Chuyên đề nguyên hàm - tích phân và ứng dụng dành cho học sinh TB - yếu - Dương Minh Hùng - TOANMATH.com

Tính thể tích V của vật tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H giới hạn bởi các đường.. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành..[r]

Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài ❶: NGUYÊN HÀM  Dạng ①: Nguyên hàm theo định nghĩa và tính chất .Phương pháp:  Định nghĩa: Hàm số gọi là nguyên hàm hàm số với x thuộc trên  Tính chất:     Bảng nguyên hàm:  ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪  ▪  ▪   ▪  ▪ Phương pháp: Casio ⬧ Xét hiệu: Nhấn shift ⬧ Calc hay ,… St-bs: Duong Hung là mệnh đề đúng Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ ln x + + C Ⓒ ln x + + C là 2x + Ⓑ ln ( x + 3) + C Ⓓ ln x + + C ln Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio:  1  f ( x ) dx =  x + dx =  x + d ( x + ) = ln x + + C Calc: x= 2.5 Lưu ý: Gặp ln thì có trị tuyệt đối, rắt dễ chọn nhằm đáp án B Câu 2: Câu 2: Nếu  f ( x )dx = x + x + C thì hàm số f ( x ) x3 Ⓐ f ( x ) = x + + Cx Ⓑ f ( x ) = 12 x + x + C Ⓒ f ( x ) = 12 x + x Ⓓ f ( x ) = x + Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Thử đạo hàm  Ta có:  Casio f ( x) = (  f ( x )dx ) = ( 4x x3 + x + C ) = 12 x + x Chú ý dễ chọn nhằm câu B Câu 3: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = Ⓐ ln Ⓑ ln St-bs: Duong Hung 1 với x  và f (1) = Khi đó giá trị f ( 5) 2x −1 Ⓒ ln + Ⓓ ln + Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Ta có:  Tư Casio  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 d ( x − 1) f ( x) =  dx =  = ln x − + C 2x −1 2x −1 Mặt khác theo đề ta có: f (1) = 1 ln 2.1 − + C =  C = nên f ( x ) = ln x − +   f  ( x )dx = f ( 5) − f (1) 5 1  f ( ) = f (1) +  f  ( x )dx = +  f  ( x )dx  Tổng quát: b  f  ( x )dx = f ( b ) − f ( a ) a b Do 1 f ( ) = ln 2.5 − + = ln + = ln + 2  • f ( b ) = f ( a ) +  f  ( x )dx; a b • f ( a ) = f ( b ) −  f  ( x )dx a B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai? Ⓐ Nếu  f ( x ) dx = F ( x ) + C thì  f ( u ) du = F ( u ) + C Ⓑ  kf ( x ) dx = k  f ( x ) dx ( k là số và k  ) Ⓒ Nếu F ( x ) và G ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) thì F ( x ) = G ( x ) Ⓓ   f1 ( x ) + f ( x ) dx =  f1 ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 2: Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ F ( x ) ( x − 3) = Ⓒ F ( x ) = Câu 3: 5 ( x − 3) Ⓑ F ( x ) + x ( x − 3) = + 2020 Ⓓ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? F ( x) = Ⓐ  0dx = C ( C là số) x 5 ( x − 3) −1 Ⓑ  dx = ln x + C ( C là số) x +1 + C ( C là số) Ⓓ  dx = x + C ( C là số)  +1 Cho hai hàm số f ( x ) , g ( x ) là hàm số liên tục Xét các mệnh đề sau: Ⓒ  x dx = Câu 4:  f ( x ) dx với k là số thực khác k (II)   f ( x ) − g ( x )  dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx (III)   f ( x ) g ( x )  dx =  f ( x ) dx  g ( x ) dx (I) k  f ( x ) dx = (IV)  f  ( x ) dx = f ( x ) + C Số mệnh đề đúng là Ⓐ Câu 5: Ⓑ Ⓒ Ⓓ Cho hàm số f ( x ) xác định trên K và F ( x ) , G ( x ) là nguyên hàm f ( x ) trên K Khẳng định nào đây đúng? St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 6: Ⓐ G ( x ) = F ( x ) , x  K Ⓑ G ( x ) = f  ( x ) , x  K Ⓒ F ( x ) = G ( x ) + C , x  K Ⓓ F  ( x ) = f  ( x ) , x  K Mệnh đề nào sau đây sai? Ⓐ Nếu F ( x ) là nguyên hàm f ( x ) trên ( a; b ) và C là số thì  f ( x ) dx = F ( x ) + C Ⓑ Mọi hàm số liên tục trên ( a; b ) có nguyên hàm trên ( a; b ) F ( x ) là nguyên hàm f ( x ) trên ( a; b )  F / ( x ) = f ( x ) , x  ( a; b ) Ⓒ (  f ( x ) dx ) Ⓓ Câu 7: Hàm số f ( x ) = = f ( x) / có nguyên hàm trên: cos x   Ⓑ  − ;  Ⓐ ( 0;  ) Câu 8:   Ⓓ  − ;  Ⓒ ( ; 2 )  2  2 Hàm số nào sau đây không phải là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) ? Ⓐ F ( x ) ( x − 3) = 5 Ⓑ F ( x ) +x ( x − 3) = 5 x − 3) x − 3) ( ( Ⓒ Ⓓ F ( x ) = F ( x) = + 2017 −1 5 Hàm số F ( x ) = e x là nguyên hàm hàm số Câu 9: Ⓐ f ( x ) = e x Ⓑ 3 ex Ⓒ f ( x ) = 3x Câu 10: Nếu  f ( x ) dx = x3 + e x + C thì f ( x ) x4 + ex x4 f ( x) = + ex 12 Ⓒ  f ( x ) dx = 3x + Ⓒ  f ( x ) dx = 3x − f ( x ) = 3x + e x Ⓑ Ⓓ f ( x ) = x + e x Câu 11: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + Ⓐ Ⓓ f ( x ) = x3 e x −1 f ( x) = Ⓐ f ( x ) = 3x e x +C x2 +C x2 x Ⓑ  f ( x ) dx = Ⓓ  x4 + ln x + C f ( x ) dx = x4 + ln x + C Câu 12: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Ⓐ  cos xdx = sin x + C St-bs: Duong Hung e +1 Ⓑ  x e dx = x + C e +1 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x Ⓒ  dx = ln x + C Ⓓ  x e dx = x e +1 +C x +1 Câu 13: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + sin x là Ⓐ x3 + cos x + C Ⓑ 6x + cos x + C Ⓒ x3 − cos x + C Ⓓ 6x − cos x + C Câu 14: Tất nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ là 2x + ln x + + C Ⓒ ln x + + C Ⓑ ln ( x + 3) + C Ⓓ ln x + + C ln Câu 15: Giả sử các biểu thức sau có nghĩa công thức nào sau đây sai? Ⓐ  cos x dx = tan x + C x Ⓒ  lnxdx = + C Ⓑ  e dx = e Ⓓ  sinxdx = − cos x + C x x +C Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e2 x + x là e2 x x3 + +C Ⓑ F ( x ) = e2 x + x3 + C Ⓒ F ( x ) = 2e + x + C x3 Ⓓ F ( x ) = e + + C Ⓐ F ( x ) = 2x 2x Câu 17: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 + 3x + là hàm số nào các hàm số sau ? Ⓐ F ( x ) = 3x + 3x + C Ⓒ F ( x ) = x 3x + + 2x + C Ⓑ F ( x ) = x4 + 3x + x + C Ⓓ F ( x ) = x4 x2 + + 2x + C Câu 18: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = e x (3 + e− x ) là Ⓐ F ( x) = 3e x − +C ex Ⓒ F ( x) = 3e x + e x ln e x + C Ⓑ F ( x) = 3e x − x + C Ⓓ F ( x) = 3e x + x + C Câu 19: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x + cos x là x +1 e + sin x + C x +1 Ⓐ e x − sin x + C Ⓑ Ⓒ xex−1 − sin x + C Ⓓ e x + sin x + C St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 20: Nguyên hàm hàm số f x x2 Ⓐ F x x2 Ⓒ F x 3x ln 3x x 3x là C C Ⓑ F x Ⓓ F x x2 3x ln C 3x.ln C BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.C 4.B 5.C 6.D 7.D 8.D 9.A 10.C 11.D 12.D 13.C 14.A 15.C 16.A 17.C 18.D 19.D 20.A  Dạng ②: Tìm nguyên hàm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước thức chứa lũy thừa -Phương pháp: Xác định là nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm cho Thế điều kiện tìm số C  Kết luận cho bài toán A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số f ( x ) có f ' ( x ) = Ⓐ ln 1 với x  và f (1) = Khi đó giá trị f ( 5) 2x −1 Ⓑ ln Ⓒ ln + Ⓓ ln + PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Ta có:  Casio  f ' ( x ) dx = f ( x ) + C nên 1 d ( x − 1) f ( x) =  dx =  = ln x − + C 2x −1 2x −1 Mặt khác theo đề ta có: f (1) = 1  ln 2.1 − + C =  C = nên f ( x ) = ln x − + 2 b  f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ) a b  • F ( b ) = F ( a ) +  f ( x )dx; a b • F ( a ) = F ( b ) −  f ( x )dx a 1 Do f ( ) = ln 2.5 − + = ln + = ln + 2 St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Biết F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x thoả mãn F ( ) = Ta có F ( x ) Ⓐ x + 2x − ln Ⓑ x + − 2x ln Ⓒ.1 + ( x − 1) ln Ⓓ x2 + 2x − PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Casio: Thử đáp án 2x + C Do đó ln 20 +C =  C = − Theo giả thiết F ( ) =  + ln ln 2x 2x −1 − = x2 + Vậy F ( x ) = x + ln ln ln  Ta có:  ( x + x ) dx = x + Câu 3: Tìm nguyên hàm F x hàm số f x Ⓐ F ( x) cos( Ⓒ F ( x) cos( x) 2 x) sin  x thỏa mãn F Ⓓ F ( x) cos( x) PP nhanh trắc nghiệm  Casio: Thử đáp án sin   F x cos( x) Chọn B  Ⓑ F ( x) Lời giải  F   Vậy F ( x) 2 x dx C cos( x) cos  x C C 2 B - Bài tập rèn luyện: Câu Câu Tìm nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x3 − x + thỏa mãn F (1) = Ⓐ F ( x) = x − x + 5x − Ⓑ F ( x) = x4 − x2 + 5x + Ⓒ Ⓓ F ( x) = x − x + x + Hàm số f ( x ) = −5 x + x − có nguyên hàm F ( x ) thỏa F ( 3) = Tính F ( −3) Ⓐ F ( −3) = 226 Câu F ( x) = x − x − x + Ⓑ F ( −3) = −225 Ⓒ F ( −3) = 451 F ( −3) = 225 Ⓓ     Biết F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x và F   = Tính P = F   4 6 St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ P = Câu Ⓑ Ⓒ P = P =0 Ⓒ Câu F ( x ) = + cos x + 2sin x Ⓑ F ( x ) = x − cos x + 2sin x Ⓓ F ( x ) = x − cos x + 2sin x + Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x +   thỏa mãn F   = cos x 4 Ⓐ F ( x ) = − cos x + tan x + C Ⓑ F ( x ) = − cos x + tan x − + Ⓒ F ( x ) = cos x + tan x + − Ⓓ F ( x ) = − cos x + tan x + − 1 Biết F ( x) là nguyên hàm hàm số f ( x) = e2 x thỏa F (0) =  Giá trị F   2 Ⓐ Câu P= Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x + sin x + 2cos x thỏa mãn F ( ) = Ⓐ F ( x ) = x + cos x + 2sin x − Câu Ⓓ e+2 Ⓑ e +1 Ⓒ 1 e+ 2 Ⓓ 2e + Kí hiệu F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) và F (1) = 28  Khẳng định 15 nào sau đây là đúng? Ⓐ F ( x ) = x5 x3 + + x Ⓑ F ( x ) = x5 x3 + x + Ⓓ F ( x ) = + Ⓒ F ( x ) = x ( x + 1) Câu Biết F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = Ⓐ F ( 3) =  Câu Ⓑ F ( 3) =  Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = Ⓐ F ( x ) = 2 x − Ⓒ x5 x3 + + x + C F ( x ) = 2x −1 + và F ( ) = Tính F ( 3) x −1 Ⓒ F ( 3) = ln − Ⓓ F ( 3) = ln + thỏa mãn F ( 5) = 2x −1 Ⓑ F ( x ) = 2x −1 + Ⓓ F ( x ) = x − − 10 Câu 10 Gọi F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 3) thỏa F ( ) = Tính giá trị biểu thức T = log 3F (1) − F ( )  Ⓐ T = Ⓑ T = Ⓒ T = 10 Ⓓ T = −4 BẢNG ĐÁP ÁN St-bs: Duong Hung Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 1.A 2.C 3.D 4.D 5.D 6.B 7.A 8.D 9.B 10.A  Dạng ③: Phương pháp đổi biến số có đạo hàm và liên tục trên trên -Định lí: Cho hàm số xác định trên liên tục cho Khi đó hàm số và hàm số là nguyên hàm , tức là: -Phương pháp: Từ đó ta có hai cách đổi biến số việc tính nguyên hàm sau:  Đặt biến số: đưa việc tính nguyên hàm  Suy ra: đơn giản  A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tìm họ nguyên hàm  cos x sin x dx ta kết là Ⓐ − cos2 x + C Ⓑ cos3 x + C 3 Ⓒ − cos3 x + C Chọn C  cos  Casio: xét hiệu x sin x dx = −  cos x d ( cos x ) = − cos3 x + C Câu 2: Nguyên hàm x x Ⓐ − sin + C cos dx x x Ⓑ sin + C Lời giải Chọn A x Ⓒ −2sin + C x Ⓓ 2sin + C PP nhanh trắc nghiệm  Casio: xét hiệu 1 1 cos dx = −  cos d   = − sin + C x x x x dx Câu 3: Tính nguyên hàm I =  x ln x +  Ta có sin x + C PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Ⓓ x Ⓐ I = Ⓒ I = (ln x + 1)3 + C (ln x + 1) + C St-bs: Duong Hung Ⓑ I = ln x + + C Ⓓ I = ln x + + C 10 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio: xét hiệu −1 dx =  (ln x + 1) d(ln x + 1) = ln x + + C   x ln x + Câu 4: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x + 3cos x Ⓑ  f ( x) dx = ln + 3cos x + C Ⓒ  f ( x) dx = 3ln + 3cos x + C Ⓓ  f ( x) dx = Ⓐ  f ( x) dx = ln + 3cos x + C −1 ln + 3cos x + C PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio: xét hiệu  Ta có: sin x 1  + 3cos x dx = −  + 3cos x d (1 + 3cos x ) = − ln + 3cos x + C B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Biết  f ( u ) du = F ( u ) + C Mệnh đề nào sau đây đúng? Câu 2: Ⓐ  f ( x − 1) dx = F ( x − 1) + C Ⓑ  f ( x − 1) dx = 2F ( x ) − + C Ⓒ  f ( x − 1) dx = F ( x − 1) + C Ⓓ  f ( x − 1) dx = F ( x − 1) + C Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ( x + 1) là Ⓐ (x ) +1 10 Ⓑ ( x2 + 1) + C 10 + C ( ( ) Ⓐ  f ( x ) dx = − x − + C ( x − 1) x − + C Câu 4: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe x là Ⓒ  f ( x ) dx = Ⓐ x2 e +C 2 x − + C 2 Ⓓ  f ( x ) dx = ( x − 1) x − + C Ⓑ  f ( x ) dx = Ⓑ e x + C Ⓒ 2e x + C.2e x + C Câu 5: ) 10 10 2 Ⓓ x + + C x + + C 20 20 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − là Ⓒ − Câu 3: 2 Ⓓ ( x2 + 1) e x + C Biết hàm số F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = St-bs: Duong Hung ln x và thỏa mãn F ( e ) = x 11 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Mệnh đề nào sau đây là đúng? ln x − ln x −2 Ⓒ F ( x ) = ln x + ln x F ( x) = +2 Ⓑ F ( x ) = Ⓐ F ( x ) = Ⓓ x3 dx và F ( ) = Câu 6: Tìm hàm số F ( x ) biết F ( x ) =  x +1 Ⓐ F ( x ) = ln ( x + 1) + Ⓑ F ( x ) = ln ( x + 1) + Ⓒ F ( x ) = ln ( x + 1) + Ⓓ F ( x ) = 4ln ( x + 1) + 1 4 Câu 7: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = Ⓐ − ln cos x − + C sin x là cos x − Ⓑ 2ln cos x − + C ln cos x − +C Ⓓ 4ln cos x − + C 2 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin x.esin x là Ⓒ Câu 8: − esin x +1 Ⓑ +C sin x + esin x −1 Ⓓ +C sin x − Ⓐ sin x.e sin x −1 +C Ⓒ esin x + C Câu 9: Xét nguyên hàm I =  − x dx với phép đặt x = sin t Khi đó Ⓑ I =  sin t cos tdt Ⓐ I =  cos t cos tdt Ⓒ I =  cos t cos tdt Ⓓ I =  sin t cos tdt   Câu 10: Xét nguyên hàm I =  − x dx với phép đặt x = 2sin t với t   0;  Khi đó  2 Ⓑ I =  (1 + cos 3t )dt Ⓐ I =  (1 + cos 2t )dt Ⓒ 1.D I =  ( + cos 2t )dt 2.D 3.D Ⓓ I =  (1 + cos 2t )dt 4.A St-bs: Duong Hung BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.C 7.A 8.C 9.C 12 10.A Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Dạng ④: Phương pháp phần -Phương pháp:  Cho hai hàm số 𝑢 và 𝑣 liên tục trên đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ và có đạo hàm liên tục trên đoạn ሾ𝑎; 𝑏ሿ  Khi đó:∫ 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ሺ∗ሻ  Để tính nguyên hàm ∫ 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 phần ta làm sau: Bước Chọn 𝑢, 𝑣 cho 𝑓ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥 = 𝑢𝑑𝑣 (chú ý 𝑑𝑣 = 𝑣′ሺ𝑥ሻ𝑑𝑥)  Sau đó tính 𝑣 = ∫ 𝑑𝑣 và 𝑑𝑢 = 𝑢′ 𝑑𝑥 Bước Thay vào công thức ሺ∗ሻ và tính ∫ 𝑣𝑑𝑢 ①.Dạng , đó ⬧.