Tìm hiểu về bài toán trung bình hiệu GINI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Bùi Thị Gấm TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN TRUNG BÌNH HIỆU GINI KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Trung Dũng Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Trong q trình thực khóa luận em nhận nhiều giúp đỡ quý báu bổ ích từ thầy cô bạn bè Em xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn trường Đại học sư phạm Hà Nội tận tâm giảng dạy, truyền thụ kiến thức kinh nghiệm quý báu để em hồn thành tốt khóa luận Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Nguyễn Trung Dũng, thầy trực tiếp hướng dẫn, nhiệt tình giúp đỡ bảo em suốt q trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy tổ tốn Ứng dụng- khoa tốn, thư viện nhà trường, gia đình bạn bè tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ để em hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Bùi Thị Gấm LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan khóa luận "Tìm hiểu tốn trung bình hiệu Gini" kết nghiên cứu hướng dẫn Thầy Nguyễn Trung Dũng Tôi khẳng định kết nghiên cứu khóa luận khơng trùng với kết tác giả Nếu sai sót tơi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Bùi Thị Gấm Mục lục Mở đầu 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên 1.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Kì vọng tính chất 1.2.1 Phương sai tính chất 1.2.2 Ví dụ Một số bất đẳng thức 12 1.3.1 Bất đẳng thức Hermite-Hadamard 12 1.3.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz 12 1.2 1.3 TRUNG BÌNH HIỆU GINI 13 2.1 Trung bình hiệu Gini với hàm phân phối lý thuyết 13 2.1.1 Bài toán mở đầu 13 Trung bình hiệu Gini với hàm phân phối thưc nghiệm 22 2.2.1 Cận theo sai phân tiến 26 2.2.2 Trung bình hiệu Gini sinh hàm 28 2.2 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán ứng dụng phận cấu thành Tốn học, ln gây hứng thú cho người học tính thực tiễn Từ sau viết trung bình hiệu Gini(GMD) nhà toán học người ý Corrado Gini(1912) có nhiều thành tựu tạo Trong khoảng 80 năm GMD trở thành thước đo bất đẳng thức , thước đo sai số thống kê sử dụng kinh tế Với ứng dụng thực tiễn mong muốn tìm hiểu, nghiên cứu sâu toán em chọn đề tài " Tìm hiểu tốn trung bình hiệu Gini" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học cho Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Bài tốn trung bình hiệu Gini Phạm vi : Bài tốn trung bình hiệu Gini với hàm phân phối lý thuyết hàm phân phối thực nghiệm Nhiệm vụ, mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trung bình hiệu Gini, đánh giá chặn trung bình hiệu Gini hai trường hợp hàm phân phối lý thuyết hàm phân phối thực