BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ ppt

Phần xác suất Ch0: Giải tích tổ hợp Ch1: Xác suất các biến cố ngẫu nhiên Ch2: BNN & luật phân phối xác suất Ch3: Một số luật phân phối thường dùng Ch4: Các định lý giới hạn và luật số l

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA GIÁO DỤC CƠ BẢN

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT & THỐNG KÊ

(LƯU HÀNH NỘI BỘ-NĂM 2012)

BIÊN SOẠN: LÊ VĂN TRỌNG

Phần xác suất

Ch0: Giải tích tổ hợp Ch1: Xác suất các biến cố ngẫu nhiên Ch2: BNN & luật phân phối xác suất Ch3: Một số luật phân phối thường dùng Ch4: Các định lý giới hạn và luật số lớn

1 Công thức nhân

Công việc A được chia thành k giai đoạn, giai đoạn thứ i có ni cách hoàn thành i=1 k Vậy số cách để hoàn thành cả công việc A là:

TD1: Có bao nhiêu cách xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo?

Giải: Công việc xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo được chia thành 5 giai đoạn

TD2: Có 5 quả cầu, trên mỗi quả cầu ghi một số từ 1 5 Lầy ngẫu nhiên lần lượt 2

quả cầu Hỏi có bao nhiêu số có 2 chữ số được hình thành từ 2 số trên hai quả cầu được lấy ra?

Giải: Một cách lấy hai quả cầu có thứ tự cho ta một số có 2 chữ số Vậy số có 2 chữ

số là: n=A25=20

TD3: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 8 tốt và 2 xấu Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2

sản phẩm để kiểm tra

a- Có bao nhiêu cách lấy như thế?

b- Có bao nhiêu cách lấy để có đúng một sản phẩm tốt ?

c- Có bao cách lấy có ít nhất một xấu ?

a- Có bao nhiêu số có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho?

b- Có bao nhiêu số chẵn có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho?

c- Có bao nhiêu số chia hết cho 3 có 3 chữ số được hình thành từ các số đã cho?

!n

!k

AC

k n k

C

TD4: Một số có 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số còn lại là 2, 3, 4, 5

a) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 liền nhau

b) Hỏi có bao nhiêu số có 5 chữ số 1 bất kỳ

Giải: a) n1=5 !=120 ; b) n2=C59P4!=3024

TD5: Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu Lấy

ngẫu nhiên 3 sản phẩm, hỏi:

b) Có bao nhiêu cách lấy được 1 tốt?

c) Có bao nhiêu cách lấy được ít nhất 1 xấu?

d) Có bao nhiêu cách lấy để có không quá 2 xấu?

Giải: a) na=C310=120; b) nb=C17C23=21; c) nc=C310-C37=85; d) nd=C310-C33=119

TD6: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo Hỏi:

a) Có bao nhiêu cách xếp?

b) Có bao cách xếp để ngăn kéo nào cũng có sách?

c) Có bao cách xếp để 2 ngăn có số sách bằng nhau?

Giải: a) n1=35=243

b) n2=n1-[C13+C23(25 – C12)]=93

c) n3=35-(C15*3 !+C25*3 !) = 153 (tất cả trừ 2 ngăn có sách)

Bài tập chương 0:

1) Có 5 đội bóng thi đấu, các đội thi đấu vòng tròn một lượt Hỏi phải tổ chức bao

2) Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 30 nữ và 20 nam, giáo viên chủ nhiệm muốn

chọn ngẫu nhiên 4 em vào ban tự quản Hỏi có bao nhiêu cách chọn để được:

3) Một hộp có 10 sản phảm, trong đó có 7 tốt và 3 xấu Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm

Hỏi có bao nhiêu cách lấy để được:

4) Biết 3 tháng cuối năm có 3 trận mưa lớn

a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra?

b) Hỏi có bao nhiêu khả năng để mỗi ngày có không quá một trận mưa lớn?

ĐS: na=C192+C292*2+C392=134044; nb=C392=125580

5) Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may Nếu có ít nhất một con 6 xuất

hiện, thì ngày đó là ngày may mắn

a) Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra trong một tuần?

b) Biết trong tuần qua có 3 ngày may mắn Hỏi có bao nhiêu khả năng có thể xẩy ra?

c) Trong tuần qua có 3 ngày may mắn Hỏi có bao khả năng để những ngày may mắn có không quá một con 6 xuất hiện?

ĐS: na=(65)7; nb=C37(65-55)7; nc=C37(C1554)7

6) a) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người?

b) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho người thứ nhất có đúng 3 tặng phẩm?

c) Có bao nhiêu cách chia ngẫu nhiên 20 tặng phẩm cho 4 người sao cho mỗi người có 5 tặng phẩm?

ĐS: a) n1 = 420; b) n2 = C320x317; c) n3=C520xC515xC510xC55

7) 7.1 Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu?

7.2 Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu sao cho toa thứ nhất có đúng 4 khách?

7.3 Có bao nhiêu cách phân ngẫu nhiên 12 khách lên 3 toa tàu để mỗi toa có 4 khách?

ĐS: 7.1 n1=312; 7.2 n2=C412x28; 7.3 n3=C412xC48xC44



CHƯƠNG 1: XÁC SUẤT CÁC BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN

1 Phép thử và biến cố ngẫu nhiên

2 Quan hệ giữa các BCNN

3 Định nghĩa xác xuất

4 Các công thức tính xác suất

1 Phép thử và biến cố ngẫu nhiên

Phép thử: Phép thử là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà chỉ mô tả

như một quan sát, một thí nghiệm nhằm trắc nghiệm một tính chất X nào đó trên một lớp các đối tượng đồng nhất, gọi là một phép thử T

Phép thử T có nhiều hơn một kết cục liên quan đến tính chất X, khi chưa thử thì không thể biết trước kết cụ nào sẽ xẩy ra, gọi là phép thử ngẫu nhiên Lý thuyết xác suất chỉ quan tâm đến phép thử ngẫu nhiên

Biến cố ngẫu nhiên (BCNN): Một kết cục liên quan đến tính chất X của phép thử T

gọi là một biến cố ngẫu nhiên Ký hiệu A, B, C

TD1: Quan sát một người bắn một viên đạn vào một mục tiêu, tính chất X ta quan tâm

là viên đạn trúng mục tiêu hay không? Là một phép thử ngẫu nhiên

Gọi A là biến cố viên đạn trúng mục tiêu, B là biến cố viên đạn không trúng mục tiêu

là các biến cố ngẫu nhiên

TD2: Gieo một xúc xắc, tính chất X ta quan tâm là số chấm xuất hiện của xúc xắc

Gọi Ai là biến cố mặt i chấm xuất hiện i=1 6; A là biến cố mặt chẵn chấm, B là biến

cố có số chấm lớn hơn 3 là các biến cố ngẫu nhiên…

Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xẩy ra khi thử T, ký hiệu là 

Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xẩy ra khi thử T, ký hiệu là 