Đặt: ② Dạng ⬧.Đặt: , đó  Casio: Xét hiệu là đa thứ ③ Dạng ⬧.Đặt: là đa thức , đó là đa thức , calc x= {-5,….,5} cách thích hợp Sẽ thu kết bảng xấp xỉ là đáp án đúng A - Bài tập minh họa: Câu Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x cos x là Ⓐ x sin x cos x + +C Ⓒ x sin x + cos x +C Ⓑ x sin x − Ⓓ Lời giải cos x +C x sin x cos x − +C PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  I =  x cos xdx  Casio St-bs: Duong Hung 13 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung du = dx u = x   Đặt  dv = cos xdx v = sin x  Khi đó 1 1 I = x sin x −  sin xdx = x sin x + cos x + C 2 Calc x=3.5 Chọn A Câu 2: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln x là x2  1 Ⓐ  ln x −  + C 2 2 Ⓒ Ⓑ x ln x − x2 ( ln x − 1) + C Ⓓ Lời giải x2 +C x2 ln x − x + C PP nhanh trắc nghiệm Chọn A Casio  du =  u = ln x  x →  Đặt  dv = xdx v = x   Calc x=1 x2 x2 F ( x ) =  f ( x ) dx = ln x −  dx x  2 x x x  1 = ln x − + C =  ln x −  + C 2 2 Chon A Câu 3: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.e2 x Ⓐ F x 2x e x 2 C Ⓑ F x Ⓒ F x 2e2x x C Ⓓ F x Lời giải 2e2x x 2x e x  Casio Calc: x=2 Đặt du = dx u = x    2x 2x dv = e dx v = e  1  1  F ( x ) = xe2 x −  e2 x dx = e x  x −  + C 2  2 B - Bài tập rèn luyện: St-bs: Duong Hung C PP nhanh trắc nghiệm Chọn A Ta có: F ( x ) =  x.e2 x dx C 14 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 1: Biết hàm số F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ln x và thỏa mãn F (1) = Giá trị F ( e ) Ⓐ Câu 2: Câu 3: Ⓑ −e2 + Ⓒ e2 + Ⓓ 3e2 + Nguyên hàm hàm f ( x ) = x (1 + ln x ) là Ⓐ x ln x + x Ⓑ x2 ln x + 3x Ⓒ x2 ln x + x2 + C Ⓓ x2 ln x + 3x2 + C Biết hàm số F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x − 1) e − x và thỏa mãn F ( ) = 2020 Khẳng định nào sau đây đúng? Ⓐ F ( x ) = e− x + 2019 Ⓑ F ( x ) = xe− x + 2020 Ⓒ F ( x ) = − xe− x + 2020 Ⓓ F ( x ) = − xe x + 2020 Câu 4: Biết hàm số F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = x cos x và thỏa mãn F ( ) =  2 Giá trị F ( ) 2 Câu 5: 2 1 − +  Ⓐ Ⓑ 2 2 2 Ⓒ +  Ⓓ + 4 x Nguyên hàm hàm số f ( x ) = e sin x là Ⓑ  e x sin xdx = Ⓒ F (x ) Câu 8: Câu 9: ) Hàm số f ( x) = ( x + 1)sin x có các nguyên hàm là: Ⓐ F ( x) Câu 7: ) ( Ⓒ  e x sin xdx = e x cos x + C Câu 6: ( x e sin x + e x cos x + C Ⓓ  e x sin xdx = e x sin x − e x cos x + C Ⓐ  e x sin xdx = e x sin x + C Tính Ⓑ F(x ) ( x 1) cos x sinx C (x 1)cos x s inx (x 1)cos x s inx Ⓓ F ( x) = ( x + 1) cos x − sinx + C C  x cos xdx , ta kết là: Ⓐ F ( x ) = x sin x + cos x + C Ⓑ F ( x ) = x sin x − cos x + C Ⓒ F ( x ) = − x sin x + cos x + C Ⓓ F ( x ) = − x sin x − cos x + C ( ) Một nguyên hàm hàm số f ( x) = x + x e x Ⓐ F ( x) = (2 x + 2).e x Ⓑ F ( x) = x 2e x Ⓒ F(x ) Ⓓ F ( x) = ( x − x).e x (x x ).e x Kết nào sai các kết sau ? St-bs: Duong Hung 15 C Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung xe3 x x − e +C x x xe xdx e C Ⓐ  xe3 x dx = Ⓑ  xe xdx = xe x − e x + C Ⓒ Ⓓ  x −x dx = x − x + C x e e e x Câu 10: Cho f ( x) =  ln tdt Đạo hàm f '( x) là hàm số nào đây? Ⓑ ln x x Câu 11: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x sin x là Ⓐ Ⓒ ln x Ⓓ ln x Ⓐ – x cos x + sin x + C Ⓑ x sin x + cos x + C Ⓒ x cos x + sin x + C Ⓓ x cos x − sin x + C Câu 12: Kết I =  xe x dx là x2 x x Ⓐ I = e + e + C Ⓒ I = Ⓑ I = e x + xe x + C x2 x e +C Ⓓ I = xe x − e x + C Câu 13: Tính F ( x) =  x sin xdx Chọn kết đúng? Ⓐ F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C Ⓒ F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C Ⓑ F ( x) = − (2 x cos x + sin x) + C Ⓓ F ( x) = (2 x cos x − sin x) + C Câu 14: Nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e x là Ⓐ xe x + C Ⓑ ( x + ) e x + C Ⓒ ( x − 1) e x + C Ⓓ xe x + C Câu 15: Họ các nguyên hàm f ( x ) = x ln x là Ⓐ x2 ln x + x + C x2 Ⓒ ln x − x + C Ⓑ x ln x − x + C Ⓓ x ln x + x + C Câu 16: Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln ( x + ) x2 x2 + 4x ln x + − +C ( )  2 x2 − x2 + 4x ln ( x + ) − +C Ⓑ  f ( x ) dx = 2 x2 x2 + 4x +C Ⓒ  f ( x ) dx = ln ( x + ) − Ⓐ f ( x ) dx = St-bs: Duong Hung 16 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x2 − x2 − 4x ln x + − +C ( )  Câu 17: Cho hàm số y =  x sin xdx Chọn mệnh đề đúng các mệnh đề sau f ( x ) dx = Ⓓ      Ⓑ y   = 6   Ⓒ y   = Ⓓ y   =   24   12 Câu 18:  Ⓐ y   =   12 Gọi F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = xe− x Tính F ( x ) biết F ( ) = Ⓐ F ( x ) = ( x + 1) e− x + Ⓑ F ( x ) = − ( x + 1) e− x + Ⓒ F ( x ) = − ( x + 1) e− x + Ⓓ F ( x ) = ( x + 1) e− x + Câu 19: Tìm họ nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = x.e2 x Ⓐ F ( x ) = 2e2 x ( x − ) + C Ⓑ F ( x ) = e2 x ( x − ) + C Ⓒ F ( x ) = 2e2 x  x −  + C Ⓓ F ( x ) = e2 x  x −  + C 2  1  2  Câu 20: Cho F ( x) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e x và F ( ) = Tính F (1) Ⓐ F (1) = e + Ⓑ F (1) = 11e − Ⓒ F (1) = e + Ⓓ F (1) = e + BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.C 3.C 4.B 5.D 6.B 7.A 8.B 9.C 10.B 11.A 12.D 13.C 14.A 15.C 16.D 17.C 18.C 19.D 20.D St-bs: Duong Hung 17 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 2: TÍCH PHÂN DÙNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT  Dạng ①: Tích phân dùng định nghĩa .Phương pháp:  Nhận xét: Tích phân hàm số từ a đến b có thể kí hiệu hay Tích phân đó phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số  Chú ý: Học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp A - Bài tập minh họa: b Câu 1: Tính tích phân  dx a Ⓐ a − b Ⓑ a.b Ⓒ b − a Ⓓ a + b PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C b  Ta có:  dx = x a b =b−a a Câu 2: Giá trị e x +1 dx −1 Ⓐ − e Ⓑ e − Ⓒ −e Ⓓ e PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Ta có e x +1 −1 dx = e x+1 = e − −1 Câu 3: Tích phân I =  x 2020dx Ⓐ 2021 Ⓑ Lời giải St-bs: Duong Hung Ⓒ 2019 Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm 18 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Chọn A 1  Ta có I =  x 2020 x 2021 dx = = 2021 2021 B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Biết  f ( x ) dx = F ( x ) + C Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? b Ⓐ  f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) Ⓑ a b Ⓒ  f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) b  f ( x ) dx = F (b ) F ( a ) a b  f ( x ) dx = F (b ) + F ( a ) Ⓓ a a Câu 2: Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?  x2  Ⓐ  ( x + 1) dx =  + x   1 −2 x −3 Ⓑ 2  cos xdx = ( sin x )   Ⓓ  e x dx = ( e x ) −2 Ⓒ  dx = ( ln x ) −3 Câu 3: 2 1 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên đoạn 1;3 , f ( 3) = và  f  ( x ) dx = Khi đó f (1) Ⓐ Câu 4: Ⓑ 11 −1 Ⓒ.1 F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) = + x x2 Ⓓ 10 ( x  ) , biết F (1) = Tính F ( 3) Ⓐ F ( 3) = 3ln + Ⓑ F ( 3) = 2ln + Ⓒ F ( 3) = 2ln + Ⓓ F ( 3) = Câu 5: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên , f ( −1) = −2 và f ( 3) = Tính I =  f ' ( x )dx −1 Ⓐ I = Câu 6: Cho các số thực a , b b Ⓐ  Ⓑ I = ( a  b ) Nếu hàm số f ( x ) dx = f  ( a ) − f  ( b ) Ⓒ I = y = f ( x ) có đạo hàm là hàm liên tục trên Ⓑ a b Ⓒ  f  ( x ) dx = f ( a ) − f ( b )  f  ( x ) dx = f (b ) − f ( a ) a b Ⓓ  f ( x ) dx = f  (b ) − f  ( a ) a PT 1.2 Cho F ( x ) là nguyên hàm hàm số f ( x ) Khi đó hiệu số F (1) − F ( ) Ⓐ  − f ( x ) dx Câu 8: thì b a Câu 7: Ⓓ I = −4 Ⓑ  F ( x ) dx 2 Ⓒ   − F ( x )  dx Ⓓ  f ( x ) dx Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên  a ; b  , f ( b ) = và b  f  ( x ) dx = , đó a f ( a ) Ⓐ −6 Ⓑ St-bs: Duong Hung Ⓒ −4 Ⓓ 19 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 9: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  0;1 và thoản mãn Ⓑ −2  f  ( x ) dx = −3 Giá trị biểu thức f ( ) − f (1) Ⓐ Ⓒ Ⓓ −3 Câu 10: Cho hàm số y = x3 có nguyên hàm là F ( x ) Khẳng định nào sau đây là đúng? Ⓐ F ( ) − F ( ) = 16 Ⓑ F ( ) − F ( ) = Ⓒ F ( ) − F ( ) = Ⓓ F ( ) − F ( ) = Câu 11: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;3 thỏa mãn f (1) = và f ( 3) = Tính I =  f  ( x ) dx Ⓐ Ⓑ I = 11 Câu 12: Tính tích phân I =  Ⓐ I = − Ⓑ I = ln Câu 13: Tính tích phân I =  Ⓓ I = 18 dx x+2 21 100 Ⓐ I = ln −1 Ⓒ I = I =2 Ⓒ I = log Ⓓ I = Ⓒ I = ln + Ⓓ 4581 5000 dx 2x −1 Ⓑ I = ln I = ln − Câu 14: Cho các số thực a, b ( a  b ) Nếu hàm số y = F ( x ) là nguyên hàm hàm số y = f ( x ) thì b Ⓐ  b f ( x ) dx = F ( a ) − F ( b ) Ⓑ  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) a b Ⓒ  F ( x ) dx = f ( a ) − f ( b ) Ⓓ  f ( x ) dx = F (b ) − F ( a ) a a Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên tập F (1) = −3 và F ( ) = Giá trị a b , nguyên hàm f ( x ) là F ( x ) thoả mãn  f ( x ) dx Ⓐ −4 Ⓑ −3 Ⓒ −2 Câu 16: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = , f  ( x ) liên tục trên Ⓓ và f ( 3) là Ⓐ Ⓑ Ⓒ 10 Câu 17: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = , f  ( x ) liên tục trên Ⓓ và  f  ( x ) dx = Giá trị f ( 3) là Ⓐ  f  ( x ) dx = Giá trị Ⓑ St-bs: Duong Hung Ⓒ 10 Ⓓ 20 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 18: Tích phân  x(x ) + dx Ⓐ 2 Câu 19: Ⓑ Ⓒ Ⓓ Ⓒ ln Ⓓ ln dx  3x − Ⓐ 2ln Ⓑ ln   Câu 20: Cho hai số thực a, b   0;  thỏa mãn  dx = 10 Giá trị tan a − tan b cos x  2 a 1 Ⓐ 10 Ⓑ − Ⓒ −10 Ⓓ 10 10 BẢNG ĐÁP ÁN b 1.A 11.C 2.C 12.B 3.A 13 4.C 14.D 5.A 15.A 6.B 16.C 7.A 17.C 8.D 18.D 9.C 19.B 10.D 20.C  Dạng ②: Tích phân dùng tính chất .Phương pháp: Giả sử cho hai hàm số và liên tục trên ① ② ③ ④ ⑤ là ba số thuộc Khi đó ta có A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho biết  f ( x ) dx = và Ⓐ 2 0  g ( x ) dx = −2 Tính tích phân I =  2 x + f ( x ) − g ( x )dx Ⓑ I = 18 I = 11 Ⓒ I = Ⓓ I = PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A Ta có I =   x + f ( x ) − g ( x )dx  2 0 =  xdx +  f ( x ) dx − 2 g ( x )dx = + − ( −2 ) = 11 St-bs: Duong Hung 21 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có  Ⓐ I = 4 f ( x )dx = 9;  f ( x )dx = Tính I =  f ( x )dx ? Ⓑ I = 36 Ⓒ I = 13 Ⓓ I = PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C  Ta có 4 0  f ( x ) dx =  f ( x )dx +  f ( x )dx = + = 13 5  f ( x ) dx = −2 và  ( f ( x ) ) dx = đó  f ( x ) dx Câu 3: Cho Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A  5 1  ( f ( x ) ) dx =   f ( x ) dx = 5 0   f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx = −2 + = B - Bài tập rèn luyện: Câu 1:  Nếu f ( x ) dx = 3, Ⓐ Câu 2:   f ( x ) dx f ( x ) dx = −1 thì Ⓑ Ⓒ −2 Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên b  Ⓐ a b b a a Ⓒ  f ( x ) dx = Ⓓ a Cho f ( x ) , g ( x ) là hai hàm số liên tục trên Ⓐ Ⓑ b a a b b Ⓑ  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx f ( x ) dx =  f ( y ) dy b Ⓓ Chọn mệnh đề sai các mệnh đề sau a Câu 3: a a b b b a a a  ( f ( x ) g ( x )) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx Chọn mệnh đề sai các mệnh đề sau?  f ( x ) dx =  f ( y ) dy b b b a a a  ( f ( x ) − g ( x )) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx Ⓒ a f ( x ) dx = a St-bs: Duong Hung 22 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung b b b a a a Ⓓ   f ( x ) g ( x ) dx =  f ( x ) dx. g ( x ) dx Câu 4: 1 