Véc tơ ngẫu nhiên 1. Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Giả sử X 1 ,X 2 ,…,X n là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất ( , , P), nhận giá trị trong không gian đo (R, B(R). Định nghĩa 1.1. Ta gọi X = (X 1 , X 2 ,…, X n ) là vectơ ngẫu nhiên n chiều với giá trị trong R n . Định nghĩa 1.2. Với mỗi tập Bôren B B n , trong đó B n là -đại số Bôren các tập con của R n , P[ : X B] được gọi là phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên X = (X 1 , X 2 ,…, X n ) hay phân phối đồng thời của n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,…, X n . Định nghĩa 1.3. Với (x 1 , x 2 ,…, x n ) R n , hàm F(x 1 , x 2 ,…, x n ) = được gọi là hàm phân phối đồng thời của n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,…, X n . Tính chất 1.4. F(x 1 , x 2 ,…, x n ) là hàm đơn điệu không giảm theo các biến. F(x 1 , x 2 ,…, x n ) là hàm liên tục bên phải theo các biến. F(x 1 , x 2 ,…, x n ) = 1 và F(x 1 ,x 2 ,…,x n ) = 0, 1 i n. P[ : a 1 X < b 1 ; a 2 Y < b 2 ] = F(b 1 ,b 2 ) – F(a 1 ;b 2 ) - F(b 1 ;a 2 ) + F(a 1 ;a 2 ) Ví dụ 1.5. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có hàm phân phối đồng thời là F(x,y) = a- Xác định hàm phân phối của X ; của Y. b- Tính P1 X < 2; 1 Y < 2] Giải. a- Hàm phân phối của X là Hàm phân phối của Y là b- P[ 1 X < 2; 1 Y < 2] = F(2; 2) – F(1; 2) – F(2; 1) + F(1;1) = 1 - = 2. Véc tơ ngẫu nhiên rời rạc Ta xét trường hợp 2 chiều. Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên rời rạc. Giả sử X nhận các giá trị x 1 , x 2 , , x n , và Y nhận các giá trị y 1 , y 2 , y m , Định nghĩa 2.1. Dãy các xác suất P([ : X = x i ] [ : Y = y j ]) =P(X = x i , Y = y i ) = p ij , i = 1, 2 và j = 1, 2, được gọi là phân phối đồng thời của hai biến ngẫu nhiên X, Y. Ta có thể viết dưới dạng bảng như sau page break y 1 Y 2 y m Y X x 1 p 11 P 12 p 1m x 2 p 21 P 22 p 2m x n p n1 p n2 p nm Hàm phân phối đồng thời của X và Y là F(x,y) = (x;y) R 2 . Từ phân phối đồng thời của X và Y ta nhận được Ø Phân phối xác suất của X là P[X = x i ] = , i = 1, 2, Ø Phân phối xác suất của Y là P[Y = y i ] = , j = 1, 2, Ví dụ 2.2. Cho vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có phân phối đồng thời xác định như sau X Y 1 2 3 1 0,1 0,3 0,2 2 0,06 0,18 0,16 Tìm phân phối xác suất của X ; của Y và của Z = X + Y. Giải. Ta có P [X = 1] = 0,1 + 0,06 = 0,16; P [X = 2] = 0,3 + 0,18 = 0,48; P [X = 3] = 0,2 + 0,16 = 0,36; Vậy phân phối xác suất của X là X 1 2 3 P 0,16 0,48 0,36 Tương tự, P [Y = 1] = 0,30 + 0,20 = 0,6 P [Y = 2] = 0,06 + 0,18 + 0,16 = 0,4 nên phân phối xác suất của Y là Y 1 2 P 0,6 0,4 Phân phối xác suất của Z = X + Y Dễ thấy Z = X + Y chỉ có thể nhận các giá trị 2, 3, 4, 5 và P [Z = 2] = P [X = 1; Y = 1] = 0,1 P [Z = 3] = P [X = 1; Y = 2] + P [X = 2; Y = 1] = 0,06 + 0,3 = 0,36 P [Z = 4] = P [X = 2; Y = 2] + P [X = 3; Y = 1] = 0,18 + 0,20 = 0,38 P [Z = 5] = P [X = 3; Y = 2] = 0,16 Vậy phân phối xác suất của Z = X + Y là Z = X + Y 2 3 4 5 P[X + Y = i] 0,1 0,36 0,38 0,16 Ví dụ 2.3. ( Phân phối đa thức.) Xét dãy n phép thử độc lập G 1 , G 2 , G n mà trong mỗi phép thử G i đều có r biến cố có thể xảy ra là A 1 , A 2 , , A r . Giả sử p 1 là xác suất xuất hiện biến cố A 1 trong mỗi phép thử; p 2 là xác suất xuất hiện biến cố A 2 trong mỗi phép thử;…, p r là xác suất xuất hiện biến cố A r trong mỗi phép thử; Ký hiệu X i là số lần xuất hiện biến cố A i trong n phép thử, i = thì phân phối đồng thời của X 1 ,X 2 ,…,X r là P[X 1 = k 1 ,X 2 = k 2 , , X r = k r ] = trong đó n = k 1 + k 2 + + k r ; p 1 + p 2 + + p r = 1. Phân phối xác suất dạng trên được gọi là phân phối đa thức. Ví dụ 2.4. Tìm xác suất để khi gieo ngẫu nhiên 20 lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất sẽ có 4 lần xuất hiện mặt 1 chấm; 3 lần xuất hiện mặt 2 chấm; 5 lần xuất hiện mặt 3 chấm; 2 lần xuất hiện mặt 4 chấm; 2 lần xuất hiện mặt 5 chấm và 4 lần xuất hiện mặt 6 chấm. Giải. Vì con xúc xắc cân đối và đồng chất nên các mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm có khả năng xuất hiện như nhau với xác suất bằng , nghĩa là p 1 = p 2 = = p 6 = với p i là xác suất của biến cố A i “mặt có i chấm xuất hiện”, . Theo Ví dụ 2.3, xác suất phải tìm là P[X 1 = 4, X 2 = 3, X 3 = 5, X 4 = 2, X 5 = 2, X 6 = 4] . Véc tơ ngẫu nhiên 1. Phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên Giả sử X 1 ,X 2 ,…,X n là n biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không gian xác suất ( , , P), nhận giá trị trong không. x n ) = 1 và F(x 1 ,x 2 ,…,x n ) = 0, 1 i n. P[ : a 1 X < b 1 ; a 2 Y < b 2 ] = F(b 1 ,b 2 ) – F(a 1 ;b 2 ) - F(b 1 ;a 2 ) + F(a 1 ;a 2 ) Ví dụ 1. 5. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X,. phân phối xác suất của vectơ ngẫu nhiên X = (X 1 , X 2 ,…, X n ) hay phân phối đồng thời của n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 ,…, X n . Định nghĩa 1. 3. Với (x 1 , x 2 ,…, x n ) R n , hàm F(x 1 , x 2 ,…,