Một số bài tập hình học phẳng hay và khó đã sưu tầm và giải

2x-Bài giải:Bùi Đình Hiếu Gọi E và F là trung điểm của DC,AB, và I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang.. Bài 4:Dạng toán chung với các bài liên quan tới Đường tròn 9 điểm Ơ-le Trong mặ

Một số bài hình học phẳng hay, và khó đã sưu tầm và giải

Bùi Đình Hiếu NTH 52vlpt.vn-Mạo Hỡi k2pi.net

Bài 1:(Trích đề HSG số 10 diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014)

Cho hình thang ABCD vuông ở A và B thảo mãn 1 1

AD AB BC Gọi hình chiếu vuông góc các trung điểm của AB và CD xuống đường thẳng AC là H và N.Biết

6

13

HN  C(2; 4) Đỉnh A thuộc đường thẳng 5x+4y-4=0, đường thẳng 11=0 đi qua đỉnh B Xác định tọa độ các đỉnh A, B, D

8x-5y-Bài giải:(Bùi Đình Hiếu)

Đây là một bài toán hay, mới,vì mình lấy ý tưởng từ bài toán hình học vec-tơ của lớp 10

Đặt AD=a

Gọi I,J là trung điểm của AB và CD

Hình chiếu vuông góc của D xuống BC là E

Bài 2:(Đề thi HSG k2pi.net lần 6 2013-2014)

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d): x-y+1=0, và đường tròn:

Ta có điểm M thuộc d nên M(a;a+1)

Gọi K trung điểm của MI thì K 1; 1

AB là trục đẳng phương của hai đường tròn nên có phương trình

3

R

r  Biết phương trình đường thẳng AB là 4y+5=0 Biết đường thẳng AD qua N(8; 5) Xác định toạ độ điểm A?

2x-Bài giải:(Bùi Đình Hiếu)

Gọi E và F là trung điểm của DC,AB, và I là tâm đường tròn nội tiếp hình thang Nên ta có I là trung điểm của EF

Bài 4:(Dạng toán chung với các bài liên quan tới Đường tròn 9 điểm Ơ-le)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC trọng tâmG 1;2 Phương trình đường tròn đi qua trung điểm của hai cạnh AB,AC và chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC là   2 2

2 biến tam giác MNP thành tam giác ABC nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC chính là ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua phép vị tự này Gọi I ; R lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABCvà I' ; R' là tâm và

bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác MNP Suy ra I'(3;-2) ; R' = 5

Sử dụng công thức GI   2GI và R = 2R' để tìm ra tâm và bán kính đường tròn

ngoại tiếp tam giác ABC

Đây chính là đường tròn Euler, đường tròn này đi qua trung điểm ba cạnh tam giác,

ba chân đường cao kẻ từ ba đình và trung điểm của mỗi đỉnh với trực tâm tam giác

Bài 5: (Sưu tầm-nhiều đề thi) Cho tam giác ABC cân tại A , có D là trung điểm

AB Biết 11 5, ; 13 5,

   lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và

trọng tâm tam giác ADC Biết M3, 1   và N 3, 0 lần lượt thuộc CD ,AB Tìm

A,B,C biết tung độ của điểm A dương

Hướng giải: Trần Trung Hiếu

Gọi G là trọng tâm ABC ta chứng minh được I là trực tâm DJG Khi đó viết được

pt(DC) suy ra toạ độ D

tiếp đó viết pt(AG) suy ra toạ độ A sau đó là B.Viết pt ngoại tiếp ABC suy ra C

Bài 6: (Trích đề thi thử trường THPT Đặng Thúc Hứa)Trong mặt phẳng với hệ tọa

độ Oxy, cho tam giác ABC có BAC 135o , phương trình đường cao kẻ từ B là 3x

Vì trung điểm của BC : ( ;1 3) (1 ; 7 3 )

Vì BAC 135oABH 45o | cos( ; ) | cos 45o

Tương tự TH1 ta cũng suy ra được t=3 (thỏa (1)) Suy ra B( 3; 1); (4;   C  2)

Đường thẳng AB đi qua B(-3; -1) và có vtpt là n AB  (1; 2)

Vậy tọa độ các điểm: A(1; 3), ( 3; 1),  B   C(4; 2) 

Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 2 2

(x 1)   (y 3)  25.

