Việc chứng minh nguyên lý này có thể tiến hành bằng lập luận phản chứng rất đơn giản: Giả sử không hộp nào chứa nhiều hơn một đối tượng thì chỉ có nhiều nhất là n đối tượng được xếp tron[r]
(1)NGUYÊN LÝ DIRICHLET VÀ ỨNG DỤNG Th.S Lưu Giang Nam
GIỚI THIỆU.Nguyên lý Diirichlet, hay gọi với tên gọi Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet, nguyên lý chuồng bồ câu, nguyên lý hộp Đây định lý nỗi tiếng có nhiều ứng dụng sống ứng dụng trực tiếp cho tập hợp hữu hạn (hộp, ngăn kéo, chuồng bồ câu) cho ta cách giải thích tồn hay khơng luật chơi hay phép đốn
Người đề xuất nguyên lý cho nhà tốn học Đức Johann Dirichlet ơng đề cập tới với tên gọi "ngun lý ngăn kéo" (Schubfachprinzip) Vì vậy, tên gọi thông dụng khác nguyên lý chuồng bồ câu "nguyên lý ngăn kéo Dirichlet" hay gọi gọn "nguyên lý Dirichlet"
Trong kì thi học sinh giỏi lớp ngày trước, câu hỏi nguyên lý Dirichlet top câu hỏi khó chọn lọc thí sinh Tuy nhiên, với phát triển toán sơ cấp, ngày học sinh tiếp cận nhiều với nguyên lý toán ứng dụng nguyên lý Dirichlet xuất nhiều kì thi lớp 10 tỉnh thành, có Tp HCM Bài viết nêu khái quát nguyên lý Dirichlet, số tính chất tốn sử dụng nguyên lý sưu tầm diễn đàn toán Việt Nam Hy vọng viết tạo hứng thú cho bạn đọc để tiếp tục tiều hiểu nguyên lý hay thực tế
1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Nguyên lý Dirichlet nhà toán học người Đức tiếng Dirich-let đề xuất từ kỷ XX áp dụng để chứng minh tồn nghiệm nhiều toán tổ hợp Nguyên lý phát triển từ mệnh đề đơn giản gọi là nguyên lý “chuồng chim bồ câu”: Giả sử có đàn chim bồ câu bay vào chuồng Nếu số chim nhiều số ngăn chuồng chắn có ngăn có nhiều chim
Một cách tổng quát, nguyên lý Dirichlet phát biểu sau:
Định nghĩa 1. Nếu xếp nhiều hơnn+1đối tượng vàoncái hộp thì tồn hộp chứa khơng hai đối tượng.
Lời giải. Việc chứng minh nguyên lý tiến hành lập luận phản chứng đơn giản: Giả sử khơng hộp chứa nhiều đối tượng có nhiều lànđối tượng xếp hộp, trái với giả thiết số đối tượng lớn hơnn
Tuy nhiên, nguyên lý phát biểu tổng quát sau (có thể xem nguyên lý Dirichlet mở rộng, trích dẫn Wikipedia - Nguyên lý ngăn kéo Dirichlet)
Định nghĩa 2. Nếumcon chim bồ câu đặt vàonchuồng chim bồ câu vàm>n, (ít nhất) chuồng chim bồ câu bao hàm
jm
n
k
con chim bồ câu nếumlà bội củan, nhấtjm n
k
+1con chim bồ câu nếumkhông phải bội củan
Chú thích: • lm
n m
là phần ngun trần phép tínhmchia chon, có giá trị số nguyên nhỏ có giá trị lớn hay kết phép tínhm
n Ví dụ
=1 • jm
n k
là phần nguyên sàn phép tínhmchia chon, có giá trị số ngun lớn có giá trị nhỏ hay kết phép tínhm
n Ví dụ
=0
Nguyên lý Dirichlet phát biểu dạng tập hợp sau:
(2)với quy tắc đó, phần tử củaAcho tương ứng với phần tử củaB, tồn hai phần tử khác củaAmà chúng tương ứng với phần tử củaB
2 CÁC BÀI TOÁN MỞ ĐẦU
Nguyên lý Dirichlet (cịn gọi ngun lý chuồng bồ câu) có phát biểu đơn giản lại vận dụng nhiều thực tế Nhờ nguyên lý mà nhiều trường hợp, người ta dễ dàng chứng minh tồn mà không đưa phương pháp tìm kiếm cụ thể Sau số tốn mở đầu: Ví dụ 1. Một lớp học có 37 học sinh Chứng minh có học sinh có tháng sinh giống nhau.
