PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI TÍCH ĐIỂN HÌNH PHẦN I.. BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP 1.BÀI TOÁN 1: Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với đường thẳng
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI TÍCH ĐIỂN HÌNH
PHẦN I BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP
1.BÀI TOÁN 1:
Lập phương trình đường thẳng d qua A vuông góc với đường thẳng d1
và cắt đường thẳng d2
Cách 1:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng tham số
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng
và cắt (d2) tại B, khi đó B( ) AB
(…) -Gọi 1
là vtcp của (d1), ta có 1
(…)
Bước 2:
Vì (d) (d1) nên : AB
1
1.AB 0
(nhờ tích vô hướng) AB
(…)
Bước 3: Phương trình đường thẳng (d) được cho bởi:
x qua A
vtcp AB
z
Cách 2:
-Giả sử (d) là đường thẳng cần dựng, khi đó (d) chính là giao tuyến của
hai mặt phẳng (P1) và (P2), trong đó:
1
: qua A
P
và
2
: qua A
P
* Phương trình mặt phẳng (P1):
1
: qua A
P
1
qua A
vtptn a
* Phương trình mặt phẳng (P2) (mặt phẳng đi qua một điểm và chứa
một đường thẳng)
Viết phương trình mặt phẳng (P2) bằng 2 cách:
Cách 1: Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d2) AM
Ta có :
2
: qua A
P
Trang 2
:
qua A
n AM a
2 2
2
: qua A :
vtptn
Cách 2: Chuyển phương trình (d2) về dạng tổng quát, sau đó sử dụng chùm mặt phẳng
* Kết luận: Phương trình giao tuyến (d) của (P1) và (P2) có dạng:
1
2
: pt P
d
pt P
, Sau đó chuyển phương trình về dạng tham số hoặc chính tắc
2.BÀI TOÁN 2:
Lập phương trình đường thẳng qua A cắt cả 2 đường thẳng d1 và đường thẳng d2
Bước 1: Gọi (P1) là mặt phẳng qua A chứa (d1), ta lập
Phương trình mặt phẳng (P1)
Cách 1:
Chọn điểm M( ) tùy ý thuộc (d1) AM
1
: qua A
P
1
1
:
qua A
n a
1
n AM a
1 1
: qua A :
vtptn
Cách 2: Sử dụng pp chùm mặt phẳng :
-Gọi (P1) là mặt phẳng qua A chứa (d1), ta có (P1)
thuộc chùm tạo bởi (d1), có dạng :
(P1) : m(pt(1) của (d1)) + n(pt2 của (d1)) = 0
1
( ) : P
Bước 2:
Gọi B là giao điểm của (P1) và (d2) Khi đó tọa độ của B là nghiệm của hệ:
1
d
d
pt
pt
pt P
Trang 3
x
z
Chú ý: Nếu không tồn tại B Kết luận bài toán vô nghiệm
Nếu có vô số nghiệm Kết luận bài toán có vô số nghiệm, đó chính là chùm đường thẳng chứa (d) đi qua A
Bước 3:
Gọi (d) là đường thẳng qua A, B, ta có:
x qua A
vtcp AB
z
Gọi 1
là vtcp của (d1), ta có 1
( )
Từ đó, dễ thấy 1
không cùng phương với AB
Vậy, (d): là đường thẳng cần dựng
* Chú ý: Tồn tại (d) nếu A không nằm trên cặp mặt phẳng song song chứa 2 đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2)
3 BÀI TOÁN 3:
Lập phương trình đường thẳng d1 qua A vuông góc với d và nằm trong mp’(P)
Bước 1:
+) Kiểm tra (d) có cắt (P) tại A không
+) Lập phương trình mặt phẳng (Q) thỏa mãn:
:
d
qua A qua A
Bước 2: Khi đó đường thẳng (d1) chính là giao tuyến của (P) và (Q)
4 BÀI TOÁN 4:
Lập phương trình đường thẳng d1 qua A vuông góc với đường thẳng d
và cắt đường thẳng d
* Gọi (d1) là đường thẳng qua A vuông góc với (d)
và cắt (d), vậy (d1) qua A và H
(H là hình chiếu vuông góc của A lên (d)
* Xác định H:
Trang 4Gọi a
là vtcp của (d), ta có a
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
x
z
Vì H d
, nên H (theo t) AH
0
AH d AH a t H
Phương trình (d1), được xác định bởi:
qua A
vtcp AH
* Cách khác: Dựng (P1) và (P2) thỏa mãn:
1 1
: qua A
P
và
2
2
: qua A
P
Khi đó d1 P1 P2
Sau đó lập phương trình (P1) và (P2), từ đó suy ra phương trình (d1)
5 BÀI TOÁN 5:
Xác định hình chiếu vuông góc của A lên mp’(P)