Bài 7(Sưu tầm)Cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm H(-3;2) Gọi D,E lần lượt

là chân đường cao kẻ từ B và C Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng (d) : 3=0 và điểm F thuộc đt DE F(-2;3) và HD=2 Tìm tọa độ A

(*) 1

Bài 8(Trích đề thi thử đại học diễn đàn k2pi.net năm học 2013-2014-đề số 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho hình bình hành ABCD với A(-3;6) Biết tam giác ABC có AB AC  60 2 và nội tiếp trong đường tròn có tâm I(1;3) và bán kính R=5 Hình chiếu của điểm A xuống cạnh BC thuộc đường thẳng d :x+2y-3=0 Hãy tìm tọa độ các đỉnh B,C,D biết hoành độ hình chiếu của A lớn hớn 1 và hoành độ của điểm B bé hơn hoành độ điểm C

Lời giải (thai dong)

Mà phương trình đường tròn (ABC) là  2 2

3 6

3 0

1

y x

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đề-các Oxy cho đường tròn

( ) : (C x 2)   (y 3)  4 và hai điểm A(2;-1), B(2;-5) Một đường kính MN thay đổi sao cho các đường thẳng AM,AN cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại P và Q Tìm

tọa độ trực tâm H của tam giác MPQ biết điểm H nằm trên đường thẳng d : x+y +3=0

Lời giải: gsxoan

Từ giả thiết ta thấy hai điểm A,B thuộc (C) và AB là đường kính của hình tròn Gọi H' là hình chiếu của H lên PQ và K là hình chiếu của P lên MQ

Xét tam giác PHQ có hai đường cao là HH' và QK nên M là trực tâm của tam giác PHQ

Mặt khác: Do MN là đường kính nên PA vuông góc với AQ

Bài 10 (Trích đề thi thử đại học số 14/2012-2013 của k2pi.net)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy;cho tam giác ABC có ( :3 1)

2 16

I và E(1;0) lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác.Đường tròn (T) tiếp xúc với cạnh

BC và các cạnh AB,AC kéo dài có tâm là F(2;-8) Tìm tọa độ các điểm A,B và C biết A có tung độ âm

Lời giải:Trần Trung Hiếu

Câu này gần giống câu trong đề thi HSG Nghệ An thì phải

Gọi J là giao của EF và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó có BJ=EJ và tam giác BEF vuông tại B suy ra J là trung điểm EF

Ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp ABC và EBC là

Suy ra (BC)có phương trình :y=-2 do đó B5, 2 ,   C   2, 2

Bài 11(Trích đề thi thử ĐH của k2pi.net-đề số 12/2012-2013)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d x:   y 2 0và hai đường tròn có phương trình lần lượt là 2 2 2 2

(C) : (x 1)  (y 1)  1 ;(C ) : (x 3)  (y 4)  4 Hãy tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho từ M kẻ được lần lượt hai tiếp tuyến MA,MB ( với A,B là tiếp điểm) đến đường tròn ( )C1 và đường tròn (C2)đồng thời đường thẳng d là đường phân giác trong của góc AMB

Hướng giải: Lê Tuấn Anh

Ý tưởng của bài này khá đơn giản:

1 (1;1); ( 3;4) 2

Lấy đối xứng của MA qua OI1thì dễ thấy rằng nó tiếp xúc với ( )C1 tại C

Lại do tính chất đối xứng thì(CM d; )  (BM d; )do đó: MB tiếp xúc với ( )C1 tại C và 2

(C ) tại B

Chứng minh tương tự cho MA

Từ chứng minh trên ta rút ra kết luận rằng: M chính là tâm phép vị tự biến

( )C  (C )