Nhận xét.Đề liên quan đến tháng sinh học sinh, mà năm có 12 tháng Vậy nên ta lấy 12 tháng làm sở để chia học sinh thành tập hợp Sau cách phân nhóm cụ thể:
Lời giải. Ta chia37 học sinh vào12tập hợp ( tập hợp học sinh sinh tháng ,tập hợp học sinh sinh tháng 2, , tập hợp học sinh sinh tháng 12 ) Áp dụng nguyên lý Dirichlet ta thấy 37=12.3+1nên suy có học sinh sinh tháng Hoặc dùng cơng thức ta có
37 12
+1=4học sinh sinh tháng
Nguyên lý Dirichlet sử dụng để lập luận trình xếp lịch thi đấu thể thao, sau toán lịch thi đấu:
Ví dụ 2. Có 10 đội bóng thi đấu với đội phải đấu trận với các đội khác Chứng minh vào lúc có hai đội đấu số trận nhau.
Lời giải. Rõ ràng 10 đội bóng có đội chưa đấu trận đội cịn lại khơng có đội thi đấu trận 10 đội có số trận đấu từ đến từ đến Vậy theo nguyên lý Dirichlet phải có
10
9
+1=2 đội có số trận đấu
Nhận xét.Bài toán ta nên xét trường hợp giải từ từ trường hợp, việc đưa công thức vào dễ tạo hiểu nhầm cho người làm người đọc Như vậy, để làm tốt sử dụng nguyên lý Dirichlet ta cần nắm rõ Định nghĩa vầ Định nghĩa nguyên lý nêu phần đầu
Ví dụ 3. Có đấu thủ thi đấu cờ, người đấu trận với đấu thủ khác Chứng minh suốt thời gian thi đấu, tồn hai đấu thủ có số trận đấu nhau.
Lời giải. Ta có số trận đấu người 0,1,2,3,4 Nhưng khơng thể có lúc người đấu trận người chưa đấu trận nào, nên có tối đa loại số trận đấu, 0, 1, 2, 1, 2, 3, Vận dụng ngun lý Dirichlet ta có có
5
+1=2người có số trận đấu, điều phải chứng minh
Các dạng toán liên quan đến xác suất hay cụ thể số chọn để hồn thành nhiệm vụ dạng toán phổ biến việc sử dụng định lý Dirichlet
Ví dụ 4. Một túi có8quả bóng đỏ,8quả bóng đen,8quả bóng trắng,8
quả bóng xanh Trong trị chơi, bạn An bị bịt mắt lại để lấy quả cùng màu Hỏi bạn cần lấy bóng để bóng cùng màu để hồn thành trị chơi?
Nhận xét.Có thể xem dạng làm ngươc trình ngược nguyên lý Dirichlet ta phải chọn số lần chơi để đạt kết mong muốn
Lời giải. Trong trường hợp xấu nhất, bạn An lấy bóng khác màu Tiếp theo, bạn lại lựa chọn lần y chang với bóng cuxg khác màu Vậy số lần để bạn An chắn lấy bóng màu là4.4+1=17lần lấy khác
Tiếp tục với tốn lý luận tương tự sau:
Ví dụ 5. Có hạt vịng màu đen (hạt vịng đeo cổ, tay, chân), 10 hạt vòng màu đỏ 12 hạt vòng màu trắng để hộp Trong trò chơi bạn An bị bịt mắt để lấy hạt vòng khác màu lẫn Hỏi bạn An phải lấy hạt để hồn thành trò chơi?
