Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng trong môn xác suất thống kê - 2 pdf

Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn Na; 2.. Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1... Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là  Trư

Vậy với độ tin cậy 95%, tối thiểu ứng cử viên A chiếm được 57% số phiếu bầu của

cử tri A

b Khoảng ước lượng của kỳ vọng a trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a; 2 )

Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; 2 )

 Trường hợp đã biết

Xét xác suất P với 1 - là độ tin cậy đã cho Ta có

(2)

Vì X 1 , X 2 ,…, X n là dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn như nhau dạng N(a; 2 ) nên cũng có phân phối chuẩn với kỳ vọng E( ) = a và phương sai

Vì vậy có phân phối chuẩn kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1

Nếu đặt thì từ (2) ta suy ra

và từ đó

Giải ta nhận được khoảng ước lượng của a là

 Trường hợp chưa biết

Tương tự như trường hợp trên ta xét xác suất Biến đổi vế trái

(3)

Ta đã biết là độc lập với nhau; có phân phối chuẩn dạng

N(0;1) và có phân phối 2 (n - 1) với n - 1 bậc tự do

Vì vậy

=

có phân phối Student với n - 1 bậc tự do

Nếu đặt thì từ (3) ta suy ra

hay

Vậy khoảng ước lượng của a với độ tin cậy 1 - là

trong đó t tra ở bảng phân phối Student với n - 1 bậc tự do và mức ý nghĩa

Khi kích thước mẫu n thì phân phối xác suất của tiến tới phân phối chuẩn N(0; 1) Vì vậy với n > 30 (ta xem như kích thước mẫu lớn) ta xấp xỉ

nó với phân phối chuẩn dạng N(0; 1) sao cho

Ví dụ 2.3 Quan sát chiều cao của 100 nam sinh viên trong một khoá học ta có chiều cao trung bình là với độ lệch mẫu S = 8,25 Chứng minh Với

độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng của chiều cao trung bình của nam sinh viên

Giải Do n =100 khá lớn nên t được tra bảng chuẩn Có t = 1,96 Từ đó

 Khoảng ước lượng của phương sai 2 trong mẫu từ phân phối chuẩn N(a;

2

)

Từ kết quả có phân phối 2 với n - 1 bậc tự do ta tìm khoảng ước lượng của 2 bằng cách sau: Tìm t 1 , t 2 sao cho

P[t 1 £ <t 2 ] = 1 -

Ta có thể viết biểu thức ở vế trái của đẳng thức trên dưới dạng

Chọn t 1 , t 2 sao cho P[ 2 > t 1 ] = 1 - và P[ 2 > t 2 ] = Khoảng ước lượng của 2 với độ tin cậy 1 - là

Ví dụ 2.4 Để xác định chiều cao trung bình của các cây bạch đàn trong một khu rừng, tiến hành đo ngẫu nhiên 35 cây và thu được kết quả sau

Chiều cao X

(m)

6,5 – 7,0

7,0 – 7,5 7,5 – 8,0 8,0 – 8,5 8,5 – 9,0 9,0 – 9,5

Giả thiết chiều cao của các cây bạch đàn là đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Với độ tin cậy 95%, xác định khoảng ước lượng cho phương sai DX

Tra bảng tìm được t 1 = = 16,8 và t 2 = = 47 Từ đó