Nói cách khác: M I I1 2

Bài 12(Sưu tầm)Hình thang ABCD vuông tại A và D với CD =2 AB, có đỉnh B (1;2).Hình chiếu vuông góc của D trên AC là H(-1;0) N là trung điểm của HC Phương trình đường thẳng DN là x -2y -2 = 0.Tìm tọa độ các điểm A, C, D

Hướng giải theo Trần Trung Hiếu:

Gọi K là trung điểm của DH.Khi đó ta có

ABNK là hình bình hành và K là trực tâm ADN suy ra BN DN

Do đó tính được toạ độ NC A D, ,

Bài 12:(Sưu tầm)Cho hình vuông ABCD Có đỉnh D(-1;2), M là trung điểm của

BC N nằm trên đoạn AC sao cho 1

4

AN  AC.Phương trình đường thẳng MN là

1 0

x  y Tìm tọa độ các điểm A, B, C

Gợi ý của thầy Lưỡi Cưa:

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD và J là trung điểm của BI Khi

Lời giải: Châu Ngọc Hùng)

AB đi qua HM nên phương trình : 1 5 2 7 0

:x  y 8 0và đường tròn (T): (x 1) 2   (y 2) 2  25.Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên (T),tiếp xúc với d và cắt (T) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho đường thẳng AB đi qua tâm của đường tròn (T)

Hướng giải: Bùi Đình Hiếu:

Gọi H và N lần lượt là tâm của đường tròn (T) và (C)

Giao điểm của 2 đường tròn này là A và B

Theo bài ra ta có A, H, B thẳng hàng nên từ đây tam giác ANB vuông cân ở N Bán kính đường tròn (C)=AN= 5 2

Bài 15:(Trích đề thi số 4 HSG k2pi năm học 2013-2014)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A đỉnh B thuộc đường thẳng d có ph ương trình x-4y-2=0 cạnh AC song song với đường thẳng d Đường cao kẻ từ A có phương trình x+y+3=0 Điểm M(1;1) trên đoạn AB Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác?

Bài giải:

*Do tam giác ABC cân tại A, nên khi dựng hình bình hành AMEM' thì

AMEM' là hình thoi và tâm I là hình chiếu của M trên đường cao AH

* Từ đó ta có cách xác định các đỉnh A,B,C như sau:

+viết pt đt EM đi qua M,//d :x-4y+3=0

Xác định giao điểm E của ME và đường cao AH; E(-3; 0)

+Xác định hình chiếu I của M trên AH; tính ra 3 3;

2 2

  Xác định tọa độ của A theo công thức trung điểm, A(0;-3)

Bài này được chế từ một bài hình học tương tự:Tìm giá trị nhỏ nhất của

2 ; ( , ), 2

Tâm I(1;1),R 5,OA 10  2R

Gọi K thỏa mãn KIA IK;  2,5

Bài 17:(Trích đề thi HSG k2pi năm học 2013-2014 đề số 7) Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy cho tam giác ABC có A(2; 0); C(7; 5) Về phía nửa mặt phẳng bờlà đường thẳng đi qua 2 đỉnh A, C, không chứa B, vẽ tam giác vuông ACE(vuông ở E) Biết diện tích tứ giác ABCE bằng 15, và đường thẳng đi qua 2 đỉnh B,E có phương trình 5x+y-8=0 Biết điểm E có hoành độ nguyên Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC?

Lời giải: Nguyễn Hữu Tú

 thì B nằm cùng phía với E không thoả mãn, do đó B(2;-2)

Từ đây suy ra phương trình ngoại tiếp tam giác ABC là x2 y2  16x 2y 0

Bài 18:( Trích đề thi HSG k2pi năm học 2013-2014 đề số 2)Trong mặt phẳng tọa

độ Oxy; cho 2 đường thẳng d1:x-y-1=0 và d2:x-4y-4=0 cắt nhau tại I và điểm

A(3;1).Tìm M thuộc d1 ;N thuộc d2 sao cho IM=2IN và P=AM+2AN đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải: Lê Tuấn Anh

Bài 19:(Sưu tầm)Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB, đường cao bằng nửa tổng

độ dài hai cạnh đáy Biết rằng điểm A(5; 5); trung điểm của cạnh bên BC là ,

đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình Tìm tọa độ các đỉnh B,C, D?

