Tìm hiểu về bài toán tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ***** & ***** NGUYỄN THỊ THÚY TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Chun ngành: Tốn ứng dụng Người hướng dẫn khoa học Th.s.Nguyễn Trung Dũng HÀ NỘI, 5/2014 Lời cảm ơn Để hồn thành khóa ln này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, giáo khoa tốn nói chung thầy giáo tổ tốn ứng dụng nói riêng tạo điều kiện cho em suốt thời gian làm khóa luận Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Trung Dũng - người giúp em tận tình q trình chuẩn bị hồn thành khóa luận Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy i Lời cam đoan Khóa luận em hoàn thành sau thời gian miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Trung Dũng Trong trình làm khóa luận em có tham khảo số tài liệu nêu mục tài liệu tham khảo Em xin cam đoan khóa luận kết nghiên cứu khoa học riêng em khơng trùng với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thúy ii Mục lục MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP 1.1.1 Một số định nghĩa 1.1.2 Phân phối xác suất số biến ngẫu nhiên thường gặp 1.2 HÀM SINH MÔMEN 1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen 1.2.2 Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 2.1.1 Mô tả phương pháp 2.1.2 Phân phối xác suất Max Min 2.1.3 Phân phối tổng hiệu hai biến ngẫu nhiên 2.1.4 Phân phối tích thương 2.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH MÔMEN 2.2.1 Mô tả phương pháp 2.2.2 Phân phối tổng biến ngẫu nhiên độc lập 2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI 2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất rời rạc 2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục 2.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN iii 1 1 3 9 10 13 16 19 19 21 23 23 25 32 Khóa luận tốt nghiệp Kết luận Nguyễn Thị Thúy 37 iv K36B CNSP Tốn Lời nói đầu Ngày "Lý thuyết xác suất" khơng lĩnh vực tốn học mẻ mà trở thành ngành Tốn học lớn toán học giới Người ta biết đến lý thuyết xác suất khơng ngành toán học chặt chẽ lý thuyết mà có ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội nhân văn Đặc biệt gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa học phương pháp thu nhập, tổ chức phân tích liệu, thơng tin định lượng Với đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày số phương pháp tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Khóa luận gồm chương: Chương Một số kiến thức sở Trong chương này, trình bày số biến ngẫu nhiên thường gặp hàm sinh mơmen Chương Các phương pháp tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên Trong chương này, trình bày số phương pháp để tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên Với khóa luận này, em mong tài liệu bổ ích cho quan tâm phân phối hàm biến ngẫu nhiên v Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP Một số định nghĩa Định nghĩa 1.1 Hàm số FX (x) = P {ω ∈ Ω : X (ω) < x} , x ∈ R, gọi hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 ) Hàm số FX1 ,X2 (x1 , x2 ) xác định FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = P [X1 < x1 , X2 < x2 ] , ∀(x1 , x2 ) ∈ R2 gọi hàm phân phối xác suất đồng thời vectơ ngẫu nhiên X Từ phân phối xác suất đồng thời X1 , X2 , ta tìm phân phối X1 X2 Khi phân phối X1 X2 gọi phân phối biên duyên 1.1.2 Phân phối xác suất số biến ngẫu nhiên thường gặp a Phân phối nhị thức Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối nhị thức với tham số (n, p), n ∈ N∗ , < p < 1, P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k , k = 0, n Kí hiệu X ∼ B(n, p) Đặc biệt, n=1 ta nói X có phân phối Becnuli Khóa luận tốt nghiệp b Phân phối Poisson Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Poisson với tham số λ(λ > 0), P (X = k) = e−λ λk , k=0, 1, 2, k! Kí hiệu X ∼ P oi(λ) c Phân phối chuẩn (phân phối Gauss) Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với tham số (µ, σ ) với −∞ < µ < +∞, σ > hàm mật độ có dạng (x − µ)2 fX (x)= √ · exp − 2σ 2πσ , −∞ < x < +∞ Kí hiệu X ∼ N (µ, σ ) Trường hợp đặc biệt, µ = 0, σ = X gọi có phân phối chuẩn tắc, kí hiệu X ∼ N (0, 1) Chú ý Nếu X ∼ N (0, 1) x −x2 fX (x) = √ e 2π Φ(x) = FX (x) = −∞ −t2 √ e dt 2π d Phân phối mũ Định nghĩa 1.6 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối mũ với tham số λ(λ > 0) hàm mật độ xác suất có dạng fX (x) = λe−λx , x > 0 , x ≤ Kí hiệu X ∼ Exp(λ) Nguyễn Thị Thúy K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp e Phân phối Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối đoạn [a, b] hàm mật độ xác suất có dạng   , x ∈ [a, b] fX (x) = b − a 0 ,x ∈ / [a, b] Kí hiệu X ∼ U (a, b) f Phân phối Gamma Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X gọi có phân phối Gamma với tham số r > 0, λ > hàm mật độ xác suất có dạng  λ   r xλ−1 e−rx , x > fX (x) = Γ(λ)  0 , x ≤ Kí hiệu X ∼ G(r, λ) 1.2 1.2.1 HÀM SINH MÔMEN Định nghĩa hàm sinh mômen Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X Hàm sinh mơmen X kí hiệu mX (t) xác định mX (t) = E(etX ) tồn h > cho mX (t) tồn với |t| < h Nhận xét: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ mômen cấp r X , tính từ mX (t) Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm ex ta có ∞ tX mX (t) = E(e ) = E i=0 ∞ = i=0 Nguyễn Thị Thúy (tX)i i! i t t2 E(X ) i E(X ) = + tE(X) + + i! 2! (1.1) K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Với t=0 ta có mX (0) = Từ điều kiện tồn mX (t) ta đạo hàm vế (1.1) t ta t2 E(X ) mX (t) = E(X) + tE(X ) + + (1.2) 2! Cho t = ta mX (0) = E(X) Đạo hàm vế (1.2) t ta mX (t) = E(X ) + tE(X ) + Cho t = ta mX (0) = E(X ) Tiếp tục trình ta (r) mX (0) = E(X r ) Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mơmen mX (t).Khi biến ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b số thực có hàm sinh mơmen mY (t) = etb mX (at) Chứng minh Ta có mY (t) = E(etY ) = E(et(aX+b) ) = etb E(eatX ) = etb mX (at) Định lý 1.2 Cho