TD3: Một hộp có 5 sản phẩm, trong đó có 4 tốt và 1 xấu Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 2

sản phẩm

Biến cố “trong hai sản phẩm lấy ra có ít nhất 1 tốt” là biến cố chắc chắn

Biến cố “trong 2 sản phẩm lấy ra cả hai đều xấu” là biến cố không thể

Biến cố sơ cấp: Là một kết cục cụ thể có thể xẩy ra khi thử T Tập hợp các biến cố sơ

cấp ký hiệu 

TD4: Phép thử gieo đồng thời một xu và một xúc xắc Gọi S, N là biến cố xu xuất

hiện mặt sấp/ngửa, Ai là biến cố xúc xắc xuất hiện mặt i chấm

a) Hãy liệt kê tất cả các biến cố sơ cấp theo S, N, Ai

b) Hãy mô tả một biến cố , 

Giải: a) SA1,SA2 SA6; NA1,NA2 NA6 (12 biến cố sơ cấp)

b) “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 0” là biến cố chắc chắn; “Xúc xắc có số chấm lớn hơn 6” là biến cố không thể

2 Quan hệ giữa các BCNN

Biến cố kéo theo: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra, Khi đó ta nói A kéo theo

B, Ghi AB, đọc A kéo theo B hoặc A thuận lợi cho B

Hai biến cố bằng nhau: Nếu biến cố A xẩy ra thì B cũng xẩy ra và ngược lại, thì ta

nói biến cố A bằng biến cố B, Ghi A=B

Hai biến cố đối lập: Ta nói biến cố đối lập của biến cố A là biến cố A không xẩy ra,

ký hiệu là A

Hai biến cố xung khắc: A,B xung khắc nếu A xẩy ra thì B không xẩy ra và ngược lại

Họ biến cố xung khắc từng đôi: Họ biến cố {A1, A2, An} gọi là xung khắc từng đôi nếu hai biến cố bất kì trong họ đều xung khắc với nhau

Chú ý: Tập các biến cố sơ cấp thì xung khắc từng đôi

Tổng hai biến cố A, B: Là biến cố A xẩy ra hoặc B xẩy ra, ghi A+B

Tích hai biến cố A, B: Là biến cố đồng thời A và B cùng xẩy ra, ghi A.B

Biến cố A hiệu B: Là biến cố A xẩy ra và B không xẩy ra; ghi A-B

i) Họ {Ai} xung khắc từng đơi khi và chỉ khi AiAj= ij j) 1/ A  B  A.B; 2/ A.B  A  B

Chú ý: Tập hợp các biến cố sơ cấp cùng với hai phép tốn cộng và nhân hai biến cố

tạo thành khơng gian các biến cố sơ cấp

TD5: Hai người cùng bắn vào một mục tiêu, mỗi người bắn một viên Gọi Ai là biến

cố người thứ i bắn trúng mục tiêu, i =1,2 hãy viết các biến cố sau theo A1, A2

a) Chỉ cĩ người thứ nhất bắn trúng: A=A A1 2

b) Cĩ đúng một người bắn trúng : B  A A1 2  A A 1 2

c) Cĩ ít nhất một người bắn trúng: C= A1+A2

e) Cả hai Khơng trúng : A A1 2 hoặc A1 A2

TD6: Một lơ hàng cĩ 20 sản phẩm, trong đĩ cĩ 5 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên 3 sản

phẩm để kiểm tra Gọi Ai là biến cố cĩ i phế phẩm trong 4 sản phẩm được kiểm tra, Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai i=0,1,2,3

TD7: Ba người cùng bắn vào một mục tiêu một cách độc lập, mỗi người bắn 1 viên

Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu i=1 3 Hãy biểu diễn các biến cố sau theo các biến cố Ai i=1 3

3 Định nghĩa xác suất các biến cố ngẫu nhiên

3.1 Định nghĩa xác suất theo lối cổ điển

Giả sử T là phép thử cĩ n biến cố sơ cấp cĩ cùng một khả năng xuất hiện như nhau A

là biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T cĩ m biến cố sơ cấp kéo theo A Ta gọi tỷ số m/n là xác suất của biến cố A

P(A)

n Số tất cả các biếncố sơ cấp

TD8: Phép thử gieo một xúc xắc, A là biến cố mặt 2 chấm xuất hiện, B là biến cố mặt

chẵn chấm xuất hiện Tính P(A)=?, P(B)=?

Giải: Số các biến cố sơ cấp của phép thử T là n=6

Số các biến cố sơ cấp kéo theo A là m=1

Số các biến cố sơ cấp kéo theo B là m=3 Vậy P(A)=1/6=0.1666, P(B)=3/6=0.5

TD9: Một hộp cĩ 3 bi xanh và 2 bi đỏ Lấy ngẫu nhiên 2 bi, tính xác suất để:

a) Hai bi lấy ra cùng màu xanh?

b) Hai bi khác màu?

Giải: Phép thử T có số các biến cố sơ cấp n=C25=10

a) A là biến cố 2 bi màu xanh  m=C23=3  P(A)=3/10=0.333

1) Xác suất của biến cố A cho biết khả năng có thể xẩy ra biến cố A khi thử T ở mức

bao nhiêu % P(A)=p nghĩa là tiến hành phép thử T vô hạn lần thì tỷ lệ số lần xuât hiện A bằng p

2) Xác suất của mỗi biến cố sơ cấp đều bằng nhau và bằng 1/n

3) Phép thử T có số biến cố sơ cấp là vô hạn, hoặc các biến cố sơ cấp có khả năng xẩy

ra ở các mức độ khác nhau thì định nghĩa này không tồn tại Để khắc phục thiếu sót này người ta xây dựng khái niệm xác suất theo lối thống kê như sau:

3.2 Định nghĩa theo lối thông kê

Tần suất: Tiến hành phép thử T- n lần độc lập và giả sử có m lần xuất hiện A Ta gọi

số fAn = m/n là tần suất của biến cố A trong n lần thử T

Xác suất: Người ta chứng minh được, khi số lần thử tăng lên vô hạn, thì tần suất fAn

biến thiên xoay quanh một số p (limfAn=p khi n) Ta gọi số p là xác suất của biến

cố A ký hiệu P(A)=p Trong thực tế khi n đủ lớn ta ta có thể coi P(A)=fAn

TD11: Hai nhà bác học Buffon và Pearson tiến hành thí nghiệm gieo một xu và có kết

quả như sau:

Từ 3 thí nghiệm trên ta thấy fSn  0,5 khi n  P(S) = 0.5

TD12: Để tính tỷ lệ suy dinh dưỡng bé sơ sinh tại thành phố HCM, người ta tiến hành

kiểm tra lần lượt 1000 bé (n=1000), trong 1000 lượt kiểm tra thấy có 200 (m=200) bé suy dinh dưỡng.Ta có tần suất bé suy dinh dưỡng tại TP HCM là f1000=20%

Do vậy người ta nói tỷ lệ bé suy dinh dưỡng tại TPHCM là 20%

3.3 Định nghĩa theo lối hình học

T là phép thử có không gian các bién cố sơ cấp , và giả sử tập hợp  có diện tích tương ứng là S, A là biến cố ngẫu nhiên liên quan có diện tích tương ứng là SA Xác suất của bién cố A là:

A S P(A)