Lời giải. Trong trường hợp xấu nhất, bạn An lấy 12 hạt vòng màu trắng Tiếp theo, trường hợp xấu nhất, bạn An lấy 10 hạt vòng màu đỏ Vậy số lần để bạn An chắn lấy hạt vòng khác màu là12+10+1=23lần lấy khác
BÀI TẬP TƯ LUYỆN
Bài tập 1. Một lớp học có 30 học sinh Khi viết tả, em A phạm14 lỗi, em khác phạm lỗi Chứng minh có học sinh không mắc lỗi mắc số lỗi nhau.
Bài tập 2. Một họp gồm 12 người tham dự để bàn vấn đề Có 8 người phát biểu vấn đề I, 5người phát biểu vấn đề II người phát biểu vấn đề III Ngồi ra, có người khơng phát biểu vấn đề Hỏi nhiều có người phát biểu vấn đề.
Bài tập 3. Chia 50 kẹo cho 10 em bé (em chia kẹo) Chứng minh dù chia cách tồn hai em có số kẹo bằng nhau.
Bài tập 4. Có 17 nhà bác học viết thư cho trao đổi vấn đề Chứng minh ln tìm 3người trao đổi vấn đề.
Bài tập 5. Một trường học có 1000 học sinh gồm 23 lớp Chứng minh rằng phải có lớp có từ 44 học sinh trở lên.
Bài tập 6. Thầy giáo kiểm tra tập nhà lớp học có 50 học sinh, học sinh thiếu nhiều tập thiếu tập Chứng minh rằng tồn 17 học sinh thiếu số tập (trường hợp không thiếu tập coi thiếu bài.
Bài tập 7. Có tất màu xanh, tất màu đen, tất màu đỏ ngăn kéo.
a) Nếu khơng nhìn bạn An cần phải lấy tất để được 2 đơi hồn chỉnh?
b) Nếu khơng nhìn bạn An cần phải lấy tất để được 2 đôi màu?
Bài tập 8. Có bóng trắng, bóng đen, bóng đỏ trong túi Hỏi phái lấy bóng để bóng trắng và bóng đỏ?
(3)3 MỘT SỐ BÀI TOÁN LÝ LUẬN TRONG SỐ HỌC
Trong toán lý luận số học yêu cầu chứng minh chia hết tìm dấu hiệu chia hết dạng phổ biến Rất may cho chúng ta, nhiều số giải việc lý luận phương pháp Dirichet Sau loạt thế:
Ví dụ 6. Chứng minh tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số 1 chia hết cho 2019.
Lời giải. Xét 2020 số có dạng 1,11, ,11 11 Theo nguyên tắc Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2019 Giả sử hai số là:
A=11 1n
B=11 1k
vớik < n Khi A−B = 11 1n−k.10kchia hết cho2019 Do (2019, 10k) =1nênC=11 1n
−kchia hết cho2019
Nhận xét.Bài tốn mở rộng thay2019bằng số khơng chia hết cho (tức có ước chung với10klà 1. Ví dụ 7. Chứng minh ln tồn số viết toàn chữ số 8 chia hết cho 2017.
Lời giải. Xét 2018 sốa1= 8; a2 =88; ; a2018= 88 8(2018 chữ số 8) Tương tự ví dụ tồn số có dạng88 80 .0 (n chữ số vàkchữ số 0) hay11 1n.10kchia hết cho 2017 Mà ta lại có(10k, 2017) =1suy số:88 8chia hết cho 2017 Điều phải chứng minh! ( Lưu ý: 2017 số nguyên tố)
Chú ý.Điều kiện2017là số nguyên tố thật dư thừa, ta cần số khơng có ước đủ, đổi thành2019 Ví dụ 8. Chứng minh từ số ngun bất kì, ln tìm số có tổng chia hết cho 3.
Nhận xét.Đề cho số tự nhiên yêu cầu toán liên quan đến tính chia hết cho 3, ta liên tưởng để việc lấy số dư phép chia cho để làm sở chia thành tập hợp
Lời giải. Nếu số ngun chia cho có khơng q số dư theo ngun lý Dirichlet, tồn
+1=3số chia cho có số dư Vậy số cần tìm
Nếu số ngun chia cho có số dư 0, 1, số có số dư khác số cần tìm
Ví dụ 9. Biết sốa, a+k, a+2kđều số nguyên tố lớn hơn Chứng minh đóachia hết cho 6.
