Cho máy sản xuất 3 sản phẩm rồi bỏ vào lô hàng, sau đó từ lô hàng chọn ra 4 sản phẩm thì được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu.. Tính xác suất để 2 sản phẩm tốt thu được là các sản phẩm
Trang 1ĐỀ THAM KHẢO 3 MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ
THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT (Được sử dụng tài liệu và máy tính) (GV: Trần Ngọc Hội - 2009)
-oOo -
Câu 1 Một máy sản xuất sản phẩm X với tỉ lệ loại tốt là 60% Một lô hàng chứa 20 sản
phẩm X với tỉ lệ loại tốt là 60% Cho máy sản xuất 3 sản phẩm rồi bỏ vào lô hàng, sau đó
từ lô hàng chọn ra 4 sản phẩm thì được 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu Tính xác suất
để 2 sản phẩm tốt thu được là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước
Câu 2 Một xưởng có 15 máy gồm 9 máy loại I và 6 máy loại II, trong đó tỉ lệ sản phẩm
tốt do máy I sản xuất là 60%, do máy II sản xuất là 70% Chọn ngẫu nhiên một máy để
sản xuất và đóng sản phẩm thành 250 kiện, mỗi kiện 8 sản phẩm Một kiện được xếp vào
loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu Tính xác suất để trong 250 kiện có từ 150 đến 235
kiện loại A
Câu 3 Để khảo sát trọng lượng X của một loại vật nuôi trong nông trại, người ta quan sát
một mẫu và có kết qủa sau:
X(kg) 10−18 18−26 26−34 34−42 42−50 50−58 58−66
a) Nếu muốn ước lượng trọng lượng trung bình của loại vật nuôi trên với độ chính xác
2,5kg thì sẽ đạt được độ tin cậy là bao nhiêu?
b) Những con vật có trọng lượng từ 50kg trở lên được xếp vào loại A Ước lượng
trọng lượng trung bình của con loại A của loại vật nuôi trên với độ tin cậy 99% (Giả
sử X có phân phối chuẩn)
Câu 4 Trước đây, bệnh lao được chữa trị bằng loại thuốc A với tỉ lệ khỏi bệnh là 72%
Năm nay, người ta nhập thêm loại thuốc B để chữa bệnh lao Điều tra 350 bệnh nhân
được điều trị bằng thuốc B thì thấy có 273 người khỏi bệnh
a) Có ý kiến cho rằng thuốc B có khả năng chữa bệnh lao tốt hơn thuốc A Với mức ý
nghĩa 1%, hãy nhận định về ý kiến trên
b) Theo một tài liệu khoa học, tỉ lệ bệnh nhân khỏi bệnh lao khi được điều trị bằng loại
thuốc B là 82% Hãy nhận định về tài liệu này với mức ý nghĩa 5%
Lời giải Câu 1 Từ giả thiết ta suy ra lô hàng chứa 20 sản phẩm gồm 20.60% = 12 sản phẩm tốt
và 8 sản phẩm xấu Gọi
• A là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước
• B là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu
Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(A/B)
Ta có P(A / B) P(AB)
P(B)
Sau đây ta tìm P(B) và P(AB)
Gọi Aj (j = 0, , 3) là biến cố có j sản phẩm tốt và (3-j) sản phẩm xấu có trong 3 sản phẩm lấy từ lô I Khi đó A0, A1, A2, A3 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và theo công thức Bernoulli với n = 3 , p = 60% = 0,6, ta có:
p(A ) C p q (0, 4) 0,064;
p(A ) C p q 3(0,6) (0,4) 0,288;
p(A ) C p q 3(0,6) (0,4) 0,432;
p(A ) C p q (0,6) 0, 216
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
• P(B) = P(A0)P(B/A0) + P(A1)P(B/A1) + P(A2)P(B/A2) + P(A3)P(B/A3) Theo công thức Xác suất lựa chọn, ta có:
2 2
12 11
23
2 2
13 10
23
2 2
14 9
23
2 2
15 8
23
161 C
1771 C
C C 468
1265 C
C C 84
253 C
Suy ra:
P(B) =0,064 0,288 0,432 0,216 0,3719
161+ 1771+ 1265+ 253=
• P(AB) = P(A0)P(AB/A0) + P(A1)P(AB/A1) + P(A2)P(AB/A2) + P(A3)P(AB/A3)
Trang 2Nhận xét rằng AB là biến cố trong 4 sản phẩm chọn ra có 2 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm
xấu mà 2 sản phẩm tốt là các sản phẩm có trong lô hàng từ trước
Theo công thức Xác suất lựa chọn, ta có:
2 2
12 11
23
2 2
12 10
23
2 2
12 9
23
2 2
12 8
23
C C 66
161 C
C C 54
161 C
C C 216
805 C
C C 24
115 C
Suy ra:
P(AB) =0,064 0,288 0,432 0,216 0,2838
161+ 161+ 805+ 115=
Từ các kết quả trên ta suy ra:
P(AB) 0,2838
P(B) 0,3719
Vậy xác suất cần tìm là 0,7631
Câu 2 Gọi X là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện Yêu cầu bài toán là tính xác
suất P(150 ≤ X ≤ 235)
Gọi - A1, A2 lần lượt là các biến cố chọn được máy loại I, loại II
- X1, X2 lần lượt là các ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong trường
hợp chọn được máy loại I, loại II
Khi đó A1, A2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và giả thiết cho ta:
P(A1) = 9/15 = 0,6; P(A2) = 6/15 = 0,4
Theo công thức xác suất đầy đủ, với mỗi k ta có:
P(X= k) = P(A1)P(X = k /A1) + P(A2)P(X= k/A2)
= 0,6.P(X1 = k) + 0,4.P(X2 = k)
Do đó
P(150 ≤ X ≤ 235) = 0,6.P(150 ≤ X1 ≤ 235) + 0,4.P(150 ≤ X2 ≤ 235) (1)
Bây giờ ta tìm phân phối của X1 và X2
• Phân phối của X1: Ta có X1 là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong
trường hợp chọn được máy loại I
Ta xét trường hợp đã chọn được máy loại I Trước hết ta cần tính xác suất p1 để một kiện
thuộc loại A trong trường hợp này
Chọn ngẫu nhiên một kiện Gọi B là biến cố kiện thuộc loại A Ta cần tính p1 = P(B)
Theo giả thiết, mỗi kiện gồm 8 sản phẩm và kiện thuộc loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu Do đó theo công thức Bernoulli ta có:
8 1 1 8 1 1 8 1 1 1
P(B) C p q C p q C p q p = 56(0,6) (0,4) 28(0,6) (0,4) 8(0,6) (0,4) (0,6) 0,5941
Vậy xác suất để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này là p1 = 0,5941
Từ kết quả trên, ta suy ra X1 có phân phối nhị thức X1∼ B(n1,p1) với n1 = 250, p1 = 0,5941 Vì n1 = 250 khá lớn và p1 = 0,5941 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên
ta có thể xem X1 có phân phối chuẩn như sau:
X1 ∼ N(μ1, σ1) với μ1 = n1p1 = 250.0,5941 = 148,525;
• Phân phối của X2: Ta có X2 là ĐLNN chỉ số kiện loại A có trong 250 kiện trong trường hợp chọn được máy loại II
Ta xét trường hợp đã chọn được máy loại II Trước hết ta cần tính xác suất p2 để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này
Chọn ngẫu nhiên một kiện Gọi C là biến cố kiện thuộc loại A Ta cần tính p2 = P(C)
Theo giả thiết, mỗi kiện gồm 8 sản phẩm và kiện thuộc loại A nếu số tốt nhiều hơn số xấu Do đó theo công thức Bernoulli ta có
8 2 2 8 2 2 8 2 2 2
P(C) C p q C p q C p q p = 56(0,7) (0,3) 28(0,7) (0,3) 8(0,7) (0,3) (0,7) 0,8059
Vậy xác suất để một kiện thuộc loại A trong trường hợp này là p2 = 0,8059
Từ kết quả trên, ta suy ra X2 có phân phối nhị thức X2∼ B(n2,p2) với n2 = 250, p2 = 0,8059 Vì n2 = 250 khá lớn và p2 = 0,8059 không quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên
ta có thể xem X2 có phân phối chuẩn như sau:
X2 ∼ N(μ2, σ2) với μ2 = n2p2 = 250.0,8059 = 201,475;
Bây giờ từ (1) ta suy ra
P(150 X 235) 0,6.P(150 X 235) 0,4.P(150 X 235)
235 148,525 150 148,525 235 201,475 15
6, 2535
Trang 3( ) ( )
Vậy xác suất để trong 250 kiện có từ 150 đến 235 kiện loại A là 65,48%
Câu 3 Lập bảng
Xi 14 22 30 38 46 54 62
ni 12 25 30 28 18 15 10
Ta có:
n = 138 ;∑X n =i i 4940; 2
i i
X n =
∑ 202152
- Kỳ vọng mẫu của X là
i i
1
n
= ∑ =35,7971
- Phương sai mẫu của X là:
i i
1
n
= ∑ − =(13,5439)2
- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là:
2
2 n
n 1
− (13,5932)
2
a) Đây là bài toán xác định độ tin cậy γ = 1 − α khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X
với độ chính xác ε = 2,5kg
Vì n ≥ 30, σ2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng:
S z n α
ε = trong đó ϕ(zα) = γ/2 Suy ra
n 2, 5 138
S 13, 5932
Tra bảng B giá trị hàm Laplace ta được:
2 (z ) 2 (2,16) 2.0, 4846 96, 92%.α
Vậy độ tin cậy đạt được là 96,92%
b) Đây là bài toán ước lượng khoảng cho kỳ vọng μA = M(XA) của chỉ tiêu X = XA của những con loại A với độ tin cậy γ = 1 − α = 99% = 0,99
Các số liệu của XA thu được như sau:
XAi 54 62
nAi 15 10
Từ bảng trên ta tính được:
A
n =25;∑ X n =Ai Ai 1430; ∑ X n =2Ai Ai 82180
- Kỳ vọng mẫu của XA là
1
n
- Phương sai mẫu của XA là:
n
- Phương sai mẫu hiệu chỉnh của XA là:
2
A A
A
n
−
Vì nA < 30, XA có phân phối chuẩn, σ2
A= D(XA) chưa biết, nên ta có công thức ước lượng khoảng cho kỳ vọng:
trong đó tαk được xác định từ bảng phân phối Student với k = nA – 1= 24 và α = 1 – γ =
1 – 0,99 = 0,01 Tra bảng phân phối Student ta được tkα =2,797 Vậy ước lượng khoảng
là
(57, 2 2,797 ;57, 2 2,797 ) (54, 9624; 59, 4376)
Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, trọng lượng trung bình của con loại A từ 54,9624kg đến 59,4376kg
Câu 4 Từ các giả thiết của bài toán ta suy ra đối với loại thuốc B:
• Cỡ mẫu n= 350
• Số bệnh nhân khỏi bệnh: 273
• Tỉ lệ mẫu bệnh nhân khỏi bệnh Fn = 273/350 = 0,78
a) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ pcác bệnh nhân khỏi bệnh khi được điều trị bằng thuốc B với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01:
Trang 4H0: p = 72% = 0,72 với giả thiết đối H1: p > 0,72
Ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
n 0
0 0
Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z2α thoả
ϕ(z2α) = (1 − 2α)/2 = 0,98/2 = 0,49
ta được z2α = 2,33
Bước 3: Vì z = 2,5 > 2,33 = z2α nên ta bác bỏ giả thiết H0: p = 0,72, nghĩa là chấp
nhận H1: p> 0,72
Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, có thể cho rằng thuốc B có khả năng chữa bệnh tốt
hơn thuốc A
b) Đây là bài toán kiểm định giả thiết về tỉ lệ pcác bệnh nhân khỏi bệnh khi được điều
trị bằng thuốc B với mức ý nghĩa α = 5% = 0,05:
H 0: p = 82% = 0,82 với giả thiết đối H1: p ≠ 0,82
Ta kiểm định như sau:
Bước 1: Ta có
n 0
0 0
Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm zα thoả
ϕ(zα) = (1 − α)/2 = 0,95/2 = 0,475
ta được zα = 1,96
Bước 3: Vì |z| = 1,9478 < 1,96 = zα nên ta chấp nhận thiết H0: p = 0,82
Kết luận: Với mức ý nghĩa 5%, tài liệu khoa học về loại thuốc B là đáng tin cậy
-