Tìm hiểu về hàm sinh mômem, hàm đặc trưng và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ——————————o0o—————————— NGUYỄN THỊ HIỀN TÌM HIỂU VỀ HÀM SINH MƠMEN HÀM ĐẶC TRƯNG VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS.TRẦN MINH TƯỚC HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp hồn thành kết q trình học tập, tích lũy kinh nghiệm hướng dẫn đạo tận tình TS Trần Minh Tước Em tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy Đồng thời em xin chân trọng cảm ơn thầy cô giáo khoa đặc biệt thầy tổ tốn ứng dụng tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho em suốt thời gian học tập thực khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Nguyễn Thị Hiền i LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em hồn thành nhờ lỗ lực cố gắng thân, bảo tận tình TS Trần Minh Tước, ý kiến đóng góp thầy tổ, khoa bạn nhóm Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài em tự nghiên cứu, tìm hiểu trích dẫn trung thực từ tài liệu tham khảo.Những nội dung chưa cơng bố khóa luận Sinh viên Nguyễn Thị Hiền ii Mục lục HÀM SINH MƠMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 1.1 Hàm sinh mơmen 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tính chất hàm sinh mơmen 1.1.3 Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp 1.1.4 Lũy thừa hàm sinh mômen môt số biến ngẫu nhiên 1.1.5 Hàm sinh mômen vectơ ngẫu nhiên 1.2 Hàm đặc trưng 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Hàm đặc trưng số biến ngẫu nhiên 3 7 10 10 11 17 ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 2.1 Ứng dụng hàm sinh mômen 2.1.1 Tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên 2.1.2 Tính kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên 2.1.3 Chứng minh hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 2.2 Ứng dụng hàm đặc trưng 2.2.1 Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên 2.2.2 Tìm kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên 2.2.3 Phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lâp 20 20 20 22 23 26 26 28 29 Tài liệu tham khảo 34 LỜI NÓI ĐẦU Tốn học mơn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển toán học đánh dấu ứng dụng vào việc giải tốn thực tiễn.Trong ngành tốn ứng dụng,Lí thuyết xác suất thống kê toán học ngày phát triển cơng cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học,tâm lí xã hội Xuất phát từ nhu cầu mơn đưa vào giảng dạy hầu hết trường cao đẳng, đại học Dưới góc độ sinh viên sư phạm chuyên ngành Tốn, phạm vi khóa luận tốt nghiêp với mong muốn tìm hiểu sâu mơn xác suất thống kê em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài "Tìm hiểu hàm sinh mômen - hàm đặc trưng ứng dụng" Khóa luận bao gồm chương: Chương Hàm sinh mômen hàm đặc trưng Trong chương này, trình bày khái niệm tính chất hàm sinh mômen, hàm đặc trưng.Giới thiệu hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp, hàm sinh mômen vectơ ngẫu nhiên, hàm đặc trưng số biến ngẫu nhiên sở để nghiên cứu ứng dụng hàm sinh mômen,hàm đặc trưng chương Chương Ứng dụng Chương HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 1.1 1.1.1 Hàm sinh mômen Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X,nếu tồn h > cho ∀t ∈ [−h; h] tồn EetX hàm số MX (t) = EetX gọi hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên X Nhận xét 1.1 Thuât ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ mômen cấp r X, tính từ MX (t) Thật vậy, sử dung khai triển Taylor cho hàm ex ta có ∞ MX (t) = E(etX ) =E i=0 = + tE(X) + (tx)i i! ∞ = i=1 ti E(X i ) i! ( 1.1) t2 E(X ) + 2! Với t = ta có MX (0) = 1.Từ điều kiện tồn MX (t) ta đạo hàm vế (1.1) t t2 MX (t) = E(X) + tE(X ) + E(X ) + (1.2) 2! Cho t = 0, ta MX (0) = E(X).Đạo hàm vế (1.2) t ta M ”X (t) = E(X ) + tE(X ) + Cho t = 0, ta có M ”X (0) = E(X ) Tiếp tục trình ta (r) MX (0) = E(X r ) Khóa luận tốt nghiệp đại học Định nghĩa 1.2 Cho X1 , , Xn biến ngẫu nhiên Khi tồn n h > cho Eei=1 ti Xi tồn với |ti | < h, i = 1, n hàm số n MX1 , ,Xn (t1 , , tn ) = Eei=1 ti Xi gọi hàm sinh mômen đồng thời biến ngẫu nhiên X1 , , Xn Nhận xét 1.2 + Ta có MX1 , ,Xn (0, 0, ,0, ti , 0, ,0) = E(eti Xi ) = MX (ti ) + Nếu X1 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập MX1 , ,Xn (t1 , , tn ) = E et1 X1 +t2 X2 + +tn Xn = E et1 X1 et2 X2 etn Xn n = E(e t1 X1 t2 X2 )E(e tn Xn ) E(e )= MXi (ti ) i=1 1.1.2 Tính chất hàm sinh mơmen Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mơmen MX (t) Khi biến ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b số thực có hàm sinh mơmen MY (t) = etb MX (at) Chứng minh Ta có MY (t) = E(etY ) = E(et(aX+b) ) = etb E(eatX ) = etb MX (at) ⇒ điều phải chứng minh Định lý 1.2 Cho X Y biến ngẫu nhiên độc lập với hàm sinh mômen tương ứng MX (t), MY (t) Khi Z = aX + bY với a, b số thực có hàm sinh mômen MZ (t) = MX (at)MY (bt) Chứng minh Ta có MZ (t) = E(etZ ) = EeaX+bY = E e(at)X e(bt)Y Do X, Y biến ngẫu nhiên độc lập nên suy MZ (t) = E e(at)X E e(bt)Y Nguyễn Thị Hiền = MX (at)MY (bt) K36A SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Định lý 1.3 Cho X1 , X2 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập với hàm n Xi với a1 , a2 , , an sinh mômen tương ứng MXi (t), i = 1; n Đặt Z = i=1 số thực Khi n MXi (ai t) MZ (t) = i=1 Chứng minh n n Ta có MZ (t) = EeiZ Xi = Ee Ee Ee = i=1 i=1 n n tXi tXi i=1 MXi (ai t) = i=1 i=1 1.1.3 n Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp Tính chất 1.1 Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) MX (t) = pet + q n , q = − p Chứng minh n iX Ta có MX (t) = Ee n ik = e Cnk pk q n−k Ckn (et p)k q k = pet + q = k=0 n q = (1−p) k=0 Tính chất 1.2 Nếu X tuân theo phân phối P oi(λ) t MX (t) = eλ(e −1) Chứng minh ∞ iX Ta có MX (t) = Ee = e k=0 kt λ k e−λ k! ∞ −λ =e k=0 t t (λet )k = e−λ eλe = eλ(e −1) k! Tính chất 1.3 • Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) t2 MX (t) = e • Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N (µ, σ ) MX (t) = etµ+ Nguyễn Thị Hiền σ t2 K36A SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Chứng minh • Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) ∞ ∞ MX (t) = EetX t2 x2 −t2 √ etx e e e 2π x2 √ etx e dx = 2π = −∞ −∞ ∞ n t2 −1 √ e (t−x) e dx 2π = −∞ =e ∞ t2 −1 √ e (t−x) dx = e 2π t2 −∞ • X tuân theo phân phối chuẩn N (µ, σ ) ∞ MX (t) = EetX = √ −∞ ∞ √ = −∞ ∞ √ = −∞ 2πσ 2πσ etx e− etx e (x−µ)2 2σ −σ t2 −x2 e 2σ2 e 2πσ dx e− 2σ2 [x−(σ σ t2 t+µ)] −µ2 xµ e σ2 e 2σ2 dx etµ+ σ t2 dx ∞ 2 tµ+ σ 2t √ =e −∞ 2πσ e− 2σ2 [x−(σ t+µ)] dx = etµ+ σ t2 Tính chất 1.4 Nếu X tuân theo phân phối mũ Exp(λ) MX (t) = λ λ−t Chứng minh Ta có +∞ MX (t) = E(e tX +∞ tx )= e λe dx = +∞ −(λ−t)x λx λe λ dx = λ−t e−(λ−t)x dx = λ λ−t Tính chất 1.5 Nếu X tuân theo phân phối Gamma G(α, β) MX (t) = , (1 − βt)α t< β Chứng minh Nguyễn Thị Hiền K36A SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Ta có ∞ MX (t) = Γ(α)β α ∞ etx xα−1 e −x β dx = Γ(α)β α xα−1 e−x (1−βt) β dt Sau đặt x(1 − βt) = y x = y 1−βt , Do dx = dy y ∈ [o, ∞) 1−β ∞ 1 MX (t) = α (1 − βt) Γ(α)β α y α−1 e −α β dy = (1 − β)α Tính chất 1.6 Nếu X tuân theo phân phối U [a, b] MX (t) = et eb − ea t(b − a) Chứng minh +∞ MX (t) = E(etX ) = Ta có etx et dx = eb − ea b−a t(b − a) 1.1.4 Lũy thừa hàm sinh mômen môt số biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3 Lũy thừa hàm sinh mơmen tồn kí hiệu ηX xác định ηX (t) = E(tX ), t ∈ R a Nếu X ∼ B(n, p) ηX (t) = (pt + q)n , t ∈ R, q = − p Thật n n x ηX (t) = t Cnx px q n−x x=0 Cnx (pt)x q n−x = (pt + q)n , = (q = − p) x=0 b Nếu X ∼ P oi(λ) ηX (t) = eλt−λ , t ∈ R Thật ∞ ηX (t) = t e x=0 1.1.5 x −λ λ ∞ x x! =e −λ x=0 (λt)x = e−λ eλt = eλt−λ , t ∈ R x! Hàm sinh mômen vectơ ngẫu nhiên a Nếu biến ngẫu nhiên X1 , , Xk có phân phối đa thức với tham số n p1 , , pk MX1 , ,Xk (t1 , , tk ) = (p1 et1 + · · · + pk etk )n , tj ∈ R, j = 1, k Nguyễn Thị Hiền K36A SP Toán Chương ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 2.1 2.1.1 Ứng dụng hàm sinh mơmen Tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên Phương pháp Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX (x) g(x) hàm đo ∈ R Khi hàm sinh mơmen biến ngẫu nhiên Y = g(X) (nếu tồn tại) ∞ tY etY fY (y)dy MY (t) = E(e ) = −∞ ∞ MY (t) = E(etY ) = E(etg(X) ) = etg(x) fX (x)dx −∞ Trong trường hợp (X1 , X2 , , Xn ) vectơ ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất đồng thời biết Đặt Y = g(X1 , X2 , , Xn ) ta có +∞ +∞ MY (t) = +∞ −∞ −∞ etg(x1 , ,xn ) fX1 , ,Xn (x1 , , xn )dx1 dxn −∞ Từ thông tin hàm sinh mômen MY (t) ta có tìm phân phối xác suất biến ngẫu Y Ví dụ 2.1 Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ B(n, p) Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên Y = n − X 20 Khóa luận tốt nghiệp đại học Giải MY (t) = E[etY ] = E[et(n−X) ] Ta có = etn E[e−tX ] = etn MX (−t) = etn (pe−t + q)n = (qet + p)n , (q = − p) Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên B(n,p) Do ta có Y ∼ B(n, q) Ví dụ 2.2 Cho X,Y biến ngẫu nhiên độc lập giả sử X ∼ N (α, β), Y ∼ N (γ, δ) Tìm hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Z = aX + bY Giải Ta có MZ (t) = E[etZ ] = E et(aX+bY ) = E etaX E etbY (Vì X,Y biến ngẫu nhiên độc lập) = MX (at)MY (bt) = exp atα + α2 t2 β exp btγ + b2 t2 δ 2 = exp (aα + bγ)t + (a2 β + b2 δ) t2 Đây hàm sinh mơmen biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N (aα + bγ, a2 β + b2 δ) Do ta có Z ∼ N (aα + bγ, a2 β + b2 δ) Ví dụ 2.3 Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N (0, 1) Tìm hàm phân phối biến ngẫu nhiên Y = X Giải ∞ 2 etx √ e− x dx 2π MX (t) = E(etY ) = Ta có ∞ ∞ =√ 2π −1 e − 21 x2 (1−2t) ∞ = (1 − 2t) −1 2 = (1 − 2t) dx = √ −1 2π (1 − 2t) −t +∞ e− x (1−2t) −∞ ,t < Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma với 1 tham số r = , λ = 2  1  y − e− y y >  √ 2Γ =⇒ fY (y) =   Nguyễn Thị Hiền y < 21 K36A SP Tốn dx Khóa luận tốt nghiệp đại học Ví dụ 2.4 Giả sử X1 , X2 hàm ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc Tìm phân phối xác suất biến Y1 = g1 (X1 , X2 ) = X1 + X2 Y2 = g2 (X1 , X2 ) = X2 − X1 Giải Ta có MY1 ,Y2 (t1 , t2 ) = E et1 Y1 +t2 Y2 = E et1 (X1 +X2 )+t2 (X2 −X1 ) = E eX1 (t2 −t1 )+X2 (t1 +t2 ) = E eX1 (t2 −t1 ) E eX2 (t2 +t1 ) = MX1 (t2 − t1 )MX2 (t1 + t2 ) = e 2t2 e 2t2 2 Vậy Y1 , Y2 có phân phối chuẩn với µ = 0, σ = =⇒ 2.1.2  y12   fY1 (y1 ) = √ e 4π y2   fY2 (y2 ) = √ e 4π Tính kì vọng phương sai biến ngẫu nhiên + Có biến ngẫu nhiên X với hàm sinh mơmen MX (t).Khi ta có dn MX (t) = = E (X n ) dtn t Thật dn MX (t) dtn = t=0 dn EetX n dt =E t=0 n tX =E X e t=0 dn tX e dtn = E (X n ) + Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , , Xk ) có hàm sinh mơmen MX1 , ,Xk (t1 , , tk ) Khi ta có ∂ n1 +···+nk MX1 , ,Xk (t1 , , tk ) ∂tn1 ∂tnk k = E X1n1 Xknk t1 =t2 =···= tk =0 (với n1 , , nk số nguyên không âm) Ví dụ 2.5 Cho X ∼ B(n, p), (n ∈ N)∗ có MX (t) = pet + q Nguyễn Thị Hiền 22 n , q = − p Khi K36A SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học ta có d MX (t) dt d pet + q dt = t=0 d2 MX (t) dt2 d dt = n = n pet + q n−1 = pet n t e np pet + q = np = EX t=0 t=0 t=0 t=0 n−2 = np (n − pet + q) pet et + pet + q) n−1 t e t=0 = n(n − 1)p2 + np = n2 p2 − np2 + np = EX ⇒ DX = EX −EX = n2 p2 −np2 +np−n2 p2 = np(1−p) = npq (với q = 1−p) t Ví dụ 2.6 Cho X ∼ P oi(λ) với hàm sinh mômen MX (t) = eλ(e −1) , t ∈ R Khi đó, ta có: d MX (t) dt = t=0 d2 MX (t) dt2 = t=0 t d eλ(e −1) dt = λ = EX t=0 t d λet eλ(e −1) dt t t = λ et eλ(e −1) + et eλ(e −1) λet t=0 t=0 = λ(1 + λ) = EX ⇒ DX = EX − EX = λ(1 + λ) − λ = λ2 2 Ví dụ 2.7 Cho X ∼ N (µ, σ ) có hàm sinh mơmen MX (t) = exp µt + σ 2t Khi d MX (t) dt = t=0 σ t2 d exp µt + dt = (µ + σ t) exp µt + d2 MX (t) dt2 = t=0 t=0 σ t2 =µ=EX t=0 σ t2 d (µ + σ t)exp µt + dt = σ t2 d σ exp µt + dt = µ2 + σ2 = t=0 σ t2 + (µ + σ t)exp µt + t=0 EX ⇒ DX = EX − EX = µ2 + σ − µ2 = σ 2.1.3 Chứng minh hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Phương pháp dựa định lí sau Nguyễn Thị Hiền 23 K36A SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp đại học Định lý 2.1 ( Luật yếu số lớn) Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với biến ngẫu nhiên X ∼ N (µ, σ ) Đặt Yn = n1 ni=1 Xi Khi dãy biến ngẫu nhiên Y1 , Y2 hội tụ theo xác suất tới µ Chứng minh n etYn Ta có Myn (t) = E = E exp t n Xi i=1 n t n t E e n Xi = = E e n Xi i=1 n tµ σ t2 + n 2n2 = exp = exp tµ + σ t2 2n σ t2 = etµ ⇒ lim MYn (t) = lim exp tµ + n→∞ n→∞ 2n ⇒ Dãy biến ngẫu nhiên Y1 Y2 hội tụ tới µ Định lí chứng minh Định lý 2.2 ( Luật số lớn Becnulli) Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với biến ngẫu nhiên X ∼ B(1, p) Đặt n Yn = n Xi Khi dãy biến ngẫu nhiên Y1 , Y2 , hội tụ theo xác i=1 suất tới p Chứng minh tYn MYn (t) = E e n = E exp n Xi i=1 n t t E e n Xi = = E e n Xi n i=1 n t = − p + pe n t Khai triển Taylor e n t en = + Nguyễn Thị Hiền t + n ∞ i=2 i! t n 24 i =1+ t + g(n) n K36A SP Toán Khóa luận tốt nghiệp đại học Lại có lim ng(n) = n→∞ ⇒ lim Myn (t) = lim n→∞ n→∞ 1−p+p+ n pt + pg(n) n = ept Đây hàm sinh mômen biến ngẫu nhiên cho p(Y = p) = ⇒ Dãy biến ngẫu nhiên Y1 , Y2 , hội tụ tới p Định lí chúng minh Dưới sử dụng công cụ hàm sinh mômen để chứng minh định lí giới hạn trung tâm Định lý 2.3 (Định lí giới hạn trung tâm) Cho Xn , n = 1, 2, dãy biến ngẫu nhiên đơc lập có phân n phối với µ = EXn , σ = DXn tồn hữu hạn Đặt = Yn = √ X −µ , X = n σ n Xi − nµ √ = σ n n Xi Khi ta có i=1 lim P n→∞ tức i=1 Yn − µ √ n