Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình học 7,8

Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình họcphương pháp giải cần vẽ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HSTHCS.. Trong khi tìm các phương pháp giải

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài:

Ngày nay việc nâng cao chất lượng dạy và học là vấn đề được quan tâmhàng đầu Để chất lượng học của học sinh (HS) ngày càng được nâng lên, yêucầu người giáo viên(GV) phải có phương pháp dạy phù hợp và hệ thống bài tập

đa dạng, phong phú đối với mọi đối tượng HS Toán học là một trong những bộmôn khó ở chương trình phổ thông Song nó sẽ không khó nếu như chúng tanắm vững được kiến thức cơ bản, cũng như hiểu được phương pháp giải bài tập Chẳng hạn, khi giải các bài tập hình học, đặc biệt là các bài tập hình họcphương pháp giải cần vẽ thêm đường phụ là những bài toán khó đối với HSTHCS Nhưng khi thông qua một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻthêm đường phụ chắc chắn các em HS sẽ hiểu kĩ hơn, sâu sắc hơn, hứng thú hơn

về phương pháp giải loại toán này Từ đó là nền tảng cho các em trong quá trìnhgiải các bài tập hình ở mức độ cao hơn, phức tạp hơn

Trong khi tìm các phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc kẻ thêmyếu tố phụ làm cho giải các bài toán trở nên dễ dàng hơn.Thậm chí, có nhữngbài toán cần phải vẽ thêm đường phụ thì mới tìm ra được lời giải.Tuy nhiên việc

kẻ thêm đường phụ như thế nào để cho bài toán có lời giải hay và ngắn gọn mới

là vấn đề khiến cho người thầy cần phải đầu tư suy nghĩ

Thực tế cho thấy rằng không có phương pháp chung cho việc vẽ thêm đườngphụ khi giải các bài toán hình học.Vì thế khi giải bài toán đòi hỏi HS phải cósuy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp nhiều kiến thức cũ và mới một cách có hệthống và tổng hợp, để từ đó có cách vẽ thêm những đường phụ hợp lý để có thểđưa đến cách giải hay và độc đáo, và vì vậy khi giải một bài toán hình việc xácđịnh phương pháp là một trong những yếu tố quan trọng để tìm lời giải, điều đóđòi hỏi HS phải có năng lực trí tuệ và tư duy khoa học của hình học, cụ thể làtìm hướng giải và phương pháp giải, để làm được điều đó GV cần phải cung cấpcho HS một số phương pháp giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ

Với đề tài “Hướng dẫn học sinh phương pháp kẻ thêm đường phụ để giải

một số bài toán hình 7;8”, tôi muốn góp phần tạo nên cơ sở để học tốt loại toán

hình có kẻ thêm đường phụ nói riêng và các loại toán hình học nói chung

1.2 Mục đích nghiên cứu :

Mục đích của đề tài là: - Giúp trang bị cho HS một số kiến thức để học tậpmôn Toán nói chung và việc đưa ra phương pháp dạy và học "giải các bài toánhình có kẻ thêm đường phụ " nói riêng tốt hơn

- Để HS ứng dụng làm bài tập một cách chủ động, linh hoạt, tránh lúng túng,mất hướng giải và mất nhiều thời gian, củng cố niềm tin cho HS khi học mônToán nói chung và "giải các bài toán hình có kẻ thêm đường phụ " nói riêng

- Để các em có ý thức vươn lên học tốt hơn bộ môn Toán, cũng như các mônhọc khác.Từ đó dần dần hình thành năng lực học tập, phát triển tư duy sáng tạo,hình thành kỹ năng vẽ hình, tính cẩn thận, chính xác cho HS

1.3 Đối tư ợng nghiờn cứu :

Đề tài ỏp dụng đối với HS THCS chủ yếu là HS lớp 7; 8 trong giờ luyện tập,cỏc buổi học thờm ,bồi dưỡng HS mũi nhọn hoặc bồi dưỡng HS giỏi, ụn tập cuốinăm và ụn tập cho cỏc kỳ thi ở trường, thi HS giỏi cỏc cấp, thi vào cấp TPTH

1.4 Cỏc ph ương phỏp nghiờn cứu:

Trong khi nghiờn cứu đề tài , tụi đó sử dụng một số phương phỏp sau:

- Phương phỏp quan sỏt, điều tra, theo dừi thực tế; Phương phỏp nghiờn cứu;Phõn tớch, tổng hợp; Phương phỏp tham khảo thu thập tài liệu; Phương phỏpthực nghiệm; Phõn tớch, tổng kết kinh nghiệm; Kiểm tra kết quả chất lượng HS

Qua đú giỳp cỏc em cú phương phỏp giải đỳng, trỏnh được tỡnh trạngđịnh hướng sai khi giải bài toỏn hoặc cũn lỳng tỳng trong việc chưa tỡm rahướng giải và trỡnh bày lời giải, giỳp cỏc em làm việc tớch cực hơn, say mờ vàham thớch hơn , để từ đó đạt đợc kết quả cao trong cỏc kỳ thi

1.5 Những điểm mới của SKKN:

- Thụng qua SKKN, HS được nõng cao tư duy sỏng tạo, độc lập, phỏt huy tớnh tự giỏc,tớch cực trong học tập, thỳc đẩy cho cỏc em sự say mờ và hứng thỳ học tập tốt hơn

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận:

Cỏc bài toỏn hỡnh học cú lời giải phải kẻ thờm đường phụ là những bài

toỏn khú đối với HS THCS Bởi vỡ để giải cỏc bài toỏn dạng này khụng chỉ yờucầu HS nắm vững kiến thức mà cũn đũi hỏi HS cần cú một kỹ năng giải toỏn và

cú sự sỏng tạo nhất định Để chứng minh cỏc định lý phải sử dụng việc kẻ thờmđường phụ thỡ trong SGK đề cập đến khụng đỏng kể Việc làm cỏc vớ dụ về dạngtoỏn này ở trờn lớp cũng khụng nhiều Tuy nhiờn, cỏc bài tập trong SGK lại đưa

ra khỏ nhiều dạng toỏn này và đặc biệt là ở một số bài tập nõng cao khi giải phải

kẻ thờm đường phụ, nếu khụng thỡ việc tỡm lời giải trở nờn khú khăn hơn nhiều Trờn thực tế,đối với HS khi giải cỏc bài toỏn dạng này cần phải mất rất nhiềuthời gian nghiờn cứu Mà việc đi sõu vào nghiờn cứu và tỡm tũi cỏc cỏch giải bàitoỏn cú kẻ thờm đường phụ đối với HS cũn rất ớt Mặt khỏc, đối với đa số HSviệc nắm vững về mục đớch,yờu cầu khi kẻ cỏc đường phụ cũng như kiến thức

về một số loại đường phụ cũn rất hạn chế Cỏc tài liệu viết rờng về loại toỏn nàycũng rất ớt nờn việc tham khảo đối với HS cũn gặp nhiều khú khăn

Vỡ vậy với nội dung trỡnh bày của đề tài này bản thõn tụi mong muốn đú sẽ làmột nội dung tham khảo cho GV để gúp phần tạo nờn cơ sở cho GV cú thể dạy tốthơn, HS hiểu và làm tốt hơn cỏc bài tập loại toỏn hỡnh cú kẻ thờm đường phụ

2.2

Thực trạng của vấn đề nghiờn cứu

Trong quỏ trỡnh dạy mụn toỏn núi chung, đặc biệt là phõn mụn hỡnh học núiriờng, tụi nhận thấy hầu hết cỏc em HS khụng thớch và rất ngại khi làm cỏc bàitoỏn hỡnh Bởi vỡ cỏc em thấy nú rất khú, cỏc em khụng biết phương phỏp giải vàgiải như thế nào Chớnh vỡ thế đó làm tụi trăn trở rất nhiều, là một GV trực tiếpdạy bộ mụn toỏn tụi suy nghĩ là làm thế nào để giỳp cỏc em cú được phương

pháp giải các bài toán hình Từ đó giúp các em khi gặp các bài toán hình các emkhông còn ngại nữa mà trở nên ham thích hơn, say mê và hứng thú hơn trongviệc tìm ra lời giải hay, ngắn gọn và đơn giản nhất.