0  f ( x ) dx = và  g ( x ) dx = , đó   f ( x ) + g ( x ) dx Cho Ⓐ −3 Câu 5: Ⓑ −8 1 0   f ( x ) − g ( x ) dx = 12 và  g ( x ) dx = , đó  f ( x ) dx Cho  Cho Ⓑ 12 f ( x ) dx = và Ⓓ    f ( x ) − g ( x ) dx  g ( x ) dx = −7 , đó −1 Ⓑ Ⓒ c c a a b b Ⓓ  f ( x ) dx = 50 ,  f ( x ) dx = 20 Tính  f ( x ) dx Cho Ⓐ −30  Cho Ⓑ f ( x ) dx = và Ⓒ 70  g ( x ) dx = , đó Ⓐ −3 Câu 9:  1 Ⓐ −3 Câu 8: Ⓒ 22 −1 −1 Câu 7: Ⓓ 1 Ⓐ −2 Câu 6: Ⓒ 12   f ( x ) − g ( x ) dx Ⓑ 12 Cho hàm số f ( x ) liên tục trên Ⓓ 30 Ⓒ −8 thỏa mãn  Ⓓ 10 3 f ( x )dx = 7,  f ( x )dx = 8,  f ( x )dx = Giá trị 10 I =  f ( x )dx Ⓐ I = Ⓑ I = Ⓒ I = Câu 10: Cho hàm số f ( x) liên tục trên tập và thỏa mãn  Ⓓ I = f ( x ) dx = ,  f ( x ) dx = −5 Giá trị biểu thức  f ( x ) dx Ⓐ Ⓑ −11 Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên Ⓐ  f ( x )dx = f ( x )dx 0 Ⓒ  f ( x )dx = −1 Ⓒ −8 Ⓓ −2 Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓑ  −1 1 f ( x )dx = 2 f ( x )dx Ⓓ  f ( x )dx =  f (1 − x )dx 0 Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 4 , biết f ( ) = 3, f (1) = Tính  f  ( x ) dx St-bs: Duong Hung 23 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 10 Ⓑ Ⓒ Ⓓ Câu 13: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên có  3 f ( x ) + g ( x ) dx = 1;  2 f ( x ) − g ( x ) dx = −3 Tính  f ( x + 1) dx −5 Ⓐ 10 Ⓑ − Ⓒ 11 14 Ⓓ − 14 Câu 14: Cho f ( x ) và g ( x ) là các hàm số liên tục bất kì trên đoạn  a; b Mệnh đề nào sau đây đúng ? b b b a a a  f ( x ) − g ( x ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx Ⓐ b b b a a a Ⓑ Ⓒ  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx Ⓓ Câu 15: Biết  f ( x ) dx = ,  g ( x ) dx = Tích phân Ⓐ 10 Câu 16: Cho b a a a  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx =  f ( x ) dx −  g ( x ) dx b  ( f ( x ) − g ( x ) ) dx = a b  a b f ( x ) dx −  g ( x ) dx a   f ( x ) + g ( x ) dx Ⓒ 3 −1 −1 Ⓓ 12  f ( x)dx = 3 f ( x)dx = Tính tích phân  f ( x)dx ? Ⓑ  f ( x)dx = −2 và  g ( x)dx = −5 Khi đó 0 Ⓐ −10  −2 Ⓒ 1 Câu 18: Cho b Ⓑ Ⓐ Câu 17: Cho b   f ( x) + 3g ( x)dx Ⓒ −17 f ( x)dx = 2,  f ( x)dx = Tích phân Câu 19: Cho  f ( x ) dx = −1 và −1 Ⓐ I = −4  f ( x)dx −2 Ⓒ 4 −1 Ⓓ  f ( x ) dx = Khi đó, I =  f ( x ) dx Ⓑ I = Ⓒ I = Câu 20: Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  0;3 và Ⓐ I = Ⓓ Ⓑ Ⓑ 12 Ⓐ Ⓓ Ⓑ I = −3 Ⓓ I = −2 2 3  f ( x)dx = ,  f ( x)dx = Tính I =  f ( x)dx Ⓒ I = Ⓓ I =4 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 11.D 2.D 12.C 3.D 13.D 4.C 14.B St-bs: Duong Hung 5.C 15.D 6.C 16.B 7.A 17.C 8.C 18.A 9.B 19.B 24 10.C 20.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Dạng ③: Tích phân sử dụng định nghĩa chứa tham số a, b, c -Phương pháp: ① Dạng 1:I  Chú ý: (với a≠0) I = ② Dạng 2: ( với ),é • ,thì • thì thì I = • thì Đặt ③ Dạng 3: .( • Bằng phương pháp đồng hệ số, ta tìm liên tục trên đoạn và cho: • Ta có I= Tích phân Tích phân = thuộc dạng St-bs: Duong Hung 25 ) Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho biết x −1  x + 2dx = a + b ln , với a , b là các số nguyên Giá trị biểu thức a − 2b Ⓐ Ⓑ Ⓒ −5 Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D Casio: x −1   = x − 3ln x +  Ta có:  dx =  1 − d x ( )  x+2 x+2 0 = (1 − 3ln 3) − ( − 3ln ) = − 3ln  Bước 1: Tính tích phân lưu lại là A a =  Suy  Vậy a − 2b = b = −3 Bước 3: Table nhập f ( x ) = A − x ln 1 Bước 2: Rút a = A − b ln với Start: −9 , End: 9, Step: Được cặp số x = −3 , f ( x ) = thỏa mãn Suy a = , b = −3 Câu 2: Cho xdx  ( x + 1) = a + b ln + c ln với a, b, c là các số hữu tỉ Giá trị a + b + c 12 Ⓐ Ⓑ 12 Ⓒ − Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  xdx ( x + 1)  Đặt t = x +  x = 1  ( x + − 1) dx  1 =  =  − d ( x + 1) 2 ( x + 1)  x + ( x + 1)  1  1  1 =  ln x + +  =  ln + − 1 = ln − 4 2x +1  4  t −1 , dx = dt 2 t −1 3 1 1 dt =  ln t +  = ln − 4t 4t  4 I =  Vậy: a + b + c = 12 1 Vậy a + b + c = − + = 12 Câu 3: Cho  9x 2 Ⓐ 15 − 5x dx = a ln b + c , với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị 9a + 11b + 22c − 24 x + 16 Ⓑ −10 Ⓒ Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C St-bs: Duong Hung 26 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Ta có − 5x − 5x 2 x − 24 x + 16dx = 2 ( 3x − )2 dx = 2 3 − 17 ( 3x − ) − 3 dx ( 3x − ) dx 17 dx d ( 3x − ) 17 d ( 3x − ) =−  −  =−  −  3x − ( 3x − ) 3x − ( 3x − )2 3 5 17  17  =  − ln 3x − +  = ln − 3x −  11 22  17  a = ,b = ,c = − 11 22 17  9a + 11b + 22c = + 11 − 22 = −10 11 22 B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Tìm số thực a  thỏa mãn a (x − x ) dx = Ⓐ a = −4 Ⓑ a = −5 Câu 2: Giá trị tích phân dx  x + là Ⓐ 18 Giả sử Ⓒ a = −6 Ⓓ a = −3 b ln , Tổng a + b + c a c Ⓑ 14 Câu 3: 875 Ⓒ.16 Ⓓ 10 dx  x − = a + ln(b+ 1) , với a, b là các số nguyên không âm Tính T = a + b ? Ⓐ Ⓑ Ⓒ.-1 Ⓓ 1 Câu 4: Biết 2x −1 dx = a ln + b ln + c ( a, b, c là các số nguyên) Giá trị a + b − c x +1  Ⓐ Ⓑ −4 Ⓒ Ⓓ −1  Câu 5:  ( − sin x ) dx = a + b , với a, b là các số nguyên Giá trị biểu thức a + b Cho biết Ⓐ Ⓑ −4 Ⓒ Ⓓ  Câu 6: Cho I =  cos 2 xdx =  b b + , với a , b , c là các số nguyên dương, tối giản Tính P = a + b + c c a c Ⓐ P = 15 Câu 7: Cho Ⓑ P = 23 x2 + x  ( x + 1) Ⓒ P = 24 Ⓓ P = 25 dx = a + b ln với a , b là các số hữu tỷ Giá trị 16a + b là Ⓐ 17 Ⓑ 10 St-bs: Duong Hung Ⓒ −8 Ⓓ −5 27 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 8: Cho x 2x + dx = a ln + b ln3 + c ln 5, (a, b, c  ) Giá trị a + b + c + 3x + Ⓐ -1 Ⓑ Ⓒ.1 Ⓓ b Câu 9: Với a, b là các tham số thực Giá trị tích phân  ( 3x − 2ax − 1) dx Ⓐ b − b a − b Ⓑ b + b a + b Câu 10: Cho I =  Ⓒ b3 − ba − b x dx = a − ln b với a, b là các số nguyên dương Giá trị a + b x +1 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Câu 11: Có bao nhiêu số thực a  ( 0; 2π  cho  cos ( ax ) dx = Ⓐ Ⓑ Câu 12: Cho x 1 + 4a Ⓒ Ⓓ x+3 dx = a ln + b ln + c ln , với a, b, c là các số nguyên Giá trị a + b + c + 3x + Ⓐ Ⓑ Câu 13: Cho Ⓓ 3b2 − 2ab − x  ( x + 2) Ⓒ Ⓓ dx = a + b ln + c ln với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị 6a + b + c Ⓐ Ⓑ −2 Câu 14: Biết I =  Ⓒ Ⓓ x+2 dx = a + b ln c , với a , b , c  , c  Tính tổng S = a + b + c x Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ S = x  10 a  Câu 15: Cho   x +  dx = + ln với a, b  x +1 b b 1 Ⓐ P = Câu 16: Giả sử x Ⓑ P = Ⓒ P = Ⓓ P = x −1 dx = a ln + b ln ; a, b  Q Tính P = a − 2b + 4x + Ⓐ P = 10 Câu 17: Cho Tính P = a + b ? Ⓑ P = xdx  ( x + 2) Ⓒ P = Ⓓ P = = a + b ln + c ln với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c bằng: Ⓐ −2 Câu 18: Cho Ⓑ 1 a Ⓒ Ⓓ −1  x ( x + 2) dx = ln b − c , với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị a + b − c Ⓐ Ⓑ −5 Ⓒ 14 Ⓓ BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.A 3.B 4.D St-bs: Duong Hung 5.C 6.D 7.D 8.A 9.A 28 10.A Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 11.A 12.B 13.B 14.A 15.B 16.A 17.D 18.B Hướng dẫn giải Câu 1: a  x4  a4 11 Ta có  ( x − x ) dx =  − 3x  = − 3a +  1 a Từ giả thiết ta có phương trình:  a = 36 a4 11 875 − 3a + =  a4 − 12a2 − 864 =   4 a = − 24  Do a  nên a = −6 Câu 2: dx d ( x + 5) 1 =  = ( ln x + ) = ln Ta có  2x + 2x + 2 2 Vậy a + b + c = + + = 18 Câu 3: Ta có dx  x − = ln x − 1 = (ln − ln1) = ln = ln(2 + 1) Vậy a = 0, b =  a + b = Câu 4: 2  2x −  d x = = − 3ln = −3ln + 3ln + dx =   − x − 3ln x + ( )  x +1 0 x +1 Ta có:  Do đó: a = −3 , b = , c = Vậy a + b − c = −1 Câu 5:    2 0   Ta có  (4 − sin x)dx =  dx −  sin x dx = x 02 + cos x 02 = 2 − a =  a + b = −1 = Suy  b = −1 Câu 6:      1 18  + cos x   I =  cos xdx =   d x = (1 + cos x ) dx =  x + sin x  = +   2 20  16  0 8  a = 16 , b = 1, c = Vậy P = a + b + c = 16 + + = 25 Câu 7: St-bs: Duong Hung 29 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung ( x + 1) − dx = 1 dx − x + −3 dx = ln x + 1 − ( x + 1) d x = 0 ( x + 1)3 0 ( x + 1)3 0 x + 0 ( ) −2 x2 + x Ta có −2 = − + ln Vậy a = − ; b = và 16a + b = −5 Câu 8: Ta có: 3 3 2x + 1 x + 3x + dx = 1 x + 2dx − 1 x + dx = 3ln x + − ln x + 11 = 3ln − 3ln3 − ln Vậy: a = −1; b = −3; c =  a + b + c = −1 Câu 9: b  ( 3x − 2ax − 1) dx = ( x3 − ax − x ) = b3 − ab2 − b b 0 Câu 10: Ta có: I =  1 x  dx =  1 − dx = ( x − ln x + ) = − ln  0 x +1  x +1  Vậy: a = 1, b =  a + b = + cos ( 2ax ) cos ( 2ax ) dx =  dx +  dx Câu 11: Ta có:  cos ( ax ) dx =  2 0 0 1 1 1 Mà  dx = và 2   cos ( ax ) dx = cos ( 2ax ) 0 dx = 4a sin ( 2ax ) 1 = sin ( 2a ) 4a 1 + sin ( 2a ) 4a Theo đề bài ta có:  cos ( ax ) dx = Nên sin ( 2a ) =  2a = Do a  ( 0;2    Với k =  a = π Với k =  a = 5π 1 + 4a π π + k 2π  a = + kπ, ( k  ) π + kπ  2π  −  k   k   0;1 4 Vậy có giá trị a  ( 0; 2π  thỏa mãn đề bài Câu 12: St-bs: Duong Hung 30 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x+3 x+3 1 x + 3x + dx = 1 ( x + 1)( x + ) dx = 1 x + 1dx − 1 x + 2dx  3 3 = ( ln x + − ln x + ) = ln + ln − ln Suy a = , b = , c = −1 Nên a + b + c = + − = Câu 13:     dx =   − = − − ln + ln  dx =  ln x + + Ta có   2  x + ( x + 2)  x+20  ( x + 2) 0  Suy a = − , b = −1, c = Vậy 6a + b + c = −2 3 x+2  2 Câu 14: Ta có I =  dx =  1 + dx = ( x + 2ln x ) = + 2ln x x 1 1 x Mà I = a + b ln c , với a , b , c  , c  Suy a = , b = , c = Vậy S = a + b + c = Câu 15: x     x +1−1  Ta có   x +  dx =   x +  dx =   x + −  dx x +1 x +1  x +1 1 1 1 2 2  x3  10 10 10 a =  + x − ln x +  = + ln − ln = + ln = + ln 3 b b  1 Suy a = 2; b = Vậy a + b = Câu 16: x −1   −1 0 x2 + x + dx = 0  x + + x +  dx = − ln x + + ln x +  Ta có 2 = 2ln5 − 3ln3  a = , b = −3 Vậy P = a − 2b = 10 Câu 17:   xdx ( x + 2) = dx dx −1 − 2 = ln x + − = − − ln + ln x + ( x + 2) x+2 1   a = − ; b = −1; c =  3a + b + c = −1 Câu 18: Ta có: A Bx + C = +   Ax + ( Bx + C )( x + ) x ( x + 2) x + x Khi đó, dùng kỹ thuật đồng hệ số ta St-bs: Duong Hung 31 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  A = 1  A + B =  4 − x+   1   dx =   + 2 dx  2 B + C =   B = −   x ( x + 2) x + 2) x 3 ( 2C =       C =  1  4 4 − x+   1 dx dx dx  x +  + − + = ln −  Khi đó ta có:   dx =  x + 2) x2 x + 3 x 3 x  x 2x  3 (      a = 9, b = 10, c = 24  a + b − c = −5 St-bs: Duong Hung 32 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 3: TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ  Dạng ①: Phương pháp tích phân cách đổi biến số .Phương pháp: Cho hàm số liên tục trên đoạn Giả sử hàm số liên tục trên đoạn và Giả sử có thể viết tục trên đoạn Khi đó, ta có  Để tính tích phân:  Bước 1: có đạo hàm với liên ta thực các bước: Biến đổi để chọn phép đặt  Bước Thực phép đổi cận:  Với thì ;  Bước Đưa dạng thì (Ghi Nhớ : đổi biến phải đổi cận) đơn giản và dễ tính  Dấu hiệu nhận biết và cách đặt Dấu hiệu Có thể đặt  Có  Có ngoặc  Có mũ  Có  Có biểu thức chứa biểu thức chứa  Có  Có  Có  Có  Có mẫu: St-bs: Duong Hung mẫu 33 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tính tích phân I =  x(1 + x )4 dx Ⓐ I = 16 Ⓑ I = 31 10 Lời giải Ⓒ I = 10 Ⓓ I = − 10 PP nhanh trắc nghiệm Chọn B  Casio:  Đặt t = + x2  dt = xdx Đổi cận x =  t = ; x =  t = 2 t4 31 Nên I =  dt = 10 Câu 2: Tính tích phân I =  x x − 1dx cách đặt u = x − 1, mệnh đề nào đây đúng? Ⓑ I =  udu Ⓐ I = 2 udu Ⓒ I =  udu Ⓓ I = Lời giải udu 1 PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Casio: xét hiệu  I =  x x − 1dx Đặt u = x −  du = xdx Đổi cận x =  u = ; x =  u = 3 Nên I =  udu  Câu 3: Tính tích phân I =  cos3 x.sin xdx Ⓐ I = −  Ⓑ I = − Lời giải Ⓒ I = Ⓓ I = − PP nhanh trắc nghiệm Chọn C  Ta có: I =  cos3 x.sin xdx  Sử dụng máy tính, tính tích phân hàm lượng giác phải chuyển đơn vị radian St-bs: Duong Hung 34 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Đặt t = cos x  dt = − sin xdx  −dt = sin xdx Đổi cận: với x =  t = ;với x =   t = −1 −1 t4 Vậy I = −  t dt =  t dt = −1 14 ( −1) = − = 4 −1 B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho tích phân I =  x (1 − x ) dx Mệnh đề nào đây đúng? 0 Ⓑ I = −  ( t − t ) dt Ⓐ I = −  t (1 − t ) dt −1 −1 Ⓓ I = −  ( t − t ) dt Ⓒ I =  t (1 − t ) dt −1 Câu 2: Cho I =  x + x dx và u = x + Mệnh đề nào đây sai?  u5 u3  Ⓐ I =  −   1 Ⓑ I =  u ( u − 1) du 3 Ⓓ I =  u ( u − 1) du 21 Ⓒ I =  x ( x − 1) dx 21 Câu 3: x dx x −1 Tính K =  2 Ⓐ Ⓑ K = ln K = ln Ⓒ K = ln Ⓓ K = ln  Câu 4: Tích phân  cos2 x.sin x dx Ⓐ − Ⓑ 3 2 Ⓒ − Ⓓ Câu 5: Cho I =  x x − 1dx và u = x − Mệnh đề nào đây sai? Ⓐ I =  udu Ⓑ I = 27 Ⓒ I =  u du 32 Ⓓ I =  cot x Cho I =  dx và u = cot x Mệnh đề nào đây đúng  sin x Câu 6:  Ⓐ I =  u 3du  Ⓑ I =  u 3du Ⓒ I = − u 3du Ⓓ I =  udu ln Câu 7: Cho I =  ln (e x + 1) e x e −1 x dx Đặt t = e x − Chọn mệnh đề đúng St-bs: Duong Hung 35 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung ln Ⓐ I = 2 ( t + )dt Ⓑ I =  (t + 2)dt ln Ⓓ I =  ( t + )dt Ⓒ I = 2 ( t + )dt 1 Câu 8: Cho I =  x + x dx và u = x + Mệnh đề nào đây sai?  u5 u3  Ⓐ I =  −   1 Ⓒ I = 1 2 x ( x − 1) dx 1 Ⓓ I = 2 u ( u − 1) du 1 x dx x −1 Tính K =  2 Ⓐ Ⓑ I =  u ( u − 1) du 3 Câu 9: Ⓑ K = ln K = ln Ⓒ K = ln Ⓓ K = ln  cot x Câu 10: Cho I =  dx và u = cot x Mệnh đề nào đây đúng  sin x  Ⓐ I =  u 3du Ⓑ I =  u 3du  Ⓒ I = − u 3du Ⓓ I =  udu ln Câu 11: Cho I =  (e x + 1) e x e −1 x ln dx Đặt t = e x − Chọn mệnh đề đúng ln Ⓐ I = 2 ( t + )dt Ⓑ I =  (t + 2)dt ln Ⓓ I =  ( t + )dt Ⓒ I = 2 ( t + )dt 1  Câu 12: Cho I =  sin x cos xdx , khẳng định nào sau đây đúng? Ⓐ 1 I Ⓑ  I  Ⓒ I 3 Ⓓ  I  1 dx , m là số thực dương Tìm tất các giá trị m để I  2x + m 1 1 Ⓐ  m  Ⓑ m  Ⓒ m  Ⓓ  m  4 Câu 13: Cho I =  2 Câu 14: Cho tích phân I =  16 − x dx và x = 4sin t Mệnh đề nào sau đây đúng?  