X1 , , Xn biến ngẫu nhiên độc lập với hàm sinh mômen tương ứng mXi (t), i = 1, 2, , n Đặt n Z = Xi với a1 , , an số thực Khi i=1 n mZ (t) = mXi (ai t) i=1 Chứng minh n tZ t Ta có mZ (t) = E(e ) = E(e Xi i=1 n n tai Xi )= Ee i=1 1.2.2 = mXi (ai t) i=1 Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp a Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) n mX (t) = pet + q , q = − p Nguyễn Thị Thúy K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Suy       2n + PY (a) =   2n +   0 ,a = , a = 1, 4, , n2 , a = 0, 1, 4, , n2 b Trường hợp có nhiều biến Giả sử PX1 , ,Xn (x1 , , xn ) hàm xác suất đồng thời n biến ngẫu nhiên X1 , ,Xn A = {(x1 , ,xn ) : PX1 , ,Xn (x1 , ,xn ) > 0} Đặt Y1 = g1 (X1 , ,Xn ) , ,Yk = gk (X1 , ,Xn ) Khi đó, hàm xác suất đồng thời Y1 , ,Yn PY1 , ,Yk (y1 , ,yk ) = P [Y1 = y1 , ,Yk = yk ] = PX1 , ,Xn (x1 , ,xn ) Ví dụ 2.12 Giả sử X1 , X2 , X3 biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất cho bảng sau (x1 ,x2 ,x3 ) (0, 0, 0) (0, 0, 1) (0, 1, 1) (1, 0, 1) (1, 1, 0) (1, 1, 1) 1 1 PX1 ,X2 ,X3 (x1 , x2 , x3 ) 8 8 8 Tìm phân phối xác suất Y1 = g1 (X1 , X2 , X3 ) = X1 + X2 + X3 Y2 = g2 (X1 , X2 , X3 ) = |X3 − X2 | Giải Ta có A = {(0, 0, 0) , (0, 0, 1) , (0, 1, 1) , (1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (1, 1, 1)} B = {(0, 0) , (1, 1) , (2, 0) , (2, 1) , (3, 0)} PY1 ,Y2 (0, 0) = PX1 ,X2 ,X3 (0, 0, 0) = , PY1 ,Y2 (1, 1) = PX1 ,X2 ,X3 (0, 0, 1) = , PY1 ,Y2 (2, 0) = PX1 ,X2 ,X3 (0, 1, 1) = , PY1 ,Y2 (2, 1) = PX1 ,X2 ,X3 (1, 0, 1) + PX1 ,X2 ,X3 (1, 1, 0) = , PY1 ,Y2 (3, 0) = PX1 ,X2 ,X3 (1, 1, 1) = Nguyễn Thị Thúy 24 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp 2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác suất liên tục a Trường hợp có biến Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX (x) hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y = g(X) tìm cách sau: Định lý 2.6 Giả sử X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fX (x) Đặt A = {x : fX (x) > 0} Giả sử (i) y = g(x) phép biến đổi − từ A vào B (ii) Đạo hàm cấp x = g −1 (y) theo y liên tục khác khơng với y ∈ B , x = g −1 (y) hàm ngược g(x) Khi đó, Y = g(X) biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất fY (y) = d −1 g (y) fX g −1 (y) dy Chứng minh Giả sử g(x)là hàm đơn điệu tăng A Khi với y ∈ B ta có FY (y) = P [Y < y] = P [g(X) < y] = P X < g −1 (y) = FX g −1 (y) Do d d fY (y) = [FY (y)] = FY g −1 (y) dy dy = fX g −1 (y) d −1 g (y) dy Ngược lại, giả sử g(x) đơn điệu giảm A Khi y ∈ B ta có FY (y) = P [Y < y] = P [g(X) < y] = P X ≥ g −1 (y) = − F X g −1 (y) Do d d fY (y) = [FY (y)] = − F Y g −1 (y) dy dy Vậy fY (y) = fX g −1 (y) = −f X g −1 (y) d −1 g (y) dy d −1 g (y) dy Ví dụ 2.13 Giả sử X ∼ U (1, 2) Tìm hàm mật độ xác suất Y = X Nguyễn Thị Thúy 25 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Giải 1 d −1 Ta có y = g(x) = ⇒ x = g −1 (y) = ⇒ g (y) = − x y dy y Theo X ∼ U (1, 2) nên fX (x) = I(1,2) (x) có hàm mật độ xác suất Theo Định lý 2.7, biến ngẫu nhiên Y = X fY (y) = − I( 12 ,1) (x) y Ví dụ 2.14 Giả sử Z ∼ N (0, 1) Tìm hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên Y = eZ Giải Ta có d −1 y = g(z) = ez ⇒ z = g −1 (y) = ln y ⇒ g (y) = dy y −z2 Theo Z ∼ N (0, 1) nên fZ (z) = √ e , −∞ < z < +∞ 2π Theo Định lý 2.7 nhiên Y = eZ có hàm mật độ xác suất biến ngẫu  √1 e− (lny) ,y > 2π fY (y) =  , y ≤ Đặc biệt, giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất FX (·) Trong phép biến đổi Y = g(X) ta thay hàm g(·) hàm FX (·) hàm FX (·) liên tục ta hồn tồn xác định phân phối biến ngẫu nhiên Y = FX (X) Định lý 2.7 Nếu X biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân phối xác suất FX (x) Y = FX (X) có phân phối khoảng (0, 1) Ngược lại, Y có phân phối khoảng (0, 1) X = FX −1 (Y ) có hàm phân phối FX (·) Chứng minh Ta có P [Y < y] = P [FX (X) < y] = P X < FX−1 (y) = FX FX −1 (y) = y, < y < Ngược lại P [X < x] = P [FX−1 (Y ) < x] = P [Y < FX (x)] = FX (x) Nguyễn Thị Thúy 26 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 2.15 Cho biến ngẫu nhiên X hàm phân phối xác suất FX (x) = − e−λx , x > , x ≤ 0 Chứng minh rằng: X có hàm phân phối FX (x) Y =FX (X) ∼ U (0, 1) Giải − e−λx , x > Ta có FX (x) = ⇒ FX −1 (y) = − ln (1 − y) λ 0, x ≤ Khi FY (y) = P [Y < y] = P [FX (X) < y] = P X < FX −1 (y) = FX FX −1 (y) = y, < y < Vậy Y = FX (X) ∼ U (0, 1) Ngược lại, Y = FX (X) ∼ U (0, 1) ⇒ X = FY −1 (y) ⇒ P [X < x] = P FX −1 (Y ) < x = P [Y < FX (x)] = FX (x) Vậy X có hàm phân phối FX (x) b Trường hợp có nhiều biến Bài tốn: Giả sử fX1 , ,Xn (x1 , , xn ) hàm mật độ xác suất đồng thời vectơ ngẫu nhiên n chiều (X1 , , Xn ) A = {(x1 , , xn ) : fX1 , ,Xn (x1 , , xn ) > 0} Cho g(·, ·, , ·) hàm đo Rn Vấn đề đặt tìm hàm mật độ xác suất vectơ ngẫu nhiên n chiều (Y1 , , Yn ) với Yj = gj (X1 , , Xn ), j = 1, 2, , n Dưới ta trình bày kết tương ứng với n = 2, kết tổng quát hóa cho trường hợp n > Giả sử X1 , X2 biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời fX1 ,X2 (x1 , x2 ) Đặt A = {(x1 , x2 ) : fX1 ,X2 (x1 , x2 ) > 0} Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) y1 = g1 (x1 , x2 ) , y2 = g2 (x1 , x2 ) phép biến đổi − từ A vào B (ii) Các đạo hàm riêng cấp x1 = g1 −1 (y1 , y2 ) , x2 = g2 −1 (y1 , y2 ) Nguyễn Thị Thúy 27 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp liên tục B ∂x1 ∂y1 (iii)Định thức Jacobian J = ∂x2 ∂y1 ∂x1 ∂y2 = 0, ∀ (y1 , y2 ) ∈ B ∂x2 ∂y2 Khi đó, hàm mật độ xác suất đồng thời Y1 = g1 (X1 , X2 ) , Y2 = g2 (X1 , X2 ) |J| fX1 ,X g1 −1 (y1 , y2 ) , g2 −1 (y1 , y2 ) , (y1 , y2 ) ∈ B fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = , (y1 , y2 ) ∈ / B Ví dụ 2.16 Giả sử X1 , X2 hai biến ngẫu nhiên độc lập có phân X1 , fY2 (y2 ) phối chuẩn tắc Tìm fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) với Y1 = X1 +X2 , Y2 = X2 Giải − x21 Vì X1 ∼ N (0, 1) nên fX1 (x1 ) = √ e , −∞ < x1 < +∞ 2π − x22 Vì X2 ∼ N (0, 1) nên fX2 (x2 ) = √ e , −∞ < x2 < +∞ 2π − (x1 +x2 ) Do X1 , X2 độc lập nên fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = e , (x1 , x2 ) ∈ R2 2π x1 Ta có Y1 = g1 (x1 , x2 ) = x1 +x2 , Y2 = g2 (x1 , x2 ) = x2 y1 y2 ⇒ x1 = g1−1 (y1 , y2 ) = , + y2 y1 x2 = g2−1 (y1 , y2 ) = + y2 y2 y1 + y2 (1 + y2 )2 y1 y1 (1 + y2 ) = − Ta có J = = − y1 (1 + y ) (1 + y ) − 2 + y2 (1 + y2 )2 Nguyễn Thị Thúy 28 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Vì 1 (y1 y2 )2 y1 |y | · exp − fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = + (1 + y2 )2 2π (1 + y2 )2 (1 + y2 )2 |y | y1 (1 + y22 ) = · exp − 2π (1 + y2 )2 (1 + y2 )2 Hàm mật độ xác suất đồng thời Y2 : +∞ fY2 (y2 ) = fY1 ,Y2 (y1 , y2 )dy1 −∞ +∞ = 2π(1 + y2 )2 Đặt u = −∞ −1 y1 (1 + y22 ) |y |exp dy1 · (1 + y2 )2 y1 (1 + y22 ) y1 (1 + y22 ) ⇒ du = dy1 (1 + y2 )2 (1 + y2 )2 (1 + y2 )2 ⇒ fY2 (y2 ) = 2π(1 + y2 )2 + y22 +∞ e−u du = 1 π + y22 Vậy Y2 có phân phối Cauchy Ví dụ 2.17 Giả sử X1 , X2 biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất 2e−x1 −x2 , < x1 < x2 fX1 ,X2 (x1 , x2 ) = , trái lại Tìm fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) , Y1 = X1 + X2 , Y2 = X2 Giải Ta có y1 = g1 (x1 , x2 ) = x1 + x2 ; ⇒ x1 = g1 −1 (y1 , y2 ) = y1 − y2 ; y2 = g2 (x1 , x2 ) = x2 x2 = g2 −1 (y1 , y2 ) = y2 J = Do đó, fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = 2e−y1 , < y2 < y1 < 2y2 Trong Định lý 2.8 hàm g(·,·) phải thỏa mãn phép biến đổi − Vậy trường hợp g(·,·) không phép biến đổi − có kết sau Nguyễn Thị Thúy 29 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Giả sử X1 , X2 biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác suất đồng thời fX1 ,X2 (x1 , x2 ) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: (i) A phân tích thành tập A1 , ,Am cho phép biến đổi y1 = g1 (x1 , x2 ), y2 = g2 (x1 , x2 ) phép biến đổi − từ Ai , i = 1, m vào B (ii) x1 = g1i −1 (y1 , y2 ), x2 = g2i −1 (y1 , y2 ) phép biến đổi ngược từ B vào Ai , i = 1, m đạo hàm riêng cấp g1i −1 , g2i −1 liên tục B ∂g1i −1 ∂g1i −1 ∂y1 ∂y2 (iii) Định thức Jacobian J1 = = 0, ∀i = 1, m ∂g2i −1 ∂g2i −1 ∂y1 ∂y2 Khi đó, hàm mật độ Y1 = g1 (X1 , X2 ) Y2 = g2 (X1 , X2 ) có dạng  n   |Ji | fX1 ,X2 g1 −1 (y1 , y2 ), g2 −1 (y1 , y2 ) , (y1 , y2 ) ∈ B fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = i=1   , (y1 , y2 ) ∈ / B Ví dụ 2.18 Giả sử X1 ∼ N (0, 1) , X2 ∼ N (0, 1) X1 , X2 độc lập Tìm fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) Y1 = X1 + X2 , Y2 = X2 fY1 (y1 ) Giải Ta có y1 = x + x 2 y2 = x ⇒ x1 = ± y1 − y2 x = y2 Ta thấy phép biến đổi không − Ở A = {(x1 , x2 ) : −∞< x1 < +∞, −∞ < x2 < +∞} , √ √ B = (y1 , y2 ) : < y1 < +∞, − y1 < y2 < y1 Rõ ràng A phân tích thành A1 , A2 với A1 = {(x1 , x2 ) : ≤ x1 < +∞, −∞ < x2 < +∞} , A2 = {(x1 , x2 ) : −∞ < x1 < 0, −∞ < x2 < +∞} phép biến đổi từ Ai vào B , i = 1, − Nguyễn Thị Thúy 30 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ta có g11 −1 (y1 , y2 ) = y1 − y2 , g21 −1 (y1 , y2 ) = y2 , g12 −1 (y1 , y2 ) = − y1 − y2 , g22 −1 (y1 , y2 ) = y2 , y − y2 J1 = −1 −1 y1 − y 2 J2 = −y y1 − y2 −1 = −1 y y1 − y2 y1 − y2 2 −1 =− −1 , y1 − y2 2 −1 1 −y1 e , (y1 , y2 ) ∈ B 2π Do fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) = y1 − y2  , (y1 , y2 ) ∈ / B   √ +∞ ⇒ fY1 (y1 ) = fY1 ,Y2 (y1 , y2 ) dy2 = −y1 e 2π ∞ e = 2π = e 2π Vậy −y −y √ y2 y arcsin √ √1 y1 − y1 y1 √ − y1 dy2 y1 − y2 −y π π + = e , y1 > 2   e −y2 , y > fY1 (y1 ) = 0, y ≤ Nguyễn Thị Thúy 31 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp 2.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH CỦA VECTƠ NGẪU NHIÊN Phép biến đổi h : Rk → Rk biến biến x1 , , xk thành biến y1 , , yk theo công thức k yi = cij xj , cij số thực, i, j = 1, 2, , k (7) j=1 gọi biến đổi tuyến tính Cho C = (cij ) ma trận k × k có phần tử cij Nếu ∆ = |C| = từ phương trình (7) ta tìm nghiệm x k xi = dij yj , dij số thực, i, j = 1, 2, , k (8) j=1 Đặt D = (dij ) ∆∗ = |D| Khi đó, theo kết đaị số tuyến tính ta có ∆∗ = ∆ Định lý 2.8 Cho X = (X1 , , Xk ) vectơ ngẫu nhiên với hàm mật độ xác suất đồng thời fX > tập S ⊆ Rk Đặt k Yi = cij Xj , i = 1, , k j=1 đó, ∆ = |(cij )| = Khi k Xi = dij Yj , i = 1, , k j=1 hàm mật độ xác suất đồng thời vectơ ngẫu nhiên Y = (Y1 , , Yk ) cho    k k   f  d1j yj , , dkj yj  , (y1 , , yk ) ∈ T X |∆| fY (y1 , , yk ) = j=1 j=1    0, trái lại T ảnh S phép biến đổi tuyến tính Nguyễn Thị Thúy 32 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, phép  đổi tuyến tính trực  giao  biến k k   f  cj1 yj , , cjk yj  , (y1 , , yk ) ∈ T X fY (y1 , , yk ) = j=1 j=1    0, trái lại Hơn nữa, trường hợp phép biến đổi tuyến tính trực giao k k Yi2 Xi2 = i=1 i=1 Sau ứng dụng Định lí trường hợp có phân phối chuẩn Định lý 2.9 Cho Xi biến ngẫu nhiên độc lập, Xi ∼ N (µi , σ ), i = 1, , k Xét phép biến đổi trực giao k Yi = cij Xj , j = 1, , k j=1 Khi đó, biến ngẫu nhiên Y1 , , Yk độc lập có phân phối chuẩn với phương sai σ giá trị trung bình cho k E(Yi ) = cij µj , j = 1, , k j=1 Chứng minh Với X = (X1 , , Xk ) Y = (Y1 , , Yk ) , ta có fX (x1 , , xk ) = √ 2πσ k exp − 2σ k (xi − µi )2 , i=1  fY (y1 , , yk ) = Nguyễn Thị Thúy √ 2πσ k  exp − 2σ 33 k  k  i=1 2   cji yj − µi   j=1 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Khi  k k cji yj − µi   i=1 2 k = j=1    =   k cji yj  + µ2i − 2µi k  cji yj  j=1 k  k cji cli yj yl + µ2i − 2µi  i=1 k j=1 l=1 cji cli + µ2i − 2µi yj y l j=1 l=1 k yj2 − j=1 cji yj  j=1 k k k = = k j=1 i=1 k 2 i=1 k k cji yj j=1 k µ2i cji µi yj + j=1 i=1 i=1 k yj − j=1 k k yj2 yj2 k k −2 j=1 k j=1 cji µi y j i=1 k k cji µi yj + j=1 i=1 k k yj2 − = , i=1 i=1 l=1 k k k = cji µi cji cjl µi µl − + j=1 k cji µi yj + j=1 i=1 k µi µl i=1 l=1 k µ2i i=1 cji cjl j=1 Ví dụ 2.19 Cho Z1 , , Zk biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn tắc N (0, 1) Đặt  1   Y1 = √ Z1 + √ Z2 + + √ Zk   k k k    1   Y2 = √ Z1 − √ Z2    2.1 