HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG

LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Mục lục Lời nói đầu .2 Danh sách nhóm Đại cương về tổ hợp 1.1 Các bài toán tổ hợp 1.1.1 Cấu hình tổ hợp 1.1.2 Các dạng toán tổ hợp 1.2 Các cấu hình tổ hợp bản 1.2.1 Hoán vị .5 1.2.2 Hoán vị lặp 1.2.3 Tổ hợp 1.2.4 Tổ hợp lặp 1.2.5 Chỉnh hợp 1.2.6 Chỉnh hợp lặp .7 1.2.7 Nhị thức Newton Hàm sinh thường .9 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường 2.2 Định lý Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi 12 3.1 Bài toán (số Fibonaci) 12 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình 13 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler .13 3.2.2 Ví dụ 13 3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính 15 3.3.1 Công thức truy hồi 15 3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng 15 3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh 16 3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng 16 3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng 17 Kết luận 19 Tài liệu tham khảo 20 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Lời nói đầu Vào TK XVII với hàng loạt công trình nghiên cứu các nhà toán học xuất sắc như: Pascal, Fermat, Uuler, Leibnitz,…dẫn đến lý thuyết tổ hợp được hình thành Các bài toán tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi khối lượng tính toán không lồ Vì vậy thời gian dài, mà các ngành toán học Phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển vũ bảo, thì dường nó nằm ngoài phát triển và ứng dụng toán học Và cho đến xuất hiện máy tính điện tử và toán học hữu hạn, nhiều vấn đề tổ hợp được giải quyết máy tính Từ chỗ chỉ nghiên cứu các trò chơi, tổ hợp trở thành ngành toán học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng các lĩnh vực toán học và tin học… Hàm sinh là sáng tạo thần tình, bất ngờ, nhiều ứng dụng toán rời rạc Nói cách nôm na, hàm sinh chuyển bài toán về dãy số thành bài toán về hàm số Điều này là rất tuyệt vời vì có tay cả cỗ máy lớn để làm việc với các hàm số Nhờ vào hàm sinh, có thể áp dụng cỗ máy này vào các bài toán dãy số Bằng cách này, có thể sử dụng hàm sinh việc giải tất cả các dạng toán về phép đếm Có cả ngành toán học lớn nghiên cứu về hàm sinh, vì thế, bài này, chỉ tìm hiểu vấn đề bản nhất về chủ đề này Đề tài xin trình bày vấn đề sau: "Hàm sinh thường và ứng dụng" Là phương pháp hữu hiệu để giải quyết các bài toán tổ hợp phức tạp Đề tài được chia thành nội dung chính sau: Lời nói đầu Chương Đai cương về tổ hợp Chương Hàm sinh thường Chương Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán tổ hợp Kết luận Mặc dù nhóm rất cố gắng không tránh khỏi sai sót, mong nhận được đóng góp ý kiến thầy và các bạn Đà Nẵng, ngày 02 tháng 04 năm 2012 Nhóm 10 – Cao học Toán sơ cấp K24 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương ĐẠI CƯƠNG VỀ TỔ HỢP 1.1 Các bài toán tổ hợp Có thể nói rằng bài toán tổ hợp rất đa dạng và phong phú, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác Một cách tổng quát rằng lí thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp các phần tử hoặc nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện nào đó Mỗi cách phân bố xếp thế gọi là cấu hình tổ hợp 1.1.1 Cấu hình tổ hợp: Cho các tập hợp A1, A2,…,An, giả sử S là sơ đồ xếp các phần tử A1, A2,…,An, được mô tả bằng các quy tắc xếp và R 1, R2,…,Rm các điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi đó cách xếp các phần tử A1, A2,…,An, thảo mãn các điều kiện R 1, R2,…,Rm gọi là cấu hình tổ hợp các tập A1, A2,…,An Ví dụ: Xét bố trí các quân cờ bàn cờ vua Mỗi thế cờ có thể coi là cấu hình tổ hợp Ở có thể định nghĩa: A là tập hợp các quân cờ trắng B là tập hợp các quân cờ đen S là sơ đồ xếp các quân cờ bàn cờ R là hệ thống các điều kiện được xác định bằng luật cờ vua 1.1.2 Các dạng bài toán tổ hợp a Bài toán tồn NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Mục tiêu bài toán tồn tại là chứng minh tồn tại hoặc không tồn tại cấu hình tổ hợp nào đó Có nhiều bài toán loại này rất khó và việc cố gắng giải chúng thúc đẩy nhiều hướng nghiên cứu toán học Ví dụ Cho n là số nguyên dương A là tập hợp n x n điểm: A = {[ i, j ], i, j = n} S là tập hợp 2n điểm A R là điều kiện không có điểm S thẳng hàng Với ≤ n ≤ cấu hình tổ hợp tồn tại Nhưng bái toán chưa có lời giáo với n>15 b Bài toán đếm Nội dung bài toán đếm là trả lời câu hỏi “Có cấu hình tổ hợp thuộc dạng xét” Phương pháp đếm cấu hình thường dựa vào số quy tắc, nguyên lí đếmvà phân rã đưa về các cấu hình tổ hợp đơn giản Khi việc xác định chính xác số cấu hình tổ hợp gặp khó khăn, có thể ước lượng cận và cận nó Bài toán đếm được áp dụng vào công việc tính xác suất hay tính độ phức tạp thuật toán Ví dụ Đếm số nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z = 12 c Bài toán liệt kê Các bài toán loại này nghiên cứu thuật toán hiệu quả để xây dựng tất cả các cấu hình tổ hợp cho Nhiều vấn đề các lĩnh vự khác thường được đưa về bài toàn liệt kê và kiểm tra xem các cấu hình tổ hợp có thỏa mãn tính chất cho trước hay không ? Ví dụ Liệt kê tất cả các hoán vị n phần tử NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG d Bài toán tối ưu tổ hợp Trong nhiều vấn đề, cấu hình tổ hợp được gán giá trị bằng số (chẳng hạn hiệu quả sử dụng hay chi phí thực hiện ) Khi đó bài toán tối ưu tổ hợp nghiên cứu thuật toán tìm cấu hình tổ hợp có giá trị tối ưu (lớn nhất hoặc nhỏ nhất) Ví dụ Cho đồ thị có trọng số G, a và b là đỉnh bất kì Tìm đường ngắn nhất từ a đến b 1.2 Các cấu hình tổ hợp 1.2.1 Hoán vị Định nghĩa Một hoán vị n phần tử khác là cách xếp thứ tự các phần tử đó Ví dụ Có học sinh xếp thành hàng dọc trước lúc vào lớp Hỏi có thể có bao niêu cách xếp vậy Giải: cách hàng là hoán vị người Vậy số cách xếp hàng là : ! = 720 1.2.2 Hoán vị lặp Định nghĩa :Hoán vị lặp là hoán vị đó phần tử được ấn định số lần lặp lại cho trước Ví dụ Có viên bi đỏ, viên bi xanh và viên bi trắng Hỏi có cách xếp các viên bi theo hàng ngang Giải : Có tất cả lỗ trống để xếp tất cả các viên bi Ta có C(3,9) khả xếp viên bi đỏ, C(6,2) khả xếp viên bi xanh, lại khả xếp các viên bi trắng Theo nguyên lí nhân ta có NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP C(9, 3) x C(6, 2) = HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 9! cách xếp 3!.2!.4! 1.2.3 Tổ hợp Định nghĩa Một tổ hợp chập k n phần tử khác là không kể thức tự gồm k thành phần khác lấy từ n phần tử cho Nói cách khác ta có thể coi tổ hợp chập k n phần tử khác là tập có phần tử từ n phần tử cho Kí hiệu Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử ta có: C ( n, k ) = n! k!.(n − k )! Ví dụ Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh lớp thi học sinh giỏi? Giải Mỗi cách chon học sinh 45 học sinh lớp ứng với tổ hợp 45! chập 45 Vậy có C (45,5) = 5!.(45 − 5)! 1.2.4 Tổ hợp lặp Định nghĩa: Tổ hợp lặp chập k từ n phần tử là nhóm không phân biệt thứ tự gồm k phân tử trích từ n phần tử cho, đó các phần tử có thể được lặp lại Ví dụ: Giả sử ta có quyên sách: Toán, Lí, Hóa và quyển có ít nhất có bản photocopy Hỏi có cách chọn quyển Giải: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Bài toán đặt là chọn phần tử, không kể thứ tự và cho phép lặp lại Mỗi cách chọn sách được xác định nhất số lượng loại sách Ta có thể biểu diễn cách chọn sách sau: Toán xxx Lí | xx Hóa | x Trong đó dấu x chỉ quyển sách chọn và hai dấu gạch đứng chỉ phân cách giữa các loại sách Như vậy cách chọn sách tương ứng chọn vị trí vị trí để đặt dấu gạch | tức là tổ hợp chập từ phần tử Suy số cách chọ sách là: C(8,2) = 28 1.2.5 Chỉnh hợp Định nghĩa: Một chỉnh hợp chập k n phần tử khác là có thứ tự gồm thành phần lấy từ n thành phần cho Các thành phần không được lặp lại n! Kí hiệu: A(n, k) và A(n, k ) = (n − k )! Ví dụ Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có cách chọ học sinh lớp thi học sinh giỏi môn: Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh Giải Mỗi cách chon học sinh 45 học sinh lớp thi học sinh giỏi 45! môn ứng với chỉnh hợp chập 45 Vậy có A(45,5) = (45 − 5)! 1.2.6 Chỉnh hợp lặp NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Định nghĩa: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử khác là có thứ tự gồm k thành phần lấy từ n thành phần cho Các thành phần có thể được lặp lại Một chỉnh hợp lặp chập k n có thể xem phần tử tích Đê- các Xk, với X là tập n phần tử Như vậy số tất cả các chỉnh hợp chập k n là AR(n, k) = nk Ví dụ Tính số hàm từ tập X có k phần tử đến tập Y có n phần tử Giải: Mỗi hàm từ X vào Y tương ứng với có thứ tự k thành phần n phần tử Y, các phần tử có thể lặp lại Như vậy số hàm từ X vào Y là nk 1.2.7 Nhị thức Newton: Công thức nhị thức Newton n (a + b) = ∑ Cnk a n−k b k = Cn0a n + Cn1a n −1b + + Cnnb n n k =0 Chú ý: Số hạng tổng quát thứ k+1 là: Tk +1 = Cnk a n−k b k = Cnk a k b n−k Hệ số số hạng thứ k+1 là giá trị không chứa biến Ví dụ: Tìm hệ số số hạng thứ khai triển (1 + 2x)n Giải: Số hạng thứ là Cn2 22 x Suy hệ số số hạng thứ ba khai triển đó là Cn2 22 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương HÀM SINH THƯỜNG 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường Cho dãy số thực (ar)r = ( a0 , a1 ,a2 , …) và biến x Hàm sinh thường dãy ( a0 , a1 ,a2 , …) là hàm g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … Ví dụ 1: Hàm n (1 + x ) n = ∑ C nk x k k =0 n Là hàm sinh dãy C , C n1 , C n2 , , C nn 2.2 Định lý Nếu g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r thì (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường dãy (ar – ar-1)r Nếu g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r thì g ( x) là hàm sinh thường 1− x dãy (a0 + a1+ a2 + … + ar)r Nếu g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r thì x g ′ (x) là hàm sinh thường dãy (r.ar)r Nếu g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r và h(x) là hàm sinh thường dãy (br)r thì p.g(x) + q.h(x) là hàm sinh thường dãy (p.ar + q.br)r với số thực p,q Nếu g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r và h(x) là hàm sinh thường dãy (br)r thì g(x).h(x) là hàm sinh thường dãy tích chập  r   ∑ br −i   i =0 r Nếu g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r, thì g r (0) ar = r! Chứng minh , ∀ r = 0,1,2 … g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r nên : g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … Ta có (1 – x ) g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG – a0x – a1x2 – a2x3 – a3x4 – … = a0 + (a1 – a0)x + (a2 – a1)x2 + (a3 – a2)x3 + … suy (1 – x ) g(x) là hàm sinh thường dãy (ar – ar-1)r Ta có  g ( x) = g(x).(1 + x + x2 + x3 +…) 1− x = a0 + a0x + a0x2 + a0x3 + … + a1x + a1x2 + a1x3 + a1x4 + + a2x2 + a2x3 + a2x4 + a2x5 + … … = a0 + (a0 + a1)x + (a0 + a1 + a2)x2 + (a0 + a1 + a2)x3 + … suy g ( x) là hàm sinh thường dãy (a0 + a1+ a2 + … + ar)r 1− x Ta có  g ′ (x) = a1 + 2a2x +3 a3x2 + … x g ′ (x) = a1x +2 a2x2 +3 a3x3 +… suy x g ′ (x) là hàm sinh thường dãy (r.ar)r (4), (5), (6) được chứng minh tương tự   Ví dụ Cho g(x) là hàm sinh thường dãy (ar)r , a0 ≠ 0, h(x) = g ( x) Giả sử h(x) là hàm sinh thường dãy (br)r Để tính dãy số (br)r ta sử dụng đẳng thức = (a0 + a1x + a2x2 + … ) (b0 + b1x +b2x2 + …) = g(x)h(x) = suy hệ phương trình đối với (br)r a0b0 = a1b0 + a0b1 = a2b0 + a1b1 + a0b2 = ………………… Hai mệnh đề thường được sử dụng Mệnh đề 1: Cho hàm sinh G(x) = (1 + x + x2 + …)n a) Đặt ar là hệ số xr khai triển G(x) thì : ar = C rr+ n −1 b) (1 – xm)n = − C n1 x m + C n2 x m − + (−1) n x mn c) (1 + x + x2 + … + xm-1)n = (1 – xm)n(1 + x + x2 + …+)n Mệnh đề 2: ( Công thức xác định hệ số tích hai hàm sinh) Cho hai hàm sinh hai dãy (an), (bn) lần lượt là: A(x) = a0 + a1x +a2x2 + … NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 10 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG B(x) = b0 +b1x +b2x2 + … Đặt G(x) = A(x)B(x) = (a0 + a1x +a2x2 + …)( b0 +b1x +b2x2 + …) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x +( a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + (a0b3 + a1b2 + a2b1 + a0b3)x3 + … Khi đó hệ số xr khai triển G(x) a0br + a1br-1 + a2br-2 + …+ ar2b2 + ar-1b1 + arb0 (*) Chú ý: Trong các ví dụ ứng dụng hàm sinh để giải bài toán đếm nâng cao phần II rất hay sử dụng công thức (*) NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 11 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương ỨNG DỤNG HÀM SINH THƯỜNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUY HỒI 3.1 Bài toán ( Số Fibonacci) Giải công thức truy hồi sau an = an-1 +an-2 , với n ≥ 2, a0 = 0, a1 = Bài giải Gọi g(x) là hàm sinh thường dãy an , ta có : g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +… xg(x) = a0x + a1x2 + a2x3 + a3x4 +… x2g(x) = a0x2 + a1x3 + a2x4 +… suy : (1 – x – x2)g(x) = a0 + (a1 – a0)x + (a2 – a1 – a0)x2 + + (a3 – a2 – a1)x3 +(a4 – a3 – a2)x4 +… =x x 1− x − x2 1+ 1− Gọi α = − , β =− là hai nghiệm phương trình bậc hai 2 Hay g(x) = – x – x2 = Biến đổi g(x) sau: x 1− x − x2 α β 1 1 + = − = β −α x −α α − β x − β α − β 1− x α − β 1− x α β g(x) = ∞  ∞ xr xr   ∑ r − ∑ r  r =0 β   r =0 α ∞  1   r − r  x r = ∑ α − β r =0  α β  1 αr −βr − = Vì α − β = − và r = ( − β ) r − ( − α ) r , ta có r r α β ( − 1) = α −β g(x) = ∞ ∑ r =0 r r  +   −   r  −  .x         NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 12 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Cuối ta nhận được: n n  +   −    −    an =        , ∀n ≥ 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán đếm điển hình 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler Ý tưởng chung phương pháp sử dụng hàm sinh giải bài toán đếm là tìm hệ số xr khai triển hàm sinh với r là số phần tử được chọn n đối tượng vowid điều kiện ràng buộc cho trước Bây giờ vận dụng kiến thức hàm sinh vào việc giải quyết các ài toán đếm tổ hợp nâng cao Thông qua nhiều ví dụ khác định hình và nắm được cách sử dụng hàm sinh việc giải bài toán đếm tổ hợp nâng cao 3.2.2 Ví dụ 3.2.2.1 Vào ngày chủ nhật, cô Hoa chơi và mua quà là 12 quả cam cho đứa trẻ An, Bình, Chi Hỏi cô Hoa có cách phân phối 12 quả cam cho An có ít nhất quả, Bình và Chi người đếu có ít nhất quả, Chi không được nhiều quả? Giải: Hàm sinh cho số cách chọn quả cho An là: A(x) = x4 + x5 + x6 + x7 + x8 = x4( + x + x2 + x3 + x4) = x4 − x5 1− x Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Bình là: B(x) = x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = x2( + x + x2 + x3 + x4) − x5 =x 1− x Hàm sinh cho số cách chọn quả cho Chi là: C(x) = x2 + x3 + x4 + x5 = x2( + x + x2 + x3) = x2 1− x4 1− x Hàm sinh cho số cách phân phối 12 quả cam thỏa mãn điều kiện đề bài là: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 13 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG − x5 − x5 1− x4 x2 x2 1− x 1− x 1− x x8 − x5 − x G(x) = A(x)B(x)C(x) = x4 = ( )( (1 − x ) )     x −1 = x8(1 – 2x5 + x10 (1-x4)  12 = (x – x - x 13   + 2x + x – x )    x −1 17 18 22 Do tìm hệ số x12 khai triển G(x) nên ta chỉ quan tâm đến hệ số U(x) = (x8 – x12 - x13 + 2x17+ x18 – x22) với bậc ≤ 12 Do đó U(x) chỉ có các hệ số a8, a12 là thỏa mãn   r Và hệ số x khai triển V(x) =   br = C r +  x −1 r Vậy hệ số x12 khai triển G(x) là: a8b4 + a12b0 = C 64 − 1.C 20 = 14 Kết luận: Cô Hoa có 14 cách phân chia 12 quả cam cho đứa trẻ thỏa mãn yêu cầu An có ít nhất quả, Bình và Chi người đều có ít nhất quả Chi không được nhiều quả Nhận xét: Thoạt nhìn ban đầu thấy cáh giải bừng cách liệt kê cho lời giải ngắn gọn cách hàm sinh suy nghĩ sâu thêm thấy đối với bài toán có kiện lớn thì cách làm liệt kê tỏ hiệu quả thậm chí khó làm được, chẳng hạn bài toán ta thay đổi chút sau: “Vào ngày chủ nhật, cô Hoa chơi và mua quà là 50 cái kẹo cho đứa trẻ An, Bình, Chi Hỏi cô Hoa có cách phân phối 50 cái kẹo cho An có ít nhất kẹo, Bình và Chi người đếu có ít nhất kẹo, Chi không được nhiều kẹo?” Rõ ràng cách làm liệt kê đối với bài toán này trở nên hiệu quả, khó khăn và mất thời gian rất nhiều vì phải xét quá nhiều trường hợp Khi đó giải pháp hàm sinh bài toán này đem lại cho hiệu quả rõ rệt vì chỉ cần quan tâm tới hệ số khai triển hàm sinh tương ứng đề bài Trong sống thực tiễn thì liệu rất đa dạng với bài toán đếm có nhiều điều kiện ràng buộc khác Việc sử dụng hàm sinh cho lời giải hiệu quả 3.2.2.2 Có cách xếp giỏ gồm n trái gồm (táo, chuối, cam, đào) cho số táo phải là chẵn, số chuối chia hết cho năm, chỉ có thể nhiều nhất quả cam và nhiều nhất quả đào Giải: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 14 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Hàm sinh cho số cách chọn quả táo (số chẵn) là: A(x) = 1+ x2 + x4 + x6 + = 1− x2 Hàm sinh cho số cách chọn quả chuối (số chia hết cho 5) là: B(x) = 1+ x5 + x10 + x15 + = 1 − x5 Hàm sinh cho số cách chọn quả cam (nhiều nhất quả) là: − x5 C(x) = 1+ x + x + x + x = 1− x Hàm sinh cho số cách chọn quả đào (nhiều nhất quả) là: D(x) = + x = 1− x2 1− x Hàm sinh cho số cách chọn cả loại quả là: 1 − x5 − x2 − x2 − x5 − x − x ∞ i = = ∑ ( i + 1) x (1 − x ) i =0 G(x) = A(x)B(x)C(x)D(x) = Vậy số cách chọn trái thỏa mãn đề bài là n+1 cách 3.3 Ứng dụng hàm sinh giải công thức truy hồi tuyến tính 3.3.1 Công thức truy hồi Định nghĩa Công thức truy hồi dãy số s(0), s(1), s(2), … là phương trình xác định s(n) bằng các phần tử s(0), s(1), s(2), …, s(n-1) trước nó s(n) = F(s(0), s(1), s(2),…, s(n-1)) Điều kiện ban đầu là các giá trị gán cho số hữu hạn các phần tử đầu 3.3.2 Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng Định nghĩa Công thức truy hồi tuyến tính hệ số hằng bậc k có dạng s(n) = c1.s(n-1) + c2.s(n-2) + … + ck.s(n-k) + f(n) , (*) ≠ đó c1, c2, …, ck là các hằng số, ck và f(n) là hàm theo n Điều kiện ban đầu là giả thiết số phần tử đầucủa dãy có giá trị cho trước: s(0) = C0, s(1) = C1, … , s(k-1) = Ck-1 Định nghĩa Nếu f(n) ≠ thì (*) được gọi là công thức truy hồi tuyến tính không thuần nhất hệ số hằng bậc k Nếu f(n) = thì (*) được gọi là công thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 15 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh Nội dung phương pháp này là tìm công thức tường minh cho hàm sinh liên đới Nghĩa là giả sử ta giải công thức truy hồi, tức là ta cần tìm số hạng tổng quát dãy số {an} công thức truy hồi nào đó, ta thiết lập hàm sình F(x) {an} Dựa vào công thức truy hồi, ta tìm được phương trình cho F(x) Giải phương trình đó, ta tìm được F(x) Khai triển F(x) theo lũy thừa x (khai triển Taylor), ta tìm được an với n Trên lý thuyết, ta phải dùng công thức Taylor để tìm khai triển F(x) Đây là bài toán khá phức tạp Tuy nhiên, nhiều trường hợp, ta có thể sử dụng công thức Newton tổng quát sau: (1 + x ) α = + αx + α ( α − 1) α ( α − 1) ( α − n + 1) n x + + x + n! Ta có hệ quả quen thuộc sau: + x + x2 + x3 +… = 1− x + 2x + 3x2 +4 x3 +… = ( x < 1) (1 − x ) (hệ quả nhị thức Newton tổng quát) 3.3.3.1 Giải công thức truy hồi tuyến tính thuần hệ số hằng Bài toán Giải công thức truy hồi an = 5an-1 – 6an-2 & a0 = 0, a1 = Giải Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(X) = ∞ ∑a n =0 n xn Ta có F(X) = ∞ ∑a n =0 n x n = a0 + a1 x + ∞ n = x + ∑ a n−1 x − n =2 ∞ ∑ ( 5a n =2 n −1 − 6a n − ) x n ∞ ∑ an−2 x n = x + 5x n=2 ∞ ∑ an−1 x n−1 - 6x2 n =2 ∞ ∑a n =2 n−2 x n−2 = x + 5x.(F(x) – a0) – 6x F(x) = x + 5x.F(x) – 6x F(x) Suy F(x) = x x 1 + = ( x − 1)( 3x − 1) = − − x − 3x x − 5x + ∞ ∞ n =0 n =0 n n n n = − ∑ x + ∑ x = ∑ (3 ∞ n =0 n ) − n x n Vậy an = 3n + 2n Bài toán Giải công thức truy hồi an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3 & a1 = a2 = NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 16 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Giải Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(x) = ∞ ∑a n =0 n xn Ta có ∞ n F(x) = ∑ a n x = a0 + a1x + a2x2 + n =0 = x + x2 + 6x ∞ ∑ (6an-1 – 11an-2 + 6an-3).xn n =3 ∞ ∑ an−1 x n−1 – 11x2 n =3 ∞ ∑ an−2 x n−2 + 6x3 n =3 ∞ ∑a n =3 n −3 x n −3 = x + x + 6x.(F(x) – a0 – a1x) – 11x (F(x) – a0) + 6x3.F(x) = x – 5x2 + 6x.F(x) – 11x2.F(x) + 6x3.F(X) Suy 5x − x 5x − x F(x) = = ( x − 1)( x − 1)( 3x − 1) x − 11x + x − + − =− − x − x − 3x ∞ ∞ ∞ n =0 n =0 n =0 n n n n n = − 2∑ x + 3∑ x − ∑ x n n Vậy an = 3.2 – – 3.3.3.2 Giải công thức truy hồi tuyến tính không thuần hệ số hằng Bài toán Giải công thức truy hồi an = an-1 +2n-1 – & a0 = Giải Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(x) = ∞ ∑a n =0 n xn Ta có F(x) = ∞ ∑ a n x n = a0 + n =0 ∑ (a ∞ n =1 n −1 ) + n −1 − x n ∞ ∞ ∞ n =1 n =1 n =1 n −1 n n n = + x ∑ a n−1 x + 2-1 ∑ x − ∑ x = + x.F(x) + 2-1 Suy x 2x x − − 2x − x x + F(x) = (1 − x )(1 − x ) − (1 − x ) − x 1 = − 2x + − x − (1 − x ) = ∞ ∞ ∞ ∑ x + ∑ x − ∑ ( n + 1).x n =0 n n n =0 n n=0 n ∞ ( ) = ∑ n − n x n n =0 Vậy an = 2n – n NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 17 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Bài toán Giải công thức truy hồi an = 2an-1 – an-2 + n.2n-1 & a0 = 0, a1 = ∞ ∑a Giải Giả sử F(x) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(x) = n =0 n xn Ta có ∞ n F(x) = ∑ a n x = a0 + a1x + n =0 ∑ ( 2a ∞ n =2 n −1 ) − a n − + n.2 n −1 x n ∞  n −1  n−2 a x − + n.( x )   + x ∑ ∑ n−2 n =2 n =2 n =1      = x + 2x.(F(x) – a0) – x2.F(x) + x  − +  ( ) − x   ∞ n −1 = x +2x ∑ a n−1 x − x2 Suy F(x) = x (1 − x ) ( − x ) 2 = ∞ −6 + + + − x − x (1 − x ) (1 − x ) ∞ ∞ ∞ ∞ n =0 n =0 n=0 n =0 n n n n n n = − 6∑ x + 3∑ x + ∑ ( n + 1).x + 2∑ ( n + 1).2 x = ∑ ( − = ∑ ( ( 2n − 4).2 ∞ n ) + + (n + 1) + 2( n + 1).2 n x n n =0 n ) + n + x n Vậy an = (2n – 4).2n + n + Nhận xét: Trong quá trình tìm công thức tường minh cho các số hạng các dãy số trên, ta thấy F(x) có chứa các hàm phân thức với tử và mẫu là các đa thức Để đến kết quả cuối cùng, ta phải phân tích các phân thức này thành các phân thức sơ cấp Sau đó sử dụng phương pháp hệ số bất định để tìm các hệ số các phân thức sơ cấp đó Cuối cùng, khai triển F(x) theo lũy thừa x, ta tìm được an NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 18 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG KẾT LUẬN Đề tài trình bày vấn đề : “Hàm sinh thường và ứng dụng” với nội dung chính sau: Chương Đại cương về tổ hợp Trình bày các kiến thức bản về tổ hợp và số bài toan nổi tiếng Chương Hàm sinh thường Phát biểu và đưa số ví dụ về hàm sinh thường Chương Ứng dụng hàm sinh thường giải các bài toán truy hồi Sử dụng phương pháp đếm bằng hàm sinh thường để giải quyết các bài toán truy hồi Đây có thể coi là công dụng hữu ích việc giải quyết các bài toán đếm, thường xuất hiện các kì thi Olympic Toán quốc tế Tuy nhiên, việc sử dụng các khai triển Taylor lời giải gây không ít cản trở việc tiếp cận phương pháp này học sinh bậc THPT Hướng phát triển đề tài: hoàn thiện thêm các dạng toán phức tạp và bước đầu xây dựng phương pháp giả các phương trình sai phân đơn giản NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 19 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến.Giáo trình Lý thuyết tổ hợp [2] Kenneth H Rosen Toán học rời rạc ứng dụng tin học, nhà xuất bản thống kê 2002 [3] Một số tài liệu internet khác NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 20 [...]... rất hay sử dụng công thức (*) NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 11 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương 3 ỨNG DỤNG HÀM SINH THƯỜNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN TRUY HỒI 3.1 Bài toán ( Số Fibonacci) Giải công thức truy hồi sau an = an-1 +an-2 , với n ≥ 2, a0 = 0, a1 = 1 Bài giải Gọi g(x) là hàm sinh thường của dãy an , ta có : g(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 +… xg(x) = a0x + a1x2... THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Cuối cùng ta nhận được: n n 1  1 + 5   1 − 5    −    an = 5  2   2     , ∀n ≥ 2 3.2 Ứng dụng hàm sinh giải các bài toán đếm điển hình 3.2.1 Ứng dụng hàm sinh giải bài toán chia kẹo Euler Ý tưởng chung của phương pháp sử dụng hàm sinh giải bài toán đếm là đi tìm hệ số của xr trong khai triển của hàm sinh với r là... CẤP Trang 14 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Hàm sinh cho số cách chọn quả táo (số chẵn) là: A(x) = 1+ x2 + x4 + x6 + = 1 1− x2 Hàm sinh cho số cách chọn quả chuối (số chia hết cho 5) là: B(x) = 1+ x5 + x10 + x15 + = 1 1 − x5 Hàm sinh cho số cách chọn quả cam (nhiều nhất 4 quả) là: 1 − x5 C(x) = 1+ x + x + x + x = 1− x 2 3 4 Hàm sinh cho số cách chọn quả đào... THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG KẾT LUẬN Đề tài đã trình bày vấn đề : “Hàm sinh thường và ứng dụng” với những nội dung chính sau: 1 Chương 1 Đại cương về tổ hợp Trình bày các kiến thức cơ bản về tổ hợp và một số bài toan nổi tiếng 2 Chương 2 Hàm sinh thường Phát biểu và đưa ra một số ví dụ về hàm sinh thường 3 Chương 3 Ứng dụng hàm sinh thường... đầu xây dựng phương pháp giả các phương trình sai phân đơn giản NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 19 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến.Giáo trình Lý thuyết tổ hợp [2] Kenneth H Rosen Toán học rời rạc và ứng dụng trong tin học, nhà xuất bản thống kê 2002 [3] Một số tài liệu trên internet khác NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP... thức truy hồi tuyến tính thuần nhất hệ số hằng bậc k NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 15 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 3.3.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính bằng hàm sinh Nội dung của phương pháp này là tìm công thức tường minh cho hàm sinh liên đới Nghĩa là giả sử ta giải công thức truy hồi, tức là ta cần tìm số hạng tổng quát của dãy số {an}... 1).x n =0 n n n =0 n n=0 n ∞ ( ) = ∑ 2 n − n x n n =0 Vậy an = 2n – n NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 17 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Bài toán 4 Giải công thức truy hồi an = 2an-1 – an-2 + n.2n-1 & a0 = 0, a1 = 1 ∞ ∑a Giải Giả sử F(x) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(x) = n =0 n xn Ta có ∞ n F(x) = ∑ a n x = a0 + a1x + n =0 ∑ ( 2a ∞ n =2 n −1 ) − a n − 2 + n.2...LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG B(x) = b0 +b1x +b2x2 + … Đặt G(x) = A(x)B(x) = (a0 + a1x +a2x2 + …)( b0 +b1x +b2x2 + …) = a0b0 + (a0b1 + a1b0)x +( a0b2 + a1b1 + a2b0)x2 + (a0b3 + a1b2 + a2b1 + a0b3)x3 + … Khi đó hệ số của xr trong khai triển của G(x) là a0br + a1br-1 + a2br-2 + …+ ar2b2 + ar-1b1 + arb0 (*) Chú ý: Trong các ví dụ ứng dụng hàm sinh để giải bài toán... n ) − 2 n x n Vậy an = 3n + 2n Bài toán 2 Giải công thức truy hồi an = 6an-1 – 11an-2 + 6an-3 & a1 = a2 = 1 NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 16 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Giải Giả sử F(X) là hàm sinh đối với dãy {an}, tức là F(x) = ∞ ∑a n =0 n xn Ta có ∞ n F(x) = ∑ a n x = a0 + a1x + a2x2 + n =0 = x + x2 + 6x ∞ ∑ (6an-1 – 11an-2 + 6an-3).xn n =3 ∞ ∑ an−1 x n−1... + x4 + x5 = x2( 1 + x + x2 + x3) = x2 1− x4 1− x Hàm sinh cho số cách phân phối 12 quả cam thỏa mãn điều kiện đề bài là: NHÓM 10_PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Trang 13 LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG 1 − x5 1 − x5 1− x4 x2 x2 1− x 1− x 1− x 2 x8 1 − x5 1 − x 4 G(x) = A(x)B(x)C(x) = x4 = ( )( (1 − x ) ) 3  1    x −1 3 = x8(1 – 2x5 + x10 (1-x4)  8 12 = (x – x - 2 x 13  1  ... A(n, k) va A(n, k ) = (n − k )! Ví dụ Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có cách chọ học sinh lớp thi học sinh giỏi môn: Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh Giải Mỗi cách chon học sinh 45 học sinh lớp... ) = n! k!.(n − k )! Ví dụ Một lớp học có 45 học sinh Hỏi có cách chọn học sinh lớp thi học sinh giỏi? Giải Mỗi cách chon học sinh 45 học sinh lớp ứng với tổ hợp 45! chập 45 Vậy có C... Trang LÝ THUYẾT TỔ HỢP HÀM SINH THƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG Chương HÀM SINH THƯỜNG 2.1 Định nghĩa hàm sinh thường Cho dãy số thực (ar)r = ( a0 , a1 ,a2 , …) va biến x Hàm sinh thường dãy ( a0 ,