Tìm hiểu về hàm sinh mômem, hàm đặc trưng và ứng dụng

4 1.1.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp... Sự phát triển của toánhọc được đánh dấu bởi những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bàitoán thực tiễn.Trong ngành to

Khóa luận tốt nghiệp được hoàn thành là kết quả của quá trình họctập, tích lũy kinh nghiệm là sự hướng dẫn chỉ đạo tận tình của TS TrầnMinh Tước.

Em tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến thầy Đồng thời em xinchân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa và đặc biệt là các thầy côtrong tổ toán ứng dụng đã tạo điều kiện giúp đỡ, đóng góp ý kiến cho emtrong suốt thời gian học tập và thực hiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viênNguyễn Thị Hiền

Khóa luận của em hoàn thành nhờ sự lỗ lực cố gắng của bản thân, cùng

sự chỉ bảo tận tình của TS Trần Minh Tước, những ý kiến đóng góp củathầy cô trong tổ, trong khoa và các bạn trong nhóm

Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp đề tài này

em tự nghiên cứu, tìm hiểu và trích dẫn trung thực từ các tài liệu thamkhảo.Những nội dung này chưa được công bố trong bất kì khóa luận nào

Sinh viênNguyễn Thị Hiền

1 HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 3

1.1 Hàm sinh mômen 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Tính chất của hàm sinh mômen 4

1.1.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp 5

1.1.4 Lũy thừa của hàm sinh mômen của môt số biến ngẫu nhiên 7

1.1.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên 7

1.2 Hàm đặc trưng 10

1.2.1 Định nghĩa 10

1.2.2 Tính chất 11

1.2.3 Hàm đặc trưng của 1 số biến ngẫu nhiên 17

2 ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG 20 2.1 Ứng dụng của hàm sinh mômen 20

2.1.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 20

2.1.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 22

2.1.3 Chứng minh sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên 23 2.2 Ứng dụng của hàm đặc trưng 26

2.2.1 Tìm hàm phân phối của biến ngẫu nhiên 26

2.2.2 Tìm kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên 28

2.2.3 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lâp 29

Toán học là môn khoa học gắn liền với thực tiễn Sự phát triển của toánhọc được đánh dấu bởi những ứng dụng của nó vào việc giải quyết các bàitoán thực tiễn.Trong ngành toán ứng dụng,Lí thuyết xác suất và thống kêtoán học ngày càng phát triển và nó là công cụ để giải quyết những vấn

đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học,tâm lí xã hội Xuấtphát từ nhu cầu đó bộ môn này đã được đưa vào giảng dạy tại hầu hết cáctrường cao đẳng, đại học

Dưới góc độ của một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán, trong phạm

vi của một khóa luận tốt nghiêp và với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về

bộ môn xác suất thống kê em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết của mình

về đề tài "Tìm hiểu về hàm sinh mômen - hàm đặc trưng và ứngdụng"

Khóa luận này bao gồm 2 chương:

Chương 1 Hàm sinh mômen và hàm đặc trưng

Trong chương này, trình bày các khái niệm và tính chất của hàm sinhmômen, hàm đặc trưng.Giới thiệu về hàm sinh mômen của một số biếnngẫu nhiên thường gặp, hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên, hàm đặctrưng của một số biến ngẫu nhiên là cơ sở để nghiên cứu ứng dụng củahàm sinh mômen,hàm đặc trưng trong chương 2

Chương 2 Ứng dụng

HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC TRƯNG

Nhận xét 1.1 Thuât ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ mômen cấp rcủa X, có thể được tính từ MX(t) Thật vậy, sử dung khai triển Taylor chohàm ex ta có

i )

= 1 + tE(X) +t

2 E(X2) 2! +

M ”X(t) = E(X2) + tE(X3) +

Cho t = 0, ta có M ”X(0) = E(X2).

Tiếp tục quá trình này ta được

MX(r)(0) = E(Xr).

Định nghĩa 1.2 Cho X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên Khi đó nếu tồntại h > 0 sao cho Ee

+ Ta có

MX1, ,Xn(0, 0, ,0, ti, 0, ,0) = E(eti X i ) = MX(ti)+ Nếu X1, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập thì

1.1.2 Tính chất của hàm sinh mômen

Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là MX(t) Khi

đó biến ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b là các hằng số thực có hàm sinhmômen là

MY(t) = etbMX(at).

Chứng minh

Ta có MY(t) = E(etY) = E(et(aX+b)) = etbE(eatX) = etbMX(at).

⇒ điều phải chứng minh

Định lý 1.2 Cho X và Y là biến ngẫu nhiên độc lập với hàm sinh mômentương ứng làMX(t), MY(t) Khi đó Z = aX + bY với a, b là các hằng số thực



e(bt)Y



= MX(at)MY(bt).

Định lý 1.3 ChoX1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập với các hàmsinh mômen tương ứng làMXi(t), i = 1; n Đặt Z =

1.1.3 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

Tính chất 1.1 Nếu X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) thì

MX(t) = eλ(et−1).Chứng minh

MX(t) = λ

λ − t.Chứng minh

MX(t) = 1

(1 − βt) α , t < 1

βChứng minh

−λ eλt = eλt−λ, t ∈R.