Trước khi đưa vào thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã tiến hànhđiều tra về hiểu và có kỹ năng giải bài toán hình đối với HS khối 7, 8 tại trườngTHCS nơi tôi đang trực tiếp giảng dạy trong các năm học 2014- 2015, 2015-2016

Kết quả thu được như sau:

lơ mơ chưa giải quyết được các bài toán hình học là rất lớn, trong khi đó chỉ một

số ít các em biết giải thành thạo đối với dạng toán này

Từ thực tế trên, bản thân tôi là một GV trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán tạitrường THCS, tôi luôn trăn trở làm thế nào để cuốn hút các em HS vào môn họcnày và làm thế nào để tạo cho các em có một tâm lý vững vàng, không còn sợsệt khi gặp các bài toán hình nữa.Và SKKN“Hướng dẫn học sinh phương

pháp kẻ thêm đường phụ để giải một số bài toán hình 7; 8” là một phươngpháp mà bản thân tôi muốn đưa ra để chúng ta cùng áp dụng nhằm nâng caochất lượng Dạy - Học đối với phân môn Hình học nói riêng và bộ môn Toán nóichung

có với điều kiện đã cho của bài toán và kết luận phải tìm

Nếu kẻ đường phụ không giúp ích cho việc chứng minh thì nó sẽ làm chohình vẽ rối thêm, dẫn đến làm khó thêm cho việc tìm ra lời giải đúng Vì vậy khi

tiến hành kẻ đường phụ, phải luôn đặt ra câu hỏi:”Kẻ đường phụ này có đạt

được mục đích mình yêu cầu không ? ”

1.2 Các đường phụ phải là các đường có trong phép dựng hình cơ bản và phải

xác định được

2 Một số loại đường phụ thường được sử dụng trong giải c¸c bµi toán hình học ở THCS.

- Kéo dài một đoạn thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý

- Nối hai điểm cho trước hoặc hai điểm đã xác định

- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng song song với đường thẳng cho trước

- Từ một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước

- Dựng đường phân giác của một góc cho trước

- Dựng một đường thẳng đi qua một điểm cho trước hợp thành với một đườngthẳng khác một góc bằng góc cho trước

3 Các phương pháp sử dụng đường phụ và phân dạng các loại toán hình

mà lời giải có sử dụng đường phụ.

- Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng

* Phân dạng các loại toán hình mà lời giải có sử dụng đường phụ

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn

định nghĩa hoặc tính chất các hình để giải quyết bài toán.

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là ta có thể tạo

ra các hình rồi sử dụng định nghĩa hay tính chất các hình để giải quyết bài toán

Bài 1: Cho ABC, có B = C Chứng minh: AB =AC

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thêm đường

phụ như thế nào? Để chứng minh được AB = AC gợi cho ta nghĩ ngay đến việc

kẻ thêm đường phụ sao cho AB và AC là 2 cạnh của 2 tam giác nào đó, rồichứng minh 2 tam giác có chứa 2 cạnh đó bằng nhau

* Kẻ thêm đường phụ:

+ Cách1: - Qua A kẻ tia phân giác AI của BAC ( I  BC)

+HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC

bằng cách chứng minh : ABI = ACI

- Để chứng minh ABI = ACI ta chỉ cần chứng minh :

AIB = AIC Đến đây HS dễ dàng chứng minh được bài toán

+ Cách2: - Qua A kẻ AH BC( H BC)

+ HD Chứng minh : Ta có thể chứng minh AB = AC A

bằng cách chứng minh : ABH = ACH

- Để ABH = ACH ta chỉ cần chứng minh : BAH = CAH

- Để chứng minh : BAH = CAH ta chỉ cần dựa vào kiến thức

tổng 3 gúc trong tam giỏc Từ đú, ta giải quyết được bài toỏn B H C

Như vậy, cũng từ một đường phụ kẻ thờm nhưng do cỏch dựng khỏc nhau nờn dẫn đến cỏch chứng minh cũng khỏc nhau Tuy nhiờn, ta nờn lựa chọn cỏch nào nhanh và đơn giản nhất để giải.

Bài 2 Cho tứ giỏc ABCD cú AB // CD; AD // BC.

Chứng minh: AB = CD, AD = BC

*Phõn tớch: -Để chứng minh cho AB= CD, AD = BC gợi cho ta nghĩ đến việc

cần tạo ra cặp tam giỏc bằng nhau cú 2 cạnh tương ứng là AB và CD hoặc AD

và BC Từ suy nghĩ đú gợi cho ta nghĩ đến việc kẻ thờm đường phụ như thế nào?