Lời giải. Vìa, a+k, a+2kđều số nguyên tố lớn nên ta có số không chia hết cho Suy số lẻ Theo nguyên lý Dirichlet số có số có số dư chia cho Có trường hợp xảy ra:
1 a+k≡a(mod 3) suy raa+k−a) =k 3,
2 a+2k≡a+k(mod 3) suy ra(a+2k−a−k)≡0(mod 3), suy rak 3,
3 a+2k≡a(mod 3) suy ra(a+2k−a) ≡0(mod 3) suy 2k 3hayk
Vậy kết hợp với ta cók
Ví dụ 10. Cho 12 số tự nhiên khác có hai chữ số Chứng minh rằng khơng tồn hai số có hiệu số có hai chữ số nhau.
Nhận xét.Ta thấy có 12 chữ số yêu cầu xuất số có hiệu dạngaanên ta nghĩ đến số dư phép chia số cho11
Lời giải. Có 12 số tự nhiên khác nhau, mà có 11 số dư phép chia cho 11, số dư 0, 1, 2, , 10 Do tồn hai số có số dư phép chia cho 11 Hiệu chúng số chia hết cho 11, số có hai chữ số
Ví dụ 11. Chứng minh sốnnguyên dương bao giờ ta tìm số tự nhiên mà chữ số bao gồm chỉ có chữ số chữ số chia hết chon
Lời giải. Xétn+1số sau:
a1=5,a2=55, ,an+1= 555 5| {z } n+1chữ số5
Theo nguyên lý Dirichlet: vớin+1số tồn hai số có số dư chia cho n Hiệu hai số số có dạng:55 50 gồm tồn chữ số chữ số chia hết chon
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 12. Chứng minh nếu(n, 2019) =1thì ln tồn số knguyên dương chonk˘1chia hết cho2019.
Lời giải. Xét 2020 số sau:n; n2; n3; ; n2020 Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai số có số dư chia cho 2019 Giả sử hai số lànivànjvới1≤i≤j≤2020 Khi đó
nj−ni=ninj−i−1=nink−1
chia hết cho 2019 (k=j−ilà số nguyên dương) Vậynk˘1chia hết cho 2019 vì(ni, 2019) =1
Ví dụ 13. Chứng minh trong n+1số thuộc tập hợp {1, 2, 3, , 2n}luôn chọn hai số mà số bội số kia. Lời giải. Viếtn+1số cho dạng:
a1=2k1b1,a2=2k2b2, ,an+1=2kn+1bn+1
trong đób1,b2, ,bn+1 số lẻ Ta có:1≤ b1, b2, ,bn+1 ≤ 2n−1 Mặt khác khoảng từ đến2n−1có đúngnsố lẻ nên tồn hai sốm≤nsao chobn=bm Khi đó, hai sốanvàam có số bội số
Ví dụ 14. Cho5số nguyên phân biệtai(i=1, 2, 3, 4, 5) Xét tích: P=(a1−a2)(a1−a3)(a1−a4)(a1−a5)(a2−a3)
(a2−a4)(a2−a5)(a3−a4)(a3−a5)(a4−a5)
(4)Lời giải. Ta có288=32.25.