Ⓐ I = 8 (1 + cos 2t ) dt St-bs: Duong Hung  Ⓑ I = 16 sin tdt 36 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung   4 Ⓒ I = 8 (1 − cos 2t ) dt Ⓓ I = −16 cos2 tdt 0 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.C 2.B 12.B 3.B 13.A 4.B 14.A 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.B  Dạng ②: Tích phân đổi biến chứa tham số a, b, c -Phương pháp:  Để tính tích phân:  Bước 1: ta thực các bước: Biến đổi để chọn phép đặt  Bước Thực phép đổi cận:  Với thì ;  Bước Đưa dạng thì đơn giản và dễ tính A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho biết x x + 1dx = Ⓐ − a −1 với a , b là các số tự nhiên Giá trị a − b2 b Ⓑ Ⓒ PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Đặt Tính tích phân lưu lại là A x + = t  x + = t  x dx = t dt Rút b = Ta có x =  t = 1, x =  t = Khi đó: x Ⓓ.7 x + 1dx = t dt = t 2 −1  a = 2, b = = 31 3 Câu 2: Cho x −1 với Start: A , End: 18 , Step:  table f ( x ) = Được cặp số x = , f ( x ) = Vậy a − b2 = −5 e a −1 A thỏa mãn Suy a = , b = ln x  x ( ln x + 2) dx = a + b ln + c ln với a , b , c là các số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c Ⓐ −2 Ⓑ St-bs: Duong Hung −1 Ⓒ Ⓓ 37 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B dx x  Đặt t = ln x  dt = Đổi cận: x =  t = ; x = e  t = Khi đó: e I = 1 ln x x ( ln x + ) t dx =  (t + 2) dt  t +2−2  = d t = −  0  t + ( t + )2  dt (t + 2)   1   =  ln t + +  = − − ln + ln t+20  Suy ra: a = − ; b = −1 ; c = Do đó: 3a + b + c = −1 ln Câu 3: Biết  1+ ex ex + Ⓐ T = −1 dx = a + b ln + c ln với a , b , c là các số nguyên Tính T = a + b + c Ⓑ T = Ⓓ T = Ⓒ T = PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B ln  Xét I =  1+ x ex e +3 x dx Đặt t = e x +  t = e x +  2tdt = e dx Đổi cận x =  t = , x = ln  t = 2t   dt =   −  dt = ( 2t − ln t + ) t +1 t +1  2 = − 4ln + 2ln Khi đó I =  Suy a = , b = −4 , c = nên T = a + b + c = B - Bài tập rèn luyện: St-bs: Duong Hung 38 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 1: Tính tích phân I =  dx ta kết I = a ln + b ln Giá trị S = a + ab + 3b2 là x 3x + Ⓐ Ⓑ e Câu 2: c dx = a ln + b ln + , với a, b, c  Khẳng định nào sau đâu đúng x ( ln x + ) Ⓐ a2 + b2 + c2 = Cho  3x Ⓐ Ⓒ 14 Ⓓ dx = a ln + b ln + c ln , đó a, b, c  Tính giá trị T = a + b + c x +x Câu 5: Ⓑ −15 −12 Biết I =  Ⓐ Ⓑ a2 + b2 + c2 = 11 Ⓒ a2 + b2 + c2 = Ⓓ a + b2 + c2 = 2x +1 dx = a ln + b ln c , với a, b, c là các số hữu tỷ Giá trị 5a + 15b −11c − x−2 Câu 4: Ⓓ ln x Cho I =  Câu 3: Ⓒ T = Giả sử tích phân I =  Ⓒ dx = a + b ln + c ln ( a, b, c  1 + 3x + Ⓐ a + b + c = Ⓓ T = Ⓑ T = Ⓑ a + b + c = T = −1 Ⓒ a + b + c = ) Khi đó: Ⓓ a + b + c =  + 3tan x dx = a + b 2, với a, b  Tính giá trị biểu thức A = a + b + cos x Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 12 3 e ln x Cho  dx = a + b ln + c ln với a , b , c là các số hữu tỷ Giá trị 3a + b + c x ( ln x + ) Câu 6: Câu 7: Cho  Ⓐ −2 Câu 8: Cho Ⓑ ln x  ( x + 1) dx = −1 Ⓒ Ⓓ a a  ln − c  ln với a, b, c  * và phân số tối giản Giá trị a + b + c b b Ⓐ Ⓑ ln Câu 9: Biết  1+ ex ex + e  thức Ⓓ dx = a + b ln + c ln với a , b , c là các số nguyên Tính T = a + b + c Ⓐ T = −1 Câu 10: Cho biết Ⓒ Ⓑ T = Ⓒ T = Ⓓ T = ln x + a dx = + b , với a , b là các số nguyên Giá trị biểu x + log a 2b Ⓐ -1 Ⓑ Câu 11: Cho biết x x + 1dx = Ⓒ Ⓓ.6 a −1 với a , b là các số tự nhiên Giá trị a − b2 b St-bs: Duong Hung 39 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ − Ⓑ Ⓒ Ⓓ.7 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.C 11.A  Dạng ③: Tích phân hàm ẩn đổi biến số -Phương pháp: Tính tích phân .Giả sử viết dạng ,trong đó hàm số có đạo hàm trên , hàm số y=f(u) liên tục cho hàm hợp xác định trên và là hai số thuộc Khi đó Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì chữ số thay cho Như tích phân không phụ thuộc vào biến tức là A - Bài tập minh họa: Câu : Biết f ( x ) là hàm liên tục trên Ⓐ Ⓑ 27 và  f ( x )dx = Khi đó giá trị  f ( 3x − 3)dx là Ⓒ Ⓓ 24 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn C m  Đặt u = 3x − , suy du = 3dx  Đổi cận: x = thì u = ; x = thì u =  Ta có: 9 1 1 1 f ( 3x − 3)dx = 0 f ( u )du = 0 f ( u )du = 0 f ( x )dx = =  Vậy  f ( 3x − 3)dx =  Nếu có  f ( x )dx = M thì n   f ( ax + b )dx =  M ; a n = a. + b, m = a. + b  Áp dụng: =3 Câu 2: Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn f ( x3 + x − 2) = 3x − với x  R Tính 10 tích phân I =  f ( x)dx St-bs: Duong Hung 40 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 151 Ⓒ 121 Ⓑ 27 Ⓓ 105 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A Đặt x = t + 2t −  dx = ( 3t + 2t ) dt ,    x =  t + 2t =  t =  Đổi cận :    x = 10  t + 2t = 12  t = 2 Ta có I =  f (t + 2t − 2) ( 3t + 2t )dt =  ( 3t − 1) ( 3t + 2t )dt 1  9t  151 + t3 − t2  = =  ( 9t + 3t − 2t ) dt =   1 Câu 3: Cho Cho hàm số f ( x) liên tục trên R và thỏa mãn 2021  f ( x)dx = Tính tích phân e2021 −1  x f ( ln( x + 1) ) dx x +1 Ⓐ Ⓑ I= Ⓓ −3 Ⓒ PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn C  Đặt t = ln ( x + 1)  dt = 2x x dx  dx = dt , x +1 x +1 2  x =  t =  Đổi cận :  2021   x = e −  t = 2021  Ta có I = 2021  f (t )dt = 2021  f ( x)dx = = B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho  f ( x )dx = , đó  f ( x + 1) dx Ⓐ Câu 2: Ⓑ Cho hàm số f ( x ) liên tục trên Ⓒ Ⓓ và thỏa mãn  f ( x ) dx = Tính 1 I =   f ( x + 1) + x + 1 dx Ⓐ I = 11 Ⓑ I = St-bs: Duong Hung Ⓒ I = 14 Ⓓ I = 41 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 3: f ( x )dx = 10 Tính tích phân J =  f ( x + )dx  Cho Ⓐ J = Câu 4: Ⓑ J = 10 Cho hàm số f ( x ) liên tục trên Ⓒ J = 50  và Ⓐ 30 Câu 5: Ⓓ J = 3 f ( x ) dx = 10 Tính I =  f ( 3x − 1) dx 21 Ⓑ 10 Ⓒ 20 Ⓓ Cho f ( x ) là hàm số chẵn, liên tục trên Biết  f ( x )dx = và −1  f ( x )dx = Tính tích phân  f ( x )dx −1 Ⓐ 14 Câu 6:  Cho Ⓑ 11  Biết Ⓒ I = 4036 Ⓑ I = 2018 f ( x ) dx = và  f ( x ) dx = 20 Tính 15 Ⓐ I = Cho Câu 9: Ⓓ I = 1009 ln  f ( x − 3) dx −  f ( e ) e 2x Ⓑ I = 15 2x dx Ⓒ I = Ⓓ I = 25 f x dx 2018 Tính tích phân I f (4 x) dx f (2 x) Ⓐ I Câu 8: Ⓓ f ( x)dx = 2018 Tính tích phân I =   f (2 x) + f (4 − x) dx Ⓐ I = Câu 7: Ⓒ Ⓑ I Ⓒ I 2018 4036 Giả sử hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn 0; 2 thỏa mãn Ⓓ I 1009  f ( x )dx = Tính tích phân  I =  f ( 2sin x ) cos xdx Ⓑ −3 Ⓐ Ⓓ −6 Ⓒ 1 Câu 10: Cho I =  f ( t )dt = Tính tích phân J =  f ( 3x + 1)dx Ⓐ Ⓑ 27 Ⓒ Ⓓ.1  Câu 11: Cho  Ⓐ f ( x ) dx = 2019 Giá trị I =  f ( cos x ) sin xdx 2019 Ⓑ − 2019 Ⓒ 4038 0 Ⓓ 2019 Câu 12: Cho tích phân I =  f ( x ) dx = 32 Tính tích phân J =  f ( x ) dx Ⓐ J = 32 Ⓑ J = 64 St-bs: Duong Hung Ⓒ J = Ⓓ J = 16 42 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung có  f ( x ) dx = và Câu 13 ho hàm số f x liên tục trên Ⓐ I = Ⓑ I = 0  f ( x + 1) dx = Tính I =  f ( x ) dx Ⓒ I = Ⓓ.I =  2 Câu 14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và  f ( x ) dx = 2018 Tính I =  xf ( x ) dx 0 Ⓐ I = 1008 Ⓑ I = 2019 Ⓒ I = 2017 Câu 15: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên và có  Câu 16: Cho  Ⓑ I = f ( x )dx = Khi đó I =  Ⓐ  Ⓑ −1 Ⓒ I = Ⓓ I = Ⓒ Ⓓ.2 ( x )dx x 1 Câu 17: Cho f f ( x ) dx = 2;  f ( x ) dx = Tính I =  f ( x − ) dx Ⓐ I = Ⓓ I = 1009 f ( x + 1) dx = 10 Tính J =  f ( 5x + ) dx Ⓒ J = 50 Ⓑ J = 10 Ⓐ J = Ⓓ J = BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.D 2.B 12.D 3.A 13.A 4.D 14.D St-bs: Duong Hung 5.A 15.C 6.B 16.A 7.A 17.D 8.B 9.A 43 10.C Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  Dạng ①: Phương pháp tính phân phần  Định lí:  Nếu và là các hàm số có đạo hàm liên tục trên thì: Hay .Phương pháp chung: • Bước 1: Viết làm dạng cách chọn phần thích hợp và phần còn lại • Bước 2: Tính và • Bước 3: Tính và .Cách đặt u và dv phương pháp tích phân phần Đặt u theo thứ tự ưu tiên: Lô-đa-lượng-mũ u P(x) dv .Chú ý: Nên chọn phần là phần lnx P(x) P(x)dx cosxdx cosxdx mà lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn là vi phân hàm số đã biết có nguyên hàm dễ tìm  Dạng ①: Tích phân chứa đa thức với lượng giác mũ ① Loại 1: .Phương pháp: Đặt: St-bs: Duong Hung 44 là Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tính tích phân I =  xe x dx Ⓐ I = e2 Ⓑ I = −e2 Ⓒ I = e Ⓓ I = 3e2 − 2e Lời giải PP nhanh trắc nghiệm  Tính tích phân Chọn A u = x du = dx  Đặt  x x dv = e dx v = e I =  xe x dx = xe x 2 1 −  e x dx = 2e − e − e x 1 = 2e − e − ( e − e ) = e + Kiểm tra các đáp án: A − e2 = (đúng) Câu 2: Tính tích phân I =  ( x − 2)e2 x dx Ⓐ I = − 3e2 Ⓑ I = − 3e2 Ⓒ I = Lời giải − 3e2 Ⓓ I = − 3e2 PP nhanh trắc nghiệm Chọn B du = dx u = x −    Đặt  x (chọn C = ) 2x dv = e dx v = e   Tính tích phân: 2x 2x − 3e2  I = ( x − 2) e −  e dx = 20 1 +Kiểm tra các đáp án:  Câu 3: Tích phân  (3x + 2) cos x dx Ⓐ  −  Ⓑ  +  St-bs: Duong Hung Ⓒ  +  Ⓓ  −  45 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn B   Tính tích phân:  Đặt I =  ( 3x + ) cos2 x dx Ta có:  = = ( 3x + 2)(1 + cos x ) dx 0    1 x + d x + ) ( 3x + ) cos x dx  = ( I1 + I )  (  0    3   I1 =  ( 3x + ) dx =  x + x  =  + 2 2 0  Kiểm tra các đáp án:  I =  ( 3x + ) cos x dx Dùng tích phân phần du = 3dx u = 3x +   Đặt  dv = cos x dx v = sin x  Khi đó   I = ( 3x + ) sin x −  sin x dx 20  = + ( cos x ) = 13  Vậy I =   + 2  =  +  22  B - Bài tập rèn luyện: 2x Câu 1: Xét tích phân I =  (2 x − 4)e dx Nếu đặt u = x − 4, v ' = e2 x , ta tích phân: I =  ( x) −  xe2 x dx , đó: Ⓐ  ( x) = ( x − 2)e2 x Ⓑ  ( x) = (2 x − 4)e2 x Ⓒ  ( x) = ( x2 − 2)e x Ⓓ  ( x) = (2 x − 4)e x  Câu 2: Tính tích phân I =  x cos xdx  Ⓐ I =    Ⓒ I = Ⓓ I = − Ⓑ e − Ⓒ Ⓓ x Câu 3: Tính  xe dx Ⓐ e Ⓑ I = + St-bs: Duong Hung e −1 46 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Câu 4: L =  x sin xdx Ⓐ L =  Ⓑ L = −2 Ⓒ L = Ⓓ L = −  Câu 5:  ( x + 2) cos 2xdx Ⓐ Ⓑ − Ⓒ Ⓓ  Câu 6:  xcos2xdx Ⓐ −2 Ⓑ  −1  Ⓒ − Ⓓ −  3x Câu 7: Tính tích phân I =  ( x + 1)e dx 9 9 Ⓐ I = e3 − Ⓑ I = − e3 9 9 9 Ⓒ I = e3 − Ⓓ I = e3 + Ⓒ − e Ⓓ −1 1− x Câu 8: Tính tích phân I =  xe dx Ⓐ Ⓑ e − 3x Câu 9: Tính tích phân I =  ( x + 1)e dx 9 9 Ⓐ I = e3 − Ⓑ I = − e3 9 Ⓒ I = e3 − Ⓓ I = e3 + Ⓒ − e Ⓓ −1 1− x Câu 10: Tính tích phân I =  xe dx Ⓐ Ⓑ e − BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.C 3.C 4.A St-bs: Duong Hung 5.A 6.A 7.A 8.D 9.A 47 10.D Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Dạng ②: Tích phân chứa đa thức và ln ② Loại 2: -Phương pháp: .