Tìm hiểu về phương pháp hợp lý cực đại tìm ước lượng điểm

KHOA TOÁN———————o0o——————– HOÀNG THỊ HẰNG TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP HỢP LÝ CỰC ĐẠI TÌM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC Ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học:Th.s NGU

Trang 1

KHOA TOÁN

———————o0o——————–

HOÀNG THỊ HẰNG

TÌM HIỂU VỀ PHƯƠNG PHÁP

HỢP LÝ CỰC ĐẠI TÌM ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC

Ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học:Th.s NGUYỄN TRUNG DŨNG

Hà Nội - 2014

Trang 3

Trước tiên em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo trong khoa Toán

đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, rèn luyện và làmkhóa luận Đặc biệt là thầy cô trong tổ Toán ứng dụng, trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi, đóng góp ý kiến cho em trongquá trình tìm hiểu và nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Nguyễn Trung Dũng, trườngĐại học sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ, chỉ bảo tận tình em trong suốt thờigian thực hiện và hoàn thiện khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và các bạn sinh viên cùngnhóm đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, tạo điều kiện và giúp đỡ trongsuốt quá trình thực hiện và hoàn thiện khóa luận tốt nghiệp

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Hoàng Thị Hằng

Trang 4

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này em đã hoàn thành nhờ sự nỗ lực, cố gắng của bảnthân cùng sự chỉ bảo tận tình của thầy Nguyễn Trung Dũng, những ýkiến đóng góp của thầy cô trong khoa Toán và các bạn trong nhóm

Em xin cam đoan với hội đồng chấm khóa luận tốt nghiệp, đề tàinày của em tự nghiên cứu, tìm hiểu dưới sự giúp đỡ, góp ý, chỉ bảo củathầy hướng dẫn Nguyễn Trung Dũng

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Tìm hiểu về phương pháphợp lý cực đại tìm ước lượng điểm ” không có sự trùng lặp với kếtquả của các đề tài khác

Sinh Viên

Hoàng Thị Hằng

Trang 5

Mở đầu 1

1.1 Mẫu ngẫu nhiên 3

1.1.1 Một số định nghĩa 3

1.1.2 Phân phối mẫu 5

1.2 Ước lượng điểm 11

1.2.1 Một số định nghĩa 11

1.2.2 Một số tính chất 12

1.3 Phương pháp hợp lý cực đại 14

2 MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA 15 2.1 Một số kết quả 15

2.2 Ví dụ minh họa 22

Trang 6

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Thầy Nguyễn Trung Dũng

MỞ ĐẦUTrong Toán học, bộ môn Toán ứng dụng phát triển mạnh mẽ và cónhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ như sinh học,kinh tế đặc biệt là ngành Tài chính.Tìm ước lượng cho các tham ẩnthường gặp trong lĩnh vực này là bài toán rất cần thiết Với đề tài: " Tìmhiểu về phương pháp ước lượng hợp lý cực đại tìm ước lượngđiểm ", khóa luận trình bày phương pháp hợp lý cực đại vào tìm ướclượng điểm cho tham số của một số họ phân phối

Khóa luận gồm 2 chương:

• Chương 1:Tổng quan về ước lượng điểm

Trong chương này trình bày mẫu ngẫu nhiên, ước lượng điểm vàphương pháp hợp lý cực đại

• Chương 2: Một số kết quả và ví dụ minh họa

Trong chương này trình bày một số kết quả tìm ước lượng hợp lý cựcđại của các tham số

Do thời gian có hạn và điều kiện nghiên cứu còn hạn chế nên khóa luậnkhông tránh khỏi những thiếu sót, em rất mong được sự góp ý, chỉ bảocủa các Thầy, các Cô và các bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Trung Dũng, giảng viênkhoa Toán, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã tận tình giảng dạy,hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận Emxin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy

cô trong tổ Toán ứng dụng, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã dạy

dỗ, chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu, hoàn thành khóaluận này

Trang 7

Em xin chân thành cảm ơn !