Mặt phẳng (P) có vtpt n
Gọi (d) là đường thẳng qua A và vuông góc
với (P), ta được:
x qua A
vtcpn
z
Vì hình chiếu vuông góc H của A lên (P) chính là giao điểm của (d) và (P), do đó thay các tọa độ của (d) vào (P) t H
6 BÀI TOÁN 6: Xác dịnh tọa độ điểm A1 của A đối xứng với A qua mp’(P)
Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên mp’(P)
Trang 5Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A1 từ điều kiện H là trung điểm của AA1
7 BÀI TOÁN 7: Xác định hình chiếu vuông góc H của điểm A lên đường thẳng d
Cách 1:
Gọi a
là vtcp của (d), ta có a
Chuyển phương trình (d) về dạng tham số:
x
z
Vì H d
, nên H (theo t) AH
0
AH d AH a t H
Cách 2:
Gọi a
là vtcp của (d), ta có a
Gọi H(x,y,z) là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng (d), suy ra:
8 BÀI TOÁN 8: Xác định tọa độ điểm A1 đối xứng với A qua đường thẳng d
Bước 1: Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc H của A lên đường
thẳng (d)
Bước 2: Suy ra tọa độ điểm A1 từ điều kiện H là trung điểm của AA1
PHẦN II BÀI TẬP
Bài 1: Cho (d1) là đường thẳng:
x y z
và đường thẳng (d2):
x y z
Lập phương trình mặt phẳng chứa (d1) và (d2)
ĐS: 6x-8y+z+11=0
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(-1, 2, -3), vuông góc với
vectơ a (6; 2; 3)
và cắt đường thẳng:
Trang 6
1 3
3 5
ĐS:
x y z
Bài 3: Tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm (1; 2; -2) và song song với
đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
2 0 ( )
x y z
ĐS:
x y z
Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1, 2, 3); a (6; 2; 3)
và đường thẳng (d) có phương trình xác định bởi 2 mặt phẳng : 2 3 5 0 ( )
5 2 14 0 ( )
a) Lập phương trình mặt phẳng
chứa A và (d)
b)Lập phương trình đường thẳng
đi qua A và vuông góc với vectơ a
và cắt đường thẳng (d)
ĐS:
: 3x+3y+2z-9=0; : 1 2 3
5 21 24
x y z
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2, -1, 1); và đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
4 0 ( )
a) Viết phương trình mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với
b) Xác định tọa độ điểm B đối xứng với A qua
ĐS: :y z 2 0
; B(0; 3; 5)
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3, 2, 1); và đường thẳng:
: 3
2 4
x y
d z
a)Viết phương trình mặt phẳng P
đi qua A và chứa (d) b) Viết phương trình đường thẳng
đi qua A, vuông góc với (d) và cắt (d)
Trang 7ĐS: (P): 14x-5y-8z-24=0;
: 14 5 8 24 0
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng
đi qua M(1; 1; 2) và song song với đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
: 3 2 7 0 ( )
3 2 3 0 ( )
d
ĐS: : 1 1 2
x y z
Bài 8: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương
trình:
1 2
3
z t
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1
b) Gọi K là điểm đối xứng của điểm I(2; -1; 3) qua đường thẳng (d) Hãy xác định tọa độ điểm K
ĐS: M1(-3; 4; -6) và M2(9; -2; 12); K(4; 3; 3)
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 3; 2), B(1; 2; 1), C(1; 1; 3) Hãy
viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
ĐS:
1
2
z
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2; -1; 0), vuông góc và cắt
đường thẳng (d) có phương trình xác định bởi 2 mặt phẳng:
5 2 0 ( )
2 1 0 ( )
ĐS: : 2 1
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 3x+6y-z-2=0, và đường thẳng
(d) xác định bởi 2 mặt phẳng:
Trang 81
2
7 14 0 ( )
2 0 ( )
a) Tìm tọa độ giao điểm A của (P) và (d)
b) Tìm phương trình mặt phẳng
qua B(1; 2; -1) và vuông góc với (d)
ĐS: A(0; 0; -2);
: 4x+3y+z-9=0
