Luồng cực đại trong mạng và một số bài toán ứng dụngNguyễn Văn Trường Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi tr
Trang 1Luồng cực đại trong mạng và một số bài toán ứng dụng
Nguyễn Văn Trường
Bài toán luồng cực đại trong mạng là một trong những bài toán tối ưu trên đồ thị tìm được những ứng dụng rộng rãi trong thực tế cũng như những ứng dụng thú vị trong lý thuyết tổ hợp Bài toán được đề xuất vào đầu những năm 1950, và gắn liền vơi tên tuổi của hai nhà toán học Mỹ là Ford và Fulkerson Trong nội dung bài viết này chúng tôi muốn trình bày thuật toán của hai ông và cài đặt nó cũng như đưa ra một số bài toán ứng dụng của thuật toán
Định nghĩa 2 Một luồng f trong mạng G = (V,E) là ánh xạ f : E → R+ gán cho mỗi cung
e = (v,w) thuộc E một số thực không âm f(e) = f(v,w), gọi là luồng trên cung e, thoả mãn các điều kiện sau:
1) Luồng trên mỗi cung e thuộc E không vượt quá khả năng thông qua của nó:
G - (v) = { w thuộc V : (w,v) thuộc E}; G + (v) = { w thuộc V : (v,w) thuộc E};
3) Giá trị của luồng f là số:
val( f ) = Σ f(s,w) = Σ f(w,t)
w thuộc G + (v) w thuộc G - (v)
Bài toán luồng cực đại trong mạng:
Cho mạng G = (V,E) Hãy tìm luồng f*trong mạng với giá trị luồng val(f*) là lớn nhất Luồng như vậy sẽ được gọi là luồng cực đại trong mạng
Bài toán như vậy có thể xuất hiện rất nhiều trong ứng dụng thực tế mà chúng ta sẽ nghiêncứu trong phần 3 tiếp theo dưới đây
Định nghĩa 3 Lát cắt (X,X*) là một cách phân hoạch tập đỉnh V của mạng ra thành hai tập X và X* = VX, trong đó s thuộc X và t thuộc X* Khả năng thông qua của lát cắt (X,X*) là số:
c(X,X*) = Σ c(v,w)
v thuộc X
w thuộc X*
Lát cắt với khả năng thông qua nhỏ nhất được gọi là lát cắt hẹp nhất
Bổ đề 1 Giá trị của mọi luồng f trong mạng luôn nhỏ hơn hoặc bằng khả năng thông qua của lát cắt bất kỳ của nó: val(f) ≤ c(X,X*)
Trang 2(do phạm vi có hạn của bài báo nên các phần chứng minh xin xem thêm trong [1] )
Hệ quả 1 Giá trị luồng cực đại trong mạng không vượt quá khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất trong mạng
Ford và Fulkerson đã chứng minh được rằng: giá trị luồng cực đại trong mạng đúng bằng khả năng thông qua của lát cắt hẹp nhất
Ta đưa thêm vào một số khái niệm sau: Giả sử f là một luồng trong mạng G = (V,E) Từ mạng G = (V,E) ta xây dựng đồ thị có trọng số trên mạng Gf = (V,Ef), với tập các cung
Ef và trọng số trên các cung được xác định như sau:
1) Nếu e = (v,w) thuộc E với f(v,w) = 0, thì (v,w) thuộc Ef với trọng số c(v,w)
2) Nếu e = (v,w) thuộc E với f(v,w) = c(v,w), thì (v,w) thuộc Ef với trọng số f(v,w) 3) Nếu e = (v,w) thuộc E với 0 < f(v,w) < c(v,w) thì (v,w) thuộc Ef với trọng số c(v,w) - f(v,w) và (w,v) thuộc Ef với trọng số f(v,w)
Các cung của Gf đồng thời cũng là cung của G được gọi là cung thuận, các cung còn lại được gọi là cung nghịch Đồ thị Gf được gọi là đồ thị tăng luồng
Ví dụ: các số viết cạnh các cung của G ở hình vẽ dưới theo thứ tự là khả năng thông qua
và luồng f trên cung
Giả sử P = (s = v1,v2,v3, ,vk = t) là một đường đi từ s đến t trên đồ thị tăng luồng Gf Gọi d là giá trị nhỏ nhất của các trọng số của các cung trên đường đi P Xây dựng luồng f′trên mạng G theo qu y tắc sau: f′(u,v) nhận một trong các giá trị sau:
1) f(u,v) + d nếu (u,v) thuộc P là cung thuận