S



TD13: Hai người hẹn gặp nhau ở một địa điẻm xác định và khoảng 8 đén 9 giờ sáng,

và quy ước: Người đến trước sẽ đợi người kia 10 phút, sau đó nếu không gặp thì sẽ đi khỏi điểm hẹn Tính xác suất để hai người gặp nhau, nếu biết rằng mỗi người có thể đến chỗ hẹn trong khoảng thời gian quy định một cách ngẫu nhiên và không phụ thuôic vào người kia đến lúc nào

Giải: gọi x là thời điểm ngươiì thứ nhất đến điểm hẹn, y là thời điểm người thứ hai

đến điểm hẹn (đơn vị là phút)  hai người gặp nhau khi và chỉ khi |x-y|≤10

Ta biể diễn x,y trên mặt phẳng tọa độ vuông góc

Khi đó diện tích của  là hình vuông 60

có cạnh là 60 Diện tích của biến cố

A (hai người gặp nhau là hình chữ nhật S

4 Nếu A, B xung khắc  P(A+B)=P(A)+P(B)

5 Nếu họ {Ai} với i=1,2, ,n xung khắc từng đôi thì:

3.5 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:

Những biến cố có xác suất rất nhỏ p0, thì có rất ít khả năng xẩy ra khi thử T Khi đó người ta cho rằng biến cố này không xẩy ra (nguyên lý xác suất nhỏ)

Ngược lại một biến cố có xác suất lớn p1, thì có rất nhiều khả năng xẩy ra khi thử T Khi đó người ta cho rằng biến cố này sẽ xẩy ra khi thử T (nguyên lý xác suất lớn) Thường P(A)<0,0027 được coi là có xác suất nhỏ và P(A)> 0,9973 được coi là xác suất lớn

BT1: Một hộp có 10 bi trong đó có 5 đỏ, 3 trắng và 2 vàng Lấy ngẫu nhiên 3 bi Tính

BT3: Xếp 5 cuốn sách vào 3 ngăn kéo Tính xác suất để:

a) Ngăn kéo nào cũng có sách

b) Có 2 ngăn kéo có số sách bằng nhau

ĐS: a) P(A)=150/243; b) P(B)=153/243

BT4/ Ba công nhân A, B, C cùng kỹ năng cùng tay nghề thay nhau sản xuất một loại

sản phẩm Trong số sản phẩm họ làm ra trong một tháng có 4 phế phẩm Tính xác suất

BT6/ Một người sáng nào cũng gieo 5 xúc xắc để cầu may Nếu có ít nhất một con 6

xuất hiện, thì ngày đó là ngày may mắn Biết rằng trong tuần qua người đó có 3 ngày may mắn Tính xác suất trong những ngày may mắn có không qua một con 6 xuất hiện

Mở rộng nếu họ {Ai} không xung khắc từng đôi:

TD14: Một lớp có 50 học sinh, trong đó có 20 giỏi toán, 15 giỏi văn, 20 giỏi sinh ngữ,

10 giỏi cả 2 môn toán và sinh ngữ, 12 giỏi cả 2 môn văn và sinh ngữ, 5 giỏi cả 2 môn toán và văn, và 3 giỏi cả 3 môn Lấy ngẫu nhiên từ danh sách ra một em, tính xác xuất

để học sinh này giỏi ít nhất một môn

Giải: Gọi T là biến cố lấy được học sinh giỏi toán

V là biến cố lấy được học sinh giỏi văn

S là biến cố lấy được học sinh giỏi sinh ngữ

A là biến cố lấy được học sinh giỏi ít nhất một môn

 A=T+V+S  P(A)=P(T)+P(V)+P(S)-P(TV)-P(TS)-P(VS)+P(TVS)=31/50

TD15: Một chủ khách sạn gửi ngẫu nhiên 3 chiếc mũ bị bỏ quên cho 3 vị khách vì

không biết mũ nào của ai Tính xác suất để:

a) Không ai nhận được mũ của mình (A)

TD16: Hai công ty A, B cùng kinh doanh một mặt hàng Biết khả năng thua lỗ của A

là 10% và B là 20% và cả hai cùng thua lỗ là 5% tính xác suất chỉ có một công ty bị thua lỗ

Giải: Gọi A là biến cố công ty A thua lỗ, B là biến cố công ty B thua lỗ, F là biến cố

4.2 Công thức xác suất điều kiện, công thức nhân

Hai biến cố độc lập: Hai biến cố A, B độc lập khi và chỉ khi, biến cố này xẩy ra hay

không xẩy ra không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia và ngược lại

Họ độc lập hoàn toàn: Họ biến cố {Ai} i=1 n gọi là độc lập hoàn toàn nếu một biến

cố bất kỳ trong họ, đều độc lập với tích của một họ con bất kỳ

TD17: Một hộp có 1 bi xanh, 1 bi vàng, 1 bi đỏ, và 1 bi có 3 màu (xanh, vàng, đỏ),

lấy ngẫu nhiên 1 bi Gọi X, V, D là biến cố lấy được bi có màu tương ứng Khi đó họ X,V,D độc lập từng đôi nhưng không độc lập hoàn toàn

a) Công thức xác suất điều kiện

Xác suất của biến cố A trong điều kiện biến cố B có P(B)>0 đã xẩy ra gọi là xác suất điều kiện Ký hiệu là P(A/B)

TD18: Có 5 hộp sữa trong đó có một hộp kém phẩm chất Người ta kiểm tra từng hộp

cho đến khi phát hiện được hộp kém phẩm chất Tính xác suất để việc kiểm tra dừng lại ở lần thứ 2

Giải: Gọi Ai là biến cố lần thứ i lấy được hộp kém phẩm chất i=1,2 A là biến cố việc kiểm tra dừng lại lần thứ 2 (A1,A2 không độc lập)

Mở rộng nếu {Ai} i=1,2, n là không độc lập hoàn toàn:

P(A1A2 An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2) P(An/A1A2 An-1) (9)

TD19: Hai người cùng bắn một cách độc lập vào một mục tiêu, mỗi người bắn một

viên Biết xác suất bắn trúng của mỗi người tương ứng là 0.7, 0.8, tính xác suất để: a/ Mục tiêu bị trúng đạn (A)

b/ Mục tiêu chỉ có một viên trúng (B)

Giải: Gọi Ai là biến cố người thứ i bắn trúng mục tiêu i=1,2 {A1,A2} độc lập

a/ P(A)= P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)-P(A1A2)=0.94

b/ P(B)=P(A A1 2A A1 2)=P(A A1 2)+P(A A 1 2)=0.38

TD20: Tỷ lệ phế phẩm của một lô hàng là 5% Lấy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm

(có hoàn lại) cho đến khi lấy được phế phảm thì ngừng

a/ Tính xác suất phải lấy đến sản phẩm thứ 3 (A)

b/ Hỏi phải lấy bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một phế phẩm không nhỏ hơn 0.9 (B)