Bài 12: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương
trình:
1
2
z t
a) Tìm tọa độ các điểm thuộc đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi
điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 6
b) Tìm tọa độ của điểm N đối xứng với điểm M(2; 0; -1) qua đường thẳng (d)
ĐS:
13 3 16 1 9 8
; ; ; ; ; ; 0; 2;1
5 5 5 5 5 5
A A N
Bài 13: Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng xác định bởi 2 mặt phẳng:
2 0 ( )
và vuông góc với mặt phẳng: x – 2y + z + 5 = 0
ĐS:
: 11x – 2y -15z – 3 = 0
Bài 14: Cho đường thẳng 1
:
và đường thẳng
2
:
Tìm tọa độ giao điểm của (d1) và (d2)
ĐS: A(2; 3; 1)
Bài 15: Chứng minh rằng hai đường thẳng sau đây cắt nhau:
ĐS: M(3; 7; 18)
Bài 16: Chứng tỏ rằng hai đường thẳng sau đây không cắt nhau và vuông góc
nhau: 1
1 :
và (d2) xác định bởi 2 mặt phẳng:
Trang 93 5 1 0 ( )
2 3 8 1 0 ( )
Bài 17: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua M(1; 5; 0) và cắt cả
ĐS:
Bài 18: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) qua A(0; 1; 1), vuông
góc với thẳng: 1
:
và cắt đường thẳng 2
2 0 ( ) :
1 0 ( )
d
ĐS:
x y z
Bài 19: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm A(-1, 2, -3), vuông góc với
vectơ a (6; 2; 3)
và cắt đường thẳng (d):
: 1 1 3
ĐS:
x y z
Bài 20: Cho 2 đường thẳng
1 1
a) Chứng minh (d1)//(d2) Viết phương mặt phẳng chứa (d1) và (d2)
b) Tìm tọa độ điểm N đối xứng với M(-2; 3; -4) qua (d1)
ĐS: x + 4y + 11z +10 = 0; N(4; -3; 2)
Bài 21: Cho điểm A(0; 1; 1) và 2 đường thẳng
1 2
2 0 ( )
1 0 ( )
Lập phương trình đường thẳng qua A, vuông góc (d1) và cắt (d2)
ĐS:
x y z
Bài 22: Trong không gian cho 2 đường thẳng
Trang 10 1 2
Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau
Bài 23: Cho đường thẳng xác định bởi phương trình:
và điểm M(4; -3; 2) T?m tọa độ điểm N là hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng đã cho
ĐS: N(1; 0; -1)
Bài 24: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng (d): : 2 1
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến (d)
ĐS: x + 2y + z – 1 = 0;
2 2
Bài 25: Cho điểm A(1; 2; 1) và đường thẳng (d): : 1 3
3 4
x y
d z
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và chứa đường thẳng (d)
b) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng (d)
ĐS: 15x – 11y –z + 8 = 0;
347 26
Bài 26: Trong không gian cho 2 đường thẳng
1 2
a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
ĐS:
8 3
3
Bài 27: Trong không gian cho 2 đường thẳng
a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
ĐS: 2 21
Trang 11Bài 28: Trong không gian cho 2 đường thẳng
2 2
2 0 ( )
1 0 ( )
2
a) Chứng tỏ rằng (d1) và (d2) chéo nhau
b) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
ĐS:
17
419
Bài 29: Trong không gian cho 2 đường thẳng
a) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
b) Tìm tọa độ điểm A đối xứng với điểm B(3; -3; 2) qua đường thẳng (d1) ĐS:
4
3;
1 11 8
; ;
3 3 3
A
Bài 30: (Khối A – 2010)
* Theo chương trình Chuẩn
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 1 2
x y z
và mặt phẳng
(P) : x 2y + z = 0 Gọi C là giao điểm của với (P), M là điểm thuộc Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC = 6
ĐS: Vậy M1 (1; 0; –2); M2 (–3; –2; 0)
d (M1, (P)) = 1 0 2 1
; d (M2, (P)) = 3 4 0 1
* Theo chương trình Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2) và đường thẳng
:
x y z
Tính khoảng cách từ A đến Viết phương trình mặt cầu tâm
A, cắt tại hai điểm B và C sao cho BC = 8
ĐS: d( A, ) =
a.AM a
Phương trình (S) : x2y2(z2)2 25