2) f(u,v) - d nếu (u,v) thuộc P là cung nghịch
3) f(u,v) nếu (u,v) không thuộc P
Dễ dàng kiểm tra được rằng f′ xây dựng như trên là một luồng trên mạng và val(f′) = val(f) + d Thủ tục biến đổi vừa nêu gọi là tăng luồng dọc theo đường P
Địng nghĩa 4 Đường tăng luồng f là mọi đường đi từ s đến t trên đồ thị tăng luồng G(f) Định lý 1 Các mệnh đề sau là tương đương:
1) f là luồng cực đại trong mạng
2) không tìm được đường tăng luồng f
3) val(f′) = c(X,X*) với một lát cắt (X,X*) nào đó
2.Thuật toán tìm luồng cực đại trong mạng
Định lý 1 là cơ sở để xây dựng thuật toán lặp sau đây để tìm luồng cực đại trong mạng: Bắt đầu từ luồng với tất cả các cung bằng 0 (luồng đó được gọi là luồng không), và thực hiện hai thao tác: a) Tìm đường tăng P đối với luồng hiện có; b) Tăng luồng dọc theo đường P, lặp đi lặp lại cho đến khi thu được luồng mà đối với nó không còn đường tăng (bước lặp trên được gọi là bước lặp tăng luồng Ford-Fulkerson)
Sơ đồ thuật toán Ford-Fulkerson được mô tả trong thủ tục sau đây:
While not Stop do
If {tìm được đường tăng luông P}then
Trang 3{tăng luồng dọc theo P}
else stop:=true;
End;
Để tìm được đường tăng luồng trong Gf có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm theo chiều rộng hay tìm kiếm theo chiều sâu bắt đầu từ đỉnh s, nhưng sử dụng thuật toán gán nhãn của Ford-Fulkerson sẽ tối ưu hơn
Thuật toán bắt đầu từ luồng chấp nhận nào đó trong mạng (có thể bắt đầu từ luồng không), sau đó tăng luồng bằng cách tìm các đường tăng luồng bằng phương pháp gán nhãn cho các đỉnh Mỗi đỉnh trong quá trình gán nhãn sẽ ở một trong ba trạng thái: chưa
có nhãn, có nhãn chưa xét và có nhãn đã xét Nhãn của đỉnh v có hai phần và ở một tronghai dạng sau:[+p(v), e (v)] hoặc[-p(v), e (v)] Phần thứ nhất +p(v) (-p(v)) chỉ ra là cần tăng (giảm) luồng theo cung (p(v),v) (cung (v,p(v))), còn phần thứ hai e (v) chỉ ra lượng lớn nhất có thể tăng hoặc giảm luồng theo cung này
Thuật toán được thực hiện bắt đầu với duy nhất đỉnh s được khởi tạo nhãn và nhãn của nó
là chưa xét, còn tất cả các đỉnh còn lại đều chưa có nhãn Từ s ta gán nhãn tất cả các đỉnh
kề với nó và nhãn của đỉnh s trở thành đã xét Tiếp theo, từ mỗi đỉnh v có nhãn chưa xét
ta lại gán nhãn cho tất cả đỉnh chưa có nhãn kề với nó và nhãn của đỉnh v trở thành đã xét Quá trình cứ lặp lại cho tới khi: hoặc là đỉnh t trở thành có nhãn hoặc là nhãn của tất
cả các đỉnh có nhãn đều trở thành đã xét nhưng đỉnh t vẫn không có nhãn Trong trường hợp thứ nhất ta tìm được đường tăng luồng, còn trường hợp thứ hai đối với luồng đang xét không tồn tại đường tăng luồng (tức là luồng đã là cực đại) Mỗi khi tìm được đường tăng luồng, ta lại tăng luồng theo đường tìm được, sau đó xoá tất cả các nhãn đối với luồng mới thu được rồi lại sử dụng phép gán nhãn các đỉnh để tìm đường tăng luồng Thuật toán kết thúc khi gặp trường hợp thứ hai ở trên
Các thủ tục Tìm đường tăng luồng và Tăng luồng được mô tả như sau:
Procedure Find_Path;
(* Thủ tục gán nhãn tìm đường tăng luồng
p[v], e [v] là các nhãn của đỉnh v;
VT là danh sách các đỉnh có nhãn nhưng chưa xét;
c[u,v] là khả năng thông qua của cung (u,v),u, v thuộc V;
f[u,v] là luồng trên cung u,v (u,v thuộc V) *)
Trang 5trên luông dừng sau không quá val(f*) lần tăng luồng và cho ta luồng cực đại trong mạng.
Tiếp theo là phần cài đặt cụ thể của thuật toán bằng ngôn ngữ Pascal Chương trình dưới đây có sử dụng dữ liệu vào được cho trong file Luong.inp có dạng như sau:
Dòng đầu tiên gồm ba số nguyên là số đỉnh của mạng n, đỉnh phát s, đỉnh thu t
Tiếp theo là một ma trận kích thước n x n thể hiện ma trận trọng số của đồ thị có hướng minh hoạ cho mạng cần tìm luồng cực đại
Dữ liệu ra được cho trong file Luong.out có dạng như sau:
Phần đầu tiên là một ma trận kích thước n x n thể hiện luồng cực đại tìm được (phần tử (i,j) của ma trận là luồng trên cung (i,j))
Dòng tiếp theo là một số nguyên cho biết giá trị luồng cực đại trong mạng
Chẳng hạn với mạng được cho trong hình vẽ ở trên thì các file tương ứng là:
Nội dung chương trình như sau:
var vt,e,p:array [1 50] of integer;
c, f:array [1 50,1 50]of byte;
Trang 6l:=l+1;vt[l]:=v;vt1:=vt1+[v];
if v=t then exit;
end;
if (c[v,u]>0)and(f[v,u]>0)then begin
p[v]:=-u;e[v]:=e[u];
if e[u]>f[v,u]then e[v]:=f[v,u]; l:=l+1;vt[l]:=v;vt1:=vt1+[v];
begin
Trang 7Bài 1 (mạng với nhiều điểm phát và nhiều điểm thu)
Cho n kho cần chuyển hàng s1,s2, sn và m kho nhận hàng t1,t2, ,tm Hãy tìm một phương án chuyển hàng sao cho lượng hàng được chuyển là lớn nhất, cho biết trước số lượng hàng cần chuyển cũng như khả năng chứa hàng ở mỗi kho và số hàng có thể chuyển từ si đến tj là c(i,j)
Trang 8Bài toán này có thể đưa về bài toán mạng với nhiều điểm phát và điểm thu Ta coi các kho si là các điểm phát, các kho nhận tj là các điểm thu Đồng thời đưa vào một điểm phát giả s nối với tất cả các điểm phát và một điểm thu giả t được nối với các điểm thu Giá trị c(s,si) bằng số hàng cần chuyển ở kho si , và c(tj,t) bằng khả năng chứa hàng trongkho tj
Bài 2 (bài toán với khả năng thông qua ở các cung và các đỉnh)
Hãy tìm một phương án vận chuyển dầu từ một bể chứa s tới bể nhận t thông qua hệ thống đường ống dẫn dầu, sao cho lượng dầu chuyển được là nhiều nhất Cho biết trước lượng dầu lớn nhất có thể bơm qua mỗi đường ống và qua mỗi điểm nối giữa các ống Phương án giải bài toán như sau: xây dựng đồ thị G = (V,E), với V là tập các đỉnh của đồ thị gồm s, t và tập các điểm nối, còn E là tập các cung của đồ thị gồm các đường ống dẫn dầu Trong G, với mỗi đỉnh v thuộc V thì tổng luồng đi vào đỉnh v không được vượt quá khả năng thông qua d(v) của nó:
Σf(w,v) ≤ d(v)
w thuộc V
để tìm luồng cực đại giữa s và t trong mạng như vậy ta xây dựng một mạng G′ sao cho: mỗi đỉnh v của G tương ứng với hai đỉnh v+ và v - trong G′, mỗi cung (u,v) trong G tương ứng với cung (u-,v+) trong G′, và mỗi cung (u-,u+) trong G′ có khả năng thông qua
là d(v) tức là bằng khả năng thông qua của đỉnh v trong G Dễ thấy luồng cực đại trong G
′ bằng luồng cực đại trong G với khả năng thông qua của các cung và các đỉnh
Bài 3 (đề thi sinh viên giỏi toàn quốc 1994-1995)
Cho một bảng chữ nhật kích thước MxN (M, N < 100) các ô vuông Trong đó có một số
ô trằng, còn lại là đen Hãy chọn 2M ô đên trong bảng sao cho thoả mãn các điêu kiện:1) mỗi dòng chọn đúng 2 ô đen
2) số ô đen được chọn trong cột chọn nhiều ô nhất là nhỏ nhất
Ta phát biểu bài toán dưới một dạng khác: xét mạng gồm N + M + 2 đỉnh, gồm hai đỉnh thu và phát s, t ; M đỉnh tương ứng với M dòng còn N đỉnh còn lại tương ứng với N cột của bảng Đỉnh s nối với tất cả các đỉnh tương ứng với dòng, các đỉnh tương ứng với cột nối với đỉnh thu t, nếu ô (i,j ) là ô đen thì ta nối đỉnh thứ i của dòng với đỉnh thứ j của cột.Khả năng thông qua của các cung được xác định như sau:
- Mọi cung xuất phát từ đỉnh s có khả năng thông qua bằng 2
- Mọi cung nối cặp đỉnh dòng và cột có khả năng thông qua bằng 1
- Mọi cung nối với đỉnh thu t thì khả năng thông qua sẽ thay đổi trong quá trình thay đổi bài toán luồng để thoả điều kiện thứ hai của bài toán, song chúng luôn bằng nhau, ban đầu khả năng thông qua của các cung này đều bằng 1 Sau mỗi bước tìm được luồng cực đại ta có thể tăng khả năng thông qua của các cung này thêm 1 đơn vị phụ thuộc vào luồng vừa tìm được đã thoả mãn điều kiện thứ nhất của bài toán hay chưa
Bài toán phát biểu lại như sau: Tìm một mạng có khả năng thông qua của các cung tại đỉnh thu là bé nhất sao cho giá trị của luồng tại các cung chứa đỉnh phát đều bằng 2 Với cách phát biểu trên ta có thuật toán giải như sau:
1 Ban đầu xét mạng có khả năng thông qua tại các cung chứa đỉnh thu đều bằng 1
2 Mỗi bước tìm một luồng cực đại Nếu luồng tìm được thoả mãn điều kiện 1, nghĩa là giá trị luồng tại mỗi cung chứa đỉnh phát đều bằng 2 thì ta dừng thuật toán, ngược lại ta tăng khả năng thông qua của các cung thêm một đơn vị và quay lại bước 2
Trang 9Bài toán không tồn tại lời giải khi khả năng thông qua của các cung chứa đỉnh thu đều bằng N mà không tồn tại luồng cực đại sao cho giá trị của luồng tại các cung chứa đỉnh phát đều bằng 2
Bài 4
Có n sinh viên cần đi thực tập ở m trường Mỗi sinh viên i có quyền đăng ký nguyện vọng thực tập vào các trường với số lượng trường đăng ký là c(i): 0 ≤ c(i) ≤ m Hãy tìm một phương án bố trí các sinh viên vào các trường sao cho thoả mãn được nhiều nguyện vọng nhất và nếu có thể thì số lượng trường có sinh viên được bố trí vào thực tập càng ít càng tốt Dữ liệu vào cho trong tệp THUCTAP.INP có cấu trúc như sau: dòng đầu gồm hai số nguyên n, m; tiếp theo là một ma trận gồm n hàng, m cột: ô (i,j) bằng 1 nếu sinh viên i có nguyện vọng đăng ký thực tập ở trường j và bằng 0 trong trường hợp ngược lại
Dữ liệu ra ghi vào tệp THUCTAP.OUT gồm một ma trận gồm n hàng, m cột: ô (i,j) bằng
1 nếu sinh viên i được bố trí thực tập ở trường j và bằng 0 trong trường hợp ngược lại Bài toán này khá dễ giải nếu ta phát hiện ra rằng: để thỏa mãn yêu cầu thứ hai của đầu bàithì chỉ cần bỏ đi một số lượng các trường nhiều nhất trong tập m trường đã cho sao cho
số nguyện vọng được thoả mãn vẫn giữ nguyên như khi chưa bỏ đi trường nào
Các bài toán có thể giải được thông qua thuật toán đã trình bày rất phong phú và đa dạng
Nó còn được sử dụng nhiều trong các bài toán tổ hợp như bài toán đám cưới vùng quê, các bài tối ưu rời rạc (bài toán lập lịch, phân nhóm) Trong các bài toán dạng này, có một
số bài có thể đưa về bài toán tìm cặp ghép đầy đủ tối ưu ( bạn đọc có thể tham khảo thêm trong bài Cặp ghép của tác giả Lê Văn Chương, trong số báo 11/2001 )
Tài liệu tham khảo:
[1] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành-Toán học rời rạc Nhà xuất bản giáo
dục-1997
[2] Robert Sedgewick.' Algorithm ' Princeton University ( USA ) Ađison - Wesley Publishing Co
[3] Một số sách báo và tài liệu tham khảo khác
Nguyễn văn Trường
Một số ứng dụng của bài toán luồng cực đại
Lê Thanh Hà
Ta xét bài toán sau:
- Có m chàng trai, mỗi chàng biết những cô gái mà anh ta vừa ý trong n cô gái trong làng,liệu có thể xếp cặp cho cả m chàng trai đó không
- Có m thợ, mỗi thợ có khả năng làm được một số công việc nào đó Và bạn hãy xắp xếp việc làm cho m thợ sao cho mội thợ chỉ làm một việc và mỗi việc chỉ do một người thợ đảm nhiệm
Trang 10Để giải quyết hai bài toán trên ta xây dựng đồ thị với các đỉnh biểu thị cho các chàng trai Ti(hay người thợ) và các cô gái (hay công việc) còn các cạnh biểu thị sự vừa ý của các chàng trai đối với các cô gái Gi (hay khả năng của các người thợ đối với các công việc) Khi đó đồ thị mà ta nhận được là đồ thị hai phía
Giả sử ta đã thu được đồ thị sau:
Ta gán cho trọng số của mỗi cạnh là 1 Và tìm luồng cực đại từ S sang T Nhưng nếu áp dụng thuật toán lát cắt hẹp nhất để tìm luồng cực đại trong một đồ thị tương đối đơn giản này thì quả thật là "đem dao mổ trâu để giết ruồi" Bạn hãy đọc kĩ đoạn chương trình sau, thuật toán đã cắt lược đi rất nhiều bước của thuật toán tìm luồn cực đại để giải bài toán trên Trong đó hoàn toàn không còn các đỉnh S và T nữa và thời gian của thuật toán này
so với thuật toán tìm luồng chuật thì thật tuyệt vời Và thực tế nó đã hoàn toàn chuyển sang dạng thuật toán tìm cặp ghép cực đại trong đồ thị hai phía
Trang 11fillchar(m,sizeof(m),0);while not eof(f) dobegin
if a[i]=0 then
begin
s:=chr(i);
fillchar(c,sizeof(c),0);repeat
k:=ord(s[length(s)]);delete(s,length(s),1);
Trang 13độ tình cảm hay năng xuất phải là lớn nhất Để giải quyết vấn đề trên ta tiếp tục cải tiến thuật toán trên: Trước tiên ta xây dựng một đồ thị hai phía mới với các đỉnh vẫn như cũ
Ta lần lượt thêm vào đồ thị từng cạnh của đồ thị cũ theo thứ tự từ cao xuống thấp của giá trị trọng số Sau mỗi lần thêm, ta lại tìm một cặp ghép cực đại trong đồ thị đó cho tới khi tìm được giá trị cực đại đó bằng m thì dừng Bạn tham khảo chương trình sau:
Trang 16if (dx[k,j]=1) and (c[j]=0) thenbegin
dtr[j]:=k;
c[j]:=1;
if b[j]<>0 then s:=s+chr(b[j])else
Trang 181 Bài toán phânnhóm sinh hoạt:
Cóm sinh viên và n nhóm sinh hoạt chuyên đề.Với mỗi sinh viên i biết:
- aij =1, nếu sinh viêni có nguyện vọng tham gia vào nhóm j
- aij =0, nếu ngượclại
- pi là số lượngnhóm chuyên đề mà sinh viên i phải tham dự