Đặt: A - Bài tập minh họa: e Tích phân  x ln xdx Câu 1: e2 − Ⓒ e2 Ⓑ − e Ⓐ + 4 Lời giải e2 Ⓓ − PP nhanh trắc nghiệm Chọn D  Casio: x2 x x2 x2 e2 + e e x ln xdx = ln x − dx = ( − + ln x) = 1 1 1 2 4 e e Câu 2: Tính tích phân I =  ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? Ⓐ 10ln Ⓑ 10 ln + 19 Ⓒ 19 − 10 ln Lời giải  Chọn D Ⓓ 10 ln − PP nhanh trắc nghiệm  Casio:  du = dx u = ln ( x − 3)  x −3 Đặt   dv = x + v = x + x  2 x +x   I =  x + x  ln ( x − 3) −  dx 4 x −3 2  = 35 x2 − + x −3+3 ln −  dx −  dx 2 x −3 x −3 = 35 19  ln −  + + ln  − (1 + 3ln ) 22   Kiểm tra các đáp án: St-bs: Duong Hung 19 48 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung = 10 ln − 19 e Câu 3: Tính  x2 ln xdx Ⓐ 2e + Ⓑ 2e − Ⓒ e3 − Lời giải Ⓓ e3 + PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio  du = dx u = ln x  x   dv = x dx v = x  e e 1  1  I =  x ln x  −  x dx = e − x 3 3 1 1 e − 2e + = e3 − = 9 e B - Bài tập rèn luyện: e Câu 1: Tính tích phân I =  ( x + 2) ln xdx 1 Ⓐ I = Ⓑ I = e2 − Ⓒ I = e2 + Ⓓ I = e2 − e  u = ln x Câu Nếu đặt  thì tích phân I =  ( x + 1) ln xdx trở thành dv = ( x + 1) dx e Ⓐ I = ( x + x ) −  ( x + 1) dx e e 1 e e Ⓓ I = ( x + x ) ln x +  ( x + 1) dx Ⓒ I = x ln x +  xdx e e Ⓑ I = x ln x −  ( x + 1) dx e 1 Câu 3: Tính tích phân J =  x ln ( x + 1) dx Ⓐ J = ln Ⓑ J = ln 3 Ⓒ J = ln 3 Ⓓ J = ln Câu 4: Tính tích phân I =  ( x + 1) ln ( x − 3) dx ? Ⓐ 10ln Ⓑ 10 ln + 19 Ⓒ 19 − 10 ln Ⓓ 10 ln − Câu 5: Tích Phân I =  ln( x − x)dx là St-bs: Duong Hung 49 19 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 3ln Ⓑ 2ln Ⓒ 3ln − Ⓓ − 3ln ln x dx x2 Câu 6: Tích phân I =  Ⓐ (1 + ln ) Ⓑ (1 − ln ) Ⓒ ( ln − 1) Ⓓ (1 + ln ) b Câu 7: Cho a  b  −1 Tích phân I =  ln ( x + 1) dx biểu thức nào sau đây? a Ⓐ I = ( x + 1) ln ( x + 1) a − a + b Ⓑ I = ( x + 1) ln ( x + 1) a − b + a b b b Ⓒ I = ( x + 1) a b Ⓓ I = x ln ( x + 1) a +  b a x dx x +1 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.A 7B  Dạng ③: Tích phân chứa phần chứa tham số a, b, c -Phương pháp: Tích phân phần ① ② A - Bài tập minh họa: e Câu 1: Cho I =  x ln xdx = a.e + b với a , b , c  Tính T = a + b + c c Ⓐ Ⓑ Ⓒ Lời giải Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm  Casio  Chọn D  du = dx  u = ln x   x  Ta có:  nên  dv = xdx v = x  e + Thử C=1,2,3,4,5,6 giải hệ tìm a,b nguyên x2 e2 + I =  x ln xdx = ln x −  xdx = 21 1 e e St-bs: Duong Hung 50 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung a =   b = c =  Vậy T = a + b + c = B - Bài tập rèn luyện: e 3ea + Câu 1: Cho  x3 ln xdx = với a, b  Tổng a + b b Ⓐ 20 Ⓑ 10 Ⓒ 17 Ⓓ 12 ln x b dx = + a ln đó a  x c Tính giá trị 2a + 3b + c Câu 2: Biết  Ⓐ Ⓑ ; b , c là các số nguyên dương và nguyên tố cùng Ⓒ Ⓓ −6 ln x b b dx = + a ln với a là số thực, b và c là các số dương, đồng thời là x c c phân số tối giản Tính giá trị biểu thức P = 2a + 3b + c Câu 3: Cho tích phân I =  Ⓐ P = Ⓑ P = Câu 4: Cho  ( x + 1) e dx = ae x Ⓒ P = −6 Ⓓ P = + be + c với a , b , c là các số nguyên Tính a + b + c Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ e Câu 5: Biết I =  x ln xdx = ae3 + b với a , b là các số hữu tỉ Giá trị ( a + b ) Ⓐ Ⓑ 10 Ⓒ Ⓓ e Câu 6: Biết I =  x ln xdx = ae3 + b với a , b là các số hữu tỉ Giá trị ( a + b ) Ⓐ Ⓑ 10 Ⓒ Ⓓ ln x a a dx = ln − ln c với a, b, c là các số nguyên dương và là phân số tối giản b b ( x + 1) a+b Tính giá trị biểu thức S = c Câu 7: Cho I =  Ⓐ S = Ⓑ S = Câu 8: Biết  ( x + e ) e dx = a.e x x Ⓒ S = Ⓓ S = + b.e2 + c với a, b, c là các số hữu tỉ Giá trị 2a + 3b + 2c Ⓐ 10 Ⓑ 10 St-bs: Duong Hung Ⓒ Ⓓ 51 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 9: Biết ln x b dx = + a ln Giá trị 2a + 3b + c c x  Ⓐ −6 Ⓑ Ⓒ Ⓓ Câu 10 Cho  ln ( x − x )dx = a ln + b ln + c với a , b , c là các số nguyên Tính S = a + 2b − c Ⓐ S = 23 Ⓑ S = 20 Ⓒ S = 17 Ⓓ S = 11 BẢNG ĐÁP ÁN 1.A Câu 1: 2.C 3.D  Đặt u = ln x  du = 4.C 5.A 6.A Hướng dẫn giải 7.B 8.B 9.B x4 dx ; dv = x dx  v = x e e e  x4  e4   e e 3e +  I =  ln x  −  x3dx = −  x  = − + = 1 4  16  16 16 16  a=4   a + b = 20 b = 16 Câu 2:  du = dx u = ln x    x Đặt   dv = x dx v = −  x 2 ln x 1 1   = − ln + Ta có  dx =  − ln x  +  dx = − ln − x x1 2  x 1 x 2 Theo đề ta có a = − , b = 1, c = Do đó 2a + 3b + c = Câu 3: dx   u = ln x du = − ln x    − ln x −1  ln x Đặt  I = +  dx =  +  = − dx   −1 x 1x x x 1 2 dv =    v= x   x  −1  b = 1, c = 2, a =  P = 2a + 3b + c = Câu 4: St-bs: Duong Hung 52 10.A Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung u = x + Đặt  ta du = dx, v = e x x dv = e dx  ( x + 1) e dx = ( x + 1) e x x 1 −  e x dx = xe x = 2e2 − e  a = 2, b = −1, c =  a + b + c = Câu 5:  du = x dx  v = x  u = ln x Đặt  ta có dv = x dx e e e x3 ln x x2 e3 x −  dx = − = e3 + Suy I = 1 3 9 Vậy a = , b = nên ( a + b ) = 9 Câu 6:  du = dx  u = ln x  x Đặt  ta có  dv = x dx v = x  e e e x3 ln x x2 e3 x −  dx = − = e3 + Suy I = 1 3 9 Vậy a = , b = nên ( a + b ) = 9 Câu 7: Ta có: 2 1     2 1 I = dx = −  ln xd  ln x  +  dx = − ln +   −  = − dx x x +1   x +1   x +1  1 ( x + 1) x ( x + 1) 1 ln x a = 5 a+b  = − ln + ( ln x − ln x + ) = ln − ln  b =  S = = 3 c c =  Câu 8: St-bs: Duong Hung 53 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x  u = x + e Đặt:  ta x  dv = e dx x  du = ( + e ) dx  x v = e   Khi đó:  ( x + e )e dx = ( x + e ) e x x x x 0 −  ( 2e x + e2 x )dx   = ( 2.2 + e ) e − ( 2.0 + e ) e −  2e x + e2 x  = e + 2e + 2 0  2 0 Theo bài ta có a = ; b = 2; c = 2 Vậy: 2a + 3b + 2c = + 3.2 + = 10 2 Câu 9: ln x dx x Gọi I =  Áp dụng phương pháp nguyên hàm phần ta có:  du = dx u = ln x    x Đặt   dv = x dx v = −  x 2 ln x ln 1 1  1 1  1 I =− −   −  dx = − +  dx = − ln − = − ln −  − 1 = − ln x 1 x x 2 x1 2  2 x 2  a = − ; b = 1; c = Vậy 2a + 3b + c = Câu 10 2x −1  u = ln ( x − x ) dx du = Đặt   x −x dv = dx v = x 5 2x −1 dx Khi đó  ln ( x − x )dx = x ln ( x − x ) −  x − 2 5   = 5ln 20 − ln −   + dx = 5ln ( 5.2 ) − 2ln − ( x + ln x − ) x −1  2 = 5ln + 8ln − (10 − + ln − ln1) = 5ln + 6ln − Suy a = , b = , c = −6  S = a + 2b − c = + 2.6 + = 23 St-bs: Duong Hung 54 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Dạng ④: Tích phân chứa phần hàm ẩn  Phương pháp: Tích phân phần  Viết dạng các hợp làm và phần còn lại  Tính và  Tính và A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho f ( x ) là hàm số có đạo hàm trên 1; 4 , biết  f ( x ) dx = 20 và f ( ) = 16 , f (1) = Tính I =  xf  ( x ) dx Ⓐ I = 37 Ⓑ I = 47 Ⓒ I = 57 Ⓓ I = 67 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A  Xét I =  xf  ( x ) dx , dùng phương pháp tích phân phần :   u = x du = dx    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 4 1  Do đó: I = xf ( x ) −  f ( x ) dx = f ( ) − f (1) −  f ( x ) dx = 4.16 − − 20 = 37 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn Câu 2:  ( x − 4) f ' ( x ) dx = Tính tích phân Ⓐ I = Ⓑ I = −2 0; 2 và thỏa mãn f ( ) = , I =  f ( x ) dx Ⓒ I = Ⓓ I = −6 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Ta có:  ( x − 4) f ' ( x ) dx = u = x − du = 2dx Đặt   v = f ( x ) dv = f ' ( x ) dx St-bs: Duong Hung 55 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Nên  ( x − 4) f ' ( x ) dx = ( x − 4) f ( x ) 2 − 2 f ( x )dx = f ( ) − I = − 2I  Theo giả thiết ta có: = − 2I  2I =  I = B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f ( ) = 16,  f ( x )dx = Tính I =  x f  ( x )dx ta kết Ⓐ I = 14 Ⓑ I = 20 Ⓒ I = 10 Câu 2: Cho f ( x ) có đạo hàm liên tục trên Ⓓ I = và thỏa mãn f ( ) = 16,  f ( x )dx = Tính I =  x f  ( x )dx ta kết Ⓐ I = 14 Câu 3: Ⓑ I = 20 Ⓒ I = 10 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm trên Ⓓ I = và thỏa mãn  x  f  ( x − 4) dx = ; f ( ) = Tính I=  f ( x ) dx −2 Ⓐ I = −5 Ⓑ I = −10 Ⓒ I = Ⓓ I = 10 1 Câu 4: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  0;1 Biết   x f  (1 − x ) − f ( x ) dx = Tính f ( ) Ⓐ f ( ) = −1 Ⓑ f ( ) = Câu 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên Ⓒ f ( ) = − và f ( 3) = 21 , Ⓓ f ( ) = 0  f ( x ) dx = Tính tích phân I =  x f  (3x ) dx Ⓐ I = 15 Ⓑ I = 12 Ⓒ I = Câu 6: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên , x  Biết tích phân I =  x f ' ( x )dx = − Ⓐ T = Ⓑ T = St-bs: Duong Hung Ⓓ I = thỏa mãn f ( x ) − f (1 − x ) = ( x − x ) a Tính T = 8a − 3b b Ⓒ T = 16 Ⓓ T = −16 56 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 7: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên tập hợp thỏa mãn  f ( 3x − ) dx = và f ( −3) = Giá trị  x f  ( x ) dx −3 Ⓐ − Câu 8: Ⓑ 11 Ⓒ Ⓓ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) liên tục trên 0; 2 và f ( ) = ,  f ( x ) dx = Tính  x f  ( x ) dx Ⓐ −3 Câu 9: Ⓑ Ⓒ Ⓓ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm là f ' ( x ) liên tục trên đoạn [0; 1] và f (1) = Biết  f ( x ) dx = , tính tích phân I =  x f ' ( x ) dx Ⓐ I = Ⓑ I = −1 Câu 10: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn Ⓐ I = Ⓒ I = Ⓓ I = −3 1 0  ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 và f (1) − f ( ) = Tính I =  f ( x ) dx Ⓑ I = −8 Ⓒ I = Ⓓ I = −4 Câu 11: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 và thỏa mãn f ( ) = 16 , 0  f ( x ) dx = Tính tích phân I =  x f  ( x ) dx Ⓐ I = 12 Ⓑ I = Ⓒ I = 13 Ⓓ I = 20 và thỏa mãn f ( −2 ) = , Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  f ( x − ) dx = Tính  xf  ( x ) dx −2 Ⓐ I = Ⓑ I = Ⓒ I = −4 Ⓓ I = Câu 13: Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 3x 3x 2, x Tính I x f x dx Ⓐ Ⓑ 17 Ⓒ 33 Ⓓ −1761 BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B 7.A 8.B 9.A 10.B 11.B Lời giải chi tiết Câu 1: Ta có  f ( x )dx =  f ( x )d ( x ) =   f ( x )dx = 12 0 St-bs: Duong Hung 57 12.B 13.C Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Xét I =  x f  ( x )dx   u = x du = dx Đặt    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 2 Khi đó I = xf ( x ) −  f ( x ) dx = f ( ) − 12 = 20 0 Câu 2: Ta có  f ( x )dx =   f ( x )d ( x ) =   f ( x )dx = 12 20 Xét I =  x f  ( x )dx   u = x du = dx Đặt    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 2 Khi đó I = xf ( x ) −  f ( x ) dx = f ( ) − 12 = 20 0 Câu 3:  Xét J =  x  f  ( x − ) dx = 1 Đặt u = x và dv = f  ( x − ) dx = d  f ( x − )  , ta du = dx và v = f ( x − ) 2  J = 3 13 1 x f ( x − ) −  f ( x − ) dx = f ( ) −  f ( x − ) dx = −  f ( x − ) dx 20 2 20 20 3 Vì J =  −  f ( x − ) dx =   f ( x − ) dx = −10 20 Đặt 2t = x −  2dt = 2dx  dt = dx Đổi cận: I1 =  f ( 2t ) dt = −2 x t −2 1  f ( x ) dx = −10 −2 Vậy I = −10 Câu 4: 1 0  Ta có A =   x f  (1 − x ) − f ( x ) dx =  x f  (1 − x ) dx −  f ( x ) dx Đặt I =  x f  (1 − x ) dx St-bs: Duong Hung 58 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung   u = x du = dx Đặt    dv = f  (1 − x ) dx  v = − f (1 − x ) 1 0 Khi đó I = − f (1 − x ) x +  f (1 − x ) dx = − f ( ) +  f ( x ) dx 1 0 Do đó A = − f ( ) +  f ( x ) dx − f ( x ) dx = 1  f (0) = − 2 Câu 5: du = dx u = x  Đặt   dv = f (3x)dx v = f (3x)  11 1 Suy I = x f (3x) −  f (3x)dx = f (3) −  f ( x)dx = 03 3 90 Vậy I = Câu 6: Ta có : f ( x ) − f (1 − x ) = ( x − x ) Lần lượt chọn x = 0, x = , ta có hệ sau :  f = ( )  f ( ) − f (1) =    5 f (1) − f ( ) = −3  f = ( )  Tính I =  x f ' ( x )dx u=x   du = dx Đặt :  Chọn  v = f ( x ) dv = f ' ( x ) dx 1  I = x f ( x ) −  f ( x )dx = − J 0 1 0 ( ) Đặt x = − t  J = −  f (1 − t ) dt =  f (1 − x ) dx = K Suy 5J − K = 3 x − x dx = −2 J =K   J = K =1 Ta có :  5 J − K = −2 −3 a =  Vậy I = − =  T = 8a − 3b = 8 b = Câu 7: St-bs: Duong Hung 59 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Đặt t = 3x −  dt = 3dx Đổi cận: x =  t = −3 , x =  t = 0   f ( 3x − ) dx =  f ( t )dt =   f ( t ) dt =   f ( x ) dx = −3 −3 −3   u = x du = dx Đặt    dv = f  ( x ) dx  v = f ( x ) 0  x f  ( x ) dx = xf ( x ) −3 −  f ( x ) dx = f ( 0) + f ( −3) − = −3 Khi đó −3 −3 Câu 8: 2 0  x f  ( x ) dx =  xd ( f ( x ) ) = x f ( x )  Ta có −  f ( x ) dx = f ( ) − = Ta có: I =  x f ' ( x ) dx Câu 9: Đặt u = x  du = dx , dv = f ' ( x ) dx chọn v =  f ' ( x ) dx = f ( x ) 1 0   I = x f ( x ) −  f ( x ) dx = f (1) − f ( ) −  f ( x ) dx = − = 1 Chọn A Câu 10:  A =  ( x + 1) f ' ( x ) dx Đặt u = x +  du = dx , dv = f ' ( x ) dx chọn v = f ( x ) 1 1 0 0   A = ( x + 1) f ( x ) −  f ( x ) dx = f (1) − f (0) −  f ( x ) dx = −  f ( x ) dx = 10   f ( x ) dx = −8 Câu 11: du = dx u = x   Đặt  f ( 2x) dv = f  ( x ) dx v =  1 x f ( x ) f ( 2) 16 −  f ( x ) dx = −  f ( t ) dt = − = Khi đó: I = 20 40 Câu 12: Đặt t = x −  dt = 2dx , đổi cận x =  t = −2 , x =  t = 0  =  f ( x − ) dx =  f ( t ) dt   f ( t ) dt =   f ( x ) dx = −2 −2 −2  d v = f x d x  v = f x ( ) ( ) Đặt u = x  du = dx , Vậy  xf  ( x ) dx = xf ( x ) −2 −2 −  f ( x ) dx = f ( −2 ) − = 2.1 − = −2 Câu 13: Đặt u x dv Từ f x du f x dx 3x v 3x dx I f x xf x f x dx 1 f 5 x f x St-bs: Duong Hung , suy I 23 f x dx 60 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Đặt t x 3x dt 3x f t Đổi cận: Với t 1 x 3x 23 3x Khi đó I dx x và t f x dx 23 St-bs: Duong Hung 3x 3x x3 Casio dx 3x 33 x 61 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 5: DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG  Dạng ①: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng ① Hình phẳng giới hạn  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành và hai đường thẳng liên tục trên đoạn tính theo công thức , (1) ② Phương pháp trắc nghiệm: Tính chất: Hàm số liên tục trên K (khoảng đoạn, nửa khoảng) và là ba số thuộc K Khi đó, ta có  Xác định các yếu tố cần thiết công thức Sử dụng chức tính tích phân có sẵn máy tính Casio để tính Chú ý: Nếu đề bài chưa cho giao điểm ( cận tích phân) thì ta cần giải phương trình hoành độ để tìm cận tích phân A - Bài tập minh họa: Câu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = cos x , trục hoành, đường thẳng x = và x =  là Ⓐ   Ⓑ Lời giải Chọn D  Ⓒ   Ⓓ PP nhanh trắc nghiệm  Casio Diện tích S cần tìm:   0 S =  cos xdx =  + cos x  sin x   dx = x + = 2 Câu 2: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x , trục hoành, đường thẳng x = −2 và x = là St-bs: Duong Hung 62 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 44 Ⓑ.24 Ⓒ 48 Ⓓ.28 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn A  Casio  Diện tích cần tìm S =  x - x dx -2  x=0 Ta có: x3 − x = x x − =    x = 2 ( ) -2 Vậy S =  x − x dx +  x − x dx +  x − x dx  x4 x2   x4 4x2   x4 x2  =  −4  + − + −    = 44  −2  0  2  x −1 , trục hoành, hai đường x Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f ( x) = thẳng x = và x = là Ⓐ Ⓑ ln − ln2 Ⓒ ln + Ⓓ − ln PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio  Phương trình hoành độ giao điểm: x −1 =  x =1 x Suy S= x −1 dx = x 2 x −1  1 dx = 1 x 1 1 − x  = ( x − ln x ) = − ln B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b tính theo công thức: b b Ⓐ S =  f ( x ) dx Ⓑ S =  f ( x ) dx a b a Ⓒ S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 2: a b a Ⓓ S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x − x, y = 0, x = và x = tính công thức: Ⓐ Ⓒ (x 2 1 Ⓑ  ( x − x )dx −  ( x − x )dx  ( x − x ) dx − x )dx +  ( x − x )dx St-bs: Duong Hung Ⓓ  ( x − x ) dx 63 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 3: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , trục hoành và hai đường thẳng x = −1, x = là 28 28 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 3 Câu 4: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sin x + 1, trục hoành và hai đường thẳng 7 là x = và x = 7 7 7 7 + + −1 +1 Ⓐ Ⓑ + + Ⓒ Ⓓ + − 2 6 Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y = x x2 + , trục Ox và đường thẳng x = là Ⓐ Câu 6: 2+1 Ⓑ −1 Ⓒ 2 −1 Ⓓ 3− Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x.ln ( 3x + 1) , trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 1 Ⓐ S = ln − Ⓑ S = ln − 9 12 12 Ⓒ S = ln − 12 Ⓓ S = ln − 12 Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = ln x , trục Ox và đường thẳng x = e là Ⓐ Ⓑ − Ⓒ e Ⓓ.2 e Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x = là e2 Ⓐ e + Ⓑ e − e + Ⓒ + Ⓓ e2 −1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + và trục Ox 16 Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ.S = 15 Câu 10: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + 3x và trục hoành là 27 24 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ Câu 9: Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = − x + x và trục hoành là 29 20 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 3 3 Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − và trục hoành là Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ BẢNG ĐÁP ÁN 1.A 2.B 3.B 4.B 5.C St-bs: Duong Hung 6.D 7.A 8.A 9.D 10.A 64 11.A 12.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  Dạng ②: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng -Phương pháp: Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị: thẳng , và hai đường xác định công thức: Chú ý: Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm sau: * Giải phương trình: tìm nghiệm , Tính: Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để khử dấu giá trị tuyệt đối A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x và y = x 11 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 2 Lời giải PP nhanh trắc nghiệm Chọn A  Casio:  Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là  x = −2 − x2 = x  x2 + x − =   x =  Diện tích hình phẳng cần tìm là S=  − x − x + dx = −2  (− x − x + 2)dx −2  x3 x  =  − − + 2x  =   −2 Câu 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = ln x , y = , x = , x = e Mệnh x2 đề nào đây đúng? St-bs: Duong Hung 65 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung e e ln x dx x ln x dx x Ⓐ S =   Ⓑ S =  Ⓒ S =   ln x  dx  x   e Ⓓ S =    ln x  dx  x   e PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn B  Casio e  Ta có S =  ln x dx x2 e ln x ln x  Vì x  [1;e], ln x     S =  dx x x Câu 3: Tính diện tích S hình phẳng giới hạn các đường y = ( x + 1) ln x , trục hoành và đường thẳng x = e Ⓐ S = e2 + Ⓑ S = e2 + Ⓒ S = Lời giải Chọn C e2 + Ⓓ S = e2 + PP nhanh trắc nghiệm  Casio  Xét phương trình hoành độ giao điểm: ( x + 1) ln x = (Điều kiện: x  ) x +1 =  x = −1   ln x = x =1  Vì x  nên x = e e 1  Ta có: S =  ( x + 1) ln x dx =  ( x + 1) ln xdx  du = dx  u = ln x    x  Đặt    dv = ( x + 1) dx v = x + x   e e e  x2   x2 1 e2 x  S =  + x  ln x −   + x  dx = + e −   + 1 dx 2    x 1 1 e  x2  e2 e2 + = + e − + x =  1 B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = − x + và y = − x + ? Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ St-bs: Duong Hung 66 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y = x −1 và các trục tọa x +1 độ Khi đó giá trị S Ⓐ Câu 3: Câu 4: Câu 5: Câu 6: Ⓑ ln + ln − Ⓒ ln − Ⓓ ln + Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + và đường thẳng y = x + 13 11 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 2 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x ; y = − x và trục hoành 16 22 23 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = x − x và y = 3x 16 32 Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ S = 3 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x − x và đường thẳng ( d ) : y = x Ⓐ 17 Ⓑ 11 Ⓒ Ⓓ 23 Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = − x và đường thẳng y = − x − 11 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ − 2 2 Câu 8: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x và đường thẳng y = x là 23 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 3 15 Câu 9: Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn các đường cong y = − x3 + 12 x và y = − x 937 397 343 793 Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ S = 12 12 4 Câu 10: Thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng ( H ) xác định các đường y = x − x , y = , x = và x = quanh trục Ox là 81 71 81 71 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 35 35 35 35 Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = − x + x + 1, y = x − x + là Ⓐ Ⓑ Ⓒ Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn hai parabol y = Ⓐ  3x  −2  −  dx 2  3x  −  dx Ⓒ −     −2 Ⓑ Ⓓ 10 x và y = − x  x2    −  dx −2 3 Ⓓ −  x2    −  dx −2 3 Câu 13: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = − x và y = x − x là 37 Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ S = 12 St-bs: Duong Hung 67 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 14: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm số: y = x3 − 3x; y = x Tính S ? Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = Ⓓ S = Câu 15: Hình phẳng giới hạn các đường cong y = x (1 − x ) và y = x3 − x có diện tích Ⓐ 37 12 Ⓑ 12 Ⓒ Câu 16: Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường Ⓐ S = Câu 17: Tính diện tích Ⓑ S = −9 Ⓓ y = x2 − x − và y = − x + là Ⓒ S = Ⓓ S = S hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x3 − 3x + và y = x + Ⓐ S = Ⓑ S = Ⓒ S = 12 Ⓓ S = 16 Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = x − 3x + và đường thẳng y = x + tính theo công thức nào đây? Ⓐ (x − x ) dx Ⓑ  ( − x + x ) dx Ⓒ 0 (x Ⓓ  ( − x − x ) dx + x ) dx 0 Câu 19: Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường y + x − = 0, x + y − = 19 15 37 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 6 Câu 20: Diện tích hình phẳng giới hạn các đường y = x3 , y = 10 − x và trục Ox là Ⓐ 32 Ⓑ 26 Ⓒ 36 Ⓓ 40 BẢNG ĐÁP ÁN 1.C 11.C 2.A 12.C 3.A 13.C 4.A 14.B 5.D 15.A 6.C 16.A 7.A 17.A 8.A 18.B 9.A 19.D 10.A 20.C  Dạng ③: Diện tích hình phẳng thông qua đồ thị -Phương pháp: .Minh họa các dạng thường gặp: có hai loại dấu trên  Ghi nhớ:  Quan sát hình phẳng mang dấu + hay St-bs: Duong Hung 68 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đồ thị giao hai điểm phân biệt có hoành độ a và b Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số này (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích ( H ) tính theo công thức b b Ⓑ S =   g ( x ) − f ( x ) dx Ⓐ S =   f ( x ) − g ( x ) dx a a b b Ⓒ S =   f ( x ) + g ( x ) dx Ⓓ S = −   f ( x ) + g ( x ) dx a a PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Quan sát nhanh g ( x )  f ( x ) Chọn B b Áp dụng công thức S =  f ( x ) − g ( x ) dx  a  Quan sát hình vẽ ta thấy g ( x )  f ( x ) trên  a, b b b a a  Vậy S =  f ( x ) − g ( x ) dx =  ( g ( x ) − f ( x ) )dx b  S =  ( g ( x ) − f ( x ) )dx a Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  a; b Gọi D là diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) : y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a , x = b (như hình vẽ đây) Giả sử S D là diện tích hình phẳng D Chọn công thức đúng các phương án A, B, C, D cho đây? b a 0 b a Ⓐ SD =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx b a Ⓑ SD = − f ( x ) dx +  f ( x ) dx Ⓒ SD =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Lời giải Chọn B b a Ⓓ SD =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx PP nhanh trắc nghiệm  Quan sát dấu hình phẳng  St-bs: Duong Hung 69 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung b b a S D =  f ( x ) dx =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx a b a = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 3: Cho hình thang cong ( H ) giới hạn các đường y = e x , y = , x = , x = ln Đường thẳng x = k (  k  ln ) chia ( H ) thành hai phần có diện tích là S1 và S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 Ⓐ k = ln Ⓑ k = ln Ⓒ k = ln Ⓓ k = ln PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D A  e dx x k  Ta có S1 =  e x dx = ek = ek − và k  Tính Nhập vào máy ln và  e dx x k ln ln  S2 =  e dx = e x k CALC với các giá trị A phương án Giá trị nào cho kết thì chọn = − ek x Ta có S1 = 2S2  ek − = ( − ek )  k = ln B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình đây Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục Ox là 0 −1 Ⓐ S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Ⓑ S =  f ( x ) dx −1 Ⓒ S =  − f ( x ) dx −1 −1 Ⓓ S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx St-bs: Duong Hung 70 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị ( C ) là đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C ) , trục hoành và hai đường thẳng x = , x = là Ⓐ  Ⓑ f ( x ) dx −  f ( x ) dx  f ( x ) dx Ⓒ − f ( x ) dx +  f ( x ) dx Ⓓ  f ( x ) dx Câu 3: Cho đồ thị hai hàm số y = x3 − 3x + x + và y = − x + x + hình sau Diện tích phần hình phẳng gạch sọc tính theo công thức nào đây? Ⓐ −1 3  ( x − x − x + 2) dx +  ( − x + x + x − 2) dx Ⓑ  ( x3 − x − x + ) dx Ⓒ −1 3  ( − x + x + x − 2) dx +  ( x − x − x + 2) dx −1 Ⓓ  ( − x3 + x + x − ) dx −1 Câu 4: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên và có đồ thị là đường cong hình bên Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = là Ⓐ S = − f ( x)dx +  f ( x)dx 1 Ⓑ S =  f ( x)dx −  f ( x)dx Ⓒ S =  f ( x)dx Ⓓ S =  f ( x)dx Câu 5: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ tính theo công thức nào đây? Ⓐ 2  ( x − x − ) dx −1 Ⓒ  ( x − ) dx −1 St-bs: Duong Hung Ⓑ  ( −2 x + ) dx −1 Ⓓ  ( −2 x + x + ) dx −1 71 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 6: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ.Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục Ox tính công thức  f ( x ) dx Ⓐ S = −3 Ⓑ S =  f ( x ) dx −3 Ⓒ S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx −3 −3 1 Ⓓ S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx Câu 7: Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = ( x − 2)2 , đường cong y = x3 và trục hoành 11 Ⓒ 12 73 12 Ⓓ Ⓐ Câu 8: Ⓑ Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) và trục hoành gồm hai phần, phần nằm phía trên trục hoành có diện tích S1 = và phần nằm phía trục hoành có diện tích S = Tính I =  f ( 3x + 1)dx 12 −1 37 Ⓒ I = 36 Ⓐ I = Câu 9: 27 Ⓓ I = Ⓑ I = Diện tích phần tô đậm hình bên tính theo công thức nào các công thức sau? Ⓐ  (−x + x − x ) dx Ⓑ  ( x3 − x + x ) dx Ⓒ  (−x + x − x ) dx Ⓓ  ( x3 − x + x ) dx St-bs: Duong Hung 72 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 10: Gọi ( H ) là phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ đây giới hạn đồ thị các hàm số y = 3x , y = − x và trục hoành Diện tích ( H ) là bao nhiêu? Ⓐ Ⓒ Ⓑ 11 13 Ⓓ Câu 11: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có đồ thị hình vẽ đây Biết diện tích hai phần A và B là 16 63 và , tính  f ( x + 1) dx −1 Ⓐ Ⓒ 253 12 125 − 24 Ⓑ 253 24 125 Ⓓ − 12 Câu 12: Tính diện tích S hình phẳng (phần gạch sọc) giới hạn hai đồ thị hàm số f ( x ) = x ; g ( x ) = x − hình sau y Ⓐ Ⓒ 12 Ⓑ 10 Ⓓ O x Câu 12: Gọi S là diện tích hình phẳng ( H ) giới hạn các đường y = f ( x ) , trục hoành và đường thẳng x = −1, x = hình vẽ bên −1 Đặt S1 =  f ( x ) dx, S2 =  f ( x ) dx Mệnh đề nào sau đây đúng? Ⓐ S = S1 + S2 Ⓑ S = −S1 − S2 Ⓒ S = S1 − S2 Ⓓ S = S2 − S1 St-bs: Duong Hung 73 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 13: Diện tích hình mặt phẳng gạch sọc hình vẽ bên 3 Ⓑ  ( − x ) dx Ⓐ  x dx Ⓒ  (2 − ) dx x Ⓓ  ( x + ) dx 1 Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b ( a  b ) tính theo công thức nào đây ? c b a c Ⓐ S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx b Ⓑ S =  f ( x ) dx a c b a c Ⓒ S = − f ( x ) dx +  f ( x ) dx Ⓓ S = b  f ( x ) dx a Câu 15: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ đây Diện tích hình phẳng tính công thức nào? y b a b Ⓐ S =  f ( x)dx -  f ( x)dx Ⓑ S =  f ( x)dx +  f ( x)dx a b Ⓒ S = 2 f ( x)dx a O b b Ⓓ S =  f ( x)dx a St-bs: Duong Hung 74 x Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 16: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng là: -3 y Ⓐ S =  f ( x )dx +  f ( x )dx Ⓑ S =  O1 -3 f ( x ) dx -3 Ⓒ S =  f ( x ) dx -3 -3 Ⓓ S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx Câu 17: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn  0; 4 hình vẽ và có 11 diện tích S1 = , S = Tính tích phân I =  f ( x )dx 19 19 Ⓒ I = Ⓓ I = − 3 Câu 19: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) trên đoạn  −2; 2 hình vẽ bên và có diện tích Ⓐ I = − Ⓑ I = 22 76 S1 = S2 = , S3 = Tính tích phân I =  f ( x )dx 15 15 -2 32 15 18 Ⓒ I = Ⓐ I = Ⓑ I = Ⓓ I = − 32 15 BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 11.C 2.A 12.D 3.A 13.D 4.B 14.C St-bs: Duong Hung 5.D 15.C 6.C 16.A 7.C 17.D 8.B 18.D 9.B 19.A 75 10.A x Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 76 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Full Chuyên đề 12 new 2020-2021 CHƯƠNG ③: FB: Duong Hung Bài 6: THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY  Dạng ①: Bài toán Thể tích vật thể:  Phương pháp:  Gọi là phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox các điểm a và b; là diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm , Giả sử là hàm số liên tục trên đoạn  Khi đó, thể tích vật thể B xác định: A - Bài tập minh họa: Câu 1: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = và x = , biết cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (  x  ) thì thiết diện là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 3x và 3x − Ⓐ V = 32 + 15 Ⓑ V = 124 Ⓒ V = 124 Ⓓ V = (32 + 15) 3 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn C  Ta nhập biểu thức  3x  Diện tích thiết diện là: S ( x) = 3x 3x − 2 3x − 2dx sau :  Thể tích vật thể là: V =  3x 3x − 2dx = 124 y3Q(s3Q(dp2R1E3=  Màn hình hiển thị : Chọn C St-bs: Duong Hung 77 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể nằm hai mặt phẳng x = và x = Biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (  x  3) là hình vuông cạnh là Ⓐ V = 171 − x Tính thể tích V vật thể Ⓑ V = 171 Ⓒ V = 18 Ⓓ V = 18 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn C  Casio  Ta có thể tích vật thể là V =  ( ) dx 9− x  x3  =  ( − x )dx =  x −  = 18 0   Chú ý: Diện tích hình vuông B - Bài tập rèn luyện: Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho vật thể ( H ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = a , x = b ( a  b ) Gọi S ( x ) là thiết diện ( H ) cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ là x với a  x  b Giả sử hàm số y = S ( x ) liên tục trên đoạn  a; b Khi đó thể tích V vật thể ( H ) cho công thức b b b b a a a a Ⓐ V =    S ( x )  dx Ⓑ V =   S ( x ) dx Ⓒ V =   S ( x )  dx Ⓓ V =  S ( x ) dx Câu 2: Trong không gian Oxyz , cho vật thể giới hạn hai mặt phẳng ( P ) , ( Q ) vuông góc với trục Ox x = a , x = b ( a  b ) Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với Ox điểm có hoành độ x, a x b cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x với y S x là hàm số liên tục trên  a; b Thể tích V thể tích đó tính theo công thức z S(x) y O a b Ⓐ V =  S ( x ) dx a x b x b Ⓑ V =  S ( x ) dx a b Ⓒ V =   S ( x ) dx a b Ⓓ V =   S ( x ) dx a Câu 3: Cho phần vật  giới hạn hai mặt phẳng ( P ) và ( Q ) vuông góc với trục Ox x = , x = Cắt phần vật thể  mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (  x  3) ta thiết diện là hình chữ nhật có kích thước là x và − x Thể tích phần vật thể  St-bs: Duong Hung 78 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 27 Ⓑ 12 3 Ⓒ 12 Ⓓ 27 Câu 4: Cho phần vật thể (  ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = và x = Cắt phần vật thể (  ) mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (  x  ) , ta thiết diện là tam giác có độ dài cạnh x − x Tính thể tích V phần vật thể (  ) Ⓐ V = Ⓑ V = 3 Ⓒ V = Ⓓ V = Câu 5: Cho vật thể có mặt đáy là hình tròn có bán kính (hình vẽ) Khi cắt vật thể mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x ( −1  x  1) thì thiết diện là tam giác Tính thể tích V vật thể đó Ⓐ V = Ⓑ V = 3 Ⓒ V = Ⓓ V =  Câu 6: Cho phần vật thể B giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = và x =  Cắt phần   vật thể B mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x   x   ta 3  thiết diện là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 2x và cos x Thể tích vật thể B 3 + 3 − 3 − 3 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 6 Câu 7: Tính thể tích V vật thể nằm hai mặt phẳng x = và x =  , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (  x   ) là tam giác cạnh sin x Ⓐ V = Câu Ⓑ V = 3 Ⓓ V = Tính thể tích vật thể giới hạn các mặt phẳng x = và x = , biết thiết diện vật thể cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x (0  x  1) là hình vuông có độ dài cạnh  Ⓐ V = x ( e x − 1) Ⓑ V = Câu Ⓒ V = 2 e −1 2 Ⓒ V = Ⓓ V =  (e − 1) Cắt vật thể V hai mặt phẳng song song P , Q vuông góc với trục Ox    Một mặt tùy ý vuông góc với trục Ox điểm x  −  x   cắt V 2 2  2 theo thiết diện có diện tích là S ( x ) = (1 + sin x ) cosx Tính thể tích vật thể V giới hạn x = −  , x=  hai mặt phẳng P , Q St-bs: Duong Hung 79 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓐ 3,14 Câu 10 Ⓑ 13 Ⓒ Ⓓ 8 Tính thể tích vật thể nằm hai mặt phẳng x = −1 và x = , biết thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm có hoành độ x ( −1  x  1) là tam giác vuông cân có cạnh huyền − x Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ BẢNG ĐÁP ÁN 1.D 2.B C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.C 9.B Hướng dẫn giải Lời giải Câu Chọn C Ta có diện tích thiết diện là S ( x ) = x − x 3 0 Vậy thể tích phần vật thể  là: V =  S ( x )dx =  x − xdx = 12 Câu Lời giải Chọn B x2 ( − x ) Diện tích thiết diện: S  = 2 x2 ( − x ) 32 4 3 dx =  V =  x ( − x ) dx = x ( − x ) dx =  x − x  =   3 0 4 2 Câu Lời giải Chọn C Tại vị trí có hoành độ x ( −1  x  1) thì tam giác thiết diện có cạnh là − x ( Do đó tam giác thiết diện có diện tích S ( x ) = − x = (1 − x ) Vậy thể tích V vật thể là  −1 (1 − x ) dx = ) 4 Câu Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 80 10.B Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung      Thể tích vật thể B là V =  x cos xdx = x sin x −  sin xdx = x sin x 03 + cos x 03 = 0 3 − Câu Lời giải Chọn D ( sin x Diện tích tam giác S ( x ) =   0 ) = sin x Vậy thể tích V =  S ( x ) dx =  sin xdx = Câu Chọn C Lời giải 1 0 Ta có: V =  S ( x)dx =   x ( e x − 1)  dx =  x ( e x − 1) dx   u = x du = dx  Đặt:  x x dv = ( e − 1) dx v = e − x  x2  1 Do đó: V = x ( e − x ) −  ( e − x )dx = e − −  e x −  = e − − e + + = 0 2  x 1 x Câu Chọn B Lời giải    (1 + sin x ) cosxdx Ta có thể tích vật thể V cần tính là: V =  S ( x ) dx = −  2 − Đặt t = sinx  dt = cosx dx Đổi cận: x = −   t = −1; x =   t = 1  t3   V =  (1 + t ) dt =  t +  =  −1  −1 Câu 10 Chọn B Lời giải St-bs: Duong Hung 81 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung  − x4 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: S ( x ) =     = (1 − x )    − x4 Ta có diện tích thiết diện cho bằng: S ( x ) =     = (1 − x )    Thể tích vật thể cần tìm là: V =  S ( x ) dx = −1  (1 − x ) dx = −1  Dạng ②: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox  Phương pháp:  Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh miền quay quanh trục giới hạn ; và  Phương pháp giải: áp dụng công thức: A - Bài tập minh họa: Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn a ;b  Gọi D là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b (a  b) Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành tính theo công thức b b b b a a a a Ⓐ V =   f ( x)dx Ⓑ V =   f ( x)dx Ⓒ V =   f ( x)dx Ⓓ V = 2  f ( x)dx PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn B  Công thức b  x  [a; b] ta có V =   f ( x)dx a Câu 2: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = 2ln x, y = 0, x = 1, x = e Ⓐ  Ⓑ e − St-bs: Duong Hung Ⓒ  ( e − ) Ⓓ 4 ( e − ) 82 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung PP nhanh trắc nghiệm Lời giải Chọn D  Casio e  Có V = 4  ln xdx = 4 I 1  u = ln x du = ln x dx   Đặt  x d v = d x  v = x e  Suy I = x ln x − 2 ln xdx = e − 2I' e 1  u = ln x du = dx   Đặt  x dv = dx v = x  e  Suy I' = x ln x −  dx = e − e + = e  Suy I = e −  Vậy V = 4 ( e − ) Câu 3: Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn các đường: y = sin x ; Ox ; x = ; x =  Quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay có thể tích là Ⓐ 2 Ⓑ  Ⓒ  Ⓓ  PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn A  Thể tích khối tròn xoay là  V =   sin x.dx =    (1 − cos2 x ).dx =   x − sin x =  0 2 2   B - Bài tập rèn luyện: Câu Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn các đường y = x ln x, trục Ox, x = 1, x = e Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) quanh trục Ox Ⓐ  ( e2 + 1)  ( e − 1) Ⓑ St-bs: Duong Hung Ⓒ  ( e + 1) Ⓓ  ( e2 − 1) 83 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn y x quay xung quanh trục Ox Ⓐ 2ln Câu 4 Ⓑ V = 2 Ⓓ 2ln Ⓒ V = Ⓓ V = Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành và các đường thẳng x = , x =  Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hoành có thể tích V bao nhiêu? Ⓐ V = 2 Câu Ⓒ 2 ln  Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x + , trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành có thể tích V bao nhiêu? Ⓐ V = Câu Ⓑ 2 ln  ln x , trục Ox và đường thẳng Ⓑ V = 2 ( + 1) Ⓒ V = 2 Ⓓ V = ( + 1) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn các đường y = x + , y = , x = , x = Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề nào đây đúng? 2 Ⓐ V =   ( x + 3) dx Ⓑ V =   ( x + 3) dx 2 2 Ⓒ V =  ( x + 3) dx Ⓓ V =  ( x2 + 3) dx Câu 6: Cho hình phẳng ( H ) giới hạn các đường thẳng y = x + 2, y = 0, x = 1, x = Gọi V là thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề nào đây đúng? 2 2 Ⓐ V =   ( x + ) dx Ⓑ V =  ( x + ) dx Ⓒ V =   ( x + ) dx Ⓓ V =  ( x + ) dx 2 1 Câu 7: 