nghiệm Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, internet tài liệu có liên quan Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Bùi Thị Gấm Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Biến ngẫu nhiên phân phối xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian xác suất (Ω, F , P) Ánh xạ X: Ω → R gọi biến ngẫu nhiên ∀B ∈ BR X −1 (B) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ F Định lý 1.1.1 Cho ánh xạ X:Ω → R khẳng định sau tương đương X biến ngẫu nhiên ∀x ∈ R X −1 ((−∞, x)) = {ω ∈ Ω : X(ω) < x} ∈ F ∀x ∈ R X −1 ((−∞, x])= {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} ∈ F ∀x, y ∈ R, x < y X −1 ([x; y)) = {ω ∈ Ω : x ≤ X(ω) < y} ∈ F Chứng minh • (1)⇒ (2) Hiển nhiên X biến ngẫu nhiên nên ⇒ ∀B ∈ BR X −1 (B) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ F Mặt khác, ∀x ∈ R (−∞, x) ∈ B từ (1)⇒(2) • (2)⇒(3) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗ ta có X −1 −∞, x − Ta có n ∈ F ∞ −∞, x − (−∞, x] = n=1 n ∞ ⇒X −1 ((−∞, x]) = X −1 −∞, x − n −∞, x − n n=1 ∞ X −1 = n=1 ∈ F ⇒ X −1 ((−∞, x]) ∈ F • (3)⇒(4) ∀x ∈ R, ∀n ∈ N∗ ta có −∞, x + n ∈ BR X −1 ((−∞, x + )] ∈ F Mặt khác ∞ (−∞, x) = (−∞, x + ] n n=1 ∞ ⇒X −1 ((−∞, x)) = X −1 (−∞, x + ] n n=1 ∞ ⇒X −1 ∞ X −1 = n=1 −1 ([x, y)) = X (−∞, x + ] n n=1 ∈ F ((−∞, y) \ X −1 ((−∞, y) ∈ F • (4)⇒ (1) Ta có BR = σ (C ) C {(x, y) \ x, y ∈ R, x < y} Suy tập B ∈ BR có biểu diễn dạng, B= Ci , Ci B= i∈I i∈I I,I tập số khơng q đếm Ci ,Ci ∈ C ⇒ X −1 (B) = X −1 ( = hay X −1 X i∈I −1 (B) = X = Ci ) i∈I −1 (Ci ) ∈ F ( X X −1 (Ci ) ∈ F X −1 (Ci ) ∈ F Ci ) i∈I −1 (Ci ) ∈ F i∈I Ví dụ 1.1.1 Cho A ∈ F Xét ánh xạX xác định sau  1 ω ∈ A X(ω)=  ¯ 0 ω ∈ A Khi X biến ngẫu nhiên Chứng minh Thật ta có    ∅    X −1 ((-∞, x))= A¯     Ω ⇒ X((−∞, x)) ∈ F ∀x ∈ R ⇒ X biến ngẫu nhiên x ≤ < x ≤ x > 1.1.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa 1.1.2 Phân phối xác suất: Hàm tập PX = P(ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B), B ∈ BR gọi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.1.3 Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất, X: Ω → R biến ngẫu nhiên Khi đó, hàm số F(x) = P(X < x) = P(ω : X(ω) FX (x1 ) Giả sử xn ↑ a Đặt Bn = {ω ∈ Ω : xn ≤ X(ω) < a} ⇒ B1 ⊃ B2 ⊃ · · · ⊃ Bn ⊃ Bn+1 ⊃ ∞ Bn = ∅ n=1 ∞ ⇒ lim P(Bn ) = P( n→∞ Bn ) = P(∅) = n=1 Mặt khác,ta có P(Bn ) = P(ω ∈ Ω : xn ≤ X(ω) < a) = FX (a) − FX (xn ) ⇒ lim P(Bn ) = FX (a) − lim FX (xn ) = n→∞ n→∞ ⇒ lim FX (xn ) = FX (a) n→∞ ⇒ lim FX (x) = FX (a) x→a− Giả sử xn ↓ −∞ Đặt Bn = {ω ∈ Ω : X(ω) < xn } Khi ta có {Bn } dãy đơn điệu giảm ∞ Bn = ∅ n=1 ∞ ⇒ lim P(Bn ) = P( n→∞ Bn ) = P(∅) = n=1 ⇒ lim FX (xn ) = x→∞ ∃n ∈ N∗ cho xn+1 < x < xn ⇒ FX (xn+1 ) ≤ FX (x) ≤ FX (xn ) Vì vậy, cho n → ∞ lim FX (x) = x→−∞ 1.1.3 Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 1.1.5 Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục hàm phân phối xác suất F(x) tuyệt đối liên tục với độ đo Lebesgue đường thẳng x thực Tức FX (x) = −∞ fX (u)du, x ∈ R Hàm fX (x) gọi hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên X = 4E[g(X) − Eg(X)]G(X) E g(X) − g(X ) = 4E[g(X) − Eg(X)][G(X) − a] = 4E[g(X) − b] G(X) − với ∀ a, b ∈ R 2 E X −X = 4E[(X − EX)(GX)] = 4E X G(X) − = 4E (X − EX) G(X) − = 4E[X − EX][G(X) − a] = 4E[X − b] G(X) − với ∀ a, b ∈ R Từ mục trình bày có kết sau Định lý 2.1.1 Ta có bất đẳng thức E X −X ≤ √ Var(X) Đẳng thức xảy X có phân phối đoạn [a,b] Chứng minh Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, Hệ 2.1.1 (2.1.1), ta thu E X − X = 4E[(X − EX)] G(X) − = 4E([E − EX][G(X) − EG(X)]) ≤ VarX.VarG(X) ≤ 12 Var(X) ≤ √ Var(X) Đẳng xảy X G(X) phụ thuộc tuyến tính hay X có phân phối đoạn [a,b] 20 +∞ +∞ (x − y)[G(x) − G(y)]dF(x)dF(y) Mệnh đề 2.1.3 E X − X = −∞ −∞ Chứng minh Theo phần Hệ 2.1.1 ta có +∞ +∞ (x − y)[G(x) − G(y)]dF(x)dF(y) −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ +∞ xG(x)dF(x)dF(y) − =2 −∞ −∞ +∞ +∞ −2 yG(x)dF(x)dF(y) −∞ −∞ +∞ +∞ xG(y)dF(x)dF(y) + −∞ −∞ +∞ =4 −∞ −∞ +∞ +∞ xG(x)dF(x) − −∞ yG(y)dF(x)dF(y) xdF(x) −∞ G(y)dF(y) −∞ = 4EXG(X) − 2EX = 4EX G(X) − = E X −X Mệnh đề 2.1.4 +∞ E X −X = +∞ F(x)[1 − F(x)]dx = −∞ G(x)[1 − G(x)]dx −∞ Chứng minh Theo đẳng thức max{X, X } = có hàm phân phối F , ta có X +X + X − X max{X, X } E X − X = 2E(max{X, X }) − 2EX +∞ +∞ xdF (x) − =2 −∞ +∞ xdF(x) −∞ [1 − F (x)]dx − =2 +∞ +∞ 2 F (x)dx − −∞ +∞ =2 [1 − F(x)]dx + 0 [1 − F(x)]F(x)dx + =2 F(x)[1 − F(x)]dx −∞ F(x)[1 − F(x)]dx −∞ 21 −∞ F(x)dx Mặt khác, tập {x ∈ R : F(x) = G(x)} có nhiều số đếm điểm gián đoạn, ta có +∞ +∞ F(x)[1 − F(x)]dx = −∞ 2.2 G(x)[1 − G(x)]dx −∞ Trung bình hiệu Gini với hàm phân phối thưc nghiệm Để đo phân tán phân bố xác suất, trung bình hiệu Gini số Gini sử dụng rỗng rãi Đặc biệt hàm phân phối thực nghiệm Kí hiệu Fa hàm phân phối thực nghiệm ứng với mẫu a1 ≤ · · · ≤ an có xác suất n Đặt a = (a1 , , an ) a¯ = ∑ n i=1 Định nghĩa 2.2.1 Trung bình hiệu Gini mẫu a = (a1 , a2 , , an ) định nghĩa M(a1 , , an ) = M(Fa ) = 2n n n ∑∑ − a j = j=1 i=1 ∑ − a j n2 1≤i< j≤n R(a1 , , an ) = R(Fa ) = M(a1 , , an ), a¯ số Gini biến a Tính chất Chỉ số Gini a trung bình hiệu Gini mẫu a˜ = ( a1 an , , )(a¯ = a¯ a¯ 0), tức R(a1 , a2 , , an ) = 2n2 n n ∑∑ j=1 i=1 a j − a¯ a¯ Các tính chất số Gini cho phân phối biến không âm: n Cho (a1 , a2 , , an ) ∈ Rn+ với ∑ > Khi i=1 n = R(a, ¯ , a) ¯ ≤ R(a1 , a2 , , an ) ≤ R(0, 0, , ∑ ) = − i=1 R(β a1 , , β an ) = R(a1 , a2 , , an ) ∀β > a¯ R(a1 + λ , , an + λ ) = R(a1 , a2 , , an ) với λ > a¯ + λ 22 1, 1≤i< j≤n n − ∑ p2i i=1   k=1    n−1    ∑ ∆ak k=1 1 + = 1; p q j−1 Chứng minh Vì j > i ta có a j − = ∑ ∆ak , theo bất đẳng thức Holder ta có k=i j−1 a j − ≤ ∑ ∆ak k=i    ( j − i) max   1≤k≤n−1    j−1 ≤ ( j − i)1/p ∑  k=1    n−1    ∑ ∆ak k=1    ( j − i) max   1≤k≤n−1    n−1 ≤ ( j − i)1/p ∑  k=1    n−1    ∑ ∆ak ∆ak , 1\p ∆ak p với p > 1, 1 + = 1; p q với p > 1, 1 + = 1; p q ∆ak , ∆ak p 1/p k=1 Từ định nghĩa trung bình hiệu Gini ta có    max ∆ak pi p j ( j − i) ∑   1≤k≤n−1  1≤i< j≤n−1   1/p  j−1 p 1/p Mp (a) ≤ ∑ ∆ak ∑ pi p j ( j − i)  1≤i< j≤n k=1    n−1    pi p j ∑  ∑ ∆ak k=1 với p > 1, 1 + = 1; p q 1≤i< j≤n−1 ∑ 1≤i< j≤n−1 pi p j = n n ∑ pi p j − ∑ p2k = i, j=1 k=1 Định lý 2.2.3 chứng minh 27 n 1 − ∑ p2k , k=1 Hệ 2.2.3 Với a ∈ Rn , ta có bất đẳng thức   n2 −   max ∆ak ,   n 1≤k≤n−1    j−1 1/p M(a) ≤ ( j − i) ∑ ∆ak ∑  n  1≤i< j≤n k=1    n−1 n   ∑ ∆a  n k=1 k Chứng minh Ta cần tính ∑ 1/p p với p > 1, 1 + = 1; p q ( j − i) 1≤i< j≤n Ta thấy ∑ ( j − i) = + (1 + 2) + (1 + + 3) + · · · + (1 + + · · · + n − 1) 1≤i< j≤n n−1 = ∑ (1 + + · · · + k) k=1 n−1 = k(k + 1) k=1 ∑ n(n2 − 1) = , Và từ Định lý 2.2.3 ta có điều phải chứng minh 2.2.2 Trung bình hiệu Gini sinh hàm Định nghĩa 2.2.3 Trung bình hiệu Gini x = (x1 , , xn ) hàm f xác định điểm xi , i ∈ {1, , n} với dãy số p = (p1 , , pn ), pi ≤ 0, i ∈ {1, , n} n ∑ pi = i=1 Mp ( f , x) := pi p j f (x j ) − f (xi ) ∑ 1≤i< j≤n−1 Ta có số kết Định lý 2.2.4 Cho f : [a, b] → R liên tục [a,b] khả vi (a,b) Nếu tồn số thực dương m, M cho < m ≤ f (x) ≤ M < ∞ với x ∈ [a, b] (2.2.13) Khi với x ∈ [a, b]n ta có bất đẳng thức mMp (x) ≤ Mp ( f , x) ≤ MMp (x) 28 (2.2.14) Chứng minh Sử dụng định lý giá trị trung bình Lagrange’s, với xi , x j ∈ [a, b](i, j ∈ {1, , n}), tồn phần tử ξi, j f (xi ) − f (x j ) = f (ξi, j )(xi − x j ) Do từ (2.2.13) ta suy m xi − x j ≤ f (xi ) − f (x j ) ≤ M xi − x j , (2.2.15) với i, j ∈ {1, , n} Nhân hai vế bất đẳng thức với pi p j ≥ 0, lấy tổng i j với ≤ i < j ≤ n, suy bất đẳng thức cần chứng minh Bằng cách chứng minh tương tự, sử dụng Định lý Cauchy, ta có số kết tốt sau Định lý 2.2.5 Cho f : [a, b] → R liên tục [a, b] khả vi (a, b) với g (x) = cho x ∈ (a, b) Nếu tồn sốn thực dương γ, Λ với 0 1, + = 1; ≤ p 1/q p q [a,b],p  2(q + 1)             g |y − x| , [a,b],1 với x, y ∈ [a, b] Áp dụng bất đẳng thức cho f lại sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có 30 | f (y) − f (x)| − |y − x| f (x) + f (y)    (y − x)2 f ∈ L∞ [a, b]; f   [a,b],∞          1 |y − x|1+1/q f ∈ L p [a, b], với p > 1, + = 1; f ≤ 1/q p q [a,b],p  2(q + 1)             f |y − x| , [a,b],1 với x, y ∈ [a, b] Nếu bất đẳng thức thay y = xi , x = x j , nhân với pi p j ≥ 0, lấy tổng chạy từ ≤ i < j ≤ n, sử dụng bất đẳng thức tam giác