Giải: a/ P(A)=0.952*0.05=0.04513

b/ P(B)=1-P(B)=1-0.95n0.9 n45

TD21: Hai người A,B tổ chức trò chơi gieo một xu và thỏa thuận: A gieo trước, nếu

ngửa thì A đựợc 10đ Nếu sấp thì chuyển cho B gieo, nếu B gieo sấp thì B được 10đ Nếu ngửa thì chuyển cho A gieo tiếp, quá trình cứ tiếp tục như vậy ván chơi kết thúc ngay khi có một người được 10đ Tính xác suất được 10đ của mỗi người

Giải: Gọi A là biến cố A được 10đ, B là biến cố B đựơc 10đ

 A=N+SNN+SNSNN+SNSNSNN+

B=SS+SNSS+SNSNSS+SNSNSNSS+

 P(A)=2P(B)  P(A) = 2/3; P(B) = 1/3

TD22: Một người bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu, cho đến khi có 1 viên đạn đầu tiên

trúng mục tiêu thì ngừng bắn Tìm xác suất để người đó phải bắn đến viên thứ tư, biết xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn là như nhau và bằng 0,7

Giải: Gọi Ai là biến cố viên thứ i trúng mục tiêu i=1,2.3

TD23: Một lô hàng có 100 sản phẩm trong đó có 10 phế phẩm Kiểm tra ngẫu nhiên

lần lượt 3 sản phẩm, nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm được kiểm tra thì không mua

lô hàng Tính xác suất lô hàng được mua (xét cả hia trường hợp lấy có hoàn lại và không hoàn lại)

Giải: Gọi Ai là biến cố lần i lấy được sản phẩm tốt

Có hoàn lại: {Ai} độc lập hoàn toàn

 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.729

Không hoàn lại: {Ai} không độc lập hoàn toàn

 P(A)=P(A1A2A3)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)=0.72653

4.3 Công thức xác suất đầy đủ và bayes

Họ biến cố đầy đủ: Họ {A1,A2, An} là một họ biến cố đầy đủ nếu có ít nhất một biến cố trong họ phải xẩy ra khi thử T, và họ {Ai} xung khắc từng đôi

a) Công thức xác suất đầy đủ:

Nếu {Ai} là họ đầy đủ, F là biến cố bất kỳ thì:

i i

i

P(A )P(F / A ) P(A / F)

P(F)

TD24: Có hai hộp bi mỗi hộp có 5 bi, hộp I có 3 đỏ và 2 trắng, hộp II có 2 đỏ và 3

trắng Lấy một bi từ hộp I bỏ vào hộp II, rồi từ hộp II lấy ngẫu nhiên 2 bi Tính xác suất để:

a/ Hai bi cùng màu

b/ Có ít nhất 1 đỏ

c/ Biết hai bi lấy ra từ hộ II có 1 đỏ Tính xác xuất để bi lấy ra từ hộp I là đỏ

Giải: Gọi A1 là biến cố lấy được bi từ hộp I có màu đỏ, A2 là biến cố lấy được bi từ hộp I có màu trắng; A là biến cố hai bi cùng màu từ hộp II; B là biến cố có ít nhất một

đỏ từ hộp II; C là biến cố có 1 đỏ

P(A)=P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)=32/75=0.4267

P(B)= P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)=29/50=0.58

P(C)= P(A1)P(C/A1)+P(A2)P(C/A2)=43/50=0.86

P(A1/C)=P(A1)P(C/A1)/P(C)=27/43=0.6279

TD25: Một lô hạt giống được phân làm 3 loại Loại I chiếm 2/3 số hạt cả lô Loại II

chiếm 1/4; còn lại là loại III Loại I có tỷ lệ nảy mầm 80%, loại II 60% và loại III 40% Hỏi tỷ lệ nảy mầm chung của lô hạt giống là bao nhiêu?

ĐS: p=0,716

TD26: Tỷ lệ người dân nghiện thuốc lá là 30%, biết tỷ lệ người bị viêm họng trong số

người nghiện thuốc lá là 60% Còn người viêm họng trong số người không hút thuốc

TD27: Một công ty bảo hiểm chia dân cư thành 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung bình, rủi

ro cao Theo thông kê cho thấy tỷ lệ dân cư gặp rủi ro trong một năm tương ứng với các loại trên là 5% 15% 30% và trong toàn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung bình; 30% rủi ro cao

a/ Tính tỷ lệ rủi ro trong một năm (p=0.175)

b/ Nếu một người gặp rủi ro trong một năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro là bao nhiêu? (p=0.2303)

ĐS: a) P(A)=0.175; b) P(B)=0.2303

TD28: Một hộp có 7 sản phẩm, hoàn toàn không biết chất lượng của các sản phẩm

trong hộp này Mọi giả thiết về số phế phẩm có trong hộp làđồng khả năng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thì có 2 phế phẩm

a) Số phế phẩm nhiều khả năng nhất trong các sản phẩm còn lại là bao nhiêu?

b) Nếu lấy thêm một sản phẩm nữa thì khả năng lấy được phế phẩm là bao nhiêu?

HD: a) Gọi Ai là biến cố hộp có i phế phẩm i=0,1,2, 7

A là biến cố 3 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm

 P(A/A0)=P(A/A1)=0; P(A/A2)=5/35; P(A/A3)=12/35; P(A/A4)=18/35;

P(A/A5)=20/35; P(A/A6)=15/35; P(A/A7)=0

 P(A/A5)=20/35 là lớn nhất  số phế phẩm còn lại trong hộp có khả năng xẩy ra nhiều nhất là 3

b) Gọi B là biến cố lấy thêm một sản phẩm nữa được phế phẩm

P(AB/Ai)=0 khi i=0,1,2; P(AB/A7)=0

P(AB/A3)=3/35; P(AB/A4)=9/35; P(AB/A5)=15/35; P(AB/A6)=15/35;

2/ Mỗi lần thử i có xuât hiện A hoặc A

3/ P(A)=p không đổi trong mọi lần thử Ti

Gọi Ai là biến cố lần thử thứ i xuất hiện A i=1,2, n; Bk là biến cố trong n lần thử T có

k lần xuất hiện A; k=0,1,2 n

Công thức xác suất Bernuolli

P(Bk)=Cknpkqn-k (q=1–p) (12)

TD29: Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm do một nhà máy sản xuất là 5% Lấy

ngẫu nhiên 5 sản phẩm kiểm tra (có hoàn lại) Tính xác xuất để trong 5 sản phẩm được kiểm tra có ít nhất một phế phẩm

Giải: Kiểm tra một sản phẩm là một phép thử, kiểm tra 5 sản phẩm ta có một dãy 5

phép thử Bernoulli, với xác suất được sản phẩm tốt là P=0,95i Gọi A là biến cố trong

5 sản phẩm kiểm tra có ít nhất 1 phế phẩm

 P(A)=1-P() = 1- C05p0q5=1-0,955 = 0.2262

TD30: Xác suất bắn trúng mục tiêu bởi một viên đạn của A là 0,7 Hỏi A phải bắn ít

nhất bao nhiêu viên để xác suất mục tiêu có ít nhất một viên trúng lớn hơn hoặc bằng 0,99?

Giải: Giả sử A bắn n viên  xác suất bắn trúng ít nhất một viên là p=1–0,3n  0,3n0,99  0,3n  0,01  n  lg0,3(0,01)=3.82  n=4

1-Bài tập chương 1:

1) Một lô có 20 sản phẩm, trong đó có 2 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lượt 2 sản

phẩm (xét cả hai trường hợp không hoàn lại và có hoàn lại) Tính xác suất để:

a) Cả hai sản phẩm đều là phế phẩm?

b) Trong hai sản phẩm lấy ra có 1 tốt ?

c) Lần thứ 2 lấy được sản phẩm tốt ?

ĐS: a/ Không hoàn lại và có hoàn lại kết quả giống nhau: P(A)=1/190

b/ Không hoàn lại và có hoàn lại kết quả giống nhau: P(B)=18/95

c/ Chỉ xét lấy có hoàn lại: P(C)=9/95

2) Một người gọi điện thoại nhưng quean mất 3 số cuối của máy can gọi, mà chỉ nhớ 3

số đó tạo thành moat con số có 3 chữ số khác nhau và là số chẵn Tính xác suất để ngừoi đó bấm ngẫu nhiên moat lần đúng số can gọi

ĐS: p=1/328

3) Xếp ngẫu nhiên 8 người vào 10 toa xe lửa Tính xác suất để:

a) 8 người ở cùng moat toa

b) 8 người ở 8 toa khác nhau

4) Một loại sản phẩm trên thị trường chỉ do 3 nhà máy sản xuất, tỷ lệ sản phẩm của

các nhà máy tương ứng là: 50%, 30%, 20% Tỷ lệ sản phế phẩm của các nhà máy tương ứng là : 2%, 1%, 1% Mua ngẫu nhiên một sản phẩm, tính xác suất để:

6) Có hai thùng sản phẩm Thùng loại I có 60% sản phẩm loại A, thùng loại II có 40%

sản phẩm loại A Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ một thùng

a) Tính xác suất để được sản phẩm loại A

b) Giả sử sản phẩm lấy ra là loại A Theo ý bạn bao nhiêu % khả năng thùng đã

8) Một kỳ thi xác suất, giáo viên cho 100 câu hỏi ôn tập Sinh viên A đã làm được 80

câu, còn 20 câu không làm được Khi vào thi giáo viên cho chọn ngẫu nhiên 3 câu để làm bài thi, và quy ước nếu A làm được ít nhất 2 câu thì đậu Tính xác suất để A thi đậu

ĐS: p=0.8989

9) Ba công nhân cùng sản xuất một loại sản phẩm Biết xác suất để người thứ nhất và

người thứ 2 làm ra chính phẩm là 0,9, người thứ 3 làm ra chính phẩm là 0,8 Một người trong số đó làm ra 3 sản phẩm, thấy có 1 phế phẩm Tính xác suất để người này làm 3 sản phẩm tiếp theo có 1 chính phẩm

ĐS: p=0.05

10) Một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm, tỷ lệ phế phẩm của xí nghiệp là 5%

Một sản phẩm sản xuất ra được qua 2 trạm kiểm tra độc lập

Ở trạm 1: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 90%, và nhận biết sai một phế phẩm là 3%

Ở trạm 2: xác suất nhận biết đúng một chính phẩm là 95%, và nhận biết đúng một phế phẩm là 98%

Một sản phẩm được đưa ra thị trường nếu qua hai trạm kiểm tra coi là chính phẩm tính xác suất để:

a/ Một phế phẩm được đưa ra thị trường

b/ Một chính phẩm bị loại trong quá trình kiểm tra

c/ Một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên trong số các sản phẩm chưa kiểm tra được đưa ra thị trường

d/ Một sản phẩm được đưa ra thị trường là phế phẩm

HD: Gọi Ai Là phế phẩm được trạm i coi là chính phẩm Bi là chính phẩm được trạm i coi là phế phẩm với i=1,2

11) Khả năng lãi cổ phiếu của công ty A đạt mức 10% trong năm tới phụ thuộc vào tỷ

lệ lãi suất trên thị trường bất động sản như sau:

Dự báo năm tới lãi suất trên thị trường BĐS như sau:

b/ Nếu chưa biết nhóm máu của bêngj nhân Tính xác suất để chọn ngẫu nhiên một người của thành phố Y có thể truyền máu được cho bệnh nhân

c/ Nếu chưa biết nhóm máu của bệnh nhân và một người của thành phố Y đã có thể truyền máu được cho bệnh nhân Tính xác suất để người cho máu này thuộc nhóm

B

ĐS: a) P(A)=0.1375; P(B)=0.69; P(C)=0.4384

13) Một nhà đầu tư phân loại các dự án trong một chu kỳ đầu tư thành 3 loại: ít rủi ro;

rủi ro trung bình; rủi ro cao Tỷ lệ dự án các lọai đó tương ứng là: 20%; 45%; 35% Kinh nghiệm cho thấy tỷ lệ dự án gặp rủi ro khi đầu tư tương ứng là: 5%; 20%; 40%

a/ Tính tỷ lệ dự án gặp rủi ro trong kỳ đầu tư

b/ Nếu một dự án không gặp rủi ro sau kỳ đầu tư, thì khả năng dự án đó thuộc loại rủi ro cao là bao nhiêu?

ĐS: a) P(A)=0.24; b) P(B)=0.2763

14) Một mô hình đơn giản về biến đổi giá chứng khoán như sau: Trong một phiên

giao dịch xác suất giá tăng lên 1 đơn vi là p, và xác suất giảm 1 đơn vị là 1-p, sự thay đổi giá của các phiên giao dịch là độc lập

a/ Tính xác suất sau 3 phiên giao dịch giá tăng so với thời điểm ban đầu 1 đơn

vị

b/ giả sử sau 3 phiên giao dịch giá tăng hơn so với thời điểm ban đầu 1 đơn vị Tính xác suất giá tăng trong phiên thứ 2

ĐS: a) P(A)=3(1-p)p2; b) P(B)=2(1-p)p2

15) Hai đấu thủ A, B chơi cờ Xác suất A thắng là 0.6 trong mỗi ván, ai thắng được 1

điểm, thua 0 điểm Trận đấu kết thúc khi A được 3 điểm trước và A thắng trận, hoặc B được 5 điểm trước và B thắng trận Giả sử các ván đấu không hòa

16) Tỷ lệ mắc bệnh B ở một vùng là 6% Việc chẩn đoán bệnh B được tiến hành theo

hai bước: Nếu chẩn đoán lâm sàng kết luận có bệnh thì sẽ tiến hành xét nghiệm toàn

bộ Khả năng chẩn đoán đúng là 85% đối với người mắc bệnh, và sai đối với người không mắc bệnh là 2% Xét nghiệm toàn bộ độc lập vớichẩn đoán lâm sàng và khả năng kết luận đúng đối với người có bệnh là 99%, chỉ có 1% người không có bệnh bị kết luận là có bệnh

Kiểm tra ngẫu nhiên một người qua hai bước nêu trên, kết luận cuối cùng là người này

có bệnh Tính xác suất kết luận bị sai

HD: Gọi B1 người này mắc bệnh B; B2 người này không mắc bệnh B; A là biến cố kết luận lâm sàng có bệnh; B là biến cố xét nghiệm toàn bộ kết luận có bệnh

Xác suất cần tìm là: P(B2/AB)=P(B2).P(AB/B2):P(AB)=?

