Các định luật bảo toàn trong cơ lí thuyết và một số bài toán ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ TRẦN THỊ TRÀ MY CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN TRONG CƠ LÝ THUYẾT VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS.NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người quan tâm bảo nhiệt tình giúp hoàn thành khóa luận Cô người giúp ngày tiếp cận có niềm say mê khoa học suốt thời gian làm việc cô Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ hoàn thành khóa luận Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến gia đình, bạn bè sát cánh bên tôi, động viên giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu để hoàn thành khóa luận Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Trà My LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “ Các định luật bảo toàn lý thuyết số toán ứng dụng ” hoàn thành nỗ lực thân hướng dẫn, giúp đỡ tận tình cô giáo PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan Tôi xin cam đoan kết không trùng với kết khóa luận tốt nghiệp khác Nếu có không trung thực khóa luận xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 18 tháng 04 năm 2017 Sinh viên Trần Thị Trà My MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Nội dung nghiên cứu Đóng góp đề tài NỘI DUNG CHƯƠNG 1: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP ỨNG DỤNG 1.1 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm 1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng chất điểm 1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm 1.2 Định luật bảo toàn xung lượng hệ chất điểm 1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng hệ chất điểm 1.2.2 Định luật bảo toàn xung lượng hệ chất điểm 1.3 Một số toán ứng dụng CHƯƠNG 2: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN MÔ MEN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 13 2.1 Định luật bảo toàn mô men xung lượng chất điểm 13 2.1.1 Định luật biến thiên mô men xung lượng chất điểm 13 2.1.2 Định luật bảo toàn mô men xung lượng chất điểm 14 2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng hệ chất điểm 15 2.2.1 Định luật biến thiên mômen xung lượng hệ chất điểm 15 2.2.2 Định luật bảo toàn mômen xung lượng hệ chất điểm 18 2.3 Một số toán ứng dụng 18 CHƯƠNG 3: ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN CƠ NĂNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 27 3.1 Định luật bảo toàn chất điểm 27 3.1.1 Định luật biến thiên động chất điểm 27 3.1.2 Định luật bảo toàn chất điểm 28 3.2 Định luật bảo toàn hệ chất điểm 30 3.2.1 Định lí biến thiên động hệ chất điểm: 30 3.2.2 Định luật bảo toàn hệ chất điểm 32 3.3 Một số toán ứng dụng 34 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cơ học lý thuyết khoa học nghiên cứu quy luật chuyển động cân tương tác học vật thể không gian,theo thời gian Sự đời phát triển học lý thuyết liên quan đến vấn đề kĩ thuật nói riêng giới tự nhiên nói chung Vì sở khoa học tự nhiên xã hội Động lực học phần học lý thuyết nghiên cứu cách toàn diện quy luật chuyển động học vật thể tác dụng lực Lý thuyết động lực học xây dựng định luật động lực học Chúng kết hàng loạt thí nghiệm quan sát kiểm nghiệm qua thực tiễn Các định lý phản ánh mối liên hệ cụ thể khác lực với chuyển động Trong giai đoạn phát triển Vật lý học, định luật bảo toàn cho phép ta hiểu sâu sắc thêm nhiều thông tin chuyển động vật thể vận dụng có hiệu việc giải toán học phức tạp Trong động lực học,việc sử dụng phương pháp phần động học toán hệ vật việc làm phức tạp Hơn phần lớn toán động lực học hệ, vấn đề chính khảo sát cách chi tiết toàn chuyển động chất điểm thuộc hệ mà nghiên cứu tượng theo mặt riêng biệt Để giải toán vậy, việc sử dụng định luật bảo toàn làm cho trình giải đơn giản nhanh chóng Chính vậy, chọn đề tài “ Các định luật bảo toàn lý thuyết số toán ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn lý thuyết - Sử dụng định luật bảo toàn lý thuyết để giải số tập lý thuyết Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng định luật bảo toàn - Áp dụng định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng định luật bào toàn để giải số tập lý thuyết Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu định luật bảo toàn xung lượng, định luật bảo toàn mô men xung lượng, định luật bảo toàn vận dụng định luật bảo toàn để giải số tập lý thuyết Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý lý thuyết - Phương pháp giải tích Nội dung nghiên cứu Chương 1: Định luật bảo toàn xung lượng số tập ứng dụng Chương 2: Định luật bảo toàn mô men xung lượng số tập ứng dụng Chương 3: Định luật bảo toàn số tập ứng dụng Đóng góp đề tài - Vận dụng định luật bảo toàn lí thuyết để giải số tập chuyển động phức tạp vật rắn - Là tài liệu tham khảo cho sinh viên nghiên cứu học lý thuyết NỘI DUNG CHƯƠNG ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN XUNG LƯỢNG VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 1.1 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm 1.1.1 Định luật biến thiên xung lượng chất điểm a Xung lượng chất điểm Tích khối lượng m chất điểm vận tốc v ⃗ gọi xung lượng ⃗P chất điểm ⃗ = mv P ⃗ (1.1) b Định luật biến thiên xung lượng chất điểm Khối lượng chất điểm không thay đổi trình chuyển động nên đạo hàm hai vế (1.1) theo thời gian t, ta được: ⃗ dP dv ⃗ =m = mω ⃗⃗ ( → ω gia tốc chất điểm ) dt dt →̇ → Hay P = F Đây công thức biểu diễn định luật biến thiên xung lượng chất điểm Định luật biến thiên xung lượng chất điểm phát biểu sau: “ Đạo hàm véc tơ xung lượng theo thời gian t tổng lực tác dụng lên chất điểm ” →̇ → P =F ⃗ xung lượng chất điểm Trong đó: P ⃗F lực tác dụng lên chất điểm (1.2) 1.1.2 Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm Nếu chất điểm cô lập ( lực tác dụng ) tổng hợp lực tác → dụng lên chất điểm 0, nghĩa F = →̇ → Biểu thức P = F trở thành: ⃗Ṗ = Hay ⃗P = ⃗⃗⃗ P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ const Khi xung lượng chất điểm bảo toàn Nếu thành phần lực trục cố định không thời điểm thành phần xung lượng trục bảo toàn Ví dụ: Nếu Fz = Pz bảo toàn Pz = Pz0 = const Chú ý: Nếu thành phần lực trục di động chưa thể suy thành phần xung lượng trục bảo toàn Ví dụ: Giả sử thành phần lực trục ρ hệ toạ độ cực thành phần xung lượng trục lại không bảo toàn Thật vậy: mωρ = Fρ m(ρ̈ − ρφ̇2 ) = Fρ (1.3) Ta biết Pρ = mρ̇ thành phần xung lượng trục ρ Do (1.3) viết dạng: Ṗρ − mρφ̇2 = Fρ Như vậy, Fρ = Ṗρ = mρφ̇2 nghĩa Pρ không bảo toàn Định luật bảo toàn xung lượng chất điểm phát biểu sau: “ Nếu chất điểm cô lập ( lực tác dụng ) tổng hợp lực tác dụng lên chất điểm xung lượng chất điểm bảo toàn ” ⃗Ṗ = hay ⃗P = ⃗⃗⃗ P0 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ const (1.4) 1.2 Định luật bảo toàn xung lượng hệ chất điểm 1.2.1 Định luật biến thiên xung lượng hệ chất điểm Xét hệ chất điểm gồm N chất điểm M1 , M2 , … , MN Lực tác dụng lên chất điểm hệ chia thành nội lực ngoại lực a) Nội lực: lực chất điểm hệ tương tác với Tổng nội lực tác dụng lên chất điểm hệ : N →in ⃗ iin F = ∑F i=1 Trong ⃗Fiin nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i b) Ngoại lực: lực vật thể hệ tương tác lên chất điểm hệ Tổng ngoại lực tác dụng lên chất điểm hệ : N →e ⃗ ie F = ∑F i=1 Trong ⃗Fie ngoại lực tác dụng lên chất điểm thứ i Ký hiệu xung lượng hệ chất điểm ⃗P theo định nghĩa: N N ⃗P = ∑ ⃗Pi = ∑ mi v ⃗i i=1 Trong i=1 Pi  mi vi xung lượng chất điểm thứ i Nghĩa xung lượng hệ chất điểm tổng xung lượng chất điểm hệ Đạo hàm hai vế phương trình theo thời gian, ta được: N ⃗ dP dv ⃗i = ∑ mi dt dt i=1 N ⃗ dP = ∑ mi ω ⃗⃗ i dt i=1 (1) Từ (3.5) suy ra: Công thực dịch chuyển hữu hạn chất điểm từ vị trí r0 đến vị trí r1 tích phân xác định: (r⃗1 ) dU = U(r0 ) − U(r1 ) A = −∫ (3.6) (r⃗0 ) Nghĩa công lực hiệu giá trị vị trí đầu vị trí cuối chất điểm không phụ thuộc vào dạng quỹ đạo mà chất điểm chuyển động Từ (3.4) suy công thức tính lực cho: U = − ∫ ⃗Fdr + C (3.7) Trong C số tích phân xác định “mức không” năng, chọn mức tuỳ ý mà không ảnh hưởng đến giá trị lực công lực Nếu có lực tác dụng lên chất điểm dừng  U   0   t  chất điểm bảo toàn Thật theo định nghĩa chất điểm tổng động nó: E=T+U (3.8) Lấy vi phân hai vế phương trình (3.8) theo thời gian t, ta nhận được: dE dT dU = + dT dt dt Từ định lý biến thiên động biểu thức (3.5), ta có: dT dA dA dU = ; =− dt dt dt dt Suy ra: dE =0 dt Hay mv E= + U(r) = const = E0 29 (3.9) Định luật bảo toàn (3.9) cho ta tích phân đầu chuyển động Tích phân cho phép xác định độ lớn vận tốc hàm vị trí mà tìm nghiệm phương trình chuyển động Khối chất điểm cô lập chất điểm không đổi định luật bảo toàn chất điểm phát biểu sau: “ Các lực tác dụng lên chất điểm lực lực tác dụng lên chất điểm chất điểm không đổi ” E = E0 = const 3.2 Định luật bảo toàn hệ chất điểm 3.2.1 Định lí biến thiên động hệ chất điểm: Phương trình chuyển động chất điểm thứ i hệ chất điểm: ⃗ iin + F ⃗ ie mi ω ⃗⃗ i = F Nhân hai vế phương trình với dịch chuyển tương ứng dri chất điểm thứ i: mi dv ⃗i ̅̅̅̅̅ ⃗ iin + ⃗Fie ) dri ( i = 1, dri = (F N) dt Biến đổi vế trái: dv ⃗i d(v ⃗ i )2 d(mi v ⃗ i2 ) mi dri = mi v ⃗ i dv ⃗ i = mi = = dTi dt 2 Biến đổi vế phải: e ⃗ iin + F ⃗ ie ) dri = F ⃗ iin dri + F ⃗ ie dri = dAin (F i + dAi Ta nhận biểu thức xác định biến thiên động chất điểm thứ i: e dTi = dAin i + dAi Trong đó: mi vi2 Ti  động chất điểm thứ i 30 (3.10) e ⃗ in ⃗e dAin i = Fi dri dAi = Fi dri công nguyên tố nội lực ngoại lực dịch chuyển 𝑑𝑟𝑖 chất điểm thứ i Lấy tổng (3.10) theo tất chất điểm hệ ta nhận được: dT = dAin + dAe (3.11) Trong T động hệ tổng động chất điểm hệ: N T = ∑ Ti i=1 N dA   Fi d ri in in công nguyên tố tất nội lực i 1 N dAe   Fi e d ri i 1 công nguyên tố tất ngoại lực Định lí biến thiên động hệ chất điểm phát biểu sau: “ Vi phân động hệ chất điểm công nguyên tố tất nội lực ngoại lực tác dụng lên chất điểm hệ ” dT = dAin + dAe Khác với định lý biến thiên xung lượng mô men xung lượng hệ, định lý biến thiên động hệ phụ thuộc vào nội lực ngoại lực tác dụng lên chất điểm hệ Để làm sáng tỏ điều này, ta biểu diễn công nội lực dạng: N N ⃗ ji dri + ⃗Fij drj ] = ∑ ⃗Fij (dri − drj ) dAin = ∑ [F i,j=1 (j