2 1 Viết công thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b ( a  b ) , xung quanh trục Ox b Ⓐ V =   f ( x )dx a Câu 8: b Ⓑ V =  f ( x )dx a b b a a Ⓒ V =   f ( x )dx Ⓓ V =  f ( x ) dx Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2( x − 1)e x , trục tung và trục hoành Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục Ox Ⓐ Câu 9: V = − 2e Ⓑ V = ( − 2e )  Ⓒ V = e2 − Ⓓ V = ( e2 − )  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = 3x − x , y = 16 16 81 16 Ⓐ Ⓑ  Ⓒ  Ⓓ 15 15 10 15 St-bs: Duong Hung 84 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 10: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = x3 , y = 0, x = 4    Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 7 Câu 11: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số xy = 9, y = 0, x = 1, x = Ⓐ 54 Ⓑ 6 Ⓒ 12 Ⓓ Câu 12: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = cos ( x ) , y = 0, x = 0, x =  ( + )  ( sin + )  sin +  +2 Ⓓ 8 Câu 13: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quanh trục hoành hình phẳng giới hạn đồ thị các hàm số y = cos2 x, y = 0, x = 0, x =  Ⓐ Ⓑ 3 Ⓑ 2 Ⓐ 1.D 2.C A 11.A 12.B 13.C B Ⓒ  3 Ⓒ BẢNG ĐÁP ÁN A A 7.A Ⓓ 8.D 9.C 10.D  Dạng ③: Bài toán Thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Ox  Phương pháp:  Tính thể tích vật thể tròn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: trục ; quay quanh  Phương pháp giải: ① Giải phương trình: có nghiệm ② Khi đó thể tích cần tìm : ③ Casio: A - Bài tập minh họa: St-bs: Duong Hung 85 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Câu 1: Thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn Parabol ( P ) : y = x và đường thẳng d : y = x quay quanh trục Ox 2 Ⓑ   ( x2 − x ) dx Ⓐ   4x dx −   x dx 0 2 Ⓓ   ( x − x ) dx Ⓒ   4x dx +   x dx 0 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Phương trình hoành độ giao điểm ( P ) và d là x = x2 = x   x = 2 ( ) 2 Thể tích khối tròn xoay là   ( 2x ) − x  dx   2 0 =   4x 2dx −   x 4dx Câu 2: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x − x , y = − x nó quanh quanh trục hoành là: Ⓐ 421  15 Ⓑ 27 Ⓒ 125  Ⓓ 30 PP nhanh trắc nghiệm Lời giải  Chọn B  Xét phương trình hoành độ giao điểm:  x = −1  x2 − 2x = − x2  2x2 − 2x − =   x =  Do quay quanh trục hoành thì khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x , trục hoành, x = 0; x = nằm khối sinh hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x , trục hoành, x = 0; x =  Vậy thể tích cần tính bằng:   2 2 V =    − x dx −   x − x dx  +   − x −1  −1  203 38 256 421 = − + =  15 15 15 15 ( ) ( ) ( )  Chú ý phần dễ thiếu phần V1 =   ( − x ) dx 2 dx B - Bài tập tham khảo rèn luyện: St-bs: Duong Hung 86 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Cho hình phẳng hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo thành tính theo công thức nào? Câu 1: b Ⓐ V =   f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a b Ⓑ V =    f12 ( x ) − f 22 ( x ) dx a b Ⓒ V =    f 22 ( x ) − f12 ( x ) dx a b Ⓓ V =    f1 ( x ) − f ( x ) dx a Lời giải Chọn B Do f1 ( x )  f ( x ) x  ( a; b ) nên Chọn B Câu 2: Tìm công thức tính thể tích khối tròn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x và đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox Ⓐ   ( x2 − x ) dx 2 0 2 Ⓑ   x 2dx −   x 4dx Ⓓ   ( x − x ) dx Ⓒ   x 2dx +   x 4dx Lời giải Chọn A x = Phương trình hoành độ giao điểm: x − x =   x = 2 Vậy thể tích khối tròn xoay tính: V =   ( x − x ) dx Cho hình ( H ) giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol Câu 3: và đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó điểm A ( 2; ) , hình vẽ bên Thể tích vật thể tròn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ Ⓒ 16 15 2 32 22 Ⓓ Ⓑ Lời giải Chọn A Parabol có đỉnh là gốc tọa độ hình vẽ và qua A ( 2; ) nên có phương trình y = x Tiếp tuyến Parabol đó A ( 2; ) có phương trình là y = ( x − ) + = x − Suy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V =   ( x (x ) 2 x dx = 32 ; = ) 2 dx −   ( x − ) dx 2  x3  16 1 ( x − ) dx = 161 ( x − x + 1) dx = 16  − x + x  = 2 St-bs: Duong Hung 87 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Vậy V =   ( x ) 2  32 16  16 dx −   ( x − ) dx =   −  =   15 Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn các đồ thị hàm 1− x số y = x, y = , y = (phần tô đậm màu đen hình vẽ bên) x Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành 5 Ⓐ V =   − 2ln  Ⓑ V =   + 2ln  3 3   2 Ⓒ V =   ln −  Ⓓ V =   ln +  3 3   Lời giải Chọn A 1− x Phương trình hoành độ giao điểm y = x và y = là: x x   x  1− x   2x =  x=    x = x 2 2 x + x − =    x = −1 x  Phương trình hoành độ giao điểm y = x và y = là: x =    x = 2 x + x − = 1− x Phương trình hoành độ giao điểm y = và y = là: x x  x  1− x   x = =0  x x = 1 − x = Câu 4: 1 x3  1− x    1  d x =  +  − 1 dx =  +    − + 1 dx  V =   x dx +       x   1 x  1 x 1 x 2 2 2 Tính thể tích khối tròn xoay quay hình phẳng giới hạn các đường y = x − , y = x − , x = , x = quanh trục Ox 32π 32π 32π 22π Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 15 5 Lời giải Chọn A Câu 5: 2 Ta có V1 = π  ( x − ) dx = 256 32 π , V2 = π  ( x − ) dx = π 15 0 32π Vậy thể tích cần tìm V = V1 − V2 = Câu 6: 2 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn các đường y = x , y = x Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng: 32 Ⓐ 15 Ⓑ 64 15 St-bs: Duong Hung 88 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Ⓒ 21 15 Ⓓ 16 15 Lời giải Chọn B x = Xét phương trình hoành độ giao điểm: x − x =   x =  y = x2   y = 2x Khi quay ( H ) xung quanh trục Ox ta khối tròn xoay giới hạn  x =   x = 2 64 Do đó thể tích khối tròn xoay là: V =   ( x ) − ( x ) dx = 15 Tính thể tích V vật tròn xoay tạo thành quay hình phẳng ( H ) giới hạn các đường Câu 7: y = x ; y = x quanh trục Ox 9 3 Ⓐ V = Ⓑ V = 10 10 Ⓒ V =  10 Ⓓ V = 7 10 Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm x = x  x4 − x =  x ( x − 1) ( x + x + 1) =  x = x = Khi đó: Thể tích khối tròn xoay sinh hình ( H ) là V = ( x ) dx −   ( x ) dx = 310 2 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = e x −1 , các trục tọa độ và phần đường thẳng y = − x với x  Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành Câu 8: e2 − Ⓐ V = + 2e Ⓑ V =  ( 5e2 − 3) 6e2 Ⓒ V = + e −1  e Ⓓ V = + e2 − 2e Lời giải Chọn B Phương trình hoành độ giao điểm đường cong y = e x −1 và đường thẳng y = − x : e x−1 = − x  x = (Vì y = e x −1 là hàm đồng biến và nên phương trình có tối đa y = − x là hàm nghịch biến trên tập xác định nghiệm Mặt khác x = thỏa mãn pt nên đó là nghiệm pt đó) Đường thẳng y = − x cắt trục hoành x = V =   (e ) x −1 2 dx +   ( − x ) dx  ( 5e − 1)  x3  +   − 2x +  = 6e  1 = e x−2 Câu 9: Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = x − x + và y = − x − x + Ⓐ  Ⓑ  −1 St-bs: Duong Hung Ⓒ 3 Ⓓ 2 89 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung Lời giải Chọn C x = Xét phương trình hoành độ giao điểm x2 − x + = − x − x +  x − x =   x = Thể tích vật thể tròn xoay sinh quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn hai đồ thị là 1 V =   ( x − x − ) − ( − x − x + ) dx =   −12 x3 + 36 x − 24 x dx 2 2 0 =  ( −12 x ( + 36 x − 24 x ) dx =  −3x3 + 12 x3 − 12 x ) = 3 Câu 10: Gọi ( H ) là hình giới hạn nhánh parabol y = x (với x  ), đường thẳng y = − x + và trục hoành Thể tích khối tròn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox Ⓐ V = 52 15 Ⓑ V = 17 Ⓒ V = 51 17 Ⓓ V = 53 17 Lời giải Chọn A x = Phương trình hoành độ giao điểm: x = − x +   x = −  Thể tích khối tròn xoay tạo ( H ) : V =   ( − x + 3) dx +   x 4dx = 52  15 Câu 11: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường x + y − = ; y = x ; y = quay quanh trục Ox 6 2 5 Ⓐ Ⓑ Ⓒ Ⓓ 6 Lời giải Chọn D Hình phẳng đã cho chia làm phần sau: Phần : Hình phẳng giới hạn các đường y = x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối tròn xoay có thể tích V1 =   x dx =  x2 =  Phần : Hình phẳng giới hạn các đường y = − x ; y = ; x = ; x = Khi quay trục Ox phần ta khối tròn xoay có thể tích V2 =   ( − x ) ( x − 2) dx =  2 =  Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là V = V1 + V2 = 5 Câu 12: Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường x = y , y = − x + và x = quay quanh trục Ox có giá trị là kết nào sau đây? Ⓐ V =  Ⓑ V =  Ⓒ V = 32  15 Ⓓ V = 11  Lời giải Chọn C St-bs: Duong Hung 90 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung x = y  y = x2 ( x  0)   Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn các đường:  y = − x +   y = − x + x = x =    x = ( nhaän ) Phương trình hoành độ giao điểm: x = − x +  x2 + x − =    x = −2 ( loại ) Thể tích vật tròn xoay sinh hình ( H ) quay quanh trục Ox là: ( )  V =   ( − x + ) − ( x ) dx =   ( x − x + − x ) dx = 2 32  (đvtt) 15 Câu 13: Gọi D là hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = − x (− )  x  và trục hoành (phần tô đậm hình vẽ bên) Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh quay hình phẳng D quanh trục Ox Ⓐ V = 8 − 2 Ⓑ V = 8 + 22 Ⓒ V = 8 − 22 Ⓓ V = 4 + 22 Lời giải Chọn D Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu có thể tích V =  = 8 Thể tích nửa khối cầu là V1 = 4 ( ) x  x = − x2    x = x + x − = Thể tích khối tròn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị các hàm số y = x , cung Xét phương trình: tròn có phương trình y = − x , và hai đường thẳng x = 0, x = quanh Ox là V2 =   ( − x − x ) dx = 22 22 Cách Cung tròn quay quanh Ox tạo thành khối cầu có thể tích V1 =  = 8 x   Xét phương trình: x = − x    x = x + x − = Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = V1 + V2 = 4 + ( ) Thể tích khối tròn xoay có quay hình phẳng ( H ) giới hạn đồ thị các hàm số y = x , cung tròn có phương trình y = − x và đường thẳng y = quanh Ox là V2 =   xdx +  = 2 +  ( − x ) dx 2 12 − 28 22  = 4 − 3 St-bs: Duong Hung 91 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 22   22 Vậy thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là V = V1 − V2 = 8 −  4 −  = 6 + 3   Câu 14: Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn các đường y = , y = x , y = x − Ⓐ 8 Ⓑ 16 3 Ⓒ 10 Ⓓ 8 Lời giải Chọn B 0 = x  x =  Ta có: 0 = x −  x =   x = x−2 x = Dựa vào hoành độ giao điểm ba đường ta có diện tích hình phẳng gồm hai phần Phần thứ giới hạn y = x , y = và x = 0; x = Phần thứ hai giới hạn y = x , y = x − và x = 2; x = Thể tích vật thể bằng: V = ( ) x 4 ( ) dx +   ( x − ) − x dx =   xdx +   x − ( x − ) dx 2 2  x ( x − )3  x2 16 = +  −  =   3  2 Câu 15: Cho ( H ) là hình phẳng giới hạn parabol y = x và đường tròn x + y = (phần tô đậm hình bên) Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành Ⓐ V = 44 Ⓒ 15 5 V = Ⓑ V = 22  15 Ⓓ V = Lời giải Chọn A  x2 = x = Với y = x thay vào phương trình đường tròn ta x + x =    x = − x = −    y = − − x2 Hơn x + y =    y = − x  y = − x2   x = −1 Thể tích cần tìm chính là thể tích vật thể tròn xoay ( H1 ) :  quay quanh Ox bỏ phần thể x =  Ox   y = x2   x = −1 tích ( H ) :  quay quanh Ox x =  Ox St-bs: Duong Hung 92 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung 1 Do đó V =     −1 ( − x2 )  44 dx −  ( x ) dx  = −1  15 Câu 16: Cho hình phẳng ( H ) (phần gạch chéo hình vẽ) Tính thể tích V khối tròn xoay tạo thành quay hình ( H ) quanh trục hoành Ⓐ V = 8 Ⓑ V = 10 8 Ⓒ V = Ⓓ V = 16 Lời giải Chọn D Gọi là hình phẳng giới hạn các đường x = , x = , f ( x ) = x và trục hoành ( D2 ) là hình phẳng giới hạn các đường x = , x = , g ( x ) = x − và trục hoành Kí hiệu V1 , V2 tương ứng là thể tích các khối tròn xoay tạo thành quay ( D1 ) , ( D2 ) quanh trục hoành 4 4 Khi đó, V = V1 − V2 =   f ( x ) dx −   g ( x ) dx =   xdx −   ( x − ) dx = 8 − 0 2 8 16 = 3 Câu 17: Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) = xung quanh trục hoành là Ⓐ 6 Ⓑ 6 Ⓒ 3 Ⓓ 6 Lời giải Chọn A ( C ) : x + ( y − 3) =  ( y − 3) = − x 2  y − = − x2  y = + − x2    y − = − − x  y = − − x Thể tích V khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường tròn ( C ) : x + ( y − 3) ( = xung quanh trục hoành là V =   + 1− x −1 ) dx −   (3 − 2 −1 St-bs: Duong Hung ) dx =  6 = 6 1− x 2 93 Tài liệu giảng dạy HS TB-Yếu hiệu cao – FB Duong Hung St-bs: Duong Hung 94