Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 1 ĐỀ THAM KHẢO 1 MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT (Được sử dụng tài liệu và máy tính) (GV: Trần Ngọc Hội - 2009) Câu 1. Có hai lô hàng I và II. Lô I chứa 8 sản phẩm tốt và 6 sản phẩm xấu; lô II chứa 5 sản phẩm tốt và 10 sản phẩm xấu. Từ mỗi lô chọn 1 sản phẩm. Sau đó, từ 2 sản phẩm thu được, chọn ra 1 sản phẩm. Tính xác suất chọn được sản phẩm tốt. Câu 2. Có hai máy sản xuất cùng một loại sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm tốt do máy I sản xuất là 60%, do máy II là 30%. Cho mỗi máy sản xuất 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong 4 sản phẩm thu được. a) Tìm luật phân phối của X. b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X. Câu 3. Để khảo sát chỉ tiêu X của một loại sản phẩm, người ta quan sát một mẫu và có kết qủa sau: X(cm) 12−14 14−16 16−18 18−20 20− 22 22−24 24−26 Số sản phẩm 11 24 27 32 20 16 11 a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác 0,5cm thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? b) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 16cm−22cm là những sản phẩm loại A. Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99%. Với độ tin cậy đó, nếu trong kho có 10.000 sản phẩm thì số s ản phẩm loại A có trong kho khoảng bao nhiêu? Câu 4. Trọng lượng của một loại sản phẩm theo qui định là 10kg. Người ta dùng một máy mới để sản xuất 150 sản phẩm thì thấy trọng lượng trung bình của một sản phẩm là 10,5kg và phương sai mẫu 8,5kg 2 . a) Máy được xem là hoạt động bình thường nếu sản phẩm có trọng lượng trung bình bằng trọng lượng qui định. Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận định về chiếc máy trên. b) Với mức ý nghĩa 3%, có thể khẳng định sản phẩm do máy trên sản xuất có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định hay không? Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 2 Lời giải Câu 1. Gọi A là biến cố sản phẩm chọn ra sau cùng là 1 sản phẩm tốt. A j (j = 0, 1, 2) là biến cố có j sản phẩm tốt và (2 − j) sản phẩm xấu có trong 2 sản phẩm lấy từ hai lô hàng. Khi đó A 0 , A 1 , A 2 là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có P(A) = P(A 0 )P(A/A 0 ) + P(A 1 )P(A/A 1 ) + P(A 2 )P(A/A 2 ). Ta có: 0 10 11 1 1 2 10 20 2 1 2 P(A/A ) = 0; CC 1 P(A/A ) = ; 2 C CC P(A/A ) = 1. C = = Bây giờ ta tính P(A 1 ); P(A 2 ). Gọi B, C lần lượt là các biến cố chọn được sản phẩm tốt từ lô hàng I, II. Khi đó B, C độc lập. - Đối với lô hàng I: 10 86 1 14 8 P(B) ; 14 86 P(B) 1 . 14 14 CC C == =− = -Đối với lô hàng II: 10 510 1 15 5 P(C) ; 15 510 P(C) 1 . 15 15 CC C == =− = Ta có: 11 2 2 A = BC + BC P(A ) = P(BC + BC ) P(B)P(C) P(B)P(C) 65 810 11 14 15 14 15 21 85 4 A= BC P(A) = P(B)P(C) . . 14 15 21 ⇒=+ =+= ⇒== Suy ra 00 11 22 P(A) = P(A )P(A/A ) + P(A )P(A/A ) + P(A )P(A / A) 11 1 4 = 0+ . .1 0,4524. 21 2 21 += Kết luận: Xác suất chọn được sản phẩm tốt là 0,4524. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 3 Câu 2. Gọi X 1 , X 2 lần lượt là các ĐLNN chỉ số sản phẩm tốt do máy I, máy II sản xuất. Khi đó X 1 , X 2 độc lập và ta có: - X 1 có phân phối nhị thức X 1 ∼ B(n 1 , p 1 ); n 1 = 2; p 1 = 0,6. Cụ thể ta có: 0 02 2 111 2 1 11 111 2 2 20 2 111 2 P(X 0) p q (0,4) 0,16; P(X 1) p q 2.(0,6)(0,4) 0,48; P(X 2) p q (0,6) 0,36. C C C == = = == = = == = = - X 2 có phân phối nhị thức X 2 ∼ B(n 2 , p 2 ); n 2 = 2; p 2 = 0,3. Cụ thể ta có: 0 02 2 222 2 1 11 222 2 2 20 2 222 2 P(X 0) p q (0, 7) 0, 49; P(X 1) p q 2.(0, 3)(0,7) 0, 42; P(X 2) p q (0, 3) 0, 09. C C C == = = == = = == = = a) Ta có X = X 1 + X 2 . Luật phân phối của X có dạng: X 0 1 2 3 4 P p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 trong đó: p 0 = P(X = 0) = P(X 1 =0)P(X 2 =0) = 0,0784; p 1 = P(X = 1)= P(X 1 = 0)P(X 2 = 1) + P(X 1 = 1)P(X 2 =0) = 0,3024; p 2 = P(X = 2) = P(X 1 = 0)P(X 2 = 2) + P(X 1 = 1)P(X 2 = 1) + P(X 1 = 2) P(X 2 =0) = 0,3924; p 3 = P(X = 3) = P(X 1 = 1)P(X 2 = 2) + P(X 1 = 2)P(X 2 = 1) = 0,1944 p 4 = P(X = 4) = P(X 1 = 2)P(X 2 = 2) = 0,0324. Vậy luật phân phối của X là: X 0 1 2 3 4 P 0,0784 0,3024 0,3924 0,1944 0,0324 b) Vì X = X 1 + X 2 và X 1 , X 2 độc lập nên ta có: - Kỳ vọng của X là M(X) = M(X 1 ) + M(X 2 ) = n 1 p 1 + n 2 p 2 = 1,8. - Phương sai của X là D(X) = D(X 1 ) + D(X 2 ) = n 1 p 1 q 1 + n 2 p 2 q 2 = 0,9. Câu 3. Lập bảng Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 4 X i 13 15 17 19 21 23 25 n i 11 24 27 32 20 16 11 Ta có: n141; = ii X n 2633;= ∑ 2 ii X n 50773.= ∑ • Kỳ vọng mẫu của X là ii 1 X X n 18,6738(cm). n == ∑ • Phương sai mẫu của X là: 2 22 22 ii 1 SXnX(3,3739)(cm). n =−= ∑ • Phương sai mẫu hieu chỉnh của X là: 2 222 n S S (3, 3859) (cm ). n1 == − a) Nếu muốn ước lượng giá trị trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95% và độ chính xác 0,5cm thì phải điều tra thêm ít nhất bao nhiêu sản phẩm nữa? Đây là bài toán xác định cỡ mẫu khi ước lượng kỳ vọng của chỉ tiêu X với độ chính xác ε = 0,5cm và độ tin cậy γ = 1− α = 95% = 0,95. Vì n ≥ 30, σ 2 = D(X) chưa biết nên ta có công thức tính độ chính xác của ước lượng: S z n α ε = , trong đó ϕ(z α ) = γ /2 = 0,95/2 = 0,475. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được z α = 1,96. Suy ra 2 2 z S 1,96 3,3859 n176,17. 0, 5 α ε × ⎛⎞ ⎛⎞ == ≈ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ Thực tế yêu cầu: n 176,17 177.≥= ⎡⎤ ⎢⎥ Vì n 1 = 177 > 141 (141 là cỡ mẫu đang có) nên ta cần điều tra thêm ít nhất là 177 – 141 = 36 sản phẩm nữa. b) Những sản phẩm có chỉ tiêu X từ 16cm-22cm là những sản phẩm loại A. Ước lượng tỉ lệ sản phẩm loại A với độ tin cậy 99%. Với độ tin cậy đó, nếu trong kho có 10.000 sản phẩm thì số sản phẩm loại A có trong kho khoảng bao nhiêu? Đây là bài toán ước lượng khoảng cho tỉ lệ p các sản phẩm loại A với độ tin cậy γ = 1− α = 99% = 0,99. Ta có công thức ước lượng khoảng Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 5 nn nn nn F(1 F) F(1 F) (F z ; F z ) nn αα −− −+ , trong đó ϕ(z α ) = γ /2 = 0,99/2 = 0,495. Tra bảng giá trị hàm Laplace ta được z