= = 3. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 3.1. Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X 1 , X 2 ,…, X n ) gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng: F(x 1 ,x 2 ,…,x n ) = ; (x 1 ,…,x n ) R n Hàm dưới dấu tích phân f(x 1 , ,x n ) được gọi là hàm mật độ đồng thời của n biến ngẫu nhiên X 1 ,…,X n . Tính chất 3.2. Với (x 1 ,…,x n ) R n f(x 1 ,…,x n ) = f(x 1 ,…,x n ) 0 = 1 Với D Ì R n thì P[(X 1 ,…,X n ) D] = Trong trường hợp 2 chiều, nếu biết f(x, y) là hàm mật độ đồng thời của X và Y thì Ø Hàm mật độ của X là Ø Hàm mật độ của Y là Ví dụ 3.3. Giả sử hai biến ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời là a- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y. b- Xác định hàm mật độ của X; của Y. c- Xác định hàm phân phối và hàm mật độ của biến ngẫu nhiên Z = Giải. a- Ta có => <=> Û a.1 = 1. Vậy a = 1. Hàm phân phối đồng thời của X, Y là F(x,y) = = b- Hàm mật độ của X là f X (x) = = = Tương tự, hàm mật độ của Y là f Y (y) = = = c- Với z > 0, hàm phân phối của Z là Hàm mật độ của Z là 4. Sự độc lập của các biến ngẫu nhiên Định nghĩa 4.1. Dãy n biến ngẫu nhiên X 1 ,…,X n , i = cùng xác định trên không gian xác suất ( , ,P) được gọi là độc lập nếu P trong đó B 1 ,B 2 ,…,B n B( R) Dãy vô hạn các biến ngẫu nhiên X 1 ,X 2 ,…,X n ,… được gọi là độc lập nếu mọi dãy con hữu hạn bất kì của dãy (X n , n 1) là độc lập. Định lí 4.2. Dãy n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n được gọi là độc lập khi và chỉ khi F(x 1 , x 2 , ,x n ) = Định lí 4.3. Giả sử các biến ngẫu nhiên X 1 , , X n có hàm mật độ đồng thời f(x 1 , x n ) và là hàm mật độ của từng biến X i . Khi đó, điều kiện cần và đủ để n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập là f(x 1 , x 2 , ,x n ) = Định lí 4.4. Giả sử 1 ; 2 là hai hàm Borel và X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, các biến ngẫu nhiên Z 1 = 1 (X) và Z 2 = 2 (Y) cũng độc lập. Ví dụ 4.5. Giả sử vectơ ngẫu nhiên (X, Y) có phân phối đều trên hình vuông D = {(x, y) : 0 x 1; 0 y 1], nghĩa là hàm mật độ của nó có dạng: f(x, y) = Chứng minh rằng X, Y là độc lập. Giải. Hàm mật độ của X là f X (x) = = Tương tự, f Y (y) = = Từ đó suy ra f X (x) f Y (y) = = f(x,y) Vậy X, Y là độc lập. . 3. Véc tơ ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa 3.1. Vectơ ngẫu nhiên n chiều X = (X 1 , X 2 ,…, X n ) gọi là có phân phối liên tục tuyệt đối nếu hàm phân phối đồng thời của nó có dạng: F(x 1 ,x 2 ,…,x n ). ngẫu nhiên X,Y có hàm mật độ đồng thời là a- Tìm a và xác định hàm phân phối đồng thời của X và Y. b- Xác định hàm mật độ của X; của Y. c- Xác định hàm phân phối và hàm mật độ của biến ngẫu. để n biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n độc lập là f(x 1 , x 2 , ,x n ) = Định lí 4.4. Giả sử 1 ; 2 là hai hàm Borel và X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập. Khi đó, các biến ngẫu nhiên Z 1