Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên trong xác suất thống kê - 1 pptx

Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên 1.. Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên Mệnh đề 1.1.. Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là fx,y.. Cho X, Y là các b

Phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

1 Phân phối xác suất của hàm của biến ngẫu nhiên

Mệnh đề 1.1 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ đồng thời là f(x,y)

Giả sử U = 1(X,Y) và V = 2(X,Y) với 1, 2 là các hàm đơn trị sao cho

(X,Y) được xác định duy nhất từ giá trị của (U,V) là X = 1(U,V) và Y =

2(U,V) Giả thiết 1, 2 tồn tại các đạo hàm riêng liên tục theo u và v Khi đó hàm mật độ đồng thời của U và V được xác định bởi

gUV(u,v) = f( 1(u,v), 2(u,v)) với J =

Chú ý: Công thức trên có thể mở rộng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên X1,

X2,…, Xn

Ví dụ 1.2 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số

Xác định hàm mật độ của các biến ngẫu nhiên U = X + Y và Chứng minh U, V là các biến ngẫu nhiên độc lập

Giải Do X, Y độc lập nên hàm mật độ đồng thời của X và Y là

Xét phép biến đổi và

Với x, y > 0 thì u > 0 và 0 < v < 1 Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của

U và V là

Từ đó, hàm mật độ của U là

và hàm mật độ của V là

Cuối cùng, do fU,V(u, v) = fU(u).fV(v) nên U, V độc lập

2 Tích chập của các phân phối

Bài toán 2.1 Giả sử X1, X2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có hàm mật độ tương ứng là f1(x) và f2(x) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y

Theo Mệnh đề 1.1, hàm mật độ đồng thời của U và V là

gUV(u,v) = fX,Y(v; u - v).1 = fX,Y(x, u - x)

Vì X1, X2 độc lập nên hàm mật độ của U là

gU(u) =

và hàm phân phối của U là

Định nghĩa 2.2 Hàm phân phối FU(u) xác định như trên được gọi là tích chập của hai hàm phân phối F1(x) và F2(x) của các biến X1, X2, kí hiệu là F1*F2

Tích chất 2.3

 F1* F2 = F2* F1

 (F1* F2)* F3 = F1*( F2* F3)

 F1* (F2 + F3) = F1* F2 +F1* F3

Bằng cách tương tự, có thể mở rộng tích chập ra trường hợp n phân phối của các biến ngẫu nhiên X1, X2,…,Xn là F1* F2*…* Fn

Ví dụ 2.4 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối mũ tham số

chuẩn tắc N(0, 1) Xác định hàm mật độ của biến ngẫu nhiên U = X + Y

Giải Ta có X, Y có cùng hàm mật độ là

Theo công thức tích chập, hàm mật độ của U là

Vậy U là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn N(0; 2)

Ví dụ 2.5 Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Poisson tham số lần lượt là Xác định phân phối của biến ngẫu nhiên X + Y

Giải Ta có

Vậy X + Y cũng có phân phối Poison tham số

3 Các số đặc trưng của vectơ ngẫu nhiên

 Kỳ vọng của tổng các biến ngẫu nhiên

Mệnh đề 3.1 Cho các biến ngẫu nhiên X, Y và g là hàm Borel Khi đó

 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên rời rạc có phân phối xác suất đồng thời P(X=xi, Y=yj) =pij thì

 Nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ đồng thời

f(x,y) thì

Trường hợp đặc biệt của mệnh đề trên là khi X, Y có kỳ vọng hữu hạn thì

E(X + Y) = E(X) +E(Y)

Tổng quát, nếu Xi, i = 1,2, , n là các biến ngẫu nhiên bất kỳ có kỳ vọng hữu hạn thì

E(X1 + X2+ + Xn) = E(X1) + E(X2) + + E(Xn)

Ví dụ 3.2 Một tai nạn có thể xảy ra tại điểm ngẫu nhiên X có phân phối đều trên

đoạn đường có độ dài L Vào thời điểm đó, một xe cấp cứu đang ở vị trí Y ngẫu nhiên trên đường, độc lập với X Xác định khoảng cách trung bình giữa vị trí của

xe cấp cứu và địa điểm xảy ra tai nạn

Giải Hàm mật độ đồng thời của X và Y là