ta suy bất đẳng thức cần chứng minh Chú ý 2.2.2 Dễ thấy G2 (p, x) = ∑ 1≤i< j≤n−1 n pi p j (x j − xi ) = ∑ pi xi2 − i=1 n ∑ pixi , i=1 bất đẳng thức Định lý 2.2.6 viết lại sau f σ p (a) [a,b],∞ Với x ∈ [a, b]n ϕ : [a, b] → R ta định nghĩa trung bình khác G(p, f , x) − A(p, f , x) ≤ B(p, ϕ, x) := ∑ pi p j x j − x i ϕ 1≤i< j≤n xi + x j Ta có kết sau Định lý 2.2.7 Cho f : [a, b] → R hàm khả vi cho f liên tục tuyệt đối [a, b] Khi với x ∈ [a, b]n p hàm phân phối xác suất, ta có bất đẳng thức G(p, f , x) − B(p, f , x) 31    G2 (p, x) f ∈ L∞ [a, b], f   [a,b],∞    1    G (p, x) f ∈ L [a, b], với p > 1, f + = 1; p 1+1/q 1/q p q [a,b],p ≤ 2(q + 1)           f G(p, x) [a,b],1 Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức điểm giữa, ta có y g(t)dt − (y − x) g x x+y    (y − x)2 g ∈ L∞ [a, b]; g   [a,b],∞          1 1+1/q |y g g ∈ L [a, b], với p > 1, + = 1; − x| ≤ p 1/p p q [a,b],p  2(q + 1)             g |y − x| , [a,b],1 với x, y ∈ R Bằng cách chứng minh tương tự Định lý 2.2.6 ta thu Định lý 2.2.7 32 Kết luận Với bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu Khoa học nên khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Em mong góp ý thầy, bạn để khóa luận hồn thiện Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô tổ Tốn ứng dụng thầy khoa Toán trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ em trình học tập để thuận lợi cho việc nghiên cứu Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Thầy Nguyễn Trung Dũng người dành cho em hướng dẫn nhiệt tình, chu đáo bảo cho em suốt trình học tập nghiên cứu thực khóa luận Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2014 Sinh viên thực Bùi Thị Gấm 33 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ, xác suất thông kê, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [2] Nguyễn Văn Quảng, giáo trình xác suất, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội [3] Phạm Xuân Bình, On the Gini mean differrence, Acta mathematica VietNamica, (2011),pp 685-694 [4] P.Cerone,S.S.Dragomir, Bounds for the Gini mean difference of an empirical distribution, Elsevier(2006), 283-293 34 ... 12 1.2 1.3 TRUNG BÌNH HIỆU GINI 13 2.1 Trung bình hiệu Gini với hàm phân phối lý thuyết 13 2.1.1 Bài toán mở đầu 13 Trung bình hiệu Gini với hàm phân phối... tìm hiểu, nghiên cứu sâu tốn em chọn đề tài " Tìm hiểu tốn trung bình hiệu Gini" làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Đại học cho Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Bài tốn trung bình hiệu Gini. .. Phạm vi : Bài tốn trung bình hiệu Gini với hàm phân phối lý thuyết hàm phân phối thực nghiệm Nhiệm vụ, mục đích nghiên cứu Nghiên cứu trung bình hiệu Gini, đánh giá chặn trung bình hiệu Gini hai