Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 1 pptx

Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm Thống kê toán học là khoa học thu thập, tổ chức sắp xếp, tổng hợp, phân tích và rút ra các kết luận từ các dữ liệu thực nghiệm.. Đối tượng của thố

Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm

Thống kê toán học là khoa học thu thập, tổ chức sắp xếp, tổng hợp, phân tích và rút ra các kết luận từ các dữ liệu thực nghiệm Đối tượng của thống kê toán được chia làm hai lĩnh vực:

+ Thống kê mô tả: nội dung của nó gồm việc thu thập số liệu, tổ chức sắp xếp, tổng hợp, phân tích và biểu diễn các số liệu thực nghiệm

+ Các kết luận thống kê bao gồm: thiết kế các kết luận thống kê, kiểm định giả thiết, xác định các quan hệ và lập các dự báo

Một trong những bài toán đầu tiên của thống kê toán học là bài toán ước lượng tham số của phân phối Trước khi đề cập tới vấn đề đó, ta cần các khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, hàm phân phối mẫu và các số đặc trưng mẫu

1 Mẫu ngẫu nhiên, hàm phân phối mẫu và các số đặc trưng mẫu

 Mẫu ngẫu nhiên

Giả sử là một đại lượng chưa biết nào đó biến thiên trong tập U Để xác định được giá trị gần đúng của ta phải tiến hành thực nghiệm, chẳng hạn ta tiến hành

n thí nghiệm Kết quả của các thí nghiệm này được đặc trưng bởi dãy n biến ngẫu

nhiên X1,…, Xn mà phân phối của chúng là F(x, ) phụ thuộc vào (thậm chí nó còn phụ thuộc vào các tham số chưa biết khác)

Ta gọi (X1, X2,…, Xn) là một mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x, ) Số n được gọi

là kích thước mẫu (hay cỡ mẫu) Giá trị của mẫu thường kí hiệu bằng chữ (x1,

x2,…, xn) Không gian Rn mà phần tử của nó là các điểm (X1, X2,…, Xn) được gọi

là không gian mẫu

Chú ý: Thông thường ta hay xét (X1,X2,…,Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập

có cùng phân phối

Giả sử (X1,X2,…,Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x, )

Định nghĩa 1.1 Hàm phân phối mẫu được định nghĩa bởi

, x R

trong đó n là kích thước mẫu, m là số các giá trị mẫu Xi < x

Ví dụ 1.2 Kiểm tra ngẫu nhiên 10 học sinh Kết quả điểm là (3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7,

7, 9) Viết hàm phân phối mẫu

Giải Hàm phân phối mẫu là

Tính chất 1.3 (Tính chất của hàm phân phối mẫu)

 0 Fn(x) 1 vì 0 m n

 Fn(x) là hàm đơn điệu tăng

 Fn(x) = 0 với x min (X1,…, Xn) và Fn(x) = 1 với x > max (X1, X2,…,

Xn)

 Fn(x) hội tụ hầu chắc chắn về hàm phân phối lí thuyết F(x) khi n

Ø Trung bình mẫu

Định nghĩa 1.4 Ta gọi số là trung bình mẫu

- Nếu mẫu cho dưới dạng

X X1 X2 … Xk

ni n1 n2 … nk

với n = n 1 + n 2 + … + n k thì

- Nếu mẫu cho dưới dạng khoảng

xk – xk + 1 nk

Ø Phương sai mẫu

Định nghĩa 1.5 Phương sai mẫu là một số, ký hiệu được xác định bởi

Ví dụ 1.6 Cho mẫu quan sát đối với đại lượng ngẫu nhiên X là

Xi 1 2 3 4

ni 20 15 10 5

Tìm

Giải Ta có

Từ đó,

2 Bài toán ước lượng điểm

Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối F(x, ), U

Định nghĩa 2.1 Hàm (X) = (X 1 , X 2 ,…, X n ) xác định trên không gian đo (R n , A) nhận giá trị trong không gian đo (T, B(R)) được gọi là một thống kê nếu với B B(R) thì - 1 (B) A trong đó A là - đại số các tập con Borel của R n , B(R) là -đại số các tập con của T

Ví dụ 2.2 Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn

các thống kê

Định nghĩa 2.3 (Thống kê đủ)

Thống kê (X) = (X 1 , X 2 ,…, X n ) (có thể (X) là một vectơ (X) = ( 1 (X),…,

s (X)) được gọi là thống kê đủ đối với tham số (hoặc đối với họ phân phối F(x,

)) nếu phân phối điều kiện của X = (X 1 , X 2 ,…, X n ) cho bởi (X) = t không phụ thuộc vào

Ví dụ 2.4 Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối Poisson

với tham số > 0 Khi đó (X) = là thống kê đủ đối với

Giải Ta có

P[ : X 1 =x 1 ; X 2 =x 2 ;…; X n =x n , = t] = P[ : X 1 = x 1 ; X 2 = x 2 ;…; X n = x n ,]

=

Vì X 1 ,…, X n độc lập và có phân phối Poisson với tham số > 0 nên cũng có phân phối Poisson với tham số n Từ đó

Vậy phân phối điều kiện

P[X 1 = x 1 ; X 2 = x 2 ;…; X n = x n / = t] = =

không phụ thuộc vào Từ đó suy ra là thống kê đủ đối với

Định lí 2.5 (Định lí tách)

Giả sử {x; f(x, ) > 0} không phụ thuộc vào tham số Điều kiện cần và đủ để thống kê T(X) = (T 1 (X),…, T s (X)) là thống kê đủ đối với là họ phân phối xác suất f(x, ) có dạng:

f(x, ) = g(T 1 (X),…, T s (X), ).h(x) (1)

Chứng minh Ta chứng minh Định lí trong trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc

Đặt S là tập những điểm (x 1 ,…, x n ) sao cho:

T 1 (x 1 ,…, x n ) = t 1 ; T 2 (x 1 ,…, x n ) = t 2 ; ; T s (x 1 ,…, x n ) = t s

* Điều kiện đủ

Giả sử f(x, ) = g(T(x), )h(x) Ta có

Từ đó