+ Kẻ thờm đường phụ:- Nối A với C (hoặc B với D) A B

+ HD Chứng minh : Ta cú thể chứng minh AB = CD, AD = BC

bằng cỏch chứng minh : ABC = CDA

- Để chứng minh ABC = CDA ta chỉ cần chứng minh : D C

BAC = ACD và CAD = ACB ( so le trong)

Đến đõy HS dễ dàng chứng minh được bài toỏn

Như vậy, ta cú thể giải bài toỏn dễ dàng bằng cỏch vẽ thờm đường phụ AC.

Bài 3 Cho ABC, vẽ AH vuụng gúc với BC (H  BC) Trờn nửa mặt phẳng

bờ AH cú chứa điểm B, dựng AD AB sao cho

AD = AB Trờn nửa mặt phẳng cũn lại dựng AE AC

sao cho AE = AC Nối D với E, AH cắt DE ở M

Chứng minh MD = ME

*Phõn tớch: Từ kết luận của bài toỏn, hỡnh cần tạo ra

là hỡnh nào để từ đú cú thể giải được bài toỏn?

+ Kẻ thờm đường phụ:-Từ D hạ DK AH (K AH)

-Từ E hạ EN AH (N AH)

+ HD Chứng minh:

- Để chứng minh DM = ME ta chứng minh KDM = NEM

- Để KDM =NEM Ta cần chứng minh DK = EN, KDM =NEM (so le trong)

- Để DK = EN ta chứng minh HAB =KDA (cạnh huyền - gúc nhọn)

Và HAC = NEA (cạnh huyền - gúc nhọn)

Vậy, bằng cỏch kẻ thờm đường phụ DK và EN ta cú thể giải bài toỏn dễ dàng.

Kết luận: Bằng cỏch kẻ thờm đường phụ để tạo nờn cỏc tam giỏc bằng nhau,

từ đó suy ra cỏc cạnh tương ứng (cỏc đoạn thẳng cần chứng minh) bằng nhau

* Bài tập tự luyện: Cho ABC, cú A = 60o Cỏc tia phõn giỏc của B và C cắtnhau ở I và cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E Chứng minh: ID= IE

Gợi ý kẻ thờm đường phụ : Kẻ tia phõn giỏc của BIC cắt BC tại K (K  BC)

Dạng 2: Chứng minh đoạn thẳng nào đú bằng một nửa (hay gấp hai lần) đoạn thẳng cho trước.

* Chứng minh một đoạn thẳng cú độ dài bằng nửa độ dài đoạn thẳng khỏc hoặc đoạn này gấp hai lần đoạn thẳng cho trước ta cú thể:

Cỏch1: Chia đụi đoạn thẳng dài rồi chứng minh trong một hai đoạn thẳng này

bằng đoạn thẳng ngắn

Cách2: Gấp đôi đoạn thẳng ngắn được đoạn thẳng mới và chứng minh đoạn

thẳng này bằng đoạn thẳng dài

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có A = 120o Tia phân giác của góc D đi qua trung điểm I của cạnh AB Kẻ AH CD Chứng minh AH = 1

2 DI

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán để chứng minh

AH =1

2DI gợi cho ta nghĩ đến việc tạo ra đoạn thẳng

nào đó trên DI sao cho đoạn thẳng đó bằng 1

2DI

Từ sự phân tích trên ta đi đến kẻ thêm đường phụ nào?

+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua A dựng AM DI (M DI)

+ Kẻ thêm đường phụ:

- Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB

+ HD Chứng minh: Để chứng minh AB = 1

2 BC ta chỉ cần chứng minh : BC = BD Để chứng minh BC= BD ta chỉ cần D A B

chứng minh :ABC =ADC (c-g-c) vàBCD là  đều

Đến đây HS dễ dàng chứng minh bài toán.

Bài 3: Chứng minh rằng: Trong tam giác vuông đường trung

tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền

*Phân tích: Để chứng minh được AM =1

2BC ta cần phảichứng minh điều gì? Điều này gợi cho ta cần phải chứng

+ Kẻ đường phụ: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

GV lưu ý : §ối với một bài toán ta cũng có thể có nhiều cách kẻ đường phụ

khác nhau Mỗi cách kẻ đường phụ, cho ta một cách chứng minh vì thế ta nên lựa chọn phương pháp kẻ đường phụ nào mà dẫn đến cách chứng minh

dễ hiểu, đơn giản và hay nhất.

* Bài tập tự luyện: Cho ABC,M là trung điểm của BC Trên nửa mặt phẳngkhông chứa C có bờ AB, vẽ tia AxAB, trên tia đó lấy điểm D sao cho AD =

AB Trên nửa mặt phẳng không chứa B có bờ AC, vẽ tia AyAC,trên tia đó lấyđiểm E sao cho AE = AC Chứng minh : AM =1

2DE

Gợi ý kẻ đường phụ : Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA

Dạng 3: Chứng minh đoạn thẳng nào đó bằng tổng (hay hiệu) hai đoạn thẳng xác định.

Bài 1: Chứng minh rằng “ Đường trung bình của hình thang song song với hai

đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ dài hai đáy”

*Phân tích: Để hướng cho HS biết cách kẻ thêm

đường phụ thì GV cần phải phân tích cho HS:

Từ khái niệm“ đường trung bình” của hình thang

gợi cho ta liên tưởng đến định lí tương tự nào

trong tam giác? Liệu định lí đường trung bình

trong tam giác có thể sử dụng cho lời giải bài toán này không?

Từ đó GV cho HS có suy nghĩ tìm cách đưa về tam giác để vận dụng kiến thức

đã có để chứng minh bài toán Vậy phương án kẻ thêm đường phụ cụ thể là gì?

+ Kẻ thêm đường phụ:

- Dựng đoạn thẳng BN

- Kéo dài BN về phía N cắt CD tại E

+ HD Chứng minh:

- Như vậy, ta đã có được MN là đường

trung bình của BEC

- Để chứng minh AB = ED ta chứng minh ABN =DEN (g.c.g)

Kết luận : Việc kẻ thêm đường phụ BN cắt DC tại E là do suy nghĩ quy về việc

sử dụng định lí về đường trung bình của tam giác (kiến thức đã có) để giải bài toán Đoạn thẳng CE tạo được bằng tổng hai đáy của hình thang (phù hợp với mục đích tính chất) Như vậy đối với bài toán này nếu không dùng phương pháp kẻ thêm đường phụ thì việc tìm lời giải trở nên khó khăn hơn nhiều.

Bài 2 : ChoABC vuông cân tại A Lấy một điểm M tuỳ ý trên

cạnh BC (M khác B và C).Chứng minh : MB2 + MC2 = 2 MA2

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta liên tưởng đến

định lý Py-ta-go Và Từ đó ta suy nghĩ đến việc kẻ thêm đường

phụ sao cho MB và MC là hai cạnh của tam giác vuông nào đó

Từ phân tích, ta đi đến việc kẻ đường phụ như thế nào ?

Hay ta cần phải chứng minh: MB2= 2 MN2và MC2= 2 NA2

Đến đây ta chỉ cần áp dụng định lý Pitago đối với NMB vuông cân tại N

MB2= NB 2+MN 2= 2 MN2

áp dụng định lý Py-ta-go đối với  PMC vuông cân tại P

MC2 = PM 2+ PC2 = 2 MP2

Đến đây HS chỉ cần chỉ ra MP = NA (tứ giác ANMP là hình chữ nhật)

Và dễ dàng suy ra điều cần chứng minh

Kết luận: §ể có thể giải được bài toán hình ta cần chú ý đến phương pháp

kẻ thêm đường phụ V× vËy đối với việc kẻ đường phụ là rất cần thiết khi giải một bài toán hình.

* Bài tập tự luyện: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm của AB Trên cùng

nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ các tia Ax, ByAB Gọi C là 1 điểm thuộc tia Ax,đường vuông góc với OC tại O cắt tia By ở D Chứng minh : CD = AC + BD

Gợi ý kẻ đường phụ : Kéo dài CA về phía A, OD về phía O cắt nhau tại K

Dạng 4: So sánh hai đoạn thẳng hoặc tổng (hiệu) hai đoạn thẳng.

Bài 1: Cho ABC có AB < AC AD là tia phân giác

của BAC (D BC).Chứng minh rằng: CD > BD

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán gợi cho ta suy

nghĩ cần tạo ra một tam giác mà hai cạnh có độ dài

bằng BD;CD.Từ đó có thể so sánh các góc đối diện với

hai cạnh ấy Đến đây ta có thể kẻ thêm đường phụ nào

* Kẻ thêm đường phụ:

- Trên AC lấy điểm E sao cho AE = AB

Ta được DEC đạt được theo yêu cầu trên Vậy điểm E là yếu tố phụ cần vẽthêm để giúp ta giải được bài toán này

* HD Chứng minh: - Để chứng minh CD > BD ta cần chứng minhCD DE BD DE



(CD và DE DEC)

Do vậy để chứng minh CD > DE ta chứng minh DEC > ECD Đến đây có thể

dễ dàng chứng minh DEC > ECD dựa vào mối quan hệ góc ngoài của tam giác

Bài 2: ChoABC ( AB = AC) , D là điểm bất kỳ trong

tam giác sao cho ADB > ADC

Chứng minh rằng : DC > DB

*Phân tích: Tương tự như bài toán trên, ta tìm cách tạo

ra tam giác có hai cạnh có độ dài bằng DC; DB

Như vậy ta cần kẻ thêm đường phụ nào ?

* Kẻ thêm đường phụ:

-Vẽ tia Ax trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B sao cho CAx = BAD

- Trên tia Ax lấy điểm E sao cho AE = AD

* HD Chứng minh :

- Để chứng minh DC > DB ta cần chứng minh

DC > EC ( EC = BD vì DAB = EAC ( c.g.c))

- Để DC > EC ta chứng minh DEC > EDC

- Để chứng minh DEC > EDC ta chỉ cần chứng

minh AEC - AED > ADC - ADE

Đến đây HS dễ dàng chứng minh vì AEC > ADC và ADE = AED

Bài 3 Cho ABC, M là điểm trên tia phân giác ngoài của góc C

Chứng minh rằng: MA + MB > AC + BC

*Phân tích: Từ kết luận,ta suy nghĩ là tạo ra các đoạn

thẳng bằng nhau, và dựa vào quan hệ các cạnh trong

tam giác Vậy đường phụ cần vẽ là đường nào ?

Bài 1: ChoABC vuụng tại A, AD là tia phõn giỏc của A (DBC) Biết AB

Pytago, để tạo ra một tam giỏc vuụng sao cho cú một cạnh là BD

và hai cạnh kia dó tỡm được độ dài

Từ phõn tớch trờn ta cú thể đường phụ nào?

+ Kẻ thờm đường phụ: -Từ D dựng DEAB (E  AB)

+ HD Chứng minh:

- Để tỡm được độ dài BD ta cần tớnh được ED và BE

- Tớnh ED dựa vào tam giỏc vuụng cõn AED tại E vỡ cú EAD = 45o

- Tớnh BE = AB - EA

Đến đõy HS cú dễ dàng tỡm ra kết quả

Bài 2: Cho ABC cú A = 120o; AB = 4 cm;

AC = 6 cm Tớnh độ dài đường trung tuyến AM

*Phõn tớch: Từ kết luận của bài toỏn, ta nghĩ đến

định lý Pytago Do vậy phải tạo ra tam giỏc vuụng

sao cho cú quan hệ với AM

Từ cỏch dựng ABH vuụng tại H cú BAH = 60o

Suy ra: AH = AB/2 = 4/2 = 2 (cm)  BH = 2 3 (cm) (ỏp dụng định lý Pytago),

 KM =1

2 BH = 3(cm) Từ cỏch dựng ta cú CH = HA + AC = 8 (cm)

 HK =1

2HC= 4 (cm)

Kết luận: Đến đõy ta tớnh được AK = 2cm Từ đú để tớnh được AM một

cỏch dễ dàng dựa vào định lý Pytago trong tam giỏc vuụng AKM.

* Bài tập tự luyện: ChoABC cõn tại A, cú A = 30o , BC =2cm Trờn AC lấyđiểm D sao cho CBD = 60o Tớnh độ dài AD

Gợi ý kẻ thờm đường phụ : - Trờn nửa mặt phẳng bờ BC lấy điểm E cựng phớa

với A sao choBEC vuụng cõn tại E

Dạng 6 : Tớnh số đo gúc.

Nhận thấy dễ dàng tớnh được số đo cỏc gúc của tam giỏc đều, tam giỏcvuụng cõn, tớnh được cỏc gúc của tam giỏc cõn khi biết được một gúc của nú,tớnh được cỏc gúc của tam giỏc vuụng cú một cạnh gúc vuụng bằng nửa cạnhhuyền Song chỳng ta vẫn cũng gặp khụng ớt cỏc bài toỏn tớnh số đo gúc phức

tạp hơn nhiều Chính điều này đòi hỏi sự tư duy sáng tạo, tìm tòi phát hiện, điđến việc kẻ thêm đường phụ một cách hợp lý như thế nào ?

Bài 1: Cho ABC cân tại A, có A = 20o Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD

= BC.Tính ACD

*Phân tích: Từ kết luận và giả thiết của bài toán

Ta có: BCA - A= 80o -20o = 60o là góc của tam giác đều

Từ đó gợi cho ta nghĩ đến dựng tam giác đều

+ Kẻ thêm dường phụ:- Trên nửa mặt phẳng bờ BC cùng phía

với A dựng tam giác đều BEC - Dựng đoạn thẳng AE.

+HD Chứng minh:Bằng cách dựng tam giác đều BEC làm

xuất hiện ECA = DAC = 20o.Suy ra ECA = DAC (c.g.c )

 CAE =ACD.Ta dễ tính được:CAE =10o.Do đó :ACD = 10o

* Đối với bài toán này ta có thể kẻ thêm đường phụ bằng

cách khác:- Vẽ tam giác đều ADE nằm ngoài ABC (H.1)

- Vẽ tam giác đều ACK nằm ngoài ABC (H.2)

- Vẽ tam giác đều AFB (F và C cùng phía đối với AB ) (H.3)

Bài 2: Cho ABC, M là trung điểm của cạnh BC và AB = 6cm; AC = 10 cm

AM = 4cm Tính MAB

*Phân tích: Từ các chỉ số 6; 10; 4 gợi cho ta

nghĩ đến định lý Pytago Vậy ta có thể nghĩ đến

việc tạo ra một tam giác có các chỉ số các cạnh

sao cho bình phương một cạnh bằng tổng bình

phương hai cạnh kia Suy ra tam giác đó là tam

giác vuông (định lý đảo của định lý Pytago) Từ kết luận của bài toán ta có thể

kẻ thêm đường phụ nào?

+ Kẻ thêm đường phụ:

- Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho

AM = MD (M là trung điểm của AD)

+ HD Chứng minh:

- Để tính MAB ta có thể chứng minh ADB

là tam giác vuông tại A

* Bài tập tự luyện: Cho ABC đều, một đường thẳng song song với BC cắt

AB, AC ë D và E Gọi G là trọng tâmADE, I là trung điểm của CD Tính cácgóc của GIB

Gợi ý kẻ đường phụ : - Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại K

mối liên hệ để giải quyết bài toán.

Dạng 1: Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

* Một trong những cách chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau là tạo ra đoạn thẳng thứ ba bằng cả hai đoạn thẳng đó

Bài 1: Cho ABC ( AB < AC), từ trung điểm M của

BC kẻ đường vuông với tia phân giác của A cắt tia

này tại H, cắt AB tại D và AC tai E

Chứng minh: BD = CE

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán muốn chứng

minh BD = CE ta tìm cách tạo ra đoạn thẳng thứ ba

rồi chứng minh BD và CE bằng đoạn thẳng thứ ba

đó Vậy ta cần nghĩ đến vẽ đường phụ nào?

+ Kẻ thêm đường phụ: - Qua B kẻ đường

thẳng song song với AC cắt DE tại F

Như vậy BF là đoạn thẳng thứ ba đó

- Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt DE tại F

Bài 2 : Cho ABC có B = 60o Hai tia phân giác AD và CE

của các góc BAC và ACB (D BC; EAB ) cắt nhau ở I

Chứng minh IE = ID

*Phân tích: Từ kết luận của bài toán Đoạn thẳng thứ ba cần

kẻ sao cho bằng ID; IE là đoạn thẳng nào?

+ Kẻ thêm đường phụ:

- Trên cạnh AC dựng điểm F sao cho AF = AE

- Nối F với I Ta được IF là đoạn thứ ba cần vẽ

+ HD Chứng minh:- Để chứng minh ID = IE ta cần chứng

minh IF = IE; ID = IF

- Để chứng minh IF = IE ta chứng minh IAE = IAF

(c.g.c)

- Để chứng minh IF = ID ta chứng minh DIC = FIC (g.c.g)

Kết luận: Bằng cách vẽ thêm đường phụ IF, HS có thể chứng minh bài toán

một cách dễ dàng.