α = 2,58. Mặt khác, trong n =141 sản phẩm có m = 27 + 32 + 20 = 79 sản phẩm có chỉ tiêu X từ 16cm-22cm nên số sản phẩm loại A có trong mẫu là m = 79. Suy ra tỉ lệ mẫu sản phẩm loại A là F n =m/n = 79/141 = 0,5603. Vậy ước lượng khoảng là: 0,5603(1 0, 5603) 0,5603(1 0, 5603) (0,5603 2,58 ; 0,5603 2, 58 ) 141 141 (45,25%; 66,81%). −− −+ = Nói cách khác, với độ tin cậy 99%, tỉ lệ sản phẩm loại A nằm trong khoảng từ 45,25% đến 66,81%. Khi trong kho có N = 10000 sản phẩm, gọi m A là số sản phẩm loại A có trong kho, ta có tỉ lệ sản phẩm loại A là m A /10000. Theo kết quả trên, với độ tin cậy 99%, tỉ lệ sản phẩm loại A nằm trong khoảng từ 45,25% đến 66,81%, do đó: A A A m 45,25% 66,81% 45,25%.10000 m 66,81%.10000 10000 4525 m 6681 ≤≤ ⇔ ≤≤ ⇔≤≤ Vậy với độ tin cậy 99%, ta ước lượng trong kho có từ 4525 đến 6681 sản phẩm loại A. Câu 4. Gọi X là trọng lượng của sản phẩm. Giả thiết cho ta: • Cỡ mẫu n = 150. • Kỳ vọng mẫu của X là X10,5 (kg)= . • Phương sai mẫu hiệu chỉnh của X là S 2 = 8,5(kg 2 ). • Độ lệch mẫu hiệu chỉnh của X là S = 2,9155(kg). a) Máy được xem là hoạt động bình thường nếu sản phẩm có trọng lượng trung bình bằng trọng lượng qui định. Với mức ý nghĩa 1%, hãy nhận định về chiếc máy trên. Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 1% = 0,01: H 0 : μ = 10 với giả thiết đối H 1 : μ ≠ 10. Vì n ≥ 30; σ 2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Ta có 0 (X ) n (10,5 10) 150 z 2,1004. S 2,9155 −μ − == = Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z α thoả ϕ(z α ) = (1− α)/2 = 0,99/2 = 0,495 ta được z α = 2,58. Bước 3: Vì |z| = 2,1004 < 2,58 = z α nên ta chấp nhận giả thiết H 0 : μ = 10. Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 6 Kết luận: Với mức ý nghĩa 1%, máy hoạt động bình thường. b) Với mức ý nghĩa 3%, có thể khẳng định sản phẩm do máy trên sản xuất có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định hay không? Đây là bài toán kiểm định giả thiết về kỳ vọng μ = M(X) với mức ý nghĩa α = 3% = 0,03: H 0 : μ = 10 với giả thiết đối H 1 : μ > 10. Vì n ≥ 30; σ 2 = D(X) chưa biết, nên ta kiểm định như sau: Bước 1: Tương tự như câu a), ta có 0 (X ) n z 2,1004. S −μ == Bước 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace để tìm z 2α thoả ϕ(z 2α ) = (1 − 2α)/2 = 0,94/2 = 0,47 ta được z 2α = 1,88. Bước 3: Vì z = 2,1004 > 1,88 = z 2α nên ta bác bỏ giả thiết H 0 : μ = 10, nghĩa là chấp nhận H 1 : μ > 10. Kết luận: Với mức ý nghĩa 3%, có thể khẳng định sản phẩm do máy trên sản xuất có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com . Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 1 ĐỀ THAM KHẢO 1 MÔN: XÁC SUẤT THỐNG KÊ THỜI GIAN LÀM BÀI: 90 PHÚT (Được sử dụng tài. 0,4524. 21 2 21 += Kết luận: Xác suất chọn được sản phẩm tốt là 0,4524. Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội . trên sản xuất có trọng lượng trung bình cao hơn trọng lượng qui định hay không? Xác suất thống kê – Đề tham khảo 1 Trần Ngọc Hội 2 Lời giải Câu 1. Gọi A là biến cố sản phẩm chọn ra