1.1.5 Hàm sinh mômen của vectơ ngẫu nhiên

a Nếu các biến ngẫu nhiênX1, , Xk có phân phối đa thức với các tham số

n và p1, , pk thì MX1, ,Xk(t1, , tk) = (p1et1 + · · · + pketk )n, tj ∈R, j = 1, k

ta có hàm mật độ xác suất đồng thời của (X1, X2) được xác định bởi

f (x1, x2)= 1

2πσ 1 σ 2

p(1 − ρ)2



x2− µ2

σ 2

2#.

Do đó hàm mật độ xác suất được viết dưới dạng ma trận như sau

trong đó µ là vectơ kì vọng và P là ma trận hiệp phương sai của

(1.3)Các số mũ có thể viết như sau

"

2µTt + tTXt − 2tTx + (x − µ)T

−1

X(x − µ)

#.

0 nếu trái lại.

Bổ đề 1.3 Cho g(x) là hàm số xác định trên R và {xn} là dãy số thực.Khi đó nếu

ϕX(t) = Eeitx= E[cos(tX) + i sin(tX)] = E cos(tX) + iE sin(tX),

ta phải chỉ ra E cos(tX) < ∞ và E sin(tX) < ∞

Nếu X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm xác suất pX(x) thì

⇒ E cos (tX) < ∞ ⇒ tồn tại E cos(tX).

Lập luận tương tự ta cũng chỉ ra sự tồn tại của E sin(tX)

Do đó tồn tại hàm đặc trưng ϕX(t) trong trường hợp X là biến ngẫu nhiênrời rạc

Tương tự, ta chỉ ra sự tồn tại hàm đặc trưng ϕX(t) với X là biến ngẫunhiên liên tục

Định nghĩa 1.6 Hàm đặc trưng của vectơ ngẫu nhiênX = (X1, X2, , Xn)được kí hiệu là φX(t1, t2, ,tn) và được xác định bởi

Định lý 1.4 Cho ϕX(t) là hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X.Khi đó

ta có:

1 ϕX(t) = EeitX. Do đó ϕX(0) = Eei0X = E(1) = 1.

2 |ϕX(t)| = EeitX ≤ E eitX = E(1) vì eitX = 1

3 |ϕX(t + h) − ϕX(t)| = .

⇒ lim

h→0 |ϕX(t + h) − ϕX(t)| ≤ lim

h→0 E ethX − 1 = E

hlim

n

∂t n ϕX(t)

t 1 =t 2 = =t n =0

= ikE(XkJ), j = 1, n.

Định lí được chứng minh tương tự như định lí 1.4

Định lý 1.6 NếuX 1 , X 2 , ,X n là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phânphối thì

Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp như sau:

+ Với i = 2 ta có ϕX1+X2(t) = E eit(X1 +X 2
.Do X1, X2 độc lập nên suyra

T

Z

−T

e−itxj ϕ(t)dt (j ≥ 1).

+ Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì

f (x) = lim

h→0 lim

T →∞

1 2π

T

Z

−T

1 − eithith e

(i) Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc

+ Theo Định lí (1.4) thì ϕ(t) là hàm liên tục và e−itxj là liên tục

Z T

−T

eit(xk −x j ) dt + Nhưng

T →∞

1 2T

f(x1,x2, ,xn)(X1, ,Xn)

1.2.3 Hàm đặc trưng của 1 số biến ngẫu nhiên

Tính chất 1.7 Cho X ∼ B(n, p) thì ϕX(t) = (peit+ q)n, với q = 1 − p.Chứng minh



và ϕX

t µ

−t2 2

∞

Z

−∞

e−(Y −it)22 dy = e−t22

Do sin(tx)là hàm lẻ và cos(tx) là hàm chẵn Ta thấy rằngϕX(t) không khả

vi tại t = 0, điều này khẳng định rằng phân phối Cauchy không tồn tại kì

Tính chất 1.12 Cho X = (X1, X2, ,Xk) có phân phối đa thức tức là

ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH MÔMEN VÀ HÀM ĐẶC

TRƯNG

2.1.1 Tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

Phương pháp

Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX(x) và g(x)

là hàm đo được trên ∈ R Khi đó hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên

Ví dụ 2.2 Cho X,Y là các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử X ∼

N (α, β), Y ∼ N (γ, δ) Tìm hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

2 t2β 2

exp

btγ + b

2 t2δ 2



= exph(aα + bγ)t + (a2β + b2δ)t22i.Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

− 1

2 x2dx

= √12π

1

1

2 − t

, t < 1

2.Đây là hàm sinh mômen của biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma vớitham số r = 1

2, λ =

1 2

y−12 e−12 y nếu y > 0

Ví dụ 2.4 Giả sử X1, X2 là các hàm ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc.Tìm phân phối xác suất của biến Y 1 = g 1 (X 1 , X 2 ) = X 1 + X 2 và Y 2 =

2.1.2 Tính kì vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên

+ Có biến ngẫu nhiên X với hàm sinh mômen MX(t).Khi đó ta có

dn

dt n MX(t)

t

= 0 = E (Xn) Thật vậy

dn

dt n MX(t)

... data-page="23">

ỨNG DỤNG CỦA HÀM SINH MƠMEN VÀ HÀM ĐẶC

TRƯNG

2.1.1 Tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên

Phương pháp

Cho X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm. .. class="text_page_counter">Trang 20

1.2.3 Hàm đặc trưng số biến ngẫu nhiên

Tính chất 1.7 Cho X ∼ B(n, p) ϕX(t)... fX(x) g(x)

là hàm đo ∈ R Khi hàm sinh mơmen biến ngẫu nhiên