P(AB/B1)=P(A/B1)P(B/B1)=0.8415; P(AB/B2)=P(A/B2)P(B/B2)=0.0002

P(AB)=0.050678

17) Một hộp có 6 sản phẩm hoàn toàn không biết chất lượng các sản phẩm trong hộp

này Mọi giả thiết về số sản phẩm tốt có trong hộp được xem là đồng khả năng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 sản phẩm để kiểm tra thì thấy có 2 sản phẩm tốt Theo bạn thì khả năng nhiều nhất có bao nhiêu sản phẩm tốt có trong 3 sản phẩm còn lại trong hộp?

ĐS: Số sản phẩm tốt còn lại trong hộp có khả năng nhiều nhất là 2



CHƯƠNG 2: BIẾN NGẪU NHIÊN

VÀ CÁC QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1 Các khái niệm về biên ngẫu nhiên

2 Các quy luật phân phối xác suất của BNN X

Như vậy BNN X là một hàm số thực, xác định trên không gian các biến cố sơ cấp ,

và thoả điều kiện mỗi tập con [X<x] của tập số thực R đều tương ứng với một biến cố ngẫu nhiên liên quan đến phép thử T

Cho BNN X liên quan đến phép thử T, khi đó các biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T

có thể ghi: [X=x], [X<x], [Xx], [a<X=b]

TD1: Một hộp có 10 sản phẩm trong đó có 8 tốt và 2 xấu Phép thử lấy ngẫu nhiên 3

sản phẩm, gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm được lấy ra X là BNN nhận 3 giá trị {1, 2, 3}

Phép thử điều tra sức khỏe các bé sơ sinh tại TP HCM Gọi X là trọng lượng của bé (đơn vị là kg) X là BNN có thể nhận các giá trị x[1, 7]

Khảo sát lượng khách hàng giao dịch tại ngân hàng A Gọi X là số khách hàng đến giao dịch tại ngân hàng trong một ngày  X={0,1, 2,…, n} cũng là một BNN

Trong phép thử gieo xúc xắc, gọi A là biến cố mặt 1 chấm xuất hiện thì ta có thể ghi A=[X=1], biến cố mặt chẵn chấm B=[X=2]+[X=4]+[X=6] …

Trong phép thử lấy 3 sản phẩm của 10 sản phẩm, các biến cố lấy được i sản phẩm tốt,

có thể ghi [X=i] Biến cố lấy được không quá 2 tốt là [X=2]

1.2 Phân loại BNN

Dựa vào tập các giá trị có thể có của X, người ta chia các BNN thành 2 loại

a) BNN rời rạc: Là BNN chỉ nhận một số hữu hạn, hoặc vô hạn đếm được các

X là cân nặng (đơn vị kg) của các bé sơ sinh VN  X nhận các giá trị x(1,7) là một BNN liên tục

X là năng suất lúa ở đồng bằng sông cửu long (đơn vị tấn/ha/vụ)  X nhận các giá trị x(0,10) là BNN liên tục

1.3 Hai BNN độc lập

Hai BNN X, Y gọi là độc lập nếu các biến cố [X<x], [Y<y] luôn độc lập với mọi x,yR

TD3: Trong phép thử gieo đồng thời một xu và một xúc xắc Gọi X là số chấm của xu

(xu gồm 2 mặt 1 chấm, 2 chấm), Y là số chấm của xúc xắc Khi đó X, Y là hai BNN độc lập

X là chiều cao, Y là cân nặng của bé sơ sinh ở TPHCM Khi đó X, Y là hai BNN không độc lập

1.4 Các phép toán trên các BNN

Mỗi BNN thực chất là một hàm số, nên có thể thực hiện các phép toán trên các biến

cố ngẫu nhiên như cộng, trừ, nhân, chia, lấy hàm hợp các BNN sẽ cho ta một BNN mới gọi là hàm của các BNN

Các trường hợp đơn giản của hàm các biến ngâu nhiên là các phép toán trên các biến ngẫu nhiên: XY, X.Y, X/Y, X2

TD4: Có 2 hộp sản phẩm, mỗi hộp có 10 sản phẩm, hộp thứ i có i phế phẩm Lấy

ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 2 sản phẩm, gọi X là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp 1, Y là số phế phẩm trong 2 sản phẩm lấy ra từ hộp 2

a) Xác định các giá trị của X={0,1}, Y={0,1,2}

b) Hai BNN X,Y có độc lập với nhau hay không?

c) Xác định các giá trị nhận được của: X+Y, X.Y

2 Luật phân phối của BNN X

Để xác định một BNN X, ta phải biết BNN ấy nhận những giá trị nào, và nó nhận các giá trị ấy với xác suất tương ứng là bao nhiêu?

Mọi hệ thức cho phép biểu diễn mối quan hệ giữa các giá trị có thể có của BNN X, với xác suất tương ứng của nó gọi quy luật phân phối của BNN X

Luật phân phối của BNN X thường được thể hiện dưới 3 hình thức: Hàm phân phối xác suất, Bảng phân phối xác suất cho BNN rời rạc; hàm mật độ xác suất cho BNN liên tục

2.1 Hàm phân phối xác suất

a) Định nghĩa: Cho BNN X, hàm số F(x)=P[X<x] xác định x(-; +) là hàm

phân phối xác suất của BNN X

b) Các tính chất:

1) 0=F(x)= 1 x

2) Nếu mọi x1<x2 thì F(x1)=F(x2) (F(x) là hàm đơn điệu tăng

3) F(x) liên tục trái tại xR

4) LìmF(x)=0 khi x-; LimF(x)=1 khi x+

5) P[t1X<t2] = F(t2)-F(t1) t1t2R

TD5: Phép thử gieo một xu, gọi X là đại lượng nhận giá trị 0 nếu xu sấp, nhận giá trị

1 nếu xu ngửa X là BNN có hàm phân phối xác suất của X là:

1 x 0 2 1

0 x 0 x

F ( ) /

2.2 Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạc

Định nghĩa: Giả sử BNN X rời rạc, nhận các giá trị x1<x2< <xk< <xn, P[X=xi] = pi

Ta gọi bảng sau là bảng phân phối xác suất của BNN X

Chú ý: Bảng trên là bảng phân phối xác suất của một BNN nào đó khi và chỉ khi thoả

mãn hai điều kiện sau:

1/ x1<x2 < <xk< <xn

2/ 0=pi=1 i=1 n, và pi

i n

Giải:

TD7: Các sản phẩm của nhà máy sau khi sản xuất xong được đóng thành từng kiện,

mỗi kiện có 10 sản phẩm Gọi X là số sản phẩm loại I có trong mỗi kiện, cho biết X có quy luật phân phối xác suất như sau:

Giải: a) Gọi A là biến cố lấy được 2 loại I

Gọi A1 là biến cố lấy được hộp có 7 loại I

A2 là biến cố lấy được hộp có 8 loại I

A3 là biến cố lấy được hộp có 9 loại I

2.3 Hàm mật độ xác suất của BNN liên tục

a) Định nghĩa: Giả sử X là BNN liên tục có hàm phân phối xác suất là F(x) Ta gọi

4

x / F(x) f(t)dt

3.1 Kỳ vọng của BNN X ký hiệu là E(X)=

a) Kỳ vọng của BNN rời rạc: Giả sử X là BNN rời rạc có bảng phân phối xác suất:



b) Kỳ vọng của BNN liên tục: Giả sử X là BNN liên tục nhận các giá trị trên khoảng

(-,+), có hàm mật độ xác suất f(x) Ta gọi số E(X) xf(x)dx

X là cân nặng của bé sơ sinh, thì EX là cân nặng trung bình của các bé

X là năng suất lúa ở đồng bằng sông Cửu Long, thì EX là năng suất lúa trung bình

X là lợi nhuận thu được hàng năm khi đầu tư một vốn vào một dự thì EX làlợi nhận trung bình

d) Các tính chất của kỳ vọng:

1) Nếu X=a (là BNN hằng), thì E(X)=a

TD11: Hai người thoả thuận gieo một xúc xắc nếu xuất hiện 6 chấm người gieo được

10đ, mặt 2,3,4,5 được 1đ, mặt 1 chấm mất 15đ Gọi X là số tiền được thua trong một ván chơi X là BNN nhận ba giá trị {-15, 1, 10}

Vậy số tiền được mất trung bình trong một ván chơi là E(X)=0.5đ, nhưng trung bình

số học của X ta có m=4/3đ

TD12: Giả thiết nền kinh tế phát triển theo 3 mức độ: Trì trệ, tăng trưởng trung bình,

tăng trưởng khá với xác suất tương ứng là: 0.3, 0.5, 0.2

Công ty có một lượng vốn M, đang khảo sát để quyết định xem nên chọn giải pháp nào trong 3 giải pháp kinh doanh sau: Mua cổ phiếu, trái phiếu, hay kinh doanh bất động sản Nếu công ty A mua cổ phiếu, khi nền kinh tế trì trệ thì giá cổ phiếu giảm công ty sẽ bị lỗ 100 triệu Khi nền kinh tế tăng trưởng bình thường thì lãi 70 triệu Khi nền kinh tế tăng trưởng khá thì lãi 120 triệu Lỗ lãi tương ứng khi mua trái phiếu: lỗ

40 triệu, lãi 50t, lãi 90t Nếu kinh doanh bất động sản thì lỗ lãi tương ứng: lỗ 150t, lãi 40t, lãi 180t

Gọi X1, X2, X3 là số tiền lỗ, lãi khi kinh doanh loại hình tương ứng Tính kỳ vọng của

3.2 Phương sai của BNN X ký hiệu V(X)= 2

a) Định nghĩa: Phương sai của BNN X là số:

V(X)=E(X–)2= E(X2)–2; trong đó =E(X)Nếu X là BNN rời rạc thì:

2 2 2V(X) (x ) f(x)dx x f(x)dx

Ý nghĩa: Phương sai là sai số bình phương trung bình giữa cc gi trị cĩ thể nhận được

của X so với gi trị trung bình Phương sai của BNN X đặc trưng cho độ phân tán hay

độ đồng đều giữa các giá trị có thể nhận của X, trong kinh doanh phương sai của BNN được dùng để đo mức độ rủi ro của các hoạt động kinh doanh

b) Độ lệch chuẩn: V(X)   là độ lệch chuẩn của BNN X

Chú ý: Kỳ vọng và độ lệch chuẩn có cùng đơn vị đo với BNN X

c) Các tính chất của phương sai

TD14: Một nhà đầu tư đang cân nhắc việc đầu tư vào hai dự án A, B trong hai lĩnh

vực một cách độc lập Khả năng thu hồi vốn sau 2 năm (%) của hai đự án là BNN có bảng phân phối tương ứng nhhư sau:

Như vậy nếu chọn dự án có tỷ lệ thu hồi vốn cao thì chọn A

Nếu chọn dự án có mức độ rủi ro thấp khi kỳ vọng đạt được tỷ lệ thu hồi vốn ở mức trung bình thì chọn B

3.3 Mode và giá trị tới hạn

a) ModeX: La giá trị của X thường hay nhận được hơn cả khi thử T

Nếu X là BNN rời rạc, ModX là giá trị x0 mà X có thể nhận được, sao cho P(X=x0)P(X=xk) với mọi k

Nếu X là BNN liên tục ModX giá trị x0 sao cho f(x0)f(x) với mọi xR

b) Giá trị tới hạn: Với các BNN liên tục người ta còn quan tâm đến giá trị x thoả điều kiện: P(X>x)= và gọi x là tới hạn mức 

TD15: Hộp 1 có 10 sản phẩm trong đó có 3 phế phẩm; Hộp 2 có 12 sản phẩm tron đó

có 4 phế phẩm Từ mỗi hộp lấy ta một phế phẩm Gọi X là số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra Lập bảng phân phối xác suất cho X, tính EX; VX; ModX; Hàm phân phối xác suất của X

EX=0.6333; VX=0.4322; ModX=0

TD16: Một hộp có 8 sản phẩm loại S và 4 sản phẩm loại B, một khách hàng chọn

ngẫu nhiên 2 sản phẩm để mua Biết giá mỗi sản phẩm loại A giá 10 ngàn đồng, mỗi sản phẩm loại B là 8 ngàn đồng X tổng số tiền khách hàng phải trả Lập bảng phân phối xác suất cho EX; VX; ModX; P(X>18)

a) Định nghĩa: Cho 2 BNN X nhận các giá trị { x 1 , x 2 , x i , x m } và Y nhận các giá trị {y 1 , y 2 , , y j …,

y n } Ta gọi cặp (X,Y) là một véc tơ ngẫu nhiên 2 chiều

b) Bảng phân phối xác suất của véc tơ (X,Y) rời rạc

1 i

ij n

1 j

p = 1; p i = 

 n

1 j ij

p ; q j = 

 m

1 i ijp

Tứ bảng phân phối xác suất của BNN hai chiều (X,Y)  Bảng phân phối xác suất của X, Y như sau:

TD18: Có 2 lô sản phẩm, mỗi lô có 10 sản phẩm, lô thứ i có i phế phẩm Từ mỗi lô lấy ra 2 sản phẩm,

gọi X là số sản phẩm tốt lấy ra từ lô I, Y là số sản phẩm tốt lấy ra từ lô II Lập bảng phân phối xác suất đồng thời cho (X,Y)

Giải: Khi đó X, Y là 2 BNN độc lập có bảng phân phối như sau:

p i 1/5 4/5 p i 1/45 28/45 16/45

Bảng phân phối xác suất đồng thời cho véc tơ (X,Y)

Y X

) y , x ( F

q

p

j

j 2

Tương tự ta có bảng phân phối của Y trong điềi kiện X = x i như sau:

P[Y=y j /X=x i ]

i

1 i

p

q

i

2 i

m 1 i

i j

j P [ x , y ]

 n

1 j j

j p

x ; E(Y)=

  m

1 i n

1 j

i j

i P [ x , y ]

 m

1 i i

iqx

V(X)=-{E(X)} 2 ; V(Y)=

  m

1 i n

1 j

i j 2

i P [ x , y ]

y - {E(Y)} 2

 Nếu (X,Y) là BNN 2 chiều liên tục có hàm mật độ xác suất f(x,y):

E(X) =  



  

dxdy ) y , x ( xf

x2 - {E(X)} 2 V(Y) =  

y2 - {E(Y)} 2

4.3 Mô men và hệ số tưong quan

a) Mô men tương quan (Hiệp phương sai): là đại lượng được xác định bởi công thức:

Cov(X,Y)=  XY = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} = E(XY)–E(X)E(Y)

Cov(X,Y)=  XY dùng để đo mức độ phụ thuộc tương quan tuyến tính giữa X và Y, có cùng đơn

d) Nếu X,Y độc lập thì : Cov(X,Y)=0

e) | Cov(X,Y) | V(X).V(Y) (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz) dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi P(Y=AX+b)=1; a≠0

c) Hệ số tương quan: là đại lượng được xác định theo công thức:

R XY =

) Y ( D ) X ( D

XY

 =

) Y ( D ) X ( D

) Y ( M ) X ( E ) XY (

R R

1) Có hai máy cùng sản xuất một loại sản phẩm Biết tỷ lệ sản phẩm loại I của máy

thứ i là i10% i=1,2 Cho mỗi máy sản xuất 2 sản phẩm

a/ Tìm luật phân phối xác suất của số sản phảm loại I trong 4 sản phẩm sản xuất ra

b/ Tìm số sản phẩm loại I tin chắc nhất; Số sản phẩm loại I trung bình có trong

2) Theo thống kê xác suất để một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa là

0.995 Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho ngững người ở độ tuổi đó với giá 100 ngàn đồng, và người mua bảo hiểm chết trong thời gian đó thì số tiền bồi thường là 10 triệu đồng Hỏi lợi nhận trung bình của công ty bảo hiểm cho mỗi hợp đồng là bao nhiêu?

ĐS: gọi X là số tiền lời cho một hợp đồng bảo hiểm Lợi nhụn trung bình là EX=0.05

Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ hộp ra 2 sản phẩm Tìm luật phân phối xác suất cho

số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra

4) Cơ quan dự báo thủy văn chia thời tiết thành 3 loại: “xấu”; “trung bình”; “tốt” với

xác suất tương ứng là 0.25; 0.45; 0.3 Với tình trạng thời tiết trên thì khả năng nông nghiệp được mùa tương ứng là: 0.2; 0.6; 0.7 Nếu sản xuất nông nghiệp được mùa thì mức xuất khẩu lương thực tương ứng với tình trạng trên là: 2.5; 3.3; 3.8 triệu tấn Nếu mất mùa thì mức lương thhực xuất khẩu bằng 0 Tìm mức lương thực xuất khẩu có thể

6) Sản phẩm của một nhà máy khi sản xuất xong được đóng thành kiện mỗi kiện 5

sản Gọi X là số sản phẩm loại I có bảng phân phối xác suất như sau:

a/ Lấy ngẫu nhiên không hoàn lại từ một kiện 2 sản phẩm để kiểm tra Tìm phân phối xác suất cho số sản phảm loại I có trong 2 sản phẩm lấy ra

b/ Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất ra lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm, thì thấy có một sản phẩm loại I Tính xác suất đê trong kiện này còn lại 2 sản phẩm loại I

c/ Từ một kiện hàng do nhà máy sản xuất, lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 3 sản phẩm thì thấy có 1 sản phẩm loại I Tìm phân phối xác suất cho số sản phẩm loại I có trong 2 sản phẩm còn lại của kiện

ĐS: a) X là số sản phẩm loại I trong 2 sản phẩm lấy ra

b) Gọi: Ai lấy được kiện loại I; A là biến cố lấy 2 sản phẩm được 1 loại I

P(A2/A)=15/28

c) B là biến cố lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm từ một kiện được 1 loại I P(B)=0.33

Y là số sản phẩm loại I còn lại trong kiện

7) Một hộp dựng 15 bóng đèn, có 9 bóng mới và 6 bóng đã qua sử dụng Lần đầu

người ta lấy ngẫu nhiên 3 bóng từ 15 bóng để sử dụng, sau đó trả vào hộp Lần thứ hai lại lấy ngẫu nhiên 3 bóng cũng từ 15 bóng này Tim số bóng đèn mới chưa sử dụng lần nào tin chắc nhất có trong 3 bóng được lấy ra lần thứ hai

8) Có 2 hộp sản phẩm H1 có 7 tốt và 3 xấu, H2 có 8 tốt và 2 xấu Lấy ngẫu nhiên 1

hộp và từ đó lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng toán của nó nhỏ hơn 1

HD: X là số chính phẩm trong 3 sản phẩm được lấy ra

CHƯƠNG 3: MỘT SỐ LUẬT PHÂN PHỐI THƯỜNG DÙNG

1) Luật phân phối không-một 2) Luật phân phối nhị thức 3/ Luật phân phối Poisson 4) Luật phân phối siêu bội 5) Luật phân phối chuẩn 6) Luật phân phối khi bình phương 7) Luật phân phối Student

8) Luật phân phối Fisher

1 Luật phân phối không-một XA(P)

a) Định nghĩa : Giả sử T là phép thử, A là biến cố ngẫu nhiên liên quan đến T, có

P(A)=p Gọi X là BNN nhận hai giá trị X=1 nếu khi thử T xuất hiện A, X=0 nếu không xuất hiện A khi thử T

Ta gọi X là BNN có luật phân phối không-một với tham số p Ký hiệu XA(p)

b) Các tính chất:

Bảng phân phối xác suất của X như sau:

pi 1-p p

2 Luật phân phối nhị thức XB(n,p)

a) Định nghĩa : Giả sử Tn là dãy n phép thử Bernoulli, A là biến cố ngẫu nhiên có

P(A)=p không đổi khi thử Tn với mọi n Gọi X là số lần xuất hiện A trong các lần thử

Tn

Khi đó BNN X nhận các giá trị 0,1,2, n với: P[X=k]=Cknpkqn-k k=0,1 n (q=1-p)

Ta gọi X là BNN có luật phân phối nhị thức, ký hiệu XB(n,p) Đặc biệt nếu XB(n=1,p) thì X là BNN có luật phân phối A(p)

b) Các tính chất :

Nếu XB(n,p)  E(X)=np; V(X)=npq; np-q=Mod(X)=np+p

TD1: Tỷ lệ phế phẩm của một loại sản phẩm của một nhà máy sản xuất ra là 5% Lấy

ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại 100 sản phẩm để kiểm tra

1/ Hỏi trung bình có bao nhiêu phế phẩm?

2/ Khả năng lớn nhất có bao nhiêu phế phẩm?

Giải: Gọi X là số phế phẩm trong 100 sản phẩm được kiểm tra

XB(n=100,p=0.05)E(X)=np=100x0.05=5

np-q=100x0.05-0.95=4.05 np+p=100x0.05+0.05=5.05 Vậy ModX=5