Sinh Viên

Hoàng Thị Hằng

Trang 8

i) X1, X2, , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập.

ii) X1, X2, , Xn có cùng phân phối xác suất với biến ngẫu nhiênX

Cho (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên quan sát về biến ngẫunhiên X có các đặc trưng µ = EX và σ2 = DX

Định nghĩa 1.1.2 (Trung bình mẫu)

Trung bình mẫu của biến ngẫu nhiên X ứng với mẫu (X1, X2, , Xn)

được kí kiệu là X và được xác định bởi biểu thức

X = 1n

n

X

i=1

Định nghĩa 1.1.3 (Phương sai mẫu)

Phương sai mẫu của biến ngẫu nhiên X ứng với mẫu (X1, X2, , Xn) kí

3

Trang 9

hiệu là s2 được xác định bởi

s2 = 1n

n

X

i=1

Định nghĩa 1.1.4 (Phương sai mẫu hiệu chỉnh)

Phương sai mẫu hiệu chỉnh của biến ngẫu nhiên X ứng với mẫu

(X1, X2, , Xn) kí hiệu là bS2 được xác định bởi

Định lý 1.1.1 Cho (X1, X2, , Xn) là mẫu quan sát về biến ngẫu nhiên

X có các đặc trưng µ = EX, σ2 = DX Khi đó ta có các khẳng định sau:i) EX = µ

ii) Es2 = n − 1

n σ

2.iii) E ˆs2 = σ2

Trang 10

2

= E

h1n

1.1.2 Phân phối mẫu

Định lý 1.1.2 Giả sử X1, X2, , Xn là biến ngẫu nhiên độc lập và Xi

có phân phối N (µi, σi2), i = 1, n Giả sử a1, a2, , an là hằng số thực Khi

đó, phân phối của Y =

Trang 11

Chứng minh Chứng minh Bằng cách cho ai = 1

Hệ quả 1.1.1 Giả sử X1, X2, , Xn là mẫu chọn ngẫu nhiên quan sát về

X ∼ N (µ, σ2) Khi đó, trung bình mẫu X = 1

Định nghĩa 1.1.5 (Phân phối khi bình phương)

Giả sử Z1, Z2, , Zn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phốixác suất với biến ngẫu nhiên N (0, 1) Khi đó biến ngẫu nhiên

Trang 12

Chứng minh Chứng minh trực tiếp bằng Định nghĩa 1.1.5

i=1Zi2 có phân phối khi bình phương với n bậc tự do

Định lý 1.1.4 (Phân phối Student)

Cho Z là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc và U là một biếnngẫu nhiên độc lập với Z và có phân phối khi bình phương với n bậc tự do.Khi đó biến ngẫu nhiên

T = rZ

Un

(1.1.6)

được gọi là phân phối Student với n bậc tự do và được kí hiệu T (n).Định lý 1.1.5 Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên có phân phốiStudent với n bậc tự do là

fT (n)(t) =

Γ(n + 1

2 )

√πnΓ(n

F =

UmVn

Trang 13

n

2)

(mn)m/2fm/2−1(1 + mf

gF (m,n)(x)dx = 1 −

Z a−10

Trang 14

hay sˆ22

σ2 = (X2 − X1)

√2σ2 ∼ χ2(1)

Bây giờ ta chứng minh X2 và ˆs22 là độc lập Vì X2 và sˆ2 là hàm của cácbiến ngẫu nhiênX1+ X2 vàX1− X2 ta chỉ cần chỉ ra X1+ X2 và X1− X2

là các biến ngẫu nhiên Mặt khác, các biến ngẫu nhiênX1+ X2 vàX1− X2

có phân phối chuẩn nên ta chỉ cần chứng minh

Trang 16

1.2 Ước lượng điểm

1.2.1 Một số định nghĩa

Cho X là biến ngẫu nhiên có luật phân phối P (x, θ), dạng của P đã biết,nhưngθ chưa biết và ta cần tìm Việc tìm ra giá trị thực của tham số θ rấtkhó khăn nên chỉ có thể ước lượng θ theo kết quả của mẫu Muốn vậy talấy mẫu (X1, X2, , Xn) lập một đại lượng thống kê bθ(X1, X2, , Xn)

để dùng thay cho θ

Định nghĩa 1.2.1 (Ước lượng điểm)

Đại lượng thống kê bθ(X1, X2, , Xn) dùng để ước lượng θ được gọi

là hàm ước lượng của θ hay còn gọi tắt là ước lượng điểm của θ

b

θ(X1, X2, , Xn) là một biến ngẫu nhiên, với một giá trị cụ thể

(x1, x2, , xn) của mẫu, thì bθ(X1, X2, , Xn) là một điểm trên trục sốthực, điểm ấy dùng thay cho θ vì thế nên bθ(X1, X2, , Xn) được gọi làước lượng điểm của θ Chú ý, bθ chỉ phụ thuộc (X1, X2, , Xn) mà khôngphụ thuộc θ

Bài toán tìm hàm ước lượng được gọi là bài toán ước lượng tham số.Định nghĩa 1.2.2 (Ước lượng không chệch)

Hàm ước lượng bθ(X1, X2, , Xn) được gọi là ước lượng không chệchcủa θ nếu

Eθ(Xb 1, X2, , Xn) = θ ∀θ ∈ Θ (1.2.11)Định nghĩa 1.2.3 (Ước lượng vững)

Hàm ước lượng bθ(X1, X2, , Xn) được gọi là ước lượng vững của θ

nếu với bất kỳ ε > 0 cho trước và với bất kỳ θ ∈ Θ ta có

lim

n→∞P|θ(Xb 1, X2, , Xn) − θ| < ε = 1 (1.2.12)Định nghĩa 1.2.4 (Ước lượng hiệu quả)

Hàm ước lượng bθ(X1, X2, , Xn) được gọi là ước lượng hiệu quả của

θ và nếu thỏa mãn các điều kiện:

i) bθ(X1, X2, , Xn) là ược lượng không chệch của θ

ii) Dθ(Xb 1, X2, , Xn) ≤ D(T (X1, X2, , Xn)với T (X1, X2, , Xn)

là ước lượng không chệch bất kỳ của θ

Trang 17

Định nghĩa 1.2.5 (Lượng thông tin Fisher)

i) Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc với hàm xác suất P (X = x)

= P (x, θ) phụ thuộc vào tham số θ Lượng thông tin Fisher về tham

số θ chứa trong một quan sát được định nghĩa bởi

Trang 18

Định lý 1.2.3 Nếu bθ(X1, X2, , Xn) là hàm ước lượng của θ sao choi) θ(Xb 1, X2, , Xn) là ước lượng không chệch của θ hay tiệm cậnkhông chệch, tức là

lim

n→∞[Eθ(Xb 1, X2, , Xn) − θ] = 0,

ii) limn→∞Dθ(Xb 1, X2, , Xn) = 0,

thì bθ(X1, X2, , Xn) là ước lượng vững của θ

Chứng minh Trước hết, ta xét trường hợp bθ(X1, X2, , Xn) là ước lượngkhông chệch của θ Theo bất đẳng thức Chebyshev ta có:

Định lý 1.2.4 Định lý Cramer - Rao

Cho mẫu(X1, X2, , Xn) lấy từ biến ngẫu nhiênX có hàm mật độf (x, θ)

thỏa mãn một số điều kiện nhất định (thường được thỏa mãn trong thựctế) và bθ(X1, X2, , Xn) là một ước lượng không chệch bất kỳ của θ thì

D[θ(Xb 1, X2, , Xn)] ≥ 1

n.E{∂lnf (X, θ)

∂θ }2

= 1nI(θ).

Trang 19

Chú ý 1.2.1 Nếu bθ(X1, X2, , Xn) là ước lượng không chệch cho tham

Giả sử X là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất f (x, θ) trong

đóf đã biết còn θ chưa biết Để ước lượng θ, ta lấy mẫu (X1, X2, , Xn)

và lập hàm

L(θ) = f (X1, θ) f (Xn, θ) (1.3.13)Tìm bθ(X1, X2, , Xn) sao cho

∂lnL(θ)

Phương trình (1.3.16) được gọi là phương trình hợp lý và mọi nghiệm của

nó nếu thỏa mãn (1.3.14) hay (1.3.15) đều là ước lượng hợp lý cực đại của

θ Thông thường người ta tìm ước lượng hợp lý cực đại dưới dạng nghiệmcủa (1.3.16)

Định lý 1.3.1 Cho bθ là ước lượng hợp lý cực đại cho θ và h(θ) là hàmcủa θ Khi đó ước lượng hợp lý cực đại cho h(θ) là

d

h(θ) = h(θ).bKết quả này là tính chất bất biến của ước lượng hợp lý cực đại

Trang 20

Chương 2

MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA

2.1 Một số kết quả

Định lý 2.1.1 Cho (X1, X2, , Xn) là mẫu quan sát về biến ngẫu nhiên

X ∼ N (µ, σ2), trong đó µ và σ2 là các tham số chưa biết Khi đó ướclượng hợp lý cực đại cho µ và σ2 tương ứng là µ = Xb và cσ2 = s2

Trang 22

⇒ IX(λ) = Eh− n + n.X

λ

i2

= nλ

Trang 23

⇒ DX = 1

IX(λ)

⇒λ = X.bVậy bλ = X là ước lượng hiệu quả cho λ

Định lý 2.1.3 Cho (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên quan sát về biếnngẫu nhiên X ∼ B(1, p) trong đó p là tham số chưa biết Khi đó ước lượnghợp lý cực đại cho plàp = Xb Hơn nữa p = Xb là ước lượng hiệu quả cho p

Trang 24

= np(1 − p).

⇒ DX = 1

IX(p).

Vậy theo Định lý Cramer - Rao thì p = Xb là ước lượng hiệu quả cho p.Định lý 2.1.4 Cho (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên được rút ra từphân phối G(1, β) Khi đó ước lượng hợp lý cực đại cho β cũng là ướclượng hiệu quả cho β

Chứng minh Xét hàm hợp lý

L(β) = 1

βne

− P n i=1

Trang 25

⇒ Theo Định lý Cramer - Rao thì bβ là ước lượng hiệu quả cho β.

Định lý 2.1.5 Cho (X1, X2, , Xn) là mẫu ngẫu nhiên được rút ra từphân phối mũ với tham ẩn λ(λ > 0), µ = λ−1 Khi đó µ = Xb là ước lượnghợp lý cực đại cho µ và cũng là ước lượng hiệu quả cho µ

Trang 26

Chứng minh Thật vậy, X có phân phối mũ có hàm mật độ xác suất

⇒µ = Xb là ước lượng hợp lý cực đại cho µ

Trang 28

Sau đó chia khoảng số liệu theo các bước như sau:

• Xác định ranh giới mỗi nhóm

Ranh giới dưới của nhóm 1 là: 152 − 13

2 = 145, 5.

Ranh giới trên của nhóm 1 là: 145, 5 + 13 = 158, 5

• Điểm đại diện của nhóm 1 là: 145, 5 + 158, 5

2 = 152.

• Tần số của nhóm 1 là 4

Các nhóm khác được làm tương tự Khi đó, ta có bảng sau:

TT Khoảng Ranh giới Điểm đại diện(Xi) Tần số(mi)

Trang 30

Trước hết, ta xếp lại bảng số liệu theo thứ tự từ bé đến lớn như sau:

Trang 31

• Xác định ranh giới mỗi nhóm.

Ranh giới dưới của nhóm 1 là: 14, 2 − 1

2 = 13, 7.

Ranh giới trên của nhóm 1 là: 13, 7 + 13 = 14, 7

• Điểm đại diện của nhóm 1 là: 13, 7 + 14, 7

2 = 14, 2.

• Tần số của nhóm 1 là 2

Các nhóm khác được làm tương tự Khi đó, ta có bảng sau:

TT Khoảng Ranh giới Điểm đại diện(Xi) Tần số(mi)

+ 2.(230, 2 − 16, 8)2 + 1.(21, 2 − 16, 8)2i

≈ 1, 24 (s2)

Trang 32

Vậy trung bình thành tích chạy của mỗi nữ sinh là 16, 8 s

Độ phân tán là 1, 24 s2

Trang 33

KẾT LUẬNTrong quá trình tìm hiểu nghiên cứu khoá luận, em đã bước đầulàm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu quả Qua đó, em đã hệthống lại những lý thuyết cơ bản về phương pháp hợp lý cực đại tìm ướclượng điểm của các tham số như trung bình, phương sai và tỉ lệ Khóaluận này có thể xem như tài liệu tham khảo cho những người quan tâmđến phương pháp hợp lý cực đại tìm ước lượng điểm nói riêng và môn xácsuất thống kê nói chung, đồng thời thấy được sự phong phú và lý thú củatoán học Đó chính là mục đích của đề tài.

Như vậy có thể nói đề tài đã hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu đặtra

Để hoàn thành khoá luận tốt nghiệp này em xin trân trọng cảm ơncác thầy cô trong tổ Toán ứng dụng, các thầy cô trong khoa Toán

Do điều kiện thời gian ngắn và là một sinh viên bước đầu làm quenvới phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót nhất định Vì vậy, em rất mong nhận được nhữngđóng góp của quý thầy cô cùng các bạn đọc để đề tài được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Trang 34

Tài liệu tham khảo

[A] Tài liệu tiếng Việt

[1] Trần Mạnh Tuấn (2004), Xác suất và thống kê lý thuyết và thực hànhtính toán, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội

[B] Tài liệu tiếng Anh

[2] William C Rinaman (1993), Foundations of Probability and Statistics,Saunder College

[3] George G Roussas (1997), A Course in Mathematical Statistics, demic Press

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	283,97 KB