Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 2 pptx

Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào.. Theo Định nghĩa ta có không phụ thuộc vào... Vậy ta có Điều kiện cần được chứng minh.. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tụ

Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào Vậy T(X) = (T 1 (X),…, T s (X)) là thống kê đủ đối với

* Điều kiện cần

Giả sử (T 1 (X),…, T s (X)) là thống kê đủ đối với Theo Định nghĩa ta có

không phụ thuộc vào Đặt

h(x 1 ,…, x n ) =

Ta biết rằng

Mà

Vậy ta có

Điều kiện cần được chứng minh

Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2]

Ví dụ 2.6 Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn

với (a; 2 )

Giải Ta có hàm mật độ đồng thời của X 1 ,…, X n là

Theo Định lí 2.5, cặp ( ) là thống kê đủ đối với (a; 2 )

Định nghĩa 2.7 Thống kê (X 1 ,…, X n ) xác định trên không gian mẫu R n và nhận giá trị trong không gian T được gọi là ước lượng của hàm tham số ( ) (Theo định nghĩa của thống kê thì (X) chỉ phụ thuộc X 1 ,…, X n mà không phụ thuộc )

Định nghĩa 2.8 Ước lượng (X 1 ,…, X n ) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượng không chệch nếu E (X 1 ,…, X n ) = ( )

Ví dụ 2.9 Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn dạng tổng quát N(a; 2 )

của 2 Thật vậy

=

* Phương sai mẫu không là ước lượng không chệch của 2

vì

Định nghĩa 2.10 Ước lượng (X 1 ,…, X n ) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượng không chệch tốt nhất nếu:

i 1 E (X 1 ,…, X n ) = ( )

i 2 D (X 1 ,…, X n ) D * (X 1 ,…, X n )

trong đó *(X 1 ,…, X n ) là ước lượng không chệch bất kỳ của ( ), còn E , D là

kí hiệu kỳ vọng toán và phương sai với điều kiện

Định nghĩa 2.11 Ước lượng (X 1 ,…, X n ) của tham số được gọi là ước lượng vững nếu (X 1 ,…, X n ) hội tụ về theo xác suất khi n , nghĩa là:

với > 0 tuỳ ý cho trước

Ví dụ 2.12 Trong Ví dụ 2.9, là ước lượng vững của a vì X 1 ,…, X n độc lập có phân phối như nhau với EX 1 = … = EX n = a và DX 1 = 2 ;…; DX n = 2 , nên theo

Chứng minh tương tự là ước lượng vững của

Định nghĩa 2.13 Phân phối f(x, ) được gọi là chính quy nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:

i 1 ) [x; f(x, ) > 0] không phụ thuộc vào

i 2 )Đối với mỗi x và mỗi , tồn tại đạo hàm riêng (x, )

Định nghĩa 2.14 Ước lượng (X 1 , X 2 ,…, X n ) của hàm tham số ( ) được gọi là không chệch chính quy nếu với mọi

nếu X có phân phối liên tục tuyệt đối

hoặc

nếu X có phân phối rời rạc

Định nghĩa trên có thể phát biểu như sau

Ước lượng (X 1 , X 2 ,…, X n ) của hàm tham số ( ) được gọi là không chệch chính quy nếu:

Định lí 2.15 (Bất đẳng thức Cramer - Rao)

Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ) và ( ) là hàm tham số đã cho Nếu (X 1 , X 2 ,…, X n ) là ước lượng không chệch chính quy

của ( ), f(x, ) là phân phối chính quy thì

Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi với mọi thì:

Chứng minh Do phân phối f(x, ) và ước lượng (X) là chính quy nên

Mặt khác

=

minh

Chú ý: Bất đẳng thức này có thể mở rộng cho trường hợp tham số là một vectơ = ( 1 ,…, r )

Định nghĩa 2.16 Ước lượng (X) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượng hiệu quả nếu

Ví dụ 2.17 Giả sử (X 1 , X 2 ,…, X n ) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Poisson với

của

J( ) =