Lời giải: (Bùi Đình Hiếu)

Từ B kẻ BH vuông góc với CD Lấy E trên tia DC sao cho CE=AB thì ABEC là hình bình hành, do vậy BE=AC=BD, từ đó tam giác DBE cân ở B



Do vậy tam giác BDE vuông cân ởB

Chiều cao của hình thang BH d( ,(A CD))  2 2 BD ACBH 2  4

(AB) có phương trình: x y 10  0

Mâu thuẫn vì BC không là cạnh bên

Bài 20:(Sưu tầm)Cho tam giác ABC có trung điểm M(1;6), trung điểm AC là N(2;3).Phân giác trong góc A cắt BC ở D(3;1) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Lời giải: Bùi Đình Hiếu

Đường thẳng BC đi qua D và nhận MN là vec-tơ chỉ phương, nên (BC):3x-y-8=0 Gọi B(b; 3b-8), dùng công thức trung điểm ta có A(2-b; -3b+8), C(b+2; 3b-2)

Bài 21: (Sưu tầm)Hình thang cân ABCD có AB//CD Phương trình đường chéo

AC là 7x+y-17=0 Phương trình đường thẳng chứa trục đối xứng là 6x-4y-13=0 Trung điểm của BC là 4;3

2

 

  Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang

Lời giải: Bùi Đình Hiếu

Gọi I là trung điểm của AB

, / / AC

(IM) : 7 x y c 0.

53 ( )

Tọa độ I thỏa mãn:

7

; 2 53

DN và đường phân giác trong của góc MDN có phương trình là d x: y 3 6   0.Tìm toạ độ đỉnh D của hình thoi ABCD

Lời giải: Nguyễn Hữu Phương

Từ giả thiết Aˆ 60  0  ABD CBD, là các tam giác đều

Theo đề bài ta có AM BN BM, CN.

Xét hai tam giác ADM và BDN ta có: 0

tam giác bằng nhau ADM BDN(1).

Xét hai tam giác BMD và CND ta có: 0

Lời giải: (Hoàng Kim Quân):

Cho P là trung điểm của BC.Ta có:

Kẻ đường thẳng MP giao AB tại trung điể J, cắt (d) Dùng định lý ta lét ((d) song song AB) : Vậy PM đi qua trung điểm I của PDF

Cuối cùng ta tìm được M là giao điểm của P và AF suy ra M(9;-13)

Bài 25: (Trích đề thi thử đại học số 3 năm 2013-2014, k2pi )

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;3),B(2;1),C(6;3) Gọi D là giao điểm của đường phân giác trong BACvới BC Tìm điểm M (có hoành độ hữu tỉ) thuộc đường tròn     2 2

2 2

10 5 10

; 3

Bài 26: (Trích đề thi thử đại học số 2 năm 2013-2014 , k2pi)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AO Gọi (C) là đường tròn tâm A , đường kính OD Tiếp tuyến của (C) tại

D cắt CA tại E(-8;8) Đường thẳng vuông góc với ED tại E và đường thẳng đi qua A, vuông góc với EB cắt nhau tại M(-8;-2) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết đường thẳng EB có phương trình 4x+3y+8=0 Lời giải: Đậu Trọng Nhạc:

Ta có tam giác BCE cân tại B,EC là phân giác góc BED

Hai tam giác vuông ADE và AKE bằng nhau,

ta thấy ngay BE là tiếp tuyến của đường tròn tâm A,từ đây AB là đường trung trực

OK

Phương trình AM có dạng :3x- 4y+c=0 mà đi qua M(-8;-2) nên c=16

AM: 3x-4y+16=0 suy ra 16 8;

Phương trình AB: 10x-5y+20=0 suy ra toạ độ B 2;0 ,  A 0; 4

OB: y=0; EA có phương trình : x+2y-8=0 suy toạ độ C(8;0)

Gọi J trung điểm BC thì J(3;0) và BC=10

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:  2 2