Chứng minhPchia hết cho9:Xét sốa1,a2,a3,a4tồn số có số dư chia cho Giả sửa1đồng dưa2(mod 3) thìa1−a2 chia hết cho Lại xéta2,a3,a4,a5trong số lại tồn số có số dư chia cho Suy raPchia hết cho
Chứng minhPchia hết cho25:Trong số cho có số cùng tính chẵn lẻ
• Nếu có số chẵn, chẳng hạna1=2k1,a2=2k2,a3=2k3,a4= 2k4thì:
P=32(k1−k2)(k1−k3)(k1−k4)(a1−a5)(k2−k4) (k2−k3)(a2−a5)(a3−a4)(a3−a5)(a4−a5) chia hết cho 32
• Nếu có số chẵn, số lẻ đặt:
a1=2k1,a2=2k2,a3=2k3,a4=2k4+1,a5=2k5+1 Ta cóP=16(k1−k2)(k1−k3)(k2−k3).MTrong sốk1,k2,k3 có số tính chẵn lẻ Giả sửk1đồng dưk1(mod 2) k1−k2chia hết cho nênPchia hết cho 32
• Nếu có số lẻ làa1,a2,a3cịna4,a5chẵn đặta1=2k1+1, a2=2k2+1, a3=2k3+1, a4=2k4,a5=2k5 Xét tương tự cóPchia hết cho 32
Vậy ta cóPchia hết cho 288
Các toán lý luận tổng hiệu tập hợp số thường giải Nguyên lý Dirichlet
Ví dụ 15. Cho 51 số nguyên dương khác có chữ số có chữ số Chứng minh ta chọn số mà số nào trong số lấy khơng có chữ số hàng đơn vị giống khơng có chữ số hàng chục giống nhau.
Lời giải. Vì có 51 số nên tìm chục cho nhóm có khơng số rơi vào số chục đó, nhóm có khơng số rơi vào chục khác Cuối có số cho rơi vào chục (như số chục khác khơng 6) số cho khác (chú ý số dạng xét nhiều có chữ số )
Do nhóm cuối ta lấy số , sau nhóm trước (vì có chữ số hàng đơn vị hai số nhóm khác nhau) ta lấy số khác với chữ số hàng đơn vị khác số chọn trước, nhóm trước lại lấy số có chữ số hàng đơn vị khác số chọn trước Cuối số phải tìm với chữ số khác
Ví dụ 16. Chọn n+1 số 2n số tự nhiên từ đến 2n(n≥2) Chứng minh số chọn có số tổng 2 số chọn (kể trường hợp số hạng tổng ). Lời giải. Giả sửa1<a2 < <an<an+1là n+1 số chọn Xét n số:
an+1−a1=b1, an+1−a2=b2,
an+1−an=bn
Ta thấy hiệu đề có giá trị nhỏ hơn2n Trong tập 2n+1 số làa1,a2, ,an+1,b1,b2, ,bntồn số nhau, hai số
ấy thuộc dãya1,a2, ,an+1cũng khơng thể thuộc dãyb1,b2, ,bn Ta có:
an+1−a1=ai⇒an+1=a1+ai, điều phải chứng minh
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 10. Viết 16 số, số có giá trị 1, 2, 3, Ghép thành từng cặp số cặp số Chứng minh tồn hai cặp số mà tồng các số hai cặp nhau.
Bài tập 11. Chứng minh 100 số tùy ý có 10 số đơi một có hiệu chia hết cho 11.
Bài tập 12. Cho 20 số tự nhiên khác nhaua1,a2, ,a20không vượt quá 70 Chứng minh hiệuai−ak(i>k)ln tìm ít nhất4hiệu nhau.
Bài tập 13. Chứng minh từnsố nguyên bất kì, ln tìm một số số số có tổng chia hết chon.
Bài tập 14. Cho 69 số nguyên dương phân biệt không 100 Chứng minh chọn sốa, b, c, dsao choa < b < cvà a+b+c=d
Bài tập 15. Cho số nguyên tố lớn Chứng minh tồn tại số có dạng111 11chia hết chop
4 MỘT SỐ BÀI TOÁN LÝ LUẬN TRONG HÌNH HỌC Ví dụ 17. Cho hình vng 13 đường thẳng, đường thẳng đều chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích 2:3 Chứng minh rằng số 13 đường thẳng đó, có đường thẳng qua một điểm.
Lời giải. Gọidlà đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích2 : Đường thẳngdkhông thể cắt hai cạnh kề hình vng khơng tạo thành hai tứ giác Giả sửdcắt hai cạnhABvàCDtạiMvàN, cắt đường trung bìnhEFtạiI
Giả sửSAMND =
3SBMNC thìEI =
3IF Như đường thẳng cho chia đường trung bình hình vng theo tỉ số2 : Có điểm chia đường trung bình hình vng ABCD theo tỉ số2 : Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm Vậy theo nguyên lý Dirichlet có đường thẳng qua
Ví dụ 18. Trong mặt phẳng cho6điểm, khơng có3điểm nào thẳng hàng Mỗi đoạn thẳng nối cặp điểm bôi màu đỏ hoặc xanh Chứng minh tồn tại3điểm trong6điểm cho cho chúng là3đỉnh tam giác mà cạnh bơi màu. Lời giải. Xét điểmAbất kì điểm cho Khi năm đoạn thẳng nối điểmAvới điểm cịn lại, có đoạn thẳng tô màu Giả sử đoạn thẳng AB,AC,ADvà chúng bơi màu đỏ Khi có hai khả xảy
1 Ít đoạn thẳngAB,AC,ADđược tơ màu đỏ, ta tìm ba điểm thỏa mãn điều kiện đề NếuB,C,Dđược tô màu điểmB,C,Dchính
3 điểm cần tìm
(5)Nhận xét.Ta có tam giác nên cạnh giá trị tương ứng khác ln Nhận thấy rằng3đường trung bình tam giác tạo bốn tam giác nằm bên tam giác cho với diện tích giảm lần, khoảng cách tương ứng giảm lần Lời giải. Các đường trung bình tam giác cạnh chia làm tam giác cạnh 0,5 Do tam giác nhỏ có điểm cho, điểm khơng thể rơi vào đỉnh tam giác Vậy khoảng cách hai điểm nhỏ hơn0.5 Ví dụ 20. Trên mặt phẳng cho n đường thẳng đôi không song song với Chứng minh góc hai đường thẳng trong số khơng lớn hơn180◦
n .
Lời giải. Lấy mặt phẳng điểm kẻ qua đường thẳng song song với đường thẳng cho Chúng chia mặt phẳng làm 2n góc, có tổng góc bằng360◦ Do tồn tại góc khơng lớn hơn180◦
n
Ví dụ 21. Trên mặt phẳng cho 25 điểm Biết ba điểm trong số đó, ln tồn hai điểm cách nhỏ Chứng minh tồn tại hình trịn bán kính chứa khơng 13 điểm cho.
Lời giải. Lấy số 25 điểm cho Xét đường trịnO1tâm Abán kinh là1 Chỉ có hai khả sau xảy ra:
1 Nếu 25 điểm cho thuộc đường trịnO1thì tốn hiển nhiên
2 Nếu tồn điểmB6=AvàBkhơng thuộcO1 Khi ta có AB>1 Xét đường trònO2bán kinh tâmB Lấy điểmCbất kì 25 điểm cho vàC6=A, B, dựa vào giả thiết ta cóAB>1suy raAC<1hoặcCB<1hayC∈O1 hoặcC∈O2
Từ hai trường hợp trên, ta kết luận 25 điểm cho nằm hai đường trònO1vàO2
Từ theo ngun lý Dirichlet ta có ln tồn đường trịn bán kính chứa khơng 13 điểm 25 diểm cho
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 22. Bên đường trịn bán kínhnđặt4nđoạn thẳng có có độ dài Chứng minh kẻ đường thẳng song song hoặc vng góc với đường thẳnglcho trước cắt hai đoạn thẳng đã cho.
Lời giải. Giả sử lý đoạn thẳng vng góc vớil Kí hiệu độ dài hình chiếu đoạn thẳng thứilên đường thẳngl vàl1làaivàbitương ứng Vì độ dài đoạn thẳng bằng1 nênai+bi≥1 Do
(a1+ +a4n) + (b1+ +b4n)≥2n Khơng tính tổng quát giả sử
a1+ +a4n≥b1+ +b4n
Khi đóa1+ +a4n≥2n Tất đoạn thẳng cho chiếu xuống đoạn thẳng có độ dài2n, chúng nằm đường trịn bán kínhn
Nếu hình chiếu đoạn thẳng cho lên đường thẳnglkhơng có điểm chung, cóa1+ +a4n<2n Do trênlphải có điểm bị điểm số đoạn thẳng cho chiếu lên Đường vng góc vớiltại điểm cắt hai đoạn thẳng cho
Ví dụ 23. Bên hình vng cạnh bằng1m, đặt51điểm phân biệt. Chứng minh tồn nhất3điểm nằm hình trịn có bán kính1
7m.
Lời giải. Chia hình vng cho thành 25 hình vng có cạnh 0,2m (tức chia cạnh hình vng thành phần nối song song lại) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn hình vng chứa điểm Hình trịn ngoại tiếp hình vng có bán kính
√ 10m<
1 7m Vậy hình trịn đồng tâm với hình trịn với bán kính1
7m chứa điểm Ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 24. Bên hình vng cạnh1m, đặt2021điểm cho khơng có điểm thẳng hàng Chứng minh tồn điểm đỉnh của một tam giác có diện tích không vượt quá
2020m2.
Lời giải. Chia hình vng cho thành 1010 hình chữ nhật kích thước1×10101 Vì có 2021 điểm nên tồn điểm thuộc hình chữ nhật nhỏ Diện tích tam giác nội tiếp hình chữ nhật khơng vượt q diện tích hình chữ nhật Ta có điều phải chứng minh
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ví dụ 25. Cho9đường thẳng có tính chất đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng2
3 Chứng minh rằng có nhất3đường thẳng số qua điểm.
Ví dụ 26. Trong hình chữ nhật3×4đặt6điểm Chứng minh rằng trong điểm tìm được2điểm mà khoảng cách chúng khơng lớn hơn√5
Ví dụ 27. Bên đường trịn bán kínhnđặt4nđoạn thẳng có độ dài Chứng minh kẻ đường thẳng song song vng góc với đường thẳng1cho trước cắt nhất2đoạn thẳng cho.
Ví dụ 28. Bên hình vng cạnh1đặt số đường trịn có tổng độ dài bằng10 Chứng minh ln tìm được1đường thẳng cắt ít nhất4trong số đường trịn cho.
Ví dụ 29. Cho hình vng ABCD cóAB=14cm Trong hình vng có đánh dấu76điểm phân biệt Chứng minh tồn đường trịn có bán kính 2cm chứa nhất4điểm số điểm trên.
(6)5 CÁC BÀI TỐN TƠ MÀU VÀ PHỦ HÌNH
Ví dụ 31. Giả sử điểm mặt phẳng tô trong2
màu đỏ xanh Chứng minh tồn tại1hình chữ nhật có đỉnh cùng màu
Lời giải. Giả sử ta có lưới vng tạo bởi3đường nằm ngang và9đường thẳng đứng, nút lưới tô màu xanh đỏ
Xét nút lưới đường dọc , nút có hai cách tô màu nên ba nút đường dọc có2.2.2=8cách tơ màu Có đường dọc, đường có cách tơ màu nên tồn hai đường có cách tơ màu Chẳng hạn hai ba điểm A1,A2,A3vB1,B2,B3
Vì điểmA1,A2,A3chỉ tô hai màu nên tồn hai điểm màu , chẳng hạnA1vàA2, hình chữ nhậtA1A2B2B1 có đỉnh màu
Ví dụ 32. Giả sử1bàn cờ hình chữ nhật có3×7ơ vng sơn đen hoặc trắng Chứng minh với cách sơn màu ,trong bàn cờ ln tồn hình chữ nhật gồm ở4góc màu.
Lời giải. Mẫu sơn màu xảy với bàn cờ có dạng từ đến 8.Giả sử số cột thuộc dạng Bài toán chứng minh tất cột lại thuộc dạng1, 2, 3hoặc 4.Giả sử tất cột cịn lại thuộc dạng5, 6, 7, 8Khi theo nguyên lý Dirichlet số cột có cột dạng toán chứng minh
Chứng minh hoàn toàn tương tự cột có dang Giả sử khơng có cột cột1, 8thì theo ngun lý Dirichlet có cột dạng tốn đựoc chứng minh
Ví dụ 33. Cho bảng có kích thước2n×2nơ vng, người ta đánh dấu vào3nơ vng bảng, chứng minh chọn ran hàng vàncột bảng cho ô đánh dấu nằm trênnhàng vàncột này.
Lời giải. Chọn ranhàng có chứa nhiều đánh dấu Ta cần chứng minh số ô đánh dấu lại nhỏ bằngn
Giả sử điều cần chứng minh sai, tức số ô đánh dấu lại lớn bằngn+1 Mà số hàng chưa chọn lại n Vậy theo ngun lý Dirichlet, có hàng sốn hàng cịn lại chứa hai đánh dấu
Chú ý theo cách chọn thìnhàng chọn chứa số đánh dấu nhiều mà có hàng cịn lại chưa chọn chứa hai ô đánh dấu Suy hàng sốnhàng chọn chứa ô đánh dấu, tức trênnhàng chọn có khơng hơn2nơ đánh dấu Khi tổng số ô đánh dấu bảng lớn bằng2n+n=3nơ (vơ lý có 3nơ đánh dấu) Vậy yêu cầu đưa ban đầu chứng minh
Sau chọn ranhàng với cách chọn trên, cịn lại khơng q nơ đánh dấu Vì thế, nhiều cóncột chứa chúng Vậy toán chứng minh
6 BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài tập 16. Tô màu đỏ cung đường tròn cách tùy ý, biết tổng độ dài cung bị tô nhỏ nửa chu vi đường trịn.
1 Chứng ming ln vẽ được1đường kính mà hai đầu khơng bị tơ màu.
2 Chứng ming tồn tại1dây cung đường trịn có độ dài cho trước bé đường kính mà hai đầu khơng bị tơ.
Bài tập 17. Giả sử điểm mặt phẳng tô ba màu : xanh,đỏ,vàng Chứng minh tồn ba điểm màu ba đỉnh tam giác cân.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội 2016 - 2017)
Bài tập 18. Cho19diểm phân biệt nằm tam giác có cạnh bằng3, khơng có ba điểm thẳng hàng Chứng minh ln tìm tam giác có ba đỉnh ba trong19điểm cho mà có diện tích khơng lớn hơn
√ .
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Phú Thọ 2016 - 2017)
Bài tập 19. Trong ngày quốc tế thiếu nhi 1/6 vừa qua, có97em nhỏ đến từ3trường huyện miền núi nhận em quà Biết rằng có4loại quà phát trong5em nhỏ đến từ cùng trường, nhận loại q có2em tuổi Chứng minh ln có3em nhỏ đến từ trường, tuổi nhận cùng loại quà.
(Đề thi tuyển sinh 10 chun Tốn Bình Thuận 2017 - 2018)
Bài tập 20. Bên hình vng cạnh bằng1, lấy9điểm phân biệt tuỳ ý cho bất kỳ3điểm chúng thẳng hàng Chứng minh tồn tại3điểm số tạo thành tam giác có diện tích khơng vượt q1
8.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Thừa Thiên - Huế 2017 - 2018)
Bài tập 21. Trên đường trịn cho16điểm phân biệt, dùng3màu xanh, đỏ, vàng để tơ điểm (mỗi điểm tô1màu) Mỗi đoạn thẳng nối 2điểm trong16điểm tơ màu nâu màu tím Chứng minh với cách tơ màu ln tồn tam giác có các đỉnh màu cạnh màu.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Hà Tĩnh 2017 - 2018)
Bài tập 22. Trên mặt phẳng, cho17điểm ba điểm nối được với tạo thành tam giác có cạnh tơ ba màu xanh, đỏ vàng Chứng minh tồn tam giác có ba cạnh cùng màu.
(Đề thi tuyển sinh 10 chuyên Toán Khánh Hoà 2017 - 2018)
Bài tập 23. Cho số tự nhiênn>1vàn+2số nguyên dươnga1,a2, , an+2thoả mãn điều kiện1≤ a1 < a2 < <an+2 ≤3n Chứng minh tồn hai sốai,aj(1≤j<i≤n+2,i,j∈N) cho n<ai−aj<2n