2.2.9 Giả sử X là một không gian Hilbert, A ∈ L(X) là một toán

tử compact tự liên hiệp và

λ1, λ2, , λn,

là dãy các giá trị riêng khác 0 của A, mỗi giá trị riêng được kể với một số lầnbằng bội của nó,

b) Theo Định lí 1.4.4 thì λn ∈ R với mọi n Do đó từ Định lí 2.2.2.8 ta suy rađiều kiện cần và đủ để phương trình (2.2.27) có nghiệm là y ⊥ N (Tλ).

Khi đó ta chứng minh được nghiệm tổng quát của phương trình (2.2.27) códạng:

x = ¯x + utrong đó ¯x là một nghiệm nào đó của phương trình (2.2.27) và u ∈ N (Tλ).Thật vậy:

suy ra x = ¯x + u là nghiệm của phương trình (2.2.27).

Như vậy ta cần chứng minh