2.1  1 √ √ √ Y = Z + Z − Z3   3.2 3.2 3.2         1 k−1   Z1 + + Zk−1 − Zk Yk = k(k − 1) k(k − 1) k(k − 1) Nguyễn Thị Thúy 34 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Chứng minh rằng, biến đổi tuyến tính biến đổi trực giao Z độc lập Giải Ta có c1j = √ , j = 1, , k i = 2, , k, k cij = , j = 1, , i − 1, i(i − 1) i−1 cii = − i(i − 1) Do k c21j = j=1 k k = 1, i = 2, , k k i (i − 1)2 + = = (i − 1) i(i − 1) i(i − 1) j=1 i−1 = + = 1, với i = 2, , k ta có i i k i 1 cij = √ cij = 0, =√ k j=1 k j=1 c2ij c2ij j=1 k c1j cij j=1 i, l = 2, , k (i = l) ta có k i cij clj j=1 = cij clj i < l, j=1 l cij clj i > l j=1 Trường hợp, i < l [(i − 1) − (i − 1)] = i(i − 1)l(l − 1) Trường hợp, i > l [(l − 1) − (l − 1)] = i(i − 1)l(l − 1) Vì vậy, phép biến đổi tuyến tính biến đổi trực giao Theo Định lí 2.10, ta có Y1 , , Yk biến ngẫu nhiên độc lập có Nguyễn Thị Thúy 35 K36B CNSP Tốn Khóa luận tốt nghiệp phân phối chuẩn tắc N (0, 1), ta có k k Yi2 Zi2 = i=1 i=1 k k Yi2 Do k i=1 Yi = − Y12 Zi2 − = i=2 √ kZ i=1 k Zi2 = − kZ i=1 k Zi − Z = i=1 k Vì Y1 độc lập với Yi , nên ta kết luận Z độc lập với i=1 k Zi − Z i=1 Hệ 2.4 Cho X1 , , Xk biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn N (µ, σ ) Khi X S độc lập Chứng minh Đặt Zj = Z = (X − µ) σ k j=1 (Xj − µ) , j = 1, , k Do σ k 2 Zi − Z = Xi − X độc lập σ j=1 Vậy X S độc lập Nguyễn Thị Thúy 36 K36B CNSP Tốn KẾT LUẬN Trên tồn nội dung khóa luận "TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" Trong khóa luận em trình bày số định nghĩa bản, hàm phân phối xác suất hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên Trong chương em đưa số phương pháp tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên như: phương pháp phân phối sác xuất, phương pháp hàm sinh mômen phương pháp biến đổi Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơn thời gian lực thân hạn chế nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện 37 Tài liệu tham khảo [1] Đào Hữu Hồ (2007), "Xác suất thống kê", Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003) "Lý thuyết xác suất", Nhà xuất giáo dục [3] Graybill F.A, Boes D.C., (1974) "Introduction to the theory of Statistics", MC Graw-Hill [4] William C Rinaman, (1994) "Foundations of Probability and Statistics", Sounders College [5] George G.Roussas, (1998) "Acouse in Mathemtical Statistics", Acdemic Press 38 ... chức phân tích liệu, thơng tin định lượng Với đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TỐN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày số phương pháp tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên. .. bày số biến ngẫu nhiên thường gặp hàm sinh mơmen Chương Các phương pháp tìm phân phối hàm biến ngẫu nhiên Trong chương này, trình bày số phương pháp để tìm phân phối xác suất hàm biến ngẫu nhiên. .. Định nghĩa hàm sinh mômen 1.2.2 Hàm sinh mômen số biến ngẫu nhiên thường gặp CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC