Các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết và một số bài toán ứng dụng (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ TRÀ MY CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người quan tâm bảo nhiệt tình giúp tơi hồn thành khóa luận Cô người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tơi hồn thành khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè ln sát cánh bên tơi, động viên giúp đỡ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu để hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Trà My LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn lý thuyết số toán ứng dụng ” hoàn thành nỗ lực thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi xin cam đoan kết không trùng với kết khóa luận tốt nghiệp khác Nếu có khơng trung thực khóa luận tơi xin hồn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Trà My MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Đóng góp đề tài NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG 1.1 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm 1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng chất điểm 1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm 1.2 Định luật bảo toàn xung lượng hệ chất điểm 1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng hệ chất điểm 1.2.2 Định luật bảo toàn xung lượng hệ chất điểm 1.3 Một số toán ứng dụng CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TỒN MƠ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13 2.1 Định luật bảo tồn mơ men xung lượng chất điểm 13 2.1.1 Định luật biến thiên mô men xung lượng chất điểm 13 2.1.2 Định luật bảo tồn mơ men xung lượng chất điểm 14 2.2 Định luật bảo tồn mơmen xung lượng hệ chất điểm 15 2.2.1 Định luật biến thiên mômen xung lượng hệ chất điểm 15 2.2.2 Định luật bảo tồn mơmen xung lượng hệ chất điểm 18 2.3 Một số toán ứng dụng 18 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 27 3.1 Định luật bảo toàn chất điểm 27 3.1.1 Định luật biến thiên động chất điểm 27 3.1.2 Định luật bảo toàn chất điểm 28 3.2 Định luật bảo toàn hệ chất điểm 30 3.2.1 Định li biến thiên động hệ chất điểm: 30 3.2.2 Định luật bảo toàn hệ chất điểm 32 3.3 Một số toán ứng dụng 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cơ học lý thuyết khoa học nghiên cứu quy luật chuyển động cân tương tác học vật thể không gian,theo thời gian Sự đời phát triển học lý thuyết liên quan đến vấn đề kĩ thuật nói riêng giới tự nhiên nói chung Vì sở khoa học tự nhiên xã hội Động lực học phần học lý thuyết nghiên cứu cách toàn diện quy luật chuyển động học vật thể tác dụng lực Lý thuyết động lực học xây dựng định luật động lực học Chúng kết hàng loạt thi nghiệm quan sát kiểm nghiệm qua thực tiễn Các định lý phản ánh mối liên hệ cụ thể khác lực với chuyển động Trong giai đoạn phát triển Vật lý học, định luật bảo toàn cho phép ta hiểu sâu sắc thêm nhiều thông tin chuyển động vật thể vận dụng có hiệu việc giải tốn học phức tạp Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp phần động học toán hệ vật việc làm phức tạp Hơn phần lớn toán động lực học hệ, vấn đề chính khảo sát cách chi tiết toàn chuyển động chất điểm thuộc hệ mà nghiên cứu tượng theo mặt riêng biệt Để giải toán vậy, việc sử dụng định luật bảo tồn làm cho q trình giải đơn giản nhanh chóng Chinh vậy, tơi chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn lý thuyết số toán ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn lý thuyết - Sử dụng định luật bảo toàn lý thuyết để giải số tập lý thuyết Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các định luật bảo tồn xung lượng, định luật bảo tồn mơ men xung lượng định luật bảo toàn - Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo tồn mơ men xung lượng định luật bào toàn để giải số tập lý thuyết Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo tồn mơ men xung lượng, định luật bảo tồn vận dụng định luật bảo tồn để giải số tập lý thuyết Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích Nội dung nghiên cứu Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng số tập ứng dụng Chương 2: Định luật bảo tồn mơ men xung lượng số tập ứng dụng Chương 3: Định luật bảo toàn số tập ứng dụng Đóng góp đề tài - Vận dụng định luật bảo toàn li thuyết để giải số tập chuyển động phức tạp vật rắn - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên nghiên cứu học lý thuyết NỘI DUNG CHƯƠNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TỐN ỨNG DỤNG 1.1 Định luật bảo tồn xung lượng chất điểm 1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng chất điểm a Xung lượng chất điểm Tích khối lượng m chất điểm vận tốc v⃗ gọi xung lượng P⃗ chất điểm P⃗ = mv⃗ (1.1) b Định luật biến thiên xung lượng chất điểm Khối lượng chất điểm khơng thay đổi q trình chuyển động nên đạo hàm hai vế (1.1) theo thời gian t, ta được: dP⃗ dv⃗ = m = mω⃗⃗ ( gia tốc chất điểm ) dt → dt ω → → Hay P = F Đây công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng chất điểm Định luật biến thiên xung lượng chất điểm phát biểu sau: “ Đạo hàm véc tơ xung lượng theo thời gian t tổng lực tác dụng lên chất điểm ” → → P= F (1.2) Trong đó: P⃗ xung lượng chất điểm F⃗ lực tác dụng lên chất điểm 1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm Nếu chất điểm cô lập ( lực tác dụng ) tổng hợp lực tác → dụng lên chất điểm 0, nghĩa F = 0 P sin(φ − 90 ) + N = m ωn = m v M vN2 a → −mgcosφ + N = m (1) a Áp dụng định luật bảo toàn A M ( bỏ qua ma sát ), ta có: EA = EM mgh = mv M + mgh1 ( với h1 = a + a sin(φ − 900 ) = a(1 − cosφ) ) → mgh = v + mga (1 − cosφ) m M Do đó: vM2 = 2gh − 2ga(1 − cosφ) = 2g(h − a + acosφ) (2) Từ (1) suy ra: v2 N = m ( M + gcosφ) a Thay (2) vào biểu thức trên, ta được: 2h N = mg ( + 3cosφ − 2) a Do đó, áp lực lên xe goòng lên vòng lộn M là: R = N = mg ( 2h + 3cosφ − 2) a Để xe trượt hết đường tròn mà khơng tách khỏi điểm cao vòng tròn ( nghĩa φ = π → cosφ = −1), áp lực R lên đường tròn R ≥ Tại C, ta có R Cmin → R ≥ nên: 2h mg ( − − 2) ≥ ↔ h ≥ 2,5a a Khi h ≥ 2,5a xe gng hết đường tròn Bài 2: Toa goòng bắt đầu trượt từ điểm A theo đường có lơn vòng dạng đường tròn hở, bán kính r, góc B̂OC = B̂OD = α Hãy tm xem xe gòng phải trượt khơng có vận tốc ban đầu từ độ cao h để hết đường tròn xác định giá trị góc α để độ cao h cực tiểu Giải: y x r h �≡� C � � r Hình 3.2 Khi xe gng khỏi P chịu tác dụng trọng lực P⃗ Chọn trục Oxy ( hình vẽ ) Khi đó, chuyển động xe coi chuyển động vật ném xiên với vận tốc ban đầu v0 hợp với phương ngang góc α ( ≤ α ≤ 900 ) Ta có: v0x = v0 cosα y = v0 sinα − gt {v Phương trình chuyển động xe: x = v0 cosα t { y = v sinα t − gt (1) (2) (I) Để xe gng hết đường tròn vị tri C, vận tốc li độ chuyển động thỏa mãn hệ (I) Tại C, yC = , từ (2) suy ra: y = v0 sinα g Thay vào (1), ta được: xC = DC = v02 sin2 αg Áp dụng định luật bảo toàn A D ( bỏ qua ma sát ) EA = ED mgh = + mgh1 mv ( với h1 = r + rcosα = r (1 + cosα) ) → mgh = m v02 + mgr(1 + cosα) v02 = 2gh − 2gr(1 + cosα) = 2g(h − r − rcosα) Thay vào xC , ta được: xC = 2sin2α (h − r − rcosα) Mà DC = 2rsinα = xC nên: 2rsinα = 4sinαcosα (h − r − rcosα) r →h= + r + rcosα 2cosα Để xe gng hết đường tròn phải thả xe gòng từ độ cao h: h = r ( + + cosα) 2cosα hmin nên α = 450 → hmin = r (√2 + 1) Bài 3: Một chất điểm nặng đặt mặt phẳng nghiêng I với góc nghiêng α1 chuyển động xuống với vận tốc ban đầu không Sau đến vị tri thấp lại chuyển động ngược lên theo mặt phẳng nghiêng II với góc nghiêng α2 (hình 3.4) Cho biết thời gian xuống t 1, xác định thời gian lên t2 Bỏ qua ma sát �⃗ Giải: A B ℎ1 � ⃗⃗ ℎ2 (I) �1 �2 O Hình 3.3 (II) Vì bỏ qua ma sát nên chất điểm chịu tác dụng trọng lực P⃗ phản lực N⃗ nên hệ bảo toàn Chọn gốc O Tại vị tri A mặt phẳng nghiêng (I) vật chuyển động xuống với vận tốc ban đầu không, A : EA = mgh1 Khi hết mặt phẳng nghiêng (I) thời gian t1 , vật chuyển động với vận tốc v Khi lên đến mặt phẳng nghiêng (II) chất điểm dừng B với vận tốc B vB = Cơ B là: EB = mgh2 Áp dụng định luật bảo toàn A B: EA = EB → h1 = h2 ↔ S1 sinα1 = S2 sinα2 (1) Chất điểm chuyển động từ A tới O chuyển động nhanh dần với gia tốc a1 v = a1 t1 { v = 2a S 1 → S1 = vt1 (2) Chất điểm chuyển động từ O tới B chuyển động chậm dần với gia tốc a2 = v − a2 t { − v = −2a2 S1 v = a2 t ↔ {v = 2a S vt → S2 = 2 2 (3) Thay (2), (3) vào (1), ta được: t2 = sinα1 t1 sinα Bài 4: Khẩu súng đặt mô đất độ cao h Vận tốc ban đầu viên đạn ��� hợp với phương nằm ngang góc � Với � tầm bay xa đạn cực đại Bỏ qua sức cản không khí Giải: y � � A � x O Hình 3.4 L Khẩu súng đặt mô đất cao OA = h Phương trình chuyển động đạn là: �= ��0 ��� � � � ={ − ��� 2+ ��0 ���� � + ℎ Khi vật rơi chạm đất: x = S y = � = ��0 ���� �1 � = ��0 ���� �1 (1) ��0 2ℎ ↔{ ���� 2− =0 �1 + ��0 ���� �1 �1 � � − − ��� + ℎ = { (2) Từ (2), suy ra: ��0 √ �� ��� �1 = ���� � + 2�ℎ + � (∗) � Thay (*) vào � = ��0 ���� �, ta được: ��0 ���� √ ��0 ��� � + ��0 �� = ���2 � � ℎ + (3) � 2� Áp dụng định luật bảo toàn A L: �� = �� 1 ���ℎ + �� ��� = � 2 � � 2 → �� � − 2��ℎ − ��0 = 2 ↔� � − 2��ℎ = − ��0 (4) Thay (3) vào (4), ta nhận được: 2��ℎ ���2 � =0 + � − �� 2 2�� ��� ��0 ���� = (�� √2��ℎ) + = ℎ + 2) √2 (1 �� Kết luận chương Điều kiện áp dụng định luật bảo toàn hệ chất điểm hệ khảo sát chuyển động trường hệ kín Định luật bảo toàn liên hệ với tính đồng thời gian, tin ́ h chất mà tính chất học hệ kín không thay đổi “dịch chuyển” hệ theo thời gian Khi áp dụng định luật bảo toàn hệ, ta làm theo thứ tự sau: - Xác định trạng thái hệ khảo sát ( hệ kin hay hệ không kín - Xác định tổng hệ ban đầu - Xác định tổng hệ có thay đổi - Áp dụng biểu thức định luật bảo tồn từ tìm đại lượng cần thiết theo yêu cầu đề KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu định luật bảo toàn lý thuyết số toán ứng dụng, đối chiếu với nhiệm vụ nghiên cứu, đề tài hoàn thành nhiệm vụ đề Trong khóa luận này, chúng tơi nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo tồn mơ men xung lượng, định luật bảo toàn vận dụng định luật bảo tồn khảo sát tốn động lực học Trong phần trọng tâm khóa luận, chúng tơi áp dụng lý thuyết để giải tập tiêu biểu lý thuyết Việc sử dụng định luật bảo tồn làm cho q trình giải đơn giản, nhanh chóng Chúng tơi hy vọng khóa luận làm tài liệu tham khảo có ích cho bạn sinh viên đam mê nghiên cứu vật lý lý thuyết, đặc biệt học lý thuyết – học phần có tính chất sở tồn chương trình vật lý lý thuyết TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Dũng (2004), Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Mình (1998), Cơ học lý thuyết, Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Hữu Mình, Đỗ Khắc Hưởng, Nguyễn Khắc Nhạp, Đỗ Đình Thanh, Lê Trọng Tường, Bài tập vật lý lý thuyết, Nxb Giáo dục, Hà Nội [4] Giáo trình Cơ lý thuyết ( dành cho sinh viên khoa vật li ), Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội [5] Bài giảng PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan học lý thuyết ... Định luật bảo toàn xung lượng số tập ứng dụng Chương 2: Định luật bảo tồn mơ men xung lượng số tập ứng dụng Chương 3: Định luật bảo toàn số tập ứng dụng Đóng góp đề tài - Vận dụng định luật bảo. .. điểm 18 2.3 Một số toán ứng dụng 18 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 27 3.1 Định luật bảo toàn chất điểm 27 3.1.1 Định luật biến thiên... Nghiên cứu định luật bảo toàn lý thuyết - Sử dụng định luật bảo toàn lý thuyết để giải số tập lý thuyết Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo tồn mơ