Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng trong môn xác suất thống kê - 1 ppt

Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán ước lượng khoảng 1.. Phương pháp hợp lí cực đại Định nghĩa 1.1.. Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu LX/ X LX/ với mọi.. *X = đ

Phương pháp hợp lý cực đại - Bài toán

ước lượng khoảng

1 Phương pháp hợp lí cực đại

Định nghĩa 1.1 Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ), Î U Hàm L(X/ ) = f(X1, )f(X2, ) … f(Xn, ) được gọi là hàm hợp lí

Định nghĩa 1.2 Thống kê được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của nếu

L(X/ (X) L(X/ ) với mọi

*(X) = được gọi là ước lượng hợp lí cực đại của hàm tham số t( )

Ø Trường hợp một tham số

Để tìm ước lượng hợp lí cực đại, ta có thể sử dụng phương pháp tìm cực đại hàm L(X/ ) mà chúng ta đã từng quen biết Ta biết rằng để cho hàm L(X/ ) có cực trị

địa phương tại = điều kiện cần là Giải phương trình này, tìm các nghiệm của nó sau đó ta xét dấu của đạo hàm hạng nhất hay hạng hai để tìm cực đại hàm L(X/ )

Ví dụ 1.3 Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poisson với tham số > 0 Tìm ước lượng hợp lí cực đại của

Giải Phân phối của Xi là

P[Xi = xi] = ; xi = 0, 1, 2,…

Hàm hợp lý

=> lnL(X, ) = (ln ) - n - ln =>

Vậy nếu =>

Ta lại có

" Vậy tại thì tức là hàm L(X, ) đạt cực đại Từ đó suy

ra là ước lượng hợp lý cực đại của

Ø Trường hợp tham số là một vectơ = ( 1 ,…, r )

Làm tương tự như trường hợp 1 tham số Ta giải hệ phương trình

(*) Giải hệ này ta tìm được

Đặt Nếu ma trận

là xác định không âm thì tại = 0 hàm hợp lí L(X, ) đạt cực đại

Ví dụ 1.4 Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối chuẩn N(a; 2 ) Tìm ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 )

Giải Ta có

=> Lnf(X i , a, 2 ) =

=> và

Thay vào hệ (*) ta có

=> là ước lượng hợp lí cực đại của (a; 2 )

2 Ước lượng khoảng

Định nghĩa 2.1 Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng ước lượng của tham

số với độ tin cậy 1 - nếu

P[ 1 (X) < < 2 (X)] = 1-

Khoảng ( 1 (X), 2 (X)) được gọi là khoảng tin cậy Giá trị 1- gọi là độ tin cậy Hiệu 1 - 2 gọi là độ chính xác của ước lượng

Chú ý: Thông thường người ta chọn ( 1 , 2 ) sao cho là nhỏ nhất

a Khoảng ước lượng của xác suất p trong phân phối nhị thức

Giả sử k là số lần xuất hiện biến cố A trong dãy n phép thử Bernoulli Giả thiết xác suất biến cố A xuất hiện trong mỗi phép thử là p Xét xác suất;

với 1 - là độ tin cậy cho trước Biến đổi ở vế trái của đẳng thức trên ta có

Đặt x = và thay ở biểu thức dưới căn bậc hai p bằng thì

(1) Mặt khác, theo Định lí Laplace ta có

Trong đó

Suy ra

Từ đó ta có

Vậy nếu cho ta tính được và tra bảng phân phối chuẩn N(0;1) ta tìm được

x

Từ (1) ta có Biến đổi suy ra khoảng ước lượng cho p là

Ví dụ 2.2 Trong đợt vận động bầu cử, phỏng vấn 1600 cử tri được biết 960 người trong số đó sẽ bỏ phiếu cho ứng cử viên A Với độ tin cậy 95% , tối thiểu ứng cử viên A sẽ chiếm được bao nhiêu phần trăm phiếu

Giải Ta có = và x =1